De HSG Toan 920162017 164

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHẦN HÌNH HỌC I. Tam giác : ( LỚP 7 ): Vấn đề 1 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nữa cạnh huyền . Bài 1 : Tính số đo góc của ABC biết rằng đường cao AH ,trung tuyến AM chia góc ABC thành ba góc bằng nhau . Gợi ý : + Kẻ MK  AC  300  B  600 , A 900 C. + Bài 2 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Về phía ngoài của tam giác ABC ta vẽ các tam giác đều ABE và ACF . H là trực tâm của tam giác ABE , N là trung điểm BC . Tính các góc của tam giác FNH . Gợi ý : + Trên tia đối của NH lấy điểm K sao cho NH = NK + NBH NCK  CK BH HA 0    0 0 0   Chú ý : FAH 60  30  A  180 , C3 HBN B  30.    C  360   90  B .   C  C  FCK 3600  C 3 2 1 0. 0. 2.  900  A FAH. AHF ? CKF để ý : AFC 600. Vấn đề 2 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân . . 0. . 0. Bài 3 : Cho tam giác ABC có B 45 , C 120 . Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho CD = 2CB .Tính số đo góc ADB . Gợi ý : + kẻ DH  AC . + cm : HAD vuông cân .  Bài 4 : Cho tam giác ABC có góc BAC tù , đường cao AH , đường phân giác BD sao cho AHD 450 . Tính số đo góc ADB . Gợi ý : + Kẻ BK  AC , ABH có BD là phân giác trong , HD là đường phân giác. ngoài   nên AD là phân giác góc A ( A1  A2 ) A KBD     B 1 + A1 KBH ( 1.  B   1 , A2 D  2 ) 1 2.     + Vì A1  A2 và giả thiết B1 B2  KBD ?. Vấn đề 3 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác đều ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 0  Bài 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A và B 75 . Trên tia đối của AB lấy điểm H sao cho. . BH = 2AC . Tính số đo góc BHC . Gợi ý bài 5 : + Trên nữa mp bờ BC chứa đỉnh A vẽ tam giác đều EBC thì E ở miền trong của tam giác HBC + Lấy K là trung điểm BH .Chứng minh : ABC KEB ( c.g.c )  EBH cân EHC EHB c.g.c.   . + Chứng minh : Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân ở đỉnh A . Điểm E nằm trong tam giác sao cho   EAC ECA 150 . Tính số đo góc AEB . 0   Gợiý:+ Trong ABC lấy điểm K sao cho KBA KAB 15 . Cm : KAB EAC.  c.g.c . Vấn đề 4 : Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo . 0  0  Bài 7 : Cho tam giác ABC có A 50 , B 20 . Trên đường phân giác BE của tam giác ta 0  lấy điểm F sao cho FAB 20 . Gọi N là trung điểm của AF , EN cắt AB tại K . Tính số đo.  góc KCB . . 0. Gợi ý : + Kẻ CK cắt BE tại M . cm : EAF cân tại E  AEF 120 . + Trung tuyến EN đồng thời là phân giác  ba góc E bằng nhau  BEK BEC.  g.c.g .  BCK cân có 1 góc đã biết sđ . 0   Bài 8 : Cho tam giác ABC với B C 50 . N là điểm thuộc miền trong của tam giác thỏa 0 0    mãn NBC 10 , NCB 20 . Tính số đo góc ANB .. Gợi ý : + Kẻ đường cao AH của ABC cắt BN tại O ; vẽ AK  BN và AK cắt CN tại J. 0      + OBH HAK ? , HAC 40  KAC ? và NCA ?  JAC ?  JA  JC ? + Cm : OAC cân tại O ( OA = OC )  OJ là đường trung trực . II .Tam giác – Tứ giác : ( Lớp 8 ) Bài toán 1 : Cho tam giác ABC trong đó AB > AC . Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A và M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , BC . Chứng minh tứ giác MNHP là hình thang cân . Bài toán 2 :. . . Cho hình thang ABCD có A D 1v và CD = 2AB = 2AD . Lấy một điểm M thuộc đáy nhỏ AB và kẻ đường thẳng Mx vuông góc với DM ; Mx cắt cạnh BC tại N . Chứng minh rằng tam giác DMNlà tam giác vuông cân . Hướng dẫn : + Để cm DMN cân ta chỉ cần cm rằng nó có đường trung tuyến vừa là đường cao ( gọi I là trung điểm DN ). 0  + từ giả thiết suy ra : ADB ? .Gọi K là trung điểm DC suy ra được gì ? kq : ABC 135 + Để ý đến DMN vuông , DBN vuông  IM = …..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> . 0. + Tổng các góc của tứ giác MBIN  MIN 90 Bài toán 3 : Cho tứ giác ABCD .Các đường chéo AC và DB cắt nhau tại O . Các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại P . Biết rằng AC  AD và DB  CB . a ) Chứng minh rằng đường thẳng qua các trung điểm của PO và CD là trục đối xứng AB b ) Tứ giác ABCD phải có điều kiện gì để d và PO trùng nhau . Bài toán 4 : Cho tam giác ABC vuông ở A . Kẻ đường cao AH , vẽ các điểm đối xứng của H qua AB và AC là D và E . Chứng minh : a ) Ba điểm D , A , E thẳng hàng . b ) Tứ giác BCED là hình thang . 0  c ) DHE 90. Bài toán 5 : Cho tam giác ABC , các đường cao AK , BD cắt nhau tại G . Vẽ đường trung trực HE , HF của AC và BC . Chứng minh rằng : BG = 2HE và AG = 2HF . Hướng dẫn : Để tận dụng giả thiết E , F là trung điểm của AC và BC ta dựng các tam giác phụ Mà HE , HF là các đường trung bình , rồi so sánh đáy của tam giác này với cạnh ta đang quan tâm . Bài toán 6 : Cho một hình bình hành ABCD trong đó AD = 2AB . Từ C ta kẻ CE vuông góc với AB . Nối E với trung điểm M của AD . Từ M ta kẻ MF vuông góc với CE ; MF cắt BC tại N . a ) Tứ giác MNCD là hình gì ? E b ) Tam giác EMC là tam giác gì ? F  2 AEM c ) Chứng minh BAD Hướng dẫn : B C N + Từ giả thiết suy ra NM = NC ? 32 + cm : EMC cân . 1       + Ta có : A  NMD M 1  M 2 2M 3 2E. A. D. M. Bài toán 7 : ( quỹ tích ) Cho tam giác ABC và điểm M chạy trên cạnh BC . Từ M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh bên , cắt AB ở D và AC ở E . Tìm tập hợp trung điểm I của DE khi M chuyển động trên BC . A Hướng dẫn : E + ADME là hbh nên I là trung điểm DE cũng là trung điểm AM . I Q P + Lấy P là trung điểm AB ; Q là trung điểm AC . F Giới hạn : * M chạy đến trùng với B thì I trùng với P . C H B D HI' * M chạy đến trùng với C thì I trùng với Q . Bài toán 8 : Cho hình chữ nhật ABCD . Kéo dài BC và AD thêm những đoạn CE = DF = DC . Kéo dài DC một đoạn CH = BC . Nối A với E , F với H . Chứng minh rằng : AE vuông góc với FH . C B Hướng dẫn : E + cm : góc F vuông . K I + cm : Hai tam giác vuông DHF FAE A. D. F.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> . 0. + Xét góc của hai tam giác DAI và KIH  K 90 . Bài toán 9 : ( quỹ tích ) Cho một tam giác ABC . Một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC . Từ D ta kẻ một đường thẳng song song với AB , cắt AC ở E và một đường thẳng song song với AC , cắt AB ở F . Tìm tập hợp các trung điểm I của EF . Tương tự bài toán 7 . Bài toán 10 : Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BH vuông góc với AC . Gọi M là trung điểm của AH , Klà trung điểm của CD . Chứng minh : BM  MK Hướng dẫn : + Gọi N là trung điểm BH , đường thẳng MN cắt BC tại E .cm : MN là đường tb  MN  BC Bài toán 11 : . E. B. C N M. K H D. A. B. 0. Cho hình thoi ABCD có góc A 60 . Đường thẳng MN cắt AB và AC theo thứ tự tại các điểm M , N Sao cho tổng MB + NB bằng một cạnh của hình thoi . Cm : MDN là tam giác đều . Gợi ý : có thể cm : MBD NDC Bài toán 12 : Trên các cạnh của một hình bình hành , ta dựng ở phía ngoài nó các hình vuông . Chứng minh rằng tâm của các hình vuông đó là đỉnh của một hình vuông . Gợi ý : + cm : EAH GDH để có DH = HG. M. N C. A D. E B A C D.   và DGH  AHE . G.  GHE 900. Bài toán 13 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Ta dựng các Hình vuông ABDE và BCFG sao cho D và C ở cùng phía của cạnh AB ; G và A ở cùng phía của cạnh BC . Chứng minh rằng : GA  DC và GA = DC . Gợi ý :. G F. A. B. I.   Cm : ABG DBC để có AGB DCB. Bài toán 14 : Cho tam giác ABC . Dựng các hình vuông ABMN và CBPQ ra ngoài tam giác . Gọi D , E , G , H lần lượt là trung điểm của các cạnh AC , NB , MP và BQ . a ) Chứng minh : AF  MC b ) Chứng minh tứ giác DEGH là hình vuông .. N E. H. M. D. E. C. A. H. D. E A D. O1 M. B. C O3 S R. C. B. G O2. G. H. F. Q.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> gợi ý : + cm : DEGH là hình bình hành . Bài toán 15 : Cho tam giác ABC về phía ngoài của nó ta dựng Các hình vuông ABDE , ACGH , BCRS . Gọi O1 ,O2 ,O3 lần lượt là tâm của các hình vuông . Chứng minh : O1O2  AO3 Gợi ý : Cm : DC = AS và DC  AS (1) DC AS ; O3 M / /  2 2 + + Cm : O1MO2 AMO3 O1M / / . (2) Từ (1) và (2) : O1M O3 M và O1M  O3 M L. Bài toán 16 : D Trên các cạnh AB và AC của tam giác ABC , về phía ngoài của nó , ta dựng các hình vuông BCKL và BAED . Chứng minh rằng đoạn thẳng nối cácđỉnh D và L của hai E hình vuông bằng hai lần trung tuyến của tam giác ABC ,kẻ từ đỉnh B ( DL = 2BM ). A Gợi ý : Cách 1: Kéo dài trung tuyến BM thêm 1 đoạn MQ = MB . Chứng minh : BCQ LBD Bài toán 17 : Cho hình vuông ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm A Của AB và AC . Các đường thẳng DN và CM cắt nhau tại I . Chứng minh : IA = AD . . K M. C. Q M. B. . Gợi ý : + Cm : DCN CBM  D1 C1  DN  CM + Kẻ đường cao AH . Cm : HD = HI . Bài toán 18 : Trên cạnh AB của hình vuông ABCD , lấy điểm E tùy ý . Phân giác của góc CDE cắt cạnh BC tại K . Chứng minh : AE + KC = DE . Gợi ý : Trên tia đối của tia AB , lấy điểm F sao cho AF = CK . + Cm : DAF DCK  K     F và D1 D4 + Cm : EFD cân tại E .. Bài toán 19 : Trên cạnh AB của hình vuông ABCD dựng tam giác 0 AFB cân đỉnh F , có góc ở đáy là 15 . Chứng minh tam giác CFD là tam giác đều . Gợi ý : 0   Dựng IBC có B3 C3 15  IBC FAB theo cách dựng . Cm : FBI đều .. B. H. 1. N. I. 1. C. P. D. D. C 1 2. 3 4. K. B. F. A. E. D. C 3. I. 15. A. F. H. 2 3 2 2. B.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Đường CI kéo dài cắt FB tại H . 0 Cm : FIC cân tại I và mỗi góc ở đáy 15 ? + Hướng thứ 1 : Cm về góc . + Hướng thứ 2 : Cm về cạnh ..

<span class='text_page_counter'>(7)</span>