De HSG Toan 920162017 180

<span class='text_page_counter'>(1)</span>thi học sinh giỏi - môn toán LỚP 9 - đề 1 (Thêi gian 150 phót ). 62 2 3. C©u 1: (3®) a. Rót gän biÓu thøc : A = 2 b. T×m GTNN cña A = x −2 x+2006 x2 c. Gi¶ sö x, y lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n : x + y = 1. 1 1 + T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = 3 3 x + y xy. 2  12  18  128. 2. 1  1 1  1 1   1  2  a  a  1 2  a a 1 . C©u 2: (2®) a. Chứng minh rằng : Víi mọi sè d¬ng a th× 1 1 1 1 1 1 1  2  2  1  2  2  ...  1   2 1 2 2 3 2008 20092 b. TÝnh S = C©u 3: (3 ®)a) T×m a , b , c biÕt a , b ,c lµ c¸c sè d¬ng vµ 2. b) T×m a , b , c biÕt :. a=. 2b 1+b 2. 2. ;b=. 2c 1+ c2. ;c=. 1 1 1 +1 2 +2 2 +8 2 a b c 2 2a 1+ a2. ( )( )( ). c. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a,b,c kh¸c 0 vµ a + b+ c TÝnh P = (2008+. a )(2008 + b. C©u 4: (2 ®) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh. =. 32 abc. 0. b c ) ( 2008 + ) c a ¿ ( x2 + 1 )( y 2+ 1 ) = 10 ( x + y )( xy - 1) = 3 ¿{ ¿. C©u 5: (2®) Cho tam giác ABC, các đờng phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI. Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c vu«ng. C©u 6: (2®)    Cho tam giác MNP có M N  2 P , và độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài các c¹nh cña tam gi¸c. C©u 7: (3®) Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Giọi (I) là đờng tròn nội tiếp tam giác. Đờng vuông gãc víi CI t¹i I c¾t AC, AB theo thø tù ë M, N chøng minh r»ng: a. AM.BN = IM2 = IN2 ; b. 2 2 2 IA IB IC   1 bc ca ab C©u 8: (2®) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau x2 48 x 4 x2 a) b) + 2 = 10 ( - ) ; + x + 1 - x = √ 9 - 4 √2 3 3 x x 4 -------------------- Hết----------------------. √. Đáp án - đề 1 C©u 1:( 3 ®iÓm): a.(1 ®iÓm) Rót gän : A=. 6  2 2 3. 2  12  18  128.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 6  2 2 3. = =. 2  12  4  2. 62 2 2 3. 62 4 2 3. = 2 b. (1 ®iÓm) T×m GTNN cña A = x −2 x+2006 x2 2 2006 2 A = x −2 x+2006 =1+ = 2006 2 2 x x x. 62 2 3 42 3. =. 62 =. . 3  1. 3 1. =. ( x1 − 20062 x + 20061 ) 2. +1–. 2. 1 2006. 2005 2005 1 1 2 + 2005 khi x = 2006 − ⇒ GTNN cña P = 2006 2006 2006 x 2006 c.(1 ®iÓm) Ta cã: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1.Thay vµo biÓu thc A ta cã: 3 3 3 3 3 3 A = x + y3 +33 xy + x + y +3 xy = 4 + 33 xy 3 + x + y xy x +y x + y xy 3 3 3 xy x 3+ y3 áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 4 + 33 xy 3 + x + y 4 +2 3 3 . =4+2 √ 3 x + y xy x + y xy = 2006. (. ). VËy A 4 +2 √ 3 . Vậy minA = 4 +2 √ 3 hoÆc x =. 1 2 2 −3 1− √ 2 3. ( √. ). ; y=. ⇔ x=. 1 2 2 −3 1+ √ 2 3. 1 2 2 −3 1+ √ 2 3. ( √. √. ( √. ). ; y=. 1 2 2 −3 1− √ 2 3. ( √. ). ). 2 1  1  1 1 1 1  1 1    2     1  2  2  a a  1 a  a  1  a  a  1  a a 1    C©u 2 : (2®) a/ Ta cã :. Mµ. 1 1 1 1 1 1 1       0 a a  1 a  a  1 a a  1 a a  1. 2. 1  1 1  1 1   1  2  a  a  1 2  a a 1 . Do đó 1 1 1 1 1 1 1  1  1    ... 1   2009  2 2 3 2008 2009 = 2009 b/ ¸p dông c/m c©u a ta cã : S = C©u 3: (3®) 1 1 1 +1 2 +2 2 +8 = 32 a) T×m a , b , c biÕt a , b ,c lµ c¸c sè d¬ng vµ 2 abc a b c 1 1 = 2 +1 áp dụng bất đẳng thức Cô-Si : 2 2 a a a2 1 2 = 2 √ 2 ; 1 +8 8 = 4 √2 +2 V× a ; b ; c lµ c¸c sè d¬ng 2 2 2 2 2 2 b c b c b c 1 1 1 2 32 +1 2 +2 2 +8 . 2 √2 . 4 √ 2 = ⇒ 2 a abc b c a b c ¿ ¿ 1 =1 a=1 2 a √2 1 b= 1 1 1 =2 32 2 2 +1 2 +2 2 +8 = ( 0.25®) ⇔ ( 0.5®) ⇒ ⇔ b 2 abc 2 √ a b c 1 c= =8 4 2 c ¿{{ ¿{{ ¿ ¿ 2 2 2 b) T×m a , b , c biÕt : a = 2 b 2 ; b = 2 c 2 ; c = 2 a 2 1+b 1+ c 1+b Nhận xét các số a ; b ; c là các số dơng , áp dụng bất đẳng thức Co-si (0 .25đ) 2 2 2b 1+ b2 2b ⇒ a = 2 b 2 =b 2b 1+b. ( )( )( ). ( )( )( ). ( )( )( ). √ √. √.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 2 2 c2 2c = c 2c 1+ c2 2 2 a2 = a 1 + a2 2a ⇒ c = 2 a 2 2a 1+b Tõ ( 1 ) ; ( 2 ) ; (3 ) ta cã a = b = c vµ theo cosi th× a = b = c = 1. 1 + c2. 2c. ⇒. b=. c) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a,b,c kh¸c 0 vµ a + b+ c 0 a b c P = (2008+ )(2008 + ) ( 2008 + ) b c a a3 + b3 + c3 = 3abc ⇔ ( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = 0 0) ⇔ a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = 0 ( v× a + b + c ⇔ ( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = 0 ( 2008 +. ⇔ a=b=c. ⇒ P = (2008+. a )(2008 + b. b ) c. c ) a P = ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ( 2008 + 1 ) ; P = 20093. C©u 4:( 2 ®iÓm ) 2. xy - 1 ¿ = 10 ¿ ¿ 2 2 2 2 x y + x + y + 1 = 10 ( x + y )( xy - 1) = 3 ( x + y )( xy - 1) = 3 Û ¿ 2 ¿{ x + y ¿ +¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u + v ¿2 = 16 ¿ ¿ u+v= ± 4 u2 + v 2= 10 u.v = 3 §Æt u = x + y ; v = xy - 1 hÖ trë thµnh : Û u.v = 3 u. v = 3 ¿ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u+v= 4 u =3 u =1 · NÕu u . v = 3 th× ta cã v = 1 hoÆc v = 3 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u =3 x+y =3 x+y =3 * víi v = 1 th× xy - 1 = 1 Û xy = 2 Û (x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u =1 x+y =1 x+y =1 * Víi v = 3 th× xy - 1 = 3 Û xy = 4 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ 2 ¿ nªn x , y lµ 2 nghiÖm cña PT : t - t + 4 = 0 cã D < 0 Þ v« nghiÖm Þ hÖ v« nghiÖm trong trêng hîp nµy . ¿ ¿ ¿ u+v= − 4 u = -3 u = -1 · NÕu u . v = 3 th× ta cã v = -1 hoÆc v = -3 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u = -3 x + y = -3 x + y = -3 * Víi v = -1 ta cã Û (x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) xy - 1 = -1 Û xy = 0 ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ u = -1 x + y = -1 x + y = -1 * Víi v = -3 ta cã xy - 1 = -3 Û xy = -2 Û (x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) ¿{ ¿{ ¿{ ¿ ¿ ¿ Tóm lại hệ đã cho có 6 nghiệm là (x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) . ¿ 2 2 ( x + 1 )( y + 1 ) = 10 Ta cã ( x + y )( xy - 1) = 3 Û ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> A. Bài 5: D BI CI 1 E .  (1) b BD CE 2 Ta cã: BD.CE = 2BI.CI c  I Trong tam gi¸c BEC ta cã BI lµ ph©n gi¸c cña B : CI BC C Þ  B a EI BE CI BC Þ  CI  EI BC  BE Theo tinh chÊt tØ lÖ thøc CI BC BE CB a BE a ac    Û  Þ b.BE ac  a.BE Û BE  c  BE b b  a (*) Hay CE BC  BE (2) mµ AE CA b CI a a b   CE a  ac a b c a  b Thay (*) vào (2) ta đợc: (3)  T¬ng tù trong tam gi¸c ABD ta cã AI lµ ph©n gi¸c cña A : BI AB BI AB BI c ab Þ  (4) Þ  Û  Þ AD  ID AD BI  CI AB  AD BD c  AD a  c (2*) BI c a c   BD c  ab a b c a c Thay (2*) vào (4) ta đợc: (5) Thay (3) và (5) vào (1) ta đợc: a b a c 1 .  Û 2a 2  2ab  2ac  2bc a 2  b 2  c 2  2ab  2ac  2bc a b c a b c 2 a 2 b 2  c 2 VËy tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A. Þ. M. C©u 6: Trªn c¹nh PM lÊy ®iÓm D sao cho PD = PM         Ta cã: M M 1  M 2 D1  M 2  N  M 2  M 2     (Vì D1 là góc ngoài của tam giác MND). Do đó: M N  2M 2      Theo bµi ra: M N  2 P Suy ra P M 2. 1 2. 1 N. P. D. MN NP Þ  D MNP  D DNM ( g . g ) DN MN Do đó ta có: đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c  N c a  Þ c 2 a (a  b ) (1) a  b c Ta cã: Do c¸c c¹nh cña tam gi¸c MNP lµ ba sè tù nhiªn liªn tiÕp vµ a > b nªn a – b = 1 hoÆc a – b = 2 NÕu: a – b = 1 th× a – c = 2 c 2 Þ c(c  1) 2 Û  2 2 c  1 1 Û c 2 Tõ (1) ta cã: c a Þ c c  2 (v× a = c + 2) Nếu: a – b = 2 thì a – c = 1 khi đó ta có c 2 Û c 2 2(c  1) Û c(c  2) 2 Û  c  1 2 (Lo¹i). VËy MN = 2: MP = 3: A NP = 4 (1) M Bµi 7:   C C     AMI 900  ; BNI 900  Þ AMI BNI (1) b 2 2 a. Ta cã: I c  B    A 3600  (1800  C) C  AIB 1800   900  (2) 2 2 2 Ta l¹i cã: B a N    Tõ (1) vµ (2) suy ra: AMI BNI = AIB (3). C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> AM IN  Þ AM.BN IM.IN DAMI DBNI Þ IM BN Tõ (3) vµ gi¶ thiÕt suy ra: DAIB (3) Mà tam giác CMN cân tại C suy ra: IM=IN (4) (vì CI là đờng cao đồng thời là trung tuyến) 2 2 Tõ (3) vµ (4) suy ra: AM .BN IM IN Þ. AI AB AI 2 AB.AM AM  Þ AI 2 AB.AM Û   AM AI AB.AC AB.AC AC. b. Ta cã: DAIB DAMI AI2 b  AM IB2 a  CN  Þ  DBNI c ca a Hay bc (5). T¬ng tù: DAIB (6) 2 I 900 Þ IC2 CM 2  MI 2 Trong tan gi¸c vu«ng MIC ( ) ; Mµ AM .BN IM (c/m c©u a) Þ IC 2 (CA  AM ) 2  AM .BN (CA  AM )(CA  AM ) (b  AM )(a  BN )  AM .BN Þ. IC 2 BN AM 1   ab a b (7). 2 (V× CM = CN c/m trªn) Þ IC ab  a. AM  b.BN IA 2 IB2 IC2   1 ca ab Cộng hai vế của (5); (6) và (7) ta đợc: bc C©u 8: (2 ®)  x 2 16  x 4 3  2  10  -  9 x   3 x a. Điều kiện x ạ 0 . Phơng trình đã cho tơng đơng với  x 2 16 8 8   x 4 3  t 2   10t  23 x 3 . Phương trình trë thµnh :  §Æt t = 3 x Þ t2 = 9 Û 3t2 – 10t + 8 = 0 x 4 Û t = 2 hoÆc t = 4/3 * víi t = 2 th× 3 x = 2 Û x2 - 6x - 12 = 0 Û x = 3  21 x 4 4 * Víi t = 4/3 th× 3 x = 3 Û x2 - 4x - 12 = 0 Û x = 6 ; x = - 2. Vậy phơng trình đã cho có 4 nghiệm là : x = 6 ; x = - 2 ; x = 3  21. x2 +x+1 -x= 4. 9-4 2. √(. x +1 2. ). 2. -x =. √ ( 2 √2 - 1 ). 2. b. PT : Û x Û + 1 - x = 2 √2 - 1 2 x 1 √2 · NÕu 2 ³ 0 Û x ³ – 2 , PT trªn trë thµnh x + 2 – 2x = 4 –2 Û x = 4 - 4 √2 thỏa mãn x ³ – 2 nên x = 4 – 4 √ 2 là nghiệm của phơng trình đã cho . x 1 √2 · NÕu 2 < 0 Û x < – 2 , PT trªn trë thµnh –( x + 2) – 2x = 4 –2 Û – 3x = 4 √ 2 Û x = – 4 √ 2 /3 , kh«ng tháa m·n x < –2 nªn lo¹i. |. |. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm : x = 4 – 4 2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>