De HSG Toan 820162017 87

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS NAM ĐÀ §Ò thi th«ng tin chän häc sinh giái líp 8 n¨m häc 2008 – 2009. Họ tªn : ........................................... Líp :…….... M«n: To¸n. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề). C©u 1 ( 2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh : x(x+2)(x2+2x+5) = 6 C©u 2 : ( 4,0 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 víi x = 30 b) Cho a - b = 4 tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc B = a3 – 12ab - b3 C©u 3 : ( 2,0 ®iÓm) 2a 3  7a 2  12a  45 3 2 Rót gän ph©n thøc : 3a  19a  33a  9. C©u 4 : ( 3,5 ®iÓm) Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h . Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB . C©u 5 : ( 2,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng : . a 2  b2 4 với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b .. a) S C©u 6 :( 6,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c IKP c©n t¹i A cã KP = 4 cm , M lµ trung ®iÓm cña KP lÊy D, E thø tù thuéc c¸c c¹nh ˆ Kˆ . IK , IP sao cho DME a) Chứng minh rằng tích KD . PE không đổi . b) Chøng minh r»ng DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc KDE . c) Tính chu vi  IED nếu  IKP là tam giác đều . ------------- ------------( Gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm ). Hä vµ tªn thÝ sinh :.............................................. Sè b¸o danh ....................... Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 1 …………………… Ch÷ kÝ gi¸m thÞ 2 ………………………. híng dÉn chÊm thi m«n to¸n kú thi th«ng tin chän häc sinh giái líp 8 THCS n¨m häc 2008-2009. C©u 1 (4,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i a) Ta cã A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25 = x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) +. §iÓm 1,00.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 7 Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7 . b) Víi x+y = 1 ta cã : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy = x2 +2xy +y2 = ( x+y )2 = 1. 1,00 1,00 1,00. C©u 2 (4,0 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i (2 x 3  5 x 2 )  (12 x 2  30 x)  (18 x  45) 2 x 3  7 x 2  12 x  45 3 2 2 3 2 a) ta cã 3x  19 x  33x  9 = (3x  x )  (18 x  6 x)  (27 x  9) = x 2 (2 x  5)  6 x(2 x  5)  9(2 x  5) (2 x  5)( x 2  6 x  9) (2 x  5)( x  3)2 2 2 2 = x (3x  1)  6 x(3x  1)  9(3x  1) = (3x  1)( x  6 x  9) = (3x  1)( x  3). §iÓm. 1,00 0,50 0.50. 2x  5 = 3x  1. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh : (x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1) Đặt t = x2-x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt : t ( t+1 ) = 12  t2 + t – 12 = 0  ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0  t( t - 3) + 4(t – 3) = 0  (t - 3) (t+ 4) = 0  t = 3 hoặc t = - 4 - Víi t = 3 => x2-x+1 = 3  x2-x-2 = 0  x2-2x + x -2 = 0  x(x-2) + (x -2 ) = 0  (x-2) (x +1 ) = 0  x = 2 hoặc x = - 1 1 19 - Víi t = - 4 => x2-x+1 = - 4  x2-x + 5 = 0  ( x- 2 ) 2 + 4 = 0 ph¬ng tr×nh nµy 1 19 v« nghiÖm v× ( x- 2 ) 2 + 4 > 0 víi mäi x .. 0.50 0.75 0.25 0.25 0.25. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ : x = 2 , x = -1. C©u 3 : ( 4,5 ®iÓm ) Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 ). Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10 ( km/h ) Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x – 6 (km/h ) 30 Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x  10 (h) 30 Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x  6 (h) 60 Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là : x (h) 30 30 60 Ta cã ph¬ng tr×nh : x  10 + x  6 = x  x ( x  6) x( x  10) 2( x  10)( x  6) x ( x  10)( x  6) + x( x  10)( x  6) = x ( x  10)( x  6). 0.50 1.00. 0.75 0.75 0.50. 0.50 0.50.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> => x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120  x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120  4x = 120  x = 30 ( km/h ) 60 Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là : 30 = 2 ( giờ ) C©u 4 (3,5 ®iÓm) Tãm t¾t lêi gi¶i. §iÓm. HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng A D. 0.5 H. I. B. E K. M. C. ˆ DME ˆ  CME ˆ ˆ Bˆ  BDM ˆ ˆ Bˆ nªn a) Ta cã DMC , mÆt kh¸c DMC , mµ DME ˆ BDM ˆ CME . Do đó  BDM và  CME đồng dạng ( gg ) . BD BM  => CM CE => BD . CE = CM . BM = a . a = a2. Vậy tích BD . CE luôn không đổi .. DM BD  b)  BDM và  CME đồng dạng còn suy ra : ME CM. DM BD  => ME BM. ( v× CM = BM ) ˆ BDM ˆ hay DM lµ tia ph©n gi¸c cña Do đó  DME và  DBM đồng dạng => MDE gãc BDE . c) Tõ c©u b suy ra DM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BDE , EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED . Kẻ MH  DE , MI  AB , MK  AC . Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu vi  AED b»ng AI + AK = 2AK .. 0.50 0.50. 0.50 0.50. 0.50. 0.50. MC a  2 , AC = 2a nªn AK = 1,5a . Ta l¹i cã CK = 2. VËy chu vi tam gi¸c ADE b»ng 3a .. Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng 0.50.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> B A. a. 0.50 0.50 h. d. 0.50. b D. 0.50 0.50. c C. 1 a) Gäi h lµ chiÒu cao t¬ng øng víi c¹nh a , ta cã S = 2 ah . => 4S = 2ah  2ab  a2 + b2 . a 2  b2  4 VËy S . DÊu b»ng x¶y ra  h = b , a = b   ABC vu«ng c©n. a 2  b2 c2  d 2  4 4 b) Theo c©u a ta cã : SABC ; SADC 2 2 2 2 a b c d a 2  b2  c 2  d 2    4 4 4 Mµ S = SABC + SADC => S => S . DÊu b»ng x¶y ra   ABC vu«ng c©n ë B ,  ACD vu«ng c©n ë D .  ABCD lµ h×nh vu«ng .. Lu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng đợc điểm tối đa. 0.50 0.50.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>