De HSG Toan 8

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2014 – 2015 MÔN: TOÁN – LỚP 8. Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1. 5. 6. 7. 8. a + a +a + a −5 −7 −8 a + a+a + a. a) Tính giá trị biểu thức:. b) Phân tích đa thức n3 +n+2 thành nhân tử. Chứng minh rằng với ∀ n∈ N ❑ thì 3 n +n+2 là hợp số. Câu 2. a. c) Tìm số tự nhiên a và b thỏa mãn: a – b = b . Câu 3. a) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a. b. c. A = b+c − a + a+c −b + a+b − c ≥ 3 . b) Biết xy = 13 và x2y + xy2 + x + y = 2016. Hãy tính x2 + y2 Câu 4. Cho tam giác ABC có ∠ C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM. a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E. b) Tính ∠ DIF. c) Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF. Câu 5. Cho x , y , z ∈¿. x. y. z. 3. Chứng minh rằng: 1+ y + xz + 1+ z + xy + 1+ x+ yz ≤ x+ y+ z -------------------Hết------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đ/á tham khảo: Câu 1. 5. 6. 7. 8. a + a +a + a −5 −7 −8 a + a+a + a 5 6 7 8 a5 (1+a+ a2 +a3 ) a +a +a +a = 1 + 1 + 1 + 1 = 1 ( 1+ a+ a2+ a3 ) = a13 . a5 a6 a7 a 8 a5 a3 b) n3 +n+2 ¿( n3+ 1)+(n+1)=( n+ 1)( n2 − n+2) . Xét n chẵn và n lẻ suy ra n3 +n+2 chia hết cho 2. Nên. a) Tính giá trị biểu thức:. Câu 2. a) Xét 2 Th đưa về phường trình tích.. a. b) Tìm số tự nhiên a và b thõa mãn: a – b = b . ĐK: b 0. 2. ⇔ ab − b =a. ⇔. (b −1)(a − b −1)=1. b-1 a–b-1 a b. 1 1 4 2. -1 -1 2 0(loại). Vậy (x,y) = (4,2). Câu 3. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a. b. c. A = b+c − a + a+c −b + a+b − c ≥ 3 2. a+b+ c ¿ ¿ ¿ Cách1: VT = . 2 2 2 a b c + + ≥¿ 2 2 2 ab+ bc − a ab+ bc − b ca + bc −c a2 +b 2 ≥ 2 ab Mặt khác: b2 +c 2 ≥2 bc c2 + a2 ≥ 2 ca. 3. n +n+2. là hợp số..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Nên: a2 +b 2+ c 2 ≥ ab+ bc+ca a+b +c ¿ 2 ≥ 2(ab+ bc+ ca) 2 và ¿ 3. 2. a+b +c ¿ ≥ 3(ab +bc +ca) ⇔ ¿ 2 a+b+c ¿ ¿ Thay vào trên ta được: VT ¿ 2 2 2 a +b + c ≥ ¿. ⇔. a+b+c ¿2 ¿ a+b+c ¿2 ¿ 1 a+b +a ¿2 − ¿ . 3 2 ¿ 3 ¿ ¿ Dấu “=” ⇔ a = b = c.. Cách 2: Đặt a+b-c = x; b+c-a = y; c+a-b = z. b) Do x2y + xy2 + x + y = 2016 ⇔ xy ( x+ y )+( x + y )=2016 ⇔ x+ y =2016 :14=144 2 xy=.. . Ta có: x2 + y2 = x+ y ¿ −2 ¿ Câu 4. Cho tam giác ABC có ∠ C = 600. Đường phân giác, trung tuyến AD (D BC). Lấy M là điểm bất kì thuộc cạnh Bc. Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB, AC. Gọi I là trung điểm cảu AM. a) Chứng minh I cách đều các điểm A, F, D, M, E. b) Tính ∠ DIF. c) Gọi K là giao điểm AM và EF. Chứng minh KA.KM = KE.KF. a) Theo tính chất đườn trung tuyến của tam A giác vuông AEM, ADM, AMF và gt AI = IM ta có đfcm. b) Góc MID + DIF + FIA = 1800 I Hay 2IAD +DIF + (1800 - 2IAF) = 1800 F ⇔ 2IAD + DIF + 1800 – 2IAD – 2DAF = 0 180 ⇔ DIF = 1800 – 2DAF = 600. K E c) Tam giác DIF đều nên tứ giác DEIF là hình thoi ⇒ EF ID do đó góc IFE = B M D 300. 0 Góc AFI + góc IFK + góc KFM = 90 Hay Góc AFI + góc KFM + 300 = 900 Góc AFI + góc IFK = 600(1) Mà góc EAK + góc KAD = 600 (2) Có góc IAF + góc IFA ( do tam giác IAF cân) (3). Từ (1)(2)(3) ta có góc EAK = góc KFM (*). C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> ⇐. KA.KM = KE.KF Câu 5. Cho x , y , z ∈¿. KA KF = ⇐ ΔKAE ∞ ΔKFM ⇐ KE KM ∠ AKE=∠FKM ( đđ) ∠ EAK =∠ KEM (∗) ¿{ x. y. z. 3. Cách 1: Chứng minh rằng: 1+ y + xz + 1+ z + xy + 1+ x+ yz ≤ x+ y+ z x 1 y 1 z 1 − + − + − ≤0 1+ y +xz x+ y+ z 1+ z+ xy x+ y+ z 1+ x + yz x + y + z 2 x + xy+ xz − 1− y − xz ⇔ +. .. (1+ y+ xz)( x + y + z ) ( x − 1)(x + y +1) ⇔ +.. . (1+ y + xz)( x + y + z) (x −1)( x+ y+ 1) Mà: 0< x ≤1 ⇔ x −1≤ 0 nên (1+ y + xz)(x+ y+ z ) ≤ 0 .... ⇔. Tương tự suy ra đfcm..

<span class='text_page_counter'>(5)</span>