De HSG Toan 820162017 97

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN LỚP 8 (Thời gian làm bài: 150 phút). Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a)3 x 2  5 x  2 b) x 2  10 xy  9 y 2 3 Câu 2: a) Tìm các hằng số a và b sao cho x  ax  b chia cho x  1 thì dư 7, chia cho x  3 thì dư  5 .. n3  2n 4 2 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì phân số: n  3n  1 là phân số tối giản. Câu 3: Cho ax  by  cz 0 . Rút gọn biểu thức:. A. bc ( y  z ) 2  ca( z  x )2  ab( x  y ) 2 ax 2  by 2  cz 2 x. 2. Câu 4: a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2  1  y . 2 b) Giải phương trình: 2 x(8 x  1) (4 x  1) 9 . Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Các điểm M, N thuộc các cạnh AD, BC sao AM CN  cho MD NB . Gọi các giao điểm của MN với BD, AC theo thứ tự là E, F. Qua M kẻ. đường thẳng song song với AC, cắt DC ở H. Gọi O là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh rằng: HN // BD. b) Gọi I là giao điểm của HO và MN. Chứng minh rằng: IE = IF, ME = NF. 1 1 1   x y z . Hỏi Câu 6: a) Cho x, y, z là ba số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thoả mãn x  y có là số chính phương không ? Vì sao ?. b) Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: z 60; x  y  z 100 . Tìm giá trị lớn nhất của A  xyz .. Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> phòng giáo dục - đào tạo vÜnh têng. Câu 1 (2đ). 2 (2đ). híng dÉn chÊm giao lu hSG líp 8. n¨m häc 2010-2011 M«n: to¸n. Nội dung trình bày 2. 2. a) (1đ). 3 x  5 x  2 3 x  6 x  x  2  x  2   3 x  1. b) (1đ). x 2  10 xy  9 y 2  x 2  xy  9 xy  9 y 2  x  y   x  9 y . 3 a) (1đ) Ta có: x  ax  b  x  1 P  x   7  x  3 Q  x   5 Thay x = -1 và x = 3 vào đẳng thức trên ta được:. a  b  8;3a  b  32  a  10; b  2. Điểm 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ. b) (1đ) Gọi d  n 3  2n, n 4  3n 2  1  n3  2n d   4  2  n  3n  1d.  n 4  2n 2 d  n 2  1d  4 2 n  3n  1d. 0,5đ. 2.   n 2  1   n 4  2n 2  d  1d  d 1 n 3  2n 4 2 Vậy phân số n  3n  1 tối giản với mọi số nguyên n.. 3 (1đ). 0,5đ. Ta có: ax  by  cz 0  a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2  2(bcyz  acxz  abxy ) 0(1). Ta lại có: B bc( y  z ) 2  ca ( z  x) 2  ab( x  y) 2 bcy 2  bcz 2  caz 2  acx 2  abx 2  aby 2  2(bcyz  acxz  abxy ) 0(2). 0,5đ. Từ (1) và (2) suy ra B ax 2  b  c   by 2  a  c   cz 2  a  b   a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 (a 2 x 2  b 2 y 2  c 2 z 2 )  a  b  c  bc( y  z )2  ca( z  x ) 2  ab( x  y )2 A a  b  c ax 2  by 2  cz 2 Do đó. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4 (2đ). a) (1đ) Ta có: 0,5đ. 2 x  1  y 2  2 x  y  1  y  1  y  1 2m   (m  n)  2m  2n 2n  2m  n  1 2 n y  1  2   n 1  x 3      m 2  y 3. 0,5đ. 0,5đ. 2 2 b) (1đ) 2 x(8 x  1) (4 x  1) 9  8 x(8 x  1) (8 x  2) 72 Đặt 8x – 1 = y ta có:.  y  1 y 2  y  1 72 . y 2 9. 1   x 2  y 3    x  1  4. 5 (2đ). 0,5đ. B. A O E. I. M G D. K. N. F Q. H. C. DH DM BN    HN / / BD a) (1đ) Theo định lí Ta-let ta có: HC MA NC (theo. 0,5đ. định lí Ta-let đảo). 0,5đ. b)(1đ) Gọi G là giao điểm của HM và BD, Q là giao điểm của HN và. 0,5đ. MG AO BO NQ     GQ / / MN GH OC OD QH AC. Ta có:. Gọi K là giao điểm của HO và GQ. Do OGHQ là hình bình hành nên GK = KQ.. 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Do đó: IE = IF, IM = IN, ME = NF. 6 (1đ) a)( 0,5đ) Ta có: 1 1 1    z  x  y  xy   x  z   y  z  z 2 x y z d  x  z , y  z   z d  x d  y d  d 1. 0,25đ. Gọi Do đó x – z và y – z đều là số chính phương. Đặt  x  z k 2 2 (k , m  N )  z 2  km   z km  2  y  z m.  x  y  x  z    y  z   2 z k 2  m 2  2km  k  m . 2. 0,25đ. Vậy x + y là số chính phương. b) (0,5đ) Ta có. z 60; x  y  z 100  y  60.   60  y   60  z  0  3600  60  y  z   yz 0  yz 60  y  z  60   A xyz 60 x  y  z  60 .  x  y  z  60  60 4. 2. 15.402 24000. 0,25đ. (áp dụng bất đẳng thức Côsi) z 60   x x  y  z  60  z 60     x  y 20  x  y  z 100  x, y 0 Dấu “=” xảy ra khi  z 60  Vậy Max A = 24000  x  y 20. Trần mạnh Cường GV : THCS Kim Xá –VT- Vĩnh Phúc. 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>