De thi HSG toan 8 thanh pho Thai Binh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Thời gian làm bài : 120 phút. Bài 1 (5,0 điểm) 1. Phân tích đa thức thành nhân tử : A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 2. Cho đa thức F(x) = x3 + ax2 + bx + c (với a, b, c  R). Biết đa thức F(x) chia cho đa thức x - 2 thì dư 5, chia cho đa thức x + 1 thì dư -4. Hãy tính giá trị (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) ? Bài 2 (4,0 điểm) 5 - x2 4 - x2 x2 - 3 -1= 2012 2013 2014 1. Giải phương trình : 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2 2. Giải phương trình nghiệm nguyên : Bài 3 (3,0 điểm) 1. Cho ba số thực a, b, c có tích bằng 2 . Hãy rút gọn biểu thức : a b c 2 S= + + ab + a + 2 bc + b +1 ac + c 2 + 2 2. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x + y  10. P = 2x + y + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :. 30 5 + x y. Bài 4 (5,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, M là một điểm nằm giữa B và C. Kẻ AN vuông góc với AM, AP vuông góc với MN (N và P thuộc đường thẳng CD). 1. Chứng minh tam giác AMN vuông cân và AN2 = NC . NP 2. Tính tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD. 1 1 + 2 2 3. Gọi Q là giao điểm của tia AM và tia DC. Chứng minh tổng AM AQ không đổi khi điểm M thay đổi trên cạnh BC. Bài 5 (2,5 điểm) Cho tam giác ABC và O là một điểm bất kỳ trong tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các OA . OB . OC cạnh BC, CA, AB thứ tự tại các điểm P, Q, R. Chứng minh OP OQ OR  8.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ THÁI BÌNH. HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT HSG LỚP 8 NĂM HỌC : 2013 - 2014 MÔN : TOÁN Bài 1 (5,0 điểm). 1.. A = (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4) - 144 = [(x - 1)(x + 2)].[(x - 3)(x + 4)] - 144 = (x2 + x - 2)(x2 + x - 12) - 144 = (x2 + x - 7 + 5)(x2 + x - 7 - 5) - 144 = (x2 + x - 7)2 - 25 - 144 = (x2 + x - 7)2 - 169 = (x2 + x - 7 - 13)(x2 + x - 7 + 13) = (x2 + x - 20)(x2 + x + 6) = (x2 - 4x + 5x - 20)(x2 + x + 6) = (x - 4)(x + 5)(x2 + x + 6) 2. Gọi thương của phép chia F(x) cho x - 2 và x + 1 lần lượt là P(x) và Q(x) Suy ra : x3 + ax2 + bx + c = (x - 2). P(x) + 5 (1) x3 + ax2 + bx + c = (x + 1). Q(x) - 4 (2) Thay x = 2 vào (1) ta có : 8 + 4a + 2b + c = 5  4a + 2b + c = -3 (3) Thay x = -1 vào (2) ta có : -1 + a - b + c = -4  a - b + c = -3 (4) Từ (3) và (4) => 4a + 2b + c = a - b + c => 3a = -3b => a = -b => a3 = -b3 => a3 + b3 = 0 => (a3 + b3)(b5 + c5)(c7 + a7) = 0. 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5. Bài 2 (4,0 điểm) 5 - x2 4 - x2 x2 - 3 -1= 2012 2013 2014. 1.      . 5 - x2 4 - x2 x2 - 3 +1= +1+1 2012 2013 2014 2017 - x 2 2017 - x 2 x 2 - 2017 = 2012 2013 2014 2 2 2017 - x 2017 - x 2017 - x 2 =0 2012 2013 2014 1 1 1 (2017 - x 2 )( )=0 2012 2013 2014 1 1 1 0 2 2017 - x = 0 ( vì 2012 2013 2014 ) 2 x = 2017  x =  2017. Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 2017 ;  2017 } 2.. 1 1 1 1 + + = x y 2xy 2 => 2y + 2x + 1 = xy. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. ĐKXĐ : x 0 , y 0 0.5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  xy - 2x - 2y - 1 = 0  x(y - 2) - (2y - 4) - 5 = 0  (y - 2)(x - 2) = 5 Vì x, y  Z => x - 2, y - 2  Z. Do đó ta có bảng giá trị : x-2 1 5 -1 -5 y-2 5 1 -5 -1 x 3 7 1 -3 y 7 3 -3 1 Thử lại chọn chọn chọn chọn Vậy phương trình có 4 nghiệm nguyên (3 ; 7) , (7 ; 3) , (1 ; -3) , (-3 ; 1). 0.5. 0.5. 0.25. Bài 3 (3,0 điểm) S= 1.. a b c 2 + + ab + a + 2 bc + b +1 ac + c 2 + 2. 2 = abc ta có : a b c.abc S= + + ab + a + abc bc +b +1 ac + c.abc + abc a b c.abc = + + a(b +1+bc) bc + b +1 ac(1+ bc +b) 1 b bc = + + b +1+ bc bc + b +1 1+bc + b 1+b +bc = b +1+bc =1 Vậy S = 1 30 5 P = 2x + y + + x y. Thay. 2.. 4 6 4 y 30 5 x+ x+ y+ + + 5 5 5 5 x y 4 6 30 y 5 = (x + y)+( x + ) + ( + ) 5 5 x 5 y =. 5 6 30 y x Vì x, y > 0 nên áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương 5 và x , 5 và y 6 30 6 30 x+ 2 x. =12 5 x 5 x ta có : (1) y 5 y 5 + 2 . = 2 5 y 5 y. (2) Từ (1), (2) và từ giả thiết x + y  10 => P  8 + 12 + 2 = 22. 0.5. 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.5. 0.25. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span>  x,y > 0 6  x = 30 x 5 y 5  = 5 y   x + y =10. 0.25. x = 5  Dấu "=" xảy ra   y = 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 22  x = y = 5. 0.25. Bài 4 (5,5 điểm) B. A. M. N. D. P. C. Q. 1. *) Chứng minh tam giác AMN vuông cân   - Chứng minh DAN = BAM. 0.25. - Chứng minh  ADN =  ABM (g.c.g) => AN = AM (hai cạnh tương ứng). 0.75.  - Tam giác AMN có AM = AN (chứng minh trên) và MAN = 90 (giả thiết) => Tam giác AMN vuông cân tại A. *) Chứng minh AN2 = NC . NP o. - Tam giác AMN cân tại A (chứng minh trên) và AP  MN (giả thiết) 1   NAP = MAP = MAN = 45o MAN 2 => AP là tia phân giác của => o o   - Vì ABCD là hình vuông (giả thiết) => ACD = 45 hay ACN = 45 - Chứng minh  ACN ∽  PAN (g.g) AN CN = => AN2 = NP.NC => PN AN 2. - Chứng minh PM = PN - Chu vi tam giác CMP là : CM + MP + CP = CM + PN + CP (vì MP = NP) = CM + PD + DN + CP = (CP + PD) + (BM + CM) (BM = DN vì  ADN =  ABM) = CD + CB = 2BC - Chu vi hình vuông ABCD bằng 4BC 2BC 1 = => Tỉ số chu vi tam giác CMP và chu vi hình vuông ABCD là : 4BC 2 3. - Tam giác ANQ vuông tại A, có đường cao AD => AN.AQ = AD.NQ (=2SABC). 0.5. 0.25 0.25. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 0.5. 1 NQ 1 NQ2 = => = AD2 AN2 .AQ2 => AD AN.AQ Mà NQ2 = AN2 + AQ2 (ĐL Py-ta-go trong tam giác vuông ANQ) 1 AN2 + AQ2 1 1 1 1 = = + = + 2 2 2 2 2 2 AN .AQ AN AQ AM AQ2 (vì AM = AN) => AD Do hình vuông ABCD cho trước nên độ dài cạnh AD không đổi 1 1 1 + = 2 2 AD2 không đổi khi M thay đổi trên cạnh BC. => AM AQ. 0.5. 0.5. Bài 5 (2,5 điểm). .. A. .. R O. B. H. K P. Q. C. - Đặt SABC = S, SBOC = S1, SCOA = S2, SAOB = S3. - Kẻ AH và OK cùng vuông góc với BC (H, K  BC) => AH // OK (từ vuông góc đến song song) PA AH  => OP OK (hệ quả định lý Ta-let) PA S ABC  OP SOBC (  ABC và  OBC có chung cạnh đáy BC, hai chiều cao tương ứng là AH và OK) => PO + OA S S1 + S2 + S3   OP S1 S1 => S + S3 OA 1+ 1 2 OP S1 => =>. SS OA S2 S3   2 2 2 3 OP S1 S1 S1. S3 S2 (BĐT Cauchy cho 2 số dương S1 và S1 ). Vậy :. SS OA 2 2 2 3 OP S1. (1). Tương tự :. SS OB 2 3 2 1 OQ S2. (2). SS OC 2 1 2 2 OR S3. (3). 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25. 0.25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> (S1S2S3 )2 OA OB OC . . 8 8 OP OQ OR S12S22S32. Từ (1), (2) và (3) => Dấu "=" xảy ra S1 = S2 = S3 O là trọng tâm của tam giác ABC. Chú ý - Trên đây chỉ là hướng dẫn chấm điểm theo bước cho một cách giải; Các cách giải chính xác khác, giám khảo cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài thi bằng tổng điểm các câu thành phần (không làm tròn).. 0.25 0.25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>