De HSG Toan 98

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GD LONG PHÚ TRƯỜNG THCS LONG ĐỨC. KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học: 2010 – 2011. Khóa ngày … tháng 11 năm 2015. MÔN THI: TOÁN (Thời gian làm bài: 120 phút không kể phát đề) Bài 1: (6,0 điểm) 2 a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x - x - 6 b) Cho các số dương biểu thức:. x, y, z. thỏa mãn điều kiện xy + yz + xz = 2010. Tính giá trị. ( 2010 + x ) ( 2010 + y ) 2. Q = x +y -. 2. 2010 + z2. Bài 2: (3,0 điểm) Rút gọn biểu thức P, với x ³ 0 và x ¹ 4. æ ö æ 2 x 4x + 2 x - 4÷ x +3ö ÷ ç2 + x ç ÷ ÷ ç P =ç + : ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç x- 4 ÷è ÷ ç2 - x 2 + x ç2 - x 2 x - x ø è ø. Bài 3: (3,0 điểm) Cho. a,b,c ³ 0. và a + b + c = 1. Chứng minh rằng:. a + 2b + c ³ 4( 1- a) ( 1- b) ( 1- c). Bài 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD có AD = BC . Đường thẳng qua trung điểm M và N của hai cạnh AB và CD cắt AD và BC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: · · AEM = MFB. Bài 5: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi đường thẳng d. Chứng minh rằng:. AA ¢=. A ¢, B ¢,C ¢, N. lần lượt là hình chiếu của. BB ¢+ CC ¢ 2 .. -------------------- Hết ---------------------. A, B,C , M. trên.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM 2. 2. Bài 1: a) x - x - 6 = x - 3x + 2x - 6. (1đ). = x ( x - 3) + 2( x - 3) = ( x - 3) ( x + 2). b). (1đ). 2008 + x = xy + yz + xz + x = ( x + z) ( x + y) 2. 2. (0,5đ). 2008 + y = xy + yz + xz + y = ( y + z) ( x + y) 2. 2. (0,5đ). 2008 + z = xy + yz + xz + z = ( x + z) ( y + z) 2. 2. (0,5đ) (0,5đ). A = 2.2008 = 4016. Bài 2: a). x - 2 + 1-. x- 2- 1 =1. +Nếu x - 2 - 1 ³ 0 hay x ³ 3 thì 2 = 1 (vô lí) +Nếu x - 2 - 1 < 0 hay x < 3 thì. 2 x - 2 = 1Û x =. x=. Vậy nghiệm của phương trình là. (0,5đ) 9 4 (thảo mãn). (1đ). 9 4. (0,5đ). æ ö æ 2 ö 2+ x x 4x + 2 x - 4÷ ÷ x +3÷ ÷ ç ç ç ç P =ç + :ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç x- 4 ÷ ç è2 - x 2 + x ø ç è2 - x 2 x - x ÷ ø b) 2 é ùé ù ê2 + x + x 2 - x ú ú 4x + 2 x - 4ú ê 2 x x 3 ê ú =ê + ú: ê ú 4- x 4- x ê úê x 2- x ú ê úê û (0,5đ) ë ûë. (. = = P =. Vậy. ). (. ). (. (. x + 4 x + 4 - x + 2 x - 4 + 4x + 2 x x 2 - x . 4- x x- 3. ). ). (0,5đ). 4x x- 3. (0,5đ). 4x x - 3 , với x ³ 0; x ¹ 4 và x ¹ 9. (0,5đ). Bài 3: a) Ta có: Do đó:. 4xy £ ( x + y). 2. (0,5đ). 4( 1- a) ( 1- c) = 4( b + c) ( 1- c) £ ( 1 + b) 2. Suy ra:. 2. (0,5đ). (. ). 4( 1- a) ( 1- b) ( 1- c) £ ( 1 + b) ( 1- b) = ( 1 + b) 1- b2 £ ( 1 + b). (0,5đ).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> a + 2b + c ³ 4( 1- a) ( 1- b) ( 1- c). Hay: b) Ta có: (2đ) 1. 1+ 2. (. = - 1-. +. 2+ 2-. 1 2+ 3. + ... +. (0,5đ). 1 8+ 9. ). 9 = - ( 1- 3) = 2. 3 + ... + 8 -. Bài 4: Vẽ đường thẳng qua A vuông góc với AF và cắt DC tại G. Xét hai tam giác vuông ABE và ADG có: . AB = AD (vì ABCD là hình vuông). (0,5đ) (0,5đ). · · . BAE = DAG (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) (0,5đ) VV ABE =VV ADG. Do đó: Suy ra: AE = AG. · 0 Trong tam giác AGF có GAF = 90 và AD là đường cao nên ta có: 1 1 1 + = 2 2 AG AF AD 2 1 1 1 + = 2 2 AF AB 2 hay: AE. (0,5đ) (0,5đ). A. B. E. (0,5đ) G. D. C. (0,5đ) (0,5đ). Bài 5: Ta có:. BB ¢^ d ( gt ) ; CC ¢^ d ( gt ). BB ¢ CC ¢. Suy ra: . Do đó: BB ¢C ¢C là hình thang. Mà. (0,5đ). MN BB ¢. . Nên MN là đường trung bình của hình thang BB ¢C ¢C. BB ¢+ CC ¢ 2 Suy ra: Xét hai tam giác vuông : I AA ¢ và IMN có: AI = MI ( gt ) MN =. (0,5đ). .. (0,5đ). · · . AIA ¢= MIN (đối đỉnh) Vv IAA ¢=Vv I MN. (0,5đ). Do đó: Nên: AA ¢= MN Vậy. AA ¢=. (0,5đ). (0,5đ). BB ¢+ CC ¢ 2 .. (0,5đ) A d C' N A'. I. F.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> (0,5đ). Ghi chú: Nếu học sinh có hướng giải khác và có lập luận đúng thì vẫn cho tròn điểm..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>