De HSG Toan 820162017 41

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Bồi dưỡng HS giỏi Toán 8. BAØI 15: Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trên tia HC lấy HD = HA. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh AE = AB. b) Goïi M laø trung ñieåm cuûa BE. Tính goùc AHM. Giaûi A.    a) Keû EF  AH. Ta coù F = 900 , H = 900 , D = 900  Tứ giác EFHD là HCN => EF = AH. A E  C  0   1 1 ; EF = AH; F H 90. Xeùt  AHB vaø  EFA coù: =>  AHB =  EFA ( g.c.g) => AB = AE b) Noái MA, MH, MD. Xeùt  AMH vaø  DMH coù: AH = HD (gt) MH caïnh chung. 1 F B. M. 1. D. H. C. BE DM = AM = 2 ( đường TT ứng với cạnh huyền)  =>  AMH =  DMH (c.c.c) => AHM DHM => AHM = 450. * BAØI 16: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 18. Trong đó BC là cạnh lớn nhất. Đường phân giác MA 1 NA 3   góc B cắt AC ở M sao cho MC 2 . Đường phân giác góc C cắt AB ở N sao cho NB 4 . Tính. caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. Giaûi Ta coù: AM AB 1 BC    BM laø phaân giaùc B => MC BC 2 => AB = 2 (1) NA AC 3 3BC   C CN laø phaân giaùc => NB BC 4 => AC = 4 (2). Maø : AB + BC + AC = 18 (3). A M N. B. BC 3BC Từ (1), (2) và (3) => 2 + BC + 4 = 18 => BC = 8 ; AB = 4; AC = 6.  BAØI 17: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 a) x + 6x + 5 b) x4 + 2007x2 + 2006x + 2007. c) (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1.  BAØI 18: 2  x2    3 x x  1  Cho biểu thức: A =. a) b) c) d). 2  2  4 x 3x 1  x 1 3 :  3x  x 1 (x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 2 ). Rút gọn biểu thức A. Tính giá trị của A với x = 6022. Tìm x để A < 0. Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.. C.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Giaûi 1  2 x 3x  1  x 2 x 2  x x  1    3x 3x 3 A = 3x 6022  1 3 A= = 2007. 1 a) ÑKXÑ: x ≠ 0; x ≠ -1; x ≠ 2. b) Thay x = 6022 vaøo A ta coù: c) A nhaän giaù trò nguyeân khi x nguyeân vaø x – 1 chia heát cho 3. Ta coù: x – 1 = 3k => x = 3k + 1 (với k nguyên) Vậy với x = 3k + 1 (k nguyên) thì A nhận giá trị nguyên.  BAØI 19: 148  x 169  x 186  x 199  x    10 25 23 21 19 Giaûi phöông trình:. Giaûi  148  x   169  x   186  x   199  x   1    2    3    4  0    23   21   19    25 1 1 1  1      0  (123 – x)  25 23 21 19  1 1 1  1      0  123 – x = 0 Vì  25 23 21 19 .  x = 123 Vaäy nghieäm cuûa p.t laø x = 123  BAØI 20: Cho tam giác đều ABC, gọi M là trung điểm của BC. Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx, My luôn cắt cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. CM: BC 2 a) BD.CE = 4. b) DM, EM lần lượt là tia phân giác của các góc BDE và CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. Giaûi a) Trong  BDM ta coù: 0  1200  M       D 1 1 ; Vì M 2 = 600 neân ta coù: M 3 120  M 1 => D1 M 3 BD BM   BMD ~  CEM (g.g) (1) => CM CE => BD.CE = BM.CM. A x. = 60.    =>  BMD ~  MED (c.g.c) => D1 D2 => DM laø phaân giaùc BDE . CM tương tự ta có: EM là phân giác CED c) Keû MH  AB; MI  DE; MK  AC. K. D H. BC BC 2 Vì : BM = CM = 2 => BD.CE = 4 BD MD  b) Từ (1) => CM EM mà BM = CM nên ta có: BD MD BD BM   BM EM => MD EM  M  B 0 2. E. I. B. y. M. C.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  vuoâng DHM =  vuoâng DIM ( CH- GN)  vuoâng MEI =  vuoâng MEK (CH – GN). => DH = DI => EI = EK CVADE = AD + DI + IE + AE = AD + DH + EK + AE = AH + AK Maø:  vuoâng AHM =  vuoâng AKM (CH – GN)  AH = AK => CVADE = 2AH ( không đổi) . 1 1 1 1 1 2 3 4 5 BAØI 21:Cho x + x = a. Tính:x2 + x ; x3 + x ; x4 + x ; x5 + x. Giaûi 2. 1  1 x   2  2 x a) x2 + x =  = a2 – 2 1  2 1   1 x  x  1      3 x  x2  = b) x3 + x =  2. 1  2 1    x    x   1 x  x  = a(a2 – 2 – 1) = a(a2 – 3)  2.  1   2 1  1   x  2  2 4 4 2 2 x x  - 2 = (a2 – 2)2 – 2 = a4 – 4a2 – 4 – 2 = a4 – 4a2+2   x c) x + = (x ) + = 1  4 1 1   1 3 1 2 1  x    x  x .  x . 2  x. 3  4  5 5 x  x x x x  d) x + x =  1   4 1   2 1    1  4 1 1   2  x     x  4    x  2   1  x    x  4  x 1 2  x   x   x   x  x x  = =   a 4  4a 2  2    a 2  2   1  = a(a4 – 4a2 + 2 – a2 + 2 + 1) = a. = a(a4 – 5a2 + 5) = a5 – 5a3 + 5  BAØI 22: Giaûi phöông trình baèng caùch ñaët aån phuï: 1  2 1    x  2   13  x    16 0 x  x  3 1  1 x  2 x  => x + x 2 = Ñaët y = . 2. 1   x   2 x  = y2 – 2. Ta coù phöông trình: 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0  3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0  3y2 – 6 – 13y + 16 = 0  3y2 – 13y + 10 = 0  3y2 – 10y – 3y + 10 = 0  3y(y – 1) – 10(y – 1) = 0  (y – 1)(3y – 10) = 0. 10  y = 1 vaø y = 3. 2. 1 3  1 x    2 4 > 0 x * y = 1  x + x = 1 => x2 – x + 1 = 0   10 1 10  * y = 3  x + x 3  3x2 – 10x + 3 = 0  (3x – 1)(x – 3) = 0 1 P.t coù 2 nghieäm laø x = 3 vaø x = 3.. Vaäy p.t VN.. * BAØI 23: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp thêm bớt cùng 1 hạng tử) a) a4 + 4b4 = a4 + 4a2b2 – 4a2b2 + 4b4 = (a2)2 + 2.2a2b2 + 4b2 – 4a2b2 = (a2 + 2b2)2 – (2ab)2 = (a2 + 2b2 – 2ab)(a2 + 2b2 + 2ab) b) a4 + a2 + 1 = a4 + a2 + a2 – a2 + 1 = (a2)2 + 2a2 + 1 – a2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> = (a2 + 1)2 – a2. = (a2 – a + 1)(a2 + a + 1).  BAØI 24: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp đặt biến phụ) a) Q = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 Ñaët: Y = x2 + x + 1 ta coù: Q = Y(Y + 1) – 12 = Y2 + Y – 12 = Y2 – 3Y + 4Y – 12 = (Y – 3)(Y + 4) Trở về biến x ta được: Q = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5) = (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5) b) P = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 = (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 24 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 4 + 2) – 24 Đặt Y = x2 + 5x + 4 ta được: P = Y(Y + 2) – 24 = Y2 + 2Y – 24 = Y2 + 6Y – 4Y – 24 = (Y + 6)(Y – 4) Trở về biến x ta được: P = (x2 + 5x + 4 + 6)(x2 + 5x + 4 – 4) P = (x2 + 5x + 10)(x2 + 5x ) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10) *BAØI 25: Phân tích đa thức thành nhân tử (dùng pp phối hợp nhiều pp) a) x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1 = (x10 + x8 + x6) + x4 + x2 + 1) = x6(x4 + x2 + 1) + (x4 + x2 + 1) = (x4 + x2 + 1)(x6 + 1) = (x4 + x3 – x3 + x2 + x2 – x2 + x – x + 1)[(x2)3 + 13] = [(x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)][(x2)3 + 1] = [(x2 + x + 1)(x2 – x + 1)][(x2 + 1)(x4 – x2 + 1)] b) a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc = ab2 + ac2 + bc2 + ba2 + (ca2 + cb2 + 2abc) = ab(b + a) + c2(a + b) + c(a2 + b2 + 2ab) = (a + b)[(ab + c2) + c(a + b)] = (a + b)(ab + c2 + ac + bc) = (a + b)(b + c)(c + a) *BAØI 26: Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Tia MN  cắt tia AD ở E và cắt tia BC ở F. CM: AEM BFM . Giaûi Goïi I laø trung ñieåm cuûa BD, ta coù:. E F D. N C.   BF // IN => BFN INM AEM EMI . AE // MI => Xét  MNI có: IM = IN (2 đường trung bình). I A M.     AEM =>  MNI caân taïi I=> EMI INM => BFM. B. * BAØI 27: Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Các đoạn thẳng caét nhau taïi I. CM: IA = AD. Giaûi M A B Từ A kẻ AP  DN cắt DC tại K, cắt DN tại I. Xeùt  MCB vaø  NDC coù: DC = BC ; NC = BM ; =>  MCB =  NDC (c.g.c). I.  C  B = 900. N. P D. K. C.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>     => BMC DNC Maø: BCM  BMC = 900 . . => MCN  DNC = 900 => MC  DN Ta laïi coù: AK  DN => AK // MC Xeùt  ADK vaø  CBM coù: . . . . DAK MCB ; ADC MBC = 900 AD = BC ; =>  ADK =  CBM (g.c.g) => DK = BM Maø M laø trung ñieåm cuûa AB => K laø trung ñieåm cuûa CD  DP = IP ( PK là đường TB  DIC)   DAI caân taïi A => AD = AI *BAØI 28: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền thành 2 đoạn có độ dài 9 cm và 16 cm. Tính chu vi tam giác ABC. Giaûi  Xeùt  ABH vaø  CBA coù: B chung ;.  AÂ = H = 900. A. AB BH  => CB BA. =>  ABH ~  CBA (g.g) B 9cmH => AB2 = CB.BH = 25. 9 = 225 => AB = 15 (cm) Aùp duïng ÑL Pitago trong  vuoâng ABC ta coù: AC2 = BC2 – AB2 = 252 – 152 = 625 – 225 = 400  AC = 20 (cm) Chu vi  ABC: AB + AC + BC = 15 + 20 + 25 = 60 (cm)  BAØI 29:Giaûi phöông trình: 3x4 – 13x3 + 16x2 – 13x + 3 = 0 Giaûi 13 3  2 3x – 13x + 16 x x = 0. 2. 2. Chia 2 veá cho x ta coù:. 1  2 1    x  2   13  x   x  x  + 16 = 0   3 1 1 2 2 Ñaët: x + x = y => x + x = y2 – 2. 3(y2 – 2) – 13y + 16 = 0 1 * y = 1 => x + x = 1.  y 1   10  y  3  (y – 1)(3y – 10) = 0 . PT naøy VN. 2. 1 3  x    2 4 > 0 Vì: x2 – x + 1 = . . 1  x  3  10  x 3 y = 3 => (3x – 1)(x – 3) = 0  1 Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = 3 và x = 3.. *BAØI 30: Chứng minh rằng:. 16cm. C.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a b  2 a) b a (với a, b > 0) a b b c c a   6 a b b) c (với a, b, c > 0). c) (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc (với a, b, c > 0) Giaûi 2 2 2 c)Ta coù: (a – b) ≥ 0 => a + b ≥ 2ab  (a2 + b2)c ≥ 2abc Tương tự ta có: (b2 + c2)a ≥ 2abc (c2 + a2)b ≥ 2abc  (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)b ≥ 6abc Xảy ra đẳng thức  a = b = c a) Ta coù:(a - b)2 ≥ 0 <=> a2 + b2 -2ab ≥ 0 a b a 2  b2 2  2 2 2  a + b ≥ 2ab  ab  b a  a b b c c a a c b a b c                   c c a a b b       b) Ta coù: VT = =  c a a b c b. Theo KQ caâu a, ta coù: a c b a b c  2;  2;  2 c a a b c b VT ≥ 6. *BAØI 31: Giaûi baát phöông trình sau: 1 1 1 1 1     x( x  1) ( x 1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) ( x  4)( x  5) < 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1           x x  1 x 1 x  2 x  2 x  3 x  3 x  4 x  4 x  5 < 0 5 1 1   x x  5 < 0 x( x  5) < 0. ÑKXÑ : x ≠ 0 ; x ≠ -5.  . 5 Neáu x > 0 thì x(x + 5) > 0  x ( x  5) > 0 Vaäy BPT voâ nghieäm. 5 Neáu -5 < x < 0 thì x(x + 5) < 0  x( x  5) < 0 Vaäy BPT coù nghieäm laø -5 < x < 0 5 *Neáu x < - 5 thì x(x + 5) > 0  x( x  5) > 0 Vaäy BPT voâ nghieäm.. Vậy BPT đã cho có nghiệm -5 < x < 0 * BAØI 32: Giaûi phöông trình:. x  4  x 1. =9. x 4. x 1. 1)Neáu x < -1 thì x – 4 < 0 vaø x + 1 < 0 => = -x + 4 vaø = -x – 1 P.t trở thành: -x + 4 – x – 1 = 9 (ĐK: x < -1) <=> x = -3 (TMĐK) 2) Neáu -1 ≤ x ≤ 4 thì x – 4 ≤ 0 vaø x + 1 ≥ 0 => = -x + 4 vaø P.t trở thành: -x + 4 + x + 1 = 9 (ĐK: -1 ≤ x ≤ 4)  0x = 4 VN. x 4. x 1. 3) Neáu x > 4 thì x – 4 > 0 vaø x + 1 > 0 => = x – 4 vaø P.t trở thành: x – 4 + x + 1 = 9 (ĐK: x > 4)  x = 6 (TMĐK). =x+1. x 4. x 1. =x+1.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  3; 6.  Vậy p.t đã cho có tập nghiệm là S =   BAØI 33: Rút gọn các biểu thức: (n là số nguyên dương) 1 1 1 1    .......  (2n  1)(2n  1) a) A = 1.3 3.5 5.7 1 1 2   Ta coù: 2n  1 2n  1 (2n  1)(2n  1) 1 1 1 1 1 1 1 2n n     .........    2n  1 2n  1 = 1 - 2n  1 2n  1 => A = 2n  1 Do đó: 2A = 1 3 3 5 1 1 1 1    .......  (3n  2)(3n  1) b) B = 1.4 4.7 7.10 n Keát quaû: B = 3n  1. *BAØI 34: Giaûi vaø bieän luaän phöông trình: m(x + 3) – 2(m + 1) = 3m – 4x  mx + 3m – 2m – 2 = 3m - 4x => (m + 4)x = 2(m + 1) Bieän luaän: 2(m  1) Neáu m + 4 ≠ 0  m ≠ -4 ta coù: x = m  4. - Nếu m + 4 = 0  m = -4 p.t trở thành: 0x = -6 VN - Không có giá trị nào của m để p.t có VSN. * BAØI 35: Cho A = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 – a4 – b4 – c4 a) Phân tích A thành nhân tử. b) CMR: Neáu a, b, c laø 3 caïnh cuûa tam giaùc thì A > 0. Giaûi 2 2 4 2 2 4 4 a) A = 4a b – (a + 2a b + b + c – 2b2c2 – 2a2c2 ) = (2ab)2 – (a2 + b2 – c2 )2 = (2ab + a2 + b2 – c2 )(2ab – a2 – b2 + c2 ) = [(a + b)2 – c2][-(a – b)2 + c2 ] = (a + b + c)(a + b – c)(c + a – b)(c – a + b) b) Neáu a, b, c laø caùc caïnh cuûa tam giaùc thì: a + b + c > 0 ; a + b – c > 0 ; c + a – b > 0 ; c – a + b > 0 => A > 0 * BAØI 36: Tính giá trị của đa thức: a) P(x) = x7 – 80x6 + 80x5 – 80x4 +……….+ 80x + 15 taïi x = 79 b) Q(x) = x14 -10x13 + 10x12 – 10x11 +………..+ 10x2 – 10x + 10 taïi x = 9 Giaûi 7 6 6 a) Ta coù: P(x) = x – 79x – x + 79x5 + x5 – 79x4 – x4 +………..+79x + x + 15 = x6(x – 79) – x5(x – 79) + x4(x – 79)- ………….. –x(x – 79) + x + 15 Thay x = 79 vaøo ta coù: P(79) = 94 b) Ta coù: Q(x) = x14 – 9x13 – x13 + 9x12 + x12 – 9x11 - ………….. + 9x2 + x2 – 9x – x + 10 = x13(x – 9) – x12(x – 9) + x11(x – 9) - …………. + x(x – 9) – x + 10 Thay x = 9 vaøo ta coù: Q(9) = 1  BAØI 37: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, trung tuyeán AM. Keû MD  AB ; ME  AC. a) CM : DE = AM. b) CM:  ADE ~  ABC. Giaûi.

<span class='text_page_counter'>(8)</span>   E a) Ta coù: AÂ = 900 (gt) ; D = 900 ( MD  AB) ; = 900 ( ME  AC)  Tứ giác ADME là HCN. => DE = AM (2 đường chéo HCN) A b) Ta coù MB = MC (gt) E D MD // AC (2 cạnh đối HCN)  D laø trung ñieåm cuûa AB. C B M CM tương tự ta có: E là trung điểm của AC. => DE là đường TB của  ABC => DE // BC =>  ADE ~  ABC * BAØI 38: Cho tam giác ABC có AB = AC = 9cm. Tia phân giác góc B cắt đường cao AH ở. AI 3  I. Bieát IH 2 . Tính chu vi tam giaùc ABC.. A. Giaûi  Ta coù: BI laø phaân giaùc B . Aùp dụng t/c đường phân giác trong  ABH ta có:. 9. 9. I. IA AB 3 9 3 B    IH BH 2 => BH 2 => BH = 6 cm Ta lại có:  ABC cân tại A có AH là đường cao nên cũng là trung tuyến.. H. C.  BC = 2BH = 2.6 = 12 cm Chu vi  ABC = 9 + 9 + 12 = 30 cm *BAØI 39:Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của phân thức sau cũng là số nguyên. 3 x 2  4 x  17 x2 A=. ÑKXÑ: x ≠ -2 3 Ta coù: A = (3x – 10) + x  2 3 A nguyeân  x  2 nguyeân  3  (x + 2)  x + 2  Ö (3). x+2= ±1;±3 * x + 2 = 1  x = -1 (TMÑK) * x + 2 = -1  x = -3 (TMÑK) * x + 2 = 3  x = 1 (TMÑK) * x + 2 = -3  x = -5 (TMÑK) Vậy với x  { -5 ; -3 ; -1 ; 1 } thì A có giá trị nguyên.. * BAØI 40:Cho x  0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Tìm x để A có GTNN. Giaûi 2001x 2  x 2  2 x  1 x2 Ta coù: A =. 2002 x 2  2 x  1 x2 A=. 2001x 2 ( x  1)2 ( x  1) 2  2 2 x2 = x = 2001 + x ( x  1) 2 2001 2 Neân: 2001 + x. Vì : (x – 1)2 ≥ 0 vaø x2 > 0  GTNN cuûa A laø 2001  x = 1  BAØI 41:Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a, tâm O. Kẻ đường thẳng d bất kì qua O, d không trùng với AC, BD. Kẻ AM, BN, CP, DQ lần lượt vuông góc với d..

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Tính AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 theo a. Giaûi Xeùt  vuoângAMO vaø  vuoâng ONB coù: OA = OB (t/c đường chéo hình vuông). d N. A. B. M.    MAO  NOB (cuøng phuï AOM ) =>  AMO =  ONB (CH-GN) => BN = OM CM tương tự ta có:  CPO =  OQD => CP = OQ. O P D. C. Q AM2 + BN2 + CP2 + DQ2 = (OA2 – OM2) + (OB2 – ON2) + (OC2 – OP2) + (OD2 – OQ2) = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2) – (OM2 + ON2 + OP2 + OQ2) = (OA2 + OB2 + OC2 + OD2 ) – [(BN2 + (OB2 – BN2) + (OC2 – CP2) + CP2 ] = OA2 + OB2 + OC2 + OD2 – OB2 – OC2 = OA2 + OD2 = AD2 = a2 * BAØI 42:Cho tam giác nhọn ABC, M là điểm thuộc miền trong của tam giác, các đường thẳng AM, BN, CM lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại Q, N , P.. MQ S MBC  a) CM: AQ S ABC . MQ MN MP   b) CMR: Toång AQ BN CP khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn. trong tam giaùc ABC. Giaûi a) Keû MH  BC ; AK  BC MH MQ   MH // AK =>  MHQ ~  AKQ => AK AQ 1 S MBC 2 .MH .BC MH   MQ S MBC 1 S ABC AK  . AK .BC AQ S ABC 2 Ta laïi coù: => MN S MAC MP S MAB   BN S CP S ABC ABC b) CM tương tự câu a ta có: ;. A N. P M B. Q H K. C. S MBC  S MAC  S MAB S ABC MQ MN MP S MBC S MAC S MAB      S ABC => AQ BN CP S ABC S ABC S ABC = = S ABC = 1 (haèng soá) MQ MN MP   Vaäy: toång AQ BN CP khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa ñieåm M thuoäc mieàn trong tam. giaùc ABC. x2  x 1 2 *BAØI 43: Cho x ≠ 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = x  2 x  1 x2  x 1.  x  1. Ta coù: B = 2. 2.  y  1   y  1  1 2  y  1  1  B= = 1 Ñaët: t = y. Ñaët: y = x + 1 => x = y – 1. y 2  2 y 1  y  1 1 y 2  y 1 1 1 1  2 2 2 y y y y = = 1 3 3 2 2 2 => B = 1 – t + t = t – t + 1 = (t - 2 ) + 4 ≥ 4.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> 3 1  GTNN cuûa B laø 4  t = 2 1 1 1  y 2 y=2 2  t= .  y=2 x+1=2x=1. 3 Vaäy GTNN cuûa B laø 4  x = 1. *BAØI 44:Cho tam giaùc ABC caân taïi A, O laø trung ñieåm cuûa BC. Laáy 2 ñieåm M , N treân 2 cạnh BA, CA thoả mãn: BM.BN = OB2 = OC2.CM: Ba tam giác MBO, OCN và MON đồng daïng. Giaûi A *Xeùt  MBO vaø  OCN coù:  C  B (gt) MB OB MB OC   OB CN => OB CN =>  MBO ~  OCN (c.g.c) (1) * Xeùt  OCN vaø  MON coù: OM OB  ON CN ( do  MBO ~  OCN)  O  O  1800 O. Ta laïi coù:. 1. 2. M 1. N 1. B. 2 O. 1 3 C. OM OC  => ON CN. 3.  O  C  1800 N 1 3. Vaø:. . . . . Maø : O1  N1 => O2 C =>  OCN ~  MON (c.g.c) (2) Từ (1) và (2) =>  MBO ~  OCN ~  MON  BAØI 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2) = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – yx2) + (yz2 – xz2) + (zx2 – zy2) = xy(y – x) + z2(y – x) –z(y2 – x2) = (y – x)[xy + z2 – z(y + x)] = (y – x)(xy + z2 – zy – zx) = (y – x)[x(y – z) – z(y – z)] = (y – x)(y – z)(x – z) 3 1 4  4  5 3 4 3 2 *BAØI 46: Cho biểu thức: A = x  x  x  1 x  x  x  1 x  x  x  x  x  1 4. 3. a) Ruùt goïn A. b) CM: A > 0 với mọi x. Giaûi a) Ta coù: x4 – x3 + x – 1 = x3(x – 1) + (x – 1) = (x – 1)(x3 + 1) x4 + x3 – x - 1 = x3(x + 1) – (x + 1) = (x + 1)(x3 – 1) x5 – x4 + x3 – x2 + x – 1 = (x5 – x2) – (x4 – x) + (x3 – 1) = x2(x3 – 1) – x(x3 – 1) + (x3 – 1) = (x3 – 1)(x2 – x + 1) 3.  A= =. . 1.  x  1  x3  1  x  1  x3  1. . 4  x3  1  x 2  x 1. 3 1 4    x  1  x  1  x 2  x  1  x  1  x  1  x 2  x  1  x  1 x 2  x  1 x 2  x  1. . .

<span class='text_page_counter'>(11)</span> MTC = (x – 1)(x + 1)(x2 – x + 1)(x2 + x + 1) 3( x 2  x  1)  ( x 2  x  1)  4( x  1) 2( x 2  1) 2( x 2  1) 2( x 2  1) 2 2 3 3 2 3 6 A = ( x  1)( x  1)( x  x  1)( x  x  1) = ( x  1)( x  1) = x  1 = ( x )  1 = 2( x 2  1) ( x 2  1)( x 4  x 2  1) 2 4 2 A = x  x 1 2 0 2 2  2 1 3 3  2 1 3 x    x     4 2 2  4 4 => A =  2 4 b) Ta coù: x + x + 1 =  với mọi x. BAØI 47: Cho biểu thức: a) Ruùt goïn B..  x2 6 1   10  x 2    : x  2   3    x  4 x 6  3x x  1   x2  B= . 1 b) Tính giaù trò cuûa B khi |x| = 2 .. c) Với giá trị nào của x thì B < 0. d) Với giá trị nào của x thì B = 2. Giaûi a) ÑKXÑ: x ≠ 0 ; x ≠ 2 ; x ≠ -2 1 1 b) |x| = 2 => x = ± 2. c) KQ: x > 2. 1 KQ: B = 2  x 2 2 KQ: B = 3 vaø B = 5 3 KQ: x = 2. *BAØI 48: Giaûi phöông trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 120  (x2 – 5x +4)(x2 – 5x + 6) = 120 Ñaët: t = x2 – 5x + 5 ta coù: (t – 1)(t + 1)- 120 = 0  t2 – 121 = 0  t = 11 vaø t = - 11 * t = 11  x2 – 5x + 5 = 11  (x – 6)(x + 1) = 0  x = 6 vaø x = -1 *t = - 11  x2 – 5x + 5 = -11  x2 – 5x + 16 = 0 5 39 2 Vì: x – 5x + 16 = (x - 2 ) + 4 ≥ 0 2. Neân: PTVN Vậy p.t đã cho có 2 nghiệm là x = 6 và x = - 1. *BAØI 49:Cho tam giaùc ABC. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC; N laø trung ñieåm cuûa AC. Caùc đường trung trực của BC và AC cắt nhau tại O; H là trực tâm; G là trọng tâm của tam giác ABC. CM: a)  ABH ~  MNO. A b)  AHG ~  MOG. c) Ba ñieåm H, G, O thaúng haøng. N Giaûi H G a) Xeùt  ABH vaø  MNO coù: AH // OM ; AB // MN O   => BAH OMN (1). Ta laïi coù:. ON // BH;. B.   AB // MN => ABH ONM. (2). M. C.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Từ (1) và (2) =>  ABH ~  MNO (g.g)   OMG HAG (SLT) (3) AH AB AG AH AG  2  OM MN ; GM = 2 => OM GM (4) Từ (3) và (4) =>  AHG ~  MOG (c.g.c) AGH OGM   . b) Xeùt  AHG vaø  MOG coù:. c) Ta coù: AHG ~ MOG => Maø: A, G, M thaúng haøng (G laø troïng taâm) => H, G, O thaúng haøng.  BAØI 50:Cho hình thang cân ABCD (AB = CD và AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung ñieåm cuûa AB, BC, CD, DA.  a) CM: MP laø phaân giaùc cuûa QMN . . b) Hình thang cân ABCD phải có thêm điều kiện gì đối với đường chéo để MNQ = 450. c) CMR: Nếu có thêm điều kiện đó thì hình thang cân có đường cao bằng đường trung bình cuûa noù. M A B Giaûi a) Ta coù: MA = MB (gt) ; NB = NC (gt) Q N  MN là đường TB  ABC 1  MN // AC vaø MN = 2 AC (1). D. H. P. 1 CM tương tự ta có: QP // AC vaø QP = 2 AC (2) => MNPQ laø HBH (*) 1 Ta laïi coù: QM = 2 BD (QM là đường TB  ABD). Mà: AC = BD (2 đường chéo HT cân) => QM = MN (**) Từ (*) và (**) => MNPQ là hình thoi.   MP laø phaân giaùc QMN . 0  0  b) MNQ 45  MNP 90  MN  NP => AC  BD. . 0. b) Từ MNQ 45  AC  BD  MNPQ là hình vuông Maø: MP = AH => AH = QN.  MP = QN.  BAØI 51:Giải và biện luận phương trình sau (với a là tham số): a(ax + 1) = x(a + 2) + 2 2  a x + a = ax + 2x + 2 x(a2 – a – 2) = 2 – a x(a + 1)(a – 2) = 2 – a 2 a  x = (a  1)(a  2). * Neáu (a + 1)(a – 2) ≠ 0 => a + 1 ≠ 0 vaø a – 2 ≠ 0 2 a 1  PT coù 1 nghieäm laø x = ( a  1)(a  2) a 1.  Neáu (a + 1)(a – 2) = 0  a + 1 = 0 hoặc a – 2 = 0 => a = -1 hoặc a = 2 + Nếu a = -1 p.t trở thành: 0x = 3 (VN). => a ≠ -1 vaø a ≠ 2. C.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> +Nếu a = 2 p.t trở thành: 0x = 0 (VSN) 1 KL: -Neáu a ≠ -1 vaø a ≠ 2 thì p.t coù 1 nghieäm x = a  1. -. Neáu a = - 1 thì p.t VN Neáu a = 2 thì p.t coù VSN.

<span class='text_page_counter'>(14)</span>