De HSG Toan 820162017 63

<span class='text_page_counter'>(1)</span>NGHI NHỚ 3.I- Bình phương của một tổng: a(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2a Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng: a) (2x + 3)2 b) (3xy + 5y2)2 c) [2x + (-3)]2 = (…)2+ 2.2x.3+ …2 = … + …… + … = … + …… + … = … = … = …. 3.II- Bình phương của một hiệu: a(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2a Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng: a) (2x – 3)2 b) (xy2 – 3y)2 = (….)2 – 2.2x.3 + ….2 = … = … = …. 3.III- Hiệu của hai bình phương: aA2 – B2 = (A + B)(A – B)a Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng: a) (2x + 4)(2x – 4) = (….)2 – ….2 = … b) (3x + y)(3x – y) =… =…. 1 2 y3)(. c) (x2y – = …. – …. = ….  Áp dụng: Ví dụ 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức: a) (x + 1)2 + 3(x – 5)(x + 5) – (2x – 1)2 b) (3x + 1)2 – 2(3x + 1)(3x + 5) + (3x + 5)2. c) (3x – 2y)2 – (3x + 2y)2 tại. 1 1 x  ;y  6 2. x2y +. 1 2 y3).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ví dụ 2: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: (x – 2)2 – (x – 3)(x – 1) Ví dụ 3: Tìm x biết: 5(2x – 3)2 – 5(x + 1)2 – 15(x + 4)(x – 4) = -10 Ví dụ 4: Áp dụng hằng đẳng thức để tính nhẩm: a) 152 b) 252 c) 49.51. 3.IV- Lập phương của một tổng: a(A + B)3 = A3 + 3.A2.B + 3.A.B2 + B3a Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng: a) (3x + 2)3 b) (x + = (….)3 + 3.(3x)2.2 + 3.3x.22 + …. = … = … = …. 1 2 y)3. 3.V- Lập phương của một hiệu: a(A – B)3 = A3– 3.A2.B + 3.A.B2 – B3a Ví dụ: Viết biểu thức sau dưới dạng tổng: a) (2x – 3)3 = …. = ….. 1 (2x. b) – 3y2)3 = … = … = …. 3.VI- Tổng của hai lập phương: aA3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2)a Ví dụ: a) Tính: (6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2) (6x + 2y)(36x2 – 12xy + 4y2) = (6x + 2y)[(….)2 – 6x.2y + (….)2] = (….)3 + (….)3.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> = …. b) Biến đổi đa thức x3 + 23 thành tích của hai đa thức: x3 + 23 = (x + 2)(x2 – x.2 + 22) = (x + 2)(x2 – 2x + 4). 3.VII- Hiệu của hai lập phương: A 3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2)a Ví dụ: a) Tính giá trị của: A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) với x = 2; y=3 A = (2x – y)(4x2 + 2xy + y2) = …. = …. = …. Khi x = 2; y = 3 thì A = …. A = …. b) Biến đổi đa thức 8x3 – 27 thành tích của hai đa thức: 8x3 – 27 = (….)3 – ….3 = …. = …. 7 HẰNG ĐẲNG THỨC ĐANG NHỚ 1. Bình phương của một tổng:(A + B)2 = A2 + 2.A.B + B2 2. Bình phương của một hiệu:(A – B)2 = A2 – 2.A.B + B2 3. Hiệu hai bình phương: A2 – B2 = (A + B)(A – B) 4. Lập phương của một tổng:(A+ B)3 = A3+ 3A2B + 3AB2 + B3 5. Lập phương của một hiệu:(A – B)3 = A3– 3A2B + 3AB2 – B3 6. Tổng hai lập phương: A3+ B3 = (A + B)(A2 – A.B + B2) 7. Hiệu hai lập phương: A3 – B3 = (A – B)(A2 + A.B + B2). 3.VIII- Bài tập tự luyện: Phần I.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (nhằm nắm vững hằng đẳng thức) Bài 1: Sử dụng các cặp biểu thức sau để viết 7 hằng đẳng thức đáng nhớ: 1 y 3 3) 3x và. 1) 2x và 5 2) 3 và – 4x Bài 2: Tính: 1) (x + 1)2 2) (2x + 5)2 3) (3x + 4). 8) (2x2 – 3xy3)2 9)(0,2x – 2y)2. 2 2 1 2  x y y  2 4  2y) 10)  3. 4  3  x+ y 3  2. 4) (x + 1) và (x – 1). 2 3 2 3 1  1 x  y  y + x  2 5 2   5 15) . 16) (x + 2)3 1  x +   3   17). 2. 3. 3. 11) (x + 3)(x – 3). 1   3x  y  3   18). 12) (2x – 3y)(2x+3y). 19) (4x2 – 5y3)3. 13) (5y+4x)(4x – 5y).  3 1 2  5x  y  5  20) . 2. 2. 5).  2 1  2x +  2 . 6). 1  x  3 y   2 . 2.  4 2 3  x   2 3. 2. 3. 1  1  x + 3 y    x  3y   2  14)  2. 7) Bài 3: Điền vào chổ trống để được các hằng đẳng thức: 1) x2 + 4x + … = (… + 2)2 7) x2 – … =(… + 1)(… – …) 2) … + 4x + 1 = (2x + …)2 8) … –… = (… + 3)( x – …) 3) 16x2 + … + 9y2 = (… + 3y)2 9) 16x2–… =(… – 5y)(…+…) 1  ... +   2 3   4) x + … + … =. 2. 10)… – …=(3+… )(2x – …) 5) x – 8xy + … = ( … – … ) 11)…–16y6= (…–…)(3x2+…) 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 10 3 xy2. 1   x ... ...  3 . 2. 6) … – + …= 12) x3+ … + … + 1 = ( x ... 1 )… 13) … … … + 27 = (x + …)316) x3– …=(x – 2)(…+ …+ …) 14) 8x3– …+ 6x – …= (… – 1)317)…+27=(2x+…)(… …+…)   ... 3 15) x –… + … – … = . 3. 1  3  18)64x6+…=(... ...)(…–…+9y2). Bài 4: Viết các đa thức sau thành dạng tích: 1) x2 – 4 7) x3 – 8 13) x2 + 2xy + y2 1 27. 2) x2 – y2 3) 25x2 – 9y2 4) 9x4 – 16y6 5) – 9x2 + 16y4. 8) 64x3 – 9) – 27y3 + x3 10) x2 + 4x + 4 11) x2 – 6x + 9. 14) x2 – 6xy + 9y2 15) x3 + 3x2 + 3x +1 16) 8x3 – 12x2 + 6x – 1 17) – 4x2 – 4x – 1. 25 4 6) 9 x2 – 16 y2. 9 12) x2 – 10x + 25 18) – 4x2 + 6xy – 4 y2. Phần II Các dạng bài tập có sử dụng hằng đẳng thức A – BÀI TẬP CƠ BẢN: Dạng 1: Tính nhanh 1) 1012 2) 1992. 3) 47.53 5) (31,8)2 – 2 . 31,8 . 21,8 + (21,8)2 4) 29,9 . 30,1 6) 342 + 68.66 + 662 7) 742 + 242 – 48.74. Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức 1) Tính giá trị các biểu thức sau: a) x2 + 4x + 4 với x = 98 b) x3 + 3x2 + 3x + 1 với x = 99 c) (x – 10)2 – x(x + 80) với x = 0,98 2) Rút gọn: a) (x + y)2 + (x – y)2 b) (a + b)2 – (a – b)2 c) (x + y)2 + 2(x + y)(x – y) + (x – y)2.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> d) (2x + 5)2 – 2(2x + 5)(2x – 5) + (2x – 5)2 e) (2x + 1)2 + 2(4x2 – 1) + (2x – 1)2 f) (x + y+ z)2 – 2(x + y+ z)(x+ y) + (x+ y)2 h) (a + b)3 – (a – b)3 – 2b3 g) (x + 3)(x2 – 3x + 9) – (54 + x3). Dạng 3: Tìm x biết 1) (x – 5)2 – x(x – 6) = 5 4) (x + 6)(x – 6) – x(x – 4) = 4 2 2) (x – 7) – x(x – 9) = 14 5) (x + 3)2 – (x – 2)(x+ 2) = – 5 3) (x – 5)(x + 5) – x(x – 10) = 5 6) (x – 3)2 – x(x – 2) = – 5 Dạng 4: Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến: 1) (x + 1)(x2 – x + 1) – (x – 1)(x2 + x + 1) 2) (2x – 1)2 – 2(2x – 1)(2x + 1) + (2x + 1)2 3) (2x + 3)(4x2 – 6x + 9) – 2(4x3 – 1) 4) (x – 2)2 – (x – 3)(x + 3) + 2(2x – 3) 5) (x + y)(x2 – xy + y2) + (x – y)(x2 + xy + y2) – 2x3 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức 1) (a + b)2 – 2ab = a2 + b2 5)(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad– bc)2 2) (a + b)2 – (a – b)2 = 4ab 6) (a – b)2 = (b – a)2 3) (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) 7) (– a – b)2 = (a + b)2 4) (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Lưu ý: (a – b)2 = (b – a)2 Tổng quát: (a – b)n = (b – a)n với n là số mũ chẵn (a – b)3 = – (b – a)3 Tổng quát: (a – b)n = – (b – a)n với n là số mũ lẻ B – BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức 1) Rút gọn: a) (x2 – 2x + 2)(x2 – 2)(x2 + 2x + 2)(x2 + 2) b) (x + 1)2 – (x – 1)2 + 3x3 – 3x(x + 1)(x – 1).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> c) (2x – 5)(4x2 + 10x + 25)(2x + 5)(4x2 – 10x + 25) – 64x6 2) Cho x – y = 7. Tính giá trị các biểu thức sau: A = x(x+ 2)+ y(y – 2) – 2xy B=x3– 3xy(x – y) – y3– x2+2xy– y2 3) Cho x + 2y = 5. Tính giá trị biểu thức sau: C = x2 + 4y2 – 2x + 10 + 4xy – 4y 4) Cho a + b = 5 và ab = 6. không tính a, b hãy tính: a) a2 + b2 b) a3 + b3 c) a4 + b4 d) a5 + b5 5) Cho x + y = 3 và x2+ y2= 4. Tính giá trị của biểu thức x3+ y3 6) Cho x – y = 3 và x2+ y2=15. Tính giá trị của biểu thức x3+y3 7) a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 1. Tính giá trị của biểu thức: M = a4 + b4 + c4. Dạng 3: Tìm x biết 1) (2x – 1)2 + (x + 3)2 – 5(x + 7)(x – 7) = 0 2) (x + 2)2 – x2 + 4 = 0 3) x(x – 5)(x + 5) – (x – 2)(x2 + 2x + 4) = 3 4) x2 – 81 = 0 5) 25x2 – 2 = 0 6) (x + 2)2 – 9 = 0 7) (x + 2)2 = (2x – 1)2 8) (x2– 2)2 + 4(x –1)2 – 4(x2– 2)(x –1) = 0 Dạng 5: Chứng minh đẳng thức 1) Chứng minh đẳng thức: a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 b) (a+b+c)2+(b+c – a)2+ (c+a – b)2+ (a+b – c)2 = 4(a2 + b2 + c2) 2) Cho x2– y2– z2= 0. cmr:(5x – 3y+4z)(5x - 3y- 4z)=(3x – 5y)2 3) Cho a2– b2= 4c2. cmr:(5a – 3b+8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2 4) Cho a + b + c = 2p. cmr: 2bc + b2 + c2 – a2 = 4p(p – a) 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 =2 + + =2 2 a b c a b c 5) Cho a + b + c = abc và . cmr:.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Dạng 6: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = x2 – 2x + 1 h) H = x2 – 2x + y2 – 4y + 7 b) B = x2 + x + 1 i) I = x2 – 4x + y2 – 8y + 6 c) C = 4x2 + 4x + 11 j) J = (2x – 1)2 + (x + 2)2 d) D = 2x2 – 8x + 1 k) K = 2x2 + y2 – 2xy – 2x + 3 e) E = 2x2 + 3x + 1 l) L = 2x2+ 2y2 + 2xy + 2y – 2x + 2008 f) F = x2 – 3x + 5 m) M = x2 – xy + y2 – 2x – 2y g) G=(x – 3)(x+5)+4 n) N = x2 + xy + y2 – 3x – 3y 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 2x – x2 + 4 d) D = 4x – x2 – 1 b) B = – x2 – 4x e) E = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y c) C = – 9x2 + 24x – 18 3) Cho M = ax2 + bx + c a) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu a > 0. b) Tìm giá trị lớn nhất của M nếu a < 0. 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a) A = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) b) B = x(x – 3)(x – 4)(x – 7) c) C = (x2 + x + 1)2 5) Tìm giá trị nhỏ nhất(nếu có) và giá trị lớn nhất(nếu có) của các biểu thức sau: A. 3 1 1 2 B  C  D  4x 2  4 x  5 2x  x 2  4 3x 2  12 x  7 6x  5  9 x 2. Dạng 7: Phương pháp tổng bình phương 1) Chứng minh rằng: a) Nếu a2 + b2 + c2 + 3 = 2(a + b + c) thì a = b = c = 1 b) Nếu a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca thì a = b = c c) Nếu (a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca) thì a = b = c 2) Tìm a, b, c thỏa đẳng thức: a2– 2a+b2+ 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Dạng 8: Áp dụng vào số học 1)Tìm số dư của n2 khi chia cho 5, biết n chia 5 dư 2. 2)Tìm số dư của n2 khi chia cho 3, biết n không chia hết cho 3. 3) Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 1, số tự nhiên b chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng tổng các bình phương của hai số a và b chia hết cho 5. 4) Chứng minh: tổng các lập phương của 3 số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 9. Dạng 9: Chứng minh bất đẳng thức thỏa mãn với mọi biến số Chứng minh rằng với mọi x, y: 1) x2 + x + 1 > 0 4) x2 + xy + y2 + 1 > 0 2) – 4x2 – 4x – 2 < 0 5) x2+ 5y2+ 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 3) x2+ 4xy + 4y2+ 5 > 0 6) 5x2+ 10y2– 6xy – 4x – 2y + 3 > 0.

<span class='text_page_counter'>(10)</span>