De HSG Hay20162017 111

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán Thời gian: 14/02/2012 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề). ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ BÀI: (Đề thi này có 01 trang) ( x  y)2  x  y x x y y .   x y x x  y y  x  y  Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức A=. a/ Rút gọn biểu thức A. b/ So sánh A và A Bài 2: (2 điểm) a/ Phân tích đa thức thành nhân tử: 24x3 - 26x2 + 9x - 1 4x 2 y 2 x 2 y2   2 3 2 2 2 2 (x  y ) y x b/ Chứng minh rằng: với x, y  0 m  1  x  1  y  2 2    2  3m 1  y  2 x  1. Bài 3: (2 điểm) Cho hệ phương trình: a/ Giải hệ phương trình với m = 1 b/ Tìm m để hệ đã cho có nghiệm.. Bài 4: (2 điểm) Cho tam giác ABC có A = 900, đường cao AH. Gọi D, E lần lượt theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh các hệ thức: AB 2 HB  2 HC a/ AC. b/ DE3 = BD.CE.BC Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a . Trên hai cạnh AB và AD lần lượt lấy hai điểm di động E, F sao cho : AE + EF + FA = 2a. a/ Chứng tỏ rằng đường thẳng EF luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định . b/ Tìm vị trí của E, F sao cho diện tích  CEF lớn nhất. ....................Hết ..................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> UBND HUYỆN NGỌC HỒI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO. HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán. (Bản hướng dẫn gồm 03 trang) Bài 1 1a. Nội dung. 4.0 0,25. Điều kiện để A có nghĩa là x 0, y  0 ; x y A. A A.  1b. Điểm.  . xy  y  . ( x  y )2. . . x  y x. . x. . y. . x. x y y. (. y)(x  xy  y)  ( x  y)( x  y)   x. x y x.  x  xy  y  . x  y   xy  y  x  y . 0,5.  ( x  y) 2  (x  xy  y)  .  xy  y  x y . 0,5. x y x. xy x. 0,25. xy  y. 2 Vì x  0; y và xy nên ( x  y) >0.  x. Do đó : 0 A = x  xy  y. . xy xy. 1.. hay 0  A<1. Ta có : A - A  A ( A  1) 0 Vậy A  A Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A=0  x=0 hoặc y = 0. 2b. 0,5. xy  y  xy 0 xy. 2 2a. 0,5. 24x3-26x2+9x-1 = 24x3 - 12x2 -14x2 + 7x + 2x - 1 = 12x2(2x-1) - 7x(2x-1) + (2x-1) = (2x - 1)(12x2 - 7x + 1) = (2x - 1)(12x2 - 4x - 3x + 1) = (2x - 1)[4x(3x - 1) - (3x - 1)] = (2x - 1)(3x - 1)(4x - 1) 4x 2 y 2 x 2 y2   2 2 2 2 2 (x  y ) y x Đặt A = Sử dụng (a - b)2 0  a2 + b2  2ab. 0,5 0,5 0,5 4,0 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5. 2.  2xy  x2 2xy x 4x 2   2. .   2 2  2 x 2  y2 y x 2  y2 C/m  x  y  y. 0,5. 2.  2xy  y2 4y 2 x2 y2   ;  2  2  2 2 2 2 y2 x 2 Tương tự  x  y  x x  y 4(x 2  y 2 )  2  2 6 x  y2  A 3 Ta có: 2.A 3. Vậy BĐT được C/m, xảy ra dấu bằng "=" khi x = y .. 0,5 0,5 4,0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3a. Điều kiện:.  x 1   y 2. Đặt:. Ta có hệ phương trình:. 1   u  x  1  v  1  y 2. Điều kiện.  u  mv 2(1)  2v  3mu 1(2).  u 0   v 0. 0,5. 0,5. Với m = 1 ta có  u  v 2    2v  3u 1. 3   u 5   v 7  5. 3  1  x  1  5     1 7  y  2 5. 3b. 0,5. 8   x  3   y 19 7 . 8   x 3   y 19 7 Vậy với m = 1, hệ phương trình có nghiệm là  Từ (1)  u 2  mv . Thế vào (2) ta có:. 0,5. 2v  6m  3m 2 v 1  (3m 2  2)v 1  6m 1  6m  v 2 , m  R 3m  2 1  6m 4 m  u 2  m( 2 ) 2 3m  2 3m  2. Để hệ có nghiệm thì u 0    v 0.  4  m 0   1  6m 0.  m 4  1   m  6.  m 4  1  m  6 Vậy với thì hệ phương trình có nghiệm 4 4a. 1,0. 0,5. 0,5 4,0. A E D. B. H. C. Ta có: AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC. 0,5 0,5 0,5. AB 2 HB  2 HC  AC 4b. Ta có: AH2 = HB.HC  AH4 = HB2.HC2. 0,5. (1).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Trong tam giác vuông AHB có HB2 = BD.AB Trong tam giác vuông AHC có HC2 = EC.AC Thay HB2, HC2 vào (1) ta được AH4 = BD.AB.EC.AC = BD.EC.BC.AH  AH3 = BD.EC.BC Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên các đường chéo AH = DE Suy ra DE3 = BD.EC.BC 5 5a. 0,5. 0,75 0,75 4,0. E. A. B. K. H. F. D. 5b. C. Trên tia đối của BA lấy K sao cho BK = DF , Vẽ CH  EF , H  EF .  DFC =  BKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )  CF = CK . Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK = EK. Do đó  CEF =  CEK ( c.c.c) Suy ra các đường cao CH và CB bằng nhau và bằng a CH không đổi , C cố định , CH  EF  EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định ( C, a).  HCF =  DCF ( H = D = 900 ; CF chung; CH = CD = a )  SHCF = SDCF . Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE do đó SHCF + SHCE = SDCF + SBCE 1 1  SCEF = 2 SCDFEB  SCEF = 2 ( a2 – SAEF ) 1 SAEF  0  SCEF  2 a2. Dấu “ =” xảy ra  SAEF = 0  E  B , F  A hoặc E  A , F  D . Vậy E  B , F  A hoặc E  A , F  D thì SCEF đạt giá trị lớn nhất . Chú ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa phần đó.. 0,5 0,5 0,5. 0,5. 0,5. 0,5. 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>

<span class='text_page_counter'>(6)</span>

<span class='text_page_counter'>(7)</span>