Ung dung cua tich phan Le Ba Bao File Word

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG. CHUYÊN ĐỀ:. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC. Chủ đề 3: Ứng dụng 1:. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG. I. LÝ THUYẾT Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a;b  , trục b. hoành và hai đƣờng thẳng x = 1, x = b đƣợc tính theo công thức S   f  x  dx (1) a. Minh họa các dạng thường gặp:. f  x   0, x  a;b. f  x   0, x  a;b. b. a. a. Lưu ý: Bằng cách xem x là hàm số của biến y, tức x  g  y  , diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  liên tục trên đoạn  a;b  , trục tung và hai đƣờng thẳng y = a, y = b đƣợc tính b. a. a;b. b. S    f  x   dx. S   f (x)dx. theo công thức S   g  y  dy. f  x  không mang 1 dấu trên. (2). b. b. a. c. S   f (x)dx    f  x   dx.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f(x), g(x) liên tục trên  a;b  và b. hai đƣờng thẳng x = a, x = b đƣợc tính theo công thức S   f  x   g  x  dx. (3). a. Minh họa các dạng thường gặp:. f  x   g  x  , x  a;b. f  x   g  x  , x  a;b. b. S   f  x   g  x   dx a. b. S   g  x   f  x   dx a. f  x   g  x  , x  a;c ; f  x   g  x  , x  c;b ;  a  c  b . c. b. a. c. S   f  x   g  x   dx   g  x   f  x  dx. Lưu ý: Bằng cách xem x là hàm của biến y, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  liên tục trên đoạn  a;b  và hai đƣờng thẳng y = a, y = b đƣợc tính theo công b. thức: S   f  y   g  y  dy (4) a. Bài toán 3: Hình phảng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong Diện tích S của hình phẳng giới hạn các đồ thị đƣợc chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4). Minh họa các dạng thường gặp:.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> f  x   h  x  , x  a;c. f  y   g  y  ; y  a;c;. g  x   h  x  , x  c;b ;  a  c  b . f  y   h  y  ; y  c;b ;  a  c  b . c. b. a. c. S   f  x   h  x   dx   g  x   h  x  dx. c. b. a. c. S   f  y   g  y   dy   f  y   h  y  dy. II. PHƢƠNG PHÁP Phƣơng pháp 1: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ). +) Tính chất: Hàm số y = f(x) liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó, ta có. b. c. b. a. a. c.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b. Chú ý: Khi áp dụng công thức (3): S   f  x   g  x  dx , ngoài việc khử dấu GTTĐ nhƣ phƣơng pháp đã a. trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phƣơng pháp sau: Bƣớc. Giải phƣơng. 1:. trình. f  x   g  x   0 trên đoạn. a;b  ,. giả. sử. có. các. nghiệm. c,d  a;b ; a  c  d  b  . Khi đó, f  x   g  x  không đổi dấu trên các đoạn a;c , c;d , d;b  . Tức là: b. c. d. b. a. a. c. d. Bƣớc2: S   f  x   g  x  dx  f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx c. d. b. a. c. d.   f  x   g  x   dx   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx Phƣơng pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đƣa ra kết quả. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? a. b. A. S   f  x  dx. B. S    f  x   dx. b a. a b. C. S   f  x  dx. D. S   f  x  dx. b. a. Lời giải: b. Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S   f  x  dx a.  Chọn đáp án D Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? b. b. B. S   f  x dx. A. S   f  x  sx a c. b. a c. b. a. c. a. c. C. S   f  x  dx   f  x  dx D. S   f  x  dx   f  x dx. Lời giải: Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn  a;b  thành hai đoạn thành phần a;c;c;b , ta c. b. a. c. có kết quả: S   f  x  dx   f  x  dx.  chọn đáp án C. Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? b. b. A. S   g  x  dx   f  x  sx a b. b. a. a. a. C. S   g  x  dx   f  x  dx Lời giải: (Chọn B). b. b. a b. a b. a. a. B. S   f  x  dx   g  x  dx D. S   f  x  dx   g  x dx.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gọi S1 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đƣờng thẳng x = a, x = b. b  S1   f  x  dx a. Gọi S2 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đƣờng thẳng x = a, x = b. b  S2   g  x  dx a b. b. a. a. Vậy S  S1  S2   f  x  dx   g  x  dx Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ hình bên. Khẳng định nào sau đây đúng? c. b. A. S   g  x   f  x   dx   f  x   g  x  dx a. c. b. B. S   f  x   g  x   dx a c. b. C. S   f  x   g  x   dx   g  x   f  x  dx a. c. c. b. a. c. D. S   f  x  dx   g  x  dx Lời giải: (Chọn C) Gọi S1 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi y = f(x), Ox và hai đƣờng thẳng x = a, x = c. b  S1   f  x   g  x   dx a. Gọi S2 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi y = g(x), Ox và hai đƣờng thẳng x = a, x = b b.  S2   g  x   f  x   dx c c. b. a. c. Vậy S  S1  S2   f  x   g  x   dx   g  x   f  x  dx.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Câu 5: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  f  x   x 4  2x 2 và trục hoành nhƣ hình bên. Khẳng định nào sau đây sai? 2. 2. f  x  dx. . A. S . B. S  2  f  x  dx.  2. 0. 2. 0. C. S  2   f  x   dx. . D. S .  2. 0.  f  x  dx . 2.  f  x  dx 0. Lời giải: (Chọn B) 2. Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S . 0.  f  x  dx  2 .  2.  2. 2.  f  x   dx  2   f  x  dx 0. Câu 6: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x  g  y  , trục tung và hai đƣờng thẳng y = a, y = b nhƣ hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng? b. A. S   g  y  dx a. a. B. S   g  y  dy b. b. b. D. S   g  y  dx. a. a. C. S   g  y  dy Lời giải: (Chọn C). b. Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả S   g  y  dy a. Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số x  f  y  , x  g  y  và hai đƣờng thẳng y = a, y = b nhƣ hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?. c. b. a. c. A. S   g  y   f  y   dx   f  y   g  y   dx b. B. S   f  y   g  y   dy a c. b. a. c. C. S   g  y   f  y   dy   f  y   g  y  dy b. D. S   f  y   g  y   dy a. Lời giải: (Chọn C).

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Gọi S1 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đƣờng thẳng y = a, y = c c.  S1   g  y   f  y   dy a. Gọi S2 là diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi x = f(y), x = g(y) và hai đƣờng thẳng y = c, y = b b.  S2   f  y   g  y   dy c c. b. a. c. Vậy S  S1  S2   g  y   f  y   dy   f  y   g  y   dy Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng thẳng y  ex ; y  e x ;x  1 A.. e2  2e  1 e. B.. e2  2e  1 e. C.. e2  2e  1 e. D.. e2  2e  1 e. Lời giải: Phƣơng trình hoành độ giao điểm: ex  e x  x  0 1. S  e e x. x. 1. dx . 0.  e. x. e. x.  dx   e. x. e. 0. x. |. 1 0. e2  2e  1 ee 2  e 1.  Chọn đáp án B Câu 9:. Diện tích hình phẳng y  x  4x  1, y  m,  m  3 , x  0, x  3 là:. giới. hạn. bởi. các. đƣờng. 2. A. 3m + 6. B. 3m  6. C. 3m – 6. D. -3m – 6. Lời giải: Ta có: x 2  4x  1   x  2   3  3, x 2. 3  x3 3 Do đó: S    x 2  4x  1  m  dx    2x 2  x  mx   6  3m  3 0 0 Chọn đáp án D. Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  2x  1, y  m,  m  2  , x  0, x  1 . Tìm m sao cho S = 48 A. m = 4 B. m = 6 C. m = 8 D. m = 10 Lời giải: Ta có: x 2  2x  1    x  1  2  2, x 2.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> 3  3 x3 Do đó: S    m  x 2  2x  1 dx   mx   x 2  x   3m  24 3  0 0 S  48  3m  24  48  m  8  Chọn đáp án C Câu 11: Diện tích hình phẳng giới 2 y  x  2x  1, y  x  1, x  0, x  m,  0  m  3 bằng:. A.. m3 3m 2  3 2. B. . m3 3m 2  3 2. C.. hạn. m3 m 2   2m 3 2. bởi. D.. các. đƣờng. m3 m 2   2m 3 2. Lời giải: Ta có; x 2  3x  0, x  0;m . Vì 0 < m < 3.  x 3 3x 2  m 3m2 m3 Do đó: S   x  3x dx     x  3x  dx        2 0 2 2  3 0 0 m. m. 2. 2.  Chọn đáp án B Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  2x  1, y  x  1, x  0, x  m,  m  0  bằng. 5 . Khi đó giá trị m bằng: 6 A. -3 B. -2. C. -1. D. -4. Lời giải:. Ta có: x 2  x  0, x   m;0 0 0  x 3 x 2  0 m 2 m3 Do đó S   x 2  x dx    x 2  x  dx       m 3 2 2 3   m m. 5 m 2 m3 5     m  1 6 2 3 6  Chọn đáp án C. S. Câu 13: A. . Lời giải:. Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng elip (E): x 2  16y2  16 có diện tích bằng: B. 2 C. 3 D. 4.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> 4. S  4 0. 16  x 2 dx   16  x 2 dx 4 0 4.    Đặt x = 4sint, t    ;   dx  4cos tdt  2 2  Đổi cận: x = 0  t  0;x  4  t  2  2.  2.  2.  2.   1  S   16  16sin 2 t.4cos tdt  16 cos 2dt  8 1  cos2t  dt 8 1  cos2t  dt  8  t  sin 2t  2  4  2 0 0 0 0 0.  Chọn đáp án C Câu 14: 2 có diện tích là: A. S = 1. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3 , trục Ox và đƣờng thẳng x = B. S = 16. C. S = 4. D. S = 4. Lời giải: Phƣơng trình x3 = 0  x  0. x 4 0 4 Diện tích hình phẳng: S   x dx    x dx  4 2 2 2 0. 0. 3. 3.  Chọn đáp án C Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1 . Câu 15:. 1 , trục Ox và hai đƣờng thẳng x2. 1 x  , x  2 có diện tích là: 2 B. S . A. S = 5. 5 2. C. s  2. D. S  1. Lời giải: 2 2 2 2 2 x2 1 1 x 1 x 1 Diện tích hình phẳng: S   1  2 dx   dx    2 dx   2 dx 2 x x x x 1 1 1 1 2. 2. 2. 2. 1 2 1  1  1 12        1  2  dx   1  2  dx    x   1   x    1 x  x  x x1   1 1 2 2 1.  Chọn đáp án D Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  2x,2x  y có diện tích là: A. S = 8 B. S = 4 C. S = 2 D. S = 16.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Lời giải: Giải phƣơng trình x3  2x  2x  x  0  x  2  x  2 2. Diện tích hình phẳng: S . . x 3  4x dx . 2. 0. 2. 2. 0. 3 3   x  4x  dx    4x  x  dx  4  4  8.  Chọn đáp án A Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y . Câu 17:.  x 10 x  x 2 và y   3 x  2. khi x  1 khi x  1. , có. diện tích là: A. S = 13. B. S =. 15 2. C. S . 13 2. D. S  7. Lời giải: (Chọn C) Tìm hoành độ các giao điểm: 10 10 x  x 2  x  x  0; x  x 2  x  2  x  3 3 3 Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 3 13  10   10  S    x  x 2  x  dx    x  x 2  x  2  dx  3 3 2   0 1. 3x  1 , Ox, Oy là: x 1 4 D. S  4ln  2 3. Câu 18:. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y . 4 A. S  4ln  1 3. B. S  4ln. 4 3. 4 C. S  4ln  1 3. Lời giải: Xét phƣơng trình. 3x  1 1  0  x   . Vậy S  x 1 3. 0.  . 1 3. 3x 1 4 dx  4ln 1 (đ.v.d.t) x 1 3.  Chọn đáp án C Câu 19:. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  4x  3 , y  x  3 là. a a S  ;  a,b  Z;a  0  ; là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng? b b b 2 25 A. b  a  103  0 B. ba  654  0 C. D. b  a 3  107  a 109 Lời giải:.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> x 3 0   2 Xét phƣơng trình x  4x  3  x  3    x  4x  3  x  3  x  0  x  5  x 2  4x  3   x  3  2. 5. . . Vậy S   x 2  4x  3  x  3 dx  0.  x 5. 2. .  4x  3  x  3 dx . 0. 109  a  109;b  6  b  a 3  107  0 6.  Chọn đáp án D Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị. Câu 20: 2. x x2 (hình vẽ bên). Khẳng định nào sau đây y  4 ,y  4 4 2 đúng? 2 2 0  x2 x2  x2 x2  A. S  2    4   dx B. S  2    4   dx   4  4  0 4 2 2 2  4 2 2 2  2 2  x2 x2  x2 x2  C. S  2    4   dx D. S  2   4    dx   4  4 4 2  2 2  4 2 2 2 . Lời giải: Ta có:. 4. 2 2  x2 x2 x2 x2   ; x   2 2;2 2   S  2   4    dx   4 4 2 4 4 2 2 2  .  Chọn đáp án D. Câu 21:. (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vƣờn elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m. Ông muốn trồng hoa trên dải dất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (nhƣ hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa là 100.00 đồng/1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền đƣợc làm tròn đến hàng nghìn). A. 7.862.000 đồng. Lời giải: (Chọn B). B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 triệu đồng. x 2 y2   1 . Từ giả thiết ta có 2a  16  a  8;2b  10  b  5 a 2 b2 5  y   64  y 2  E1  2 2  x y 8  1  Vậy phƣơng trình của elip là: 64 25  y  5 64  y 2  E  2  8. Giả sử elip có phƣơng trình.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Khi đó diện tích dải vƣờn đƣợc giới hạn bởi các đƣờng (E1); (E2); x  4;x  4 và diện tích của dải vƣờn là 4. 4. 5 5 64  x 2 dx   64  x 2 dx 8 20 4. S  2.  3 Tính tích phân này bằng phép đổi biến x  sin8t ta đƣợc S  80    6 4   3 Khi đó số tiền T  80   .100000 7652891,82 7.653.000 6 4  IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. Cho hai hàm số f = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn  a;b  có đồ thị lần lƣợt. Câu 1:. tại  C1  ;  C2  . Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị  C1  ;  C2  và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b) bằng: b. b. A. S   f  x   g  x  dx a b. a b. a b. C. S   g  x  dx   f  x  dx a. b. B. S   f  x  dx   g  x  dx D. S . a. 1 f  x   g  x  dx 2 a. Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn a;b ,c  a;b  .. Câu 2:. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đƣờng thẳng x = a, x = b. Công thức nào sau đây sai? b. b. B. S   f  x   g  x  dx. A. S   g  x   f  x  dx a. a. b. c. b. a. c. C. S   f  x   g  x  dx. D. S   f  x   g  x  dx   f  x   g  x  dx. a. Câu 3:. Diện tích S của hình phẳng bởi đồ thị 3 hàm số y = f(x), y = g(x), y = h(x) phần gạch chéo hình bên dƣới đƣợc tính bởi công thức là: b. c. a b. b c. a b. b c. A. S   g  x   f  x   dx    h  x   f  x  dx B. S   f  x   h  x   dx   f  x   g  x  dx C. S   g  x   h  x   dx   g  x   f  x   dx a. b. b. c. a. b. D. S   f  x   g  x   dx   f  x   h  x  dx Câu 4: A.. 1 (đ.v.d.t) 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y = lnx, y = 0, x = e 1 1 B. (đ.v.d.t) C. (đ.v.d.t) D. 1(đ.v.d.t) 3 4.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Câu 5:. Diện. tích. hình. phẳng. giới. hạn. bởi. các. đƣờng. y  x  2x  2, y  m,  m  1 , x  0, x  3 là: 2. A. 3m + 6 (đ.v.d.t). B. - 3m – 6 (đ.v.d.t) C. 3m – 6 (đ.v.d.t) D. – 3m + 6(đ.v.d.t) Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , trục Oy, trục Ox và đƣờng thẳng x = - 3 có diện tích là: A. S = 1 (đ.v.d.t) B. S = 16 (đ.v.d. t) C. S = 9 (đ.v.d.t) D. 4 (đ.v.d.t) 2 Câu 7: Cho Parabol (P): y  x và tiếp tuyến của (P) tại điểm A(1;1) có phƣơng trình y  2x  1. Diện tích của phần bôi dậm nhƣ hình vẽ là: 1 5 8 A. (đ.v.d.t) B. (đ.v.d.t) C. 2 (đ.v.d.t) D. (đ.v.d.t) 3 3 3. Câu 8: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a;b  . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b) bằng: b. b. A.  f  x  dx. B.. b.  f  x dx a. a. b. C.  f 2  x dx. D..  f  x  dx a. a. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x , trục Oy, trục Ox và đƣờng 3. Câu 9:. thẳng x = -2 có diện tích là: A. S = 1(đ.v.d.t) B. S = 16 (đ.v.d.t). D. S  4 (đ.v.d.t). C. S = 4 (đ.v.d.t). Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2  x  và trục Ox.. Câu 10:. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 16 4 512  A. V  (đ.v.t.t) B. V  (đ.v.t.t) C. V  (đ.v.t.t) D. V  (đ.v.t.t) 15 3 15 5 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 2 y  x  6x, y  x (hình bên) bằng: 0. A. S .  x. 3. 2 3. C. S .  x. 2. 3.  6x  x  dx B. S .  x. 2.  x 3  6x  dx. 3.  6x  x 2  dx. 2 0. D. S . 2.  x. 3.  6x  x 2  dx . 2. 3. x. 3.  6x  x 2  dx. 0. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b ,f x   0, x  a;b  . Gọi S là. Câu 12:. diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b). Khẳng định nào sau đây sai? b. b. B. S   f  x  dx. a. a. A. S    f  x   dx Câu 13:. Diện y  x  x  3, y  2x  1 là: 3. tích. b. b. C. S   f  x  dx. D. S   f  x  dx. a. hình. phẳng. giới. a. hạn. bởi. các. đồ. thị. hàm. số.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 1 (đ.v.d.t) 8 Câu 14: Diện tích hình y  sinx, y  0, x  0, x   là: A. S  4 (đ.v.d.t) B. S  2 (đ.v.d.t) A. S . 1 (đ.v.d.t) 6. 5 3 (đ.v.d.t) D. S  (đ.v.d.t) 6 7 giới hạn bởi các đồ thị hàm. C. S . B. S . phẳng. C. S = 4 (đ.v.d.t). số. D. S   (đ.v.d.t). Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a;b  . Diện tích của hình thang cong. Câu 15:. giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b) bằng: b. b. B. S   f  x  dx. a. a. A. S   f  x  dx Câu 16:. b. C. S   f 2  x  dx a. b. D. S   f  x  dx a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1 y  ln x, x  , x  e và trục hoành (hình bên đƣợc tính theo công e thức: e. A. S   ln xdx. 1. e. 1 e. 1. B. S   ln xdx   ln xdx. 1 e. 1. e. 1 e. 1. e. C. S    ln xdx   ln xdx. D. S   ln xdx 1 e. Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dƣới đƣợc tính bởi. Câu 17: công thức: c. d. b. A.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a. c. d. c. d. b. B.  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx a. c. d. c. d. b. a. c. d. C.   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx \ b. D..  f  x  dx a. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  ex , y  e x , x  1. Câu 18: A.. e2  2e  1 e. Câu 19:. e2  2e  1 e Diện tích. B.. hình. Câu 20: A. . D. hạn. e2  2e  1 e bởi các. đƣờng. 5 . Khi đó giá trị k bằng: 6 B. – 2 C. – 1 D. – 4 2 Hình phẳng giới hạn bởi đƣờng elip (E): x  4y2  4 có diện tích bằng: B. 2 C. 3 D. 4. y  x 2  2x  1, y  x  1, x  0, x  k,  k  0  bằng A. – 3. e2  2e  1 e phẳng giới. C..

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  2 , trục. Câu 21:. hoành và hai đƣờng thẳng x = 0, x = 1 là: 2. A..   x. 2.  2  dx. 0. B..  2  dx. 1. C.. 1. 0. Câu 22:.   x. 2.   x. 2.  2  dx. D. 2. 0. Hình phẳng giới hạn bởi đồ hai thị hàm số y  2x  x 2 , y  x khi quay quanh trục Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: 1. 1. B.   2x  x 2  dx. A.  x 2dx. 2. 1. C.   x  x 2  dx. 0. 0. 0. 2. 1. 1. D.   2x  x 2  dx   x 2dx 2. 0. 0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y  x  2, y  3x là: 2. Câu 23:. 7 1 D. 2 6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  ln x, y  0, x  e là:. A. 2. B. 3. Câu 24:. C.. A. 2. B. 1 C. 5 D. 4 Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đƣờng cong y = f(x), y = g(x), x = a, x = b có diện tích là S1. Còn hình phẳng tạo bởi các đƣờng cong y = 2f(x), y = 2g(x), x = a, x = b có diện tích S2. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. S2  4S1 B. S2  S1 C. 2S2  S1 D. S2  2S1 Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong. Câu 26: hình bên) là: 4. A. C..  f  x  dx. 1. 4. 3 3. 1 4. 0. 0. B.. 3 0. 0. 3. 4.  f  x  dx   f  x  dx. D..  f  x  dx   f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng cong y  x 3 và y = x bằng:. Câu 27:. 1 D. 2 6 Câu 28: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tƣ thứ nhất, giới hạn bởi các đƣờng thẳng y = 4x và đồ thị hàm số y  x 3 là: Câu 29:. A. 0. B. – 4. C.. A. 4. B. 3. C. 5. D. 3,5. Cho đƣờng cong (C): y  x . Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm. M(4;2). Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi (C); d và Ox là: 8 2 16 22 A. B. C. D. 3 3 3 3 Câu 30: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và các đƣờng thẳng x = a, x = b là:.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> b. b. A. S   f  x   g  x   dx. B. S   f  x   g  x  dx. a. a. b. b. C. S   f  x   g  x  dx. D. S   f  x   g  x   dx. a. 2. a. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 , y  2x là:. Câu 31: A.. 4 3. B.. 3 5 23 C. D. 2 3 15 Diện tích miền D đƣợc giới hạn bởi hai đƣờng: y  2x 2 , y  2x  4. 3 13. B. 9. Câu 32: là:. 13 1 D. 3 9 Câu 33: Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2 trục hoành và hai đƣờng thẳng x = - 1, x = 3 28 28 1 1 A. (dvdt) B. (dvdt) C. (dvdt) D. (dvdt) 3 5 9 3 A.. C.. Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  x  3 và. Câu 34: đƣờng thẳng y  2x  1là: A.. 7 (dvdt) 6. B. . 1 1 (dvdt) C. (dvdt) D. 5 (dvdt) 6 6 Diện tích hình phẳng đƣợc giới hạn bởi (C): y  x 2 và d: x + y = 2 bằng:. A.. 7 2. B.. Câu 35:. 9 2. C.. 11 2. D.. 13 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1): y  x 2 và (C2): y  x bằng:. Câu 36:. 4 5 1 C. D. 3 3 3 Câu 37: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số 3 y  x  3x  2 và đồ thị hàm số y  x  2 A.. 2 3. B.. A. S = 8 Câu 38:. B. S = 4 Xét hai biểu thức:. C. S = 16. D. S = 2. (1) cho y1 = f1(x) và y2 = f2(x) là hai hàm số liên tục trên đoạn  a;b  . Giả sử: . , với a    b là nghiệm của phƣơng trình f1(x) – f2(x) = 0. Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi 2 đƣờng thẳng và đồ thị đƣợc cho bởi công thức: . . b. a. . . S   f1  x   f 2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx   f1  x   f 2  x  dx (2) cũng với giả thiết nhƣ (1) nhƣng:.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> . . S. b.   f  x   f  x   dx    f  x   f  x   dx    f  x   f  x   dx 1. 2. 1. 2. . a. 1. 2. . Chọn đáp án đúng: A. (1) đúng nhƣng (2) sai C. Cả (1) và (2) đều đúng. B. (2) đúng nhƣng (1) sai D. Cả (1) và (2) đều sai Câu 39: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 3  3x  2 và đồ thị hàm số y  x  2 A. S = 8. B. S = 4 C. S = 16 D. S = 2 Câu 40: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y  x  1 , trục hoành, trục tung và đƣờng thẳng x = 2 2. 2. A. S   x 2  1 dx. B.. 2   x  1 dx. 2. C. S . D.. 1. 0. 0. . 1. x 2  1 dx. x.  1 dx. 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x2  1, y   x  3 bằng:. Câu 41:. 9 D. 5 2 Gọi a là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng. A.. 3. Câu 42: y. B. 4. C.. cosx+sinx  , x  0, x  và trục Ox. Tìm giá trị của cos : 2 3  sin 2 x. 1 3 2 B. C. 0 D. 2 2 2 Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong. A. Câu 43: các khẳng định sau: 1. 1. 0. 0. A.  ln  x  1 dx  . x 1 dx e 1. 1. 1. . . 4. 4. 0. 0. B.  sin 2 xdx   sin 2 xdx.  1 x  C.  e x dx     dx 1  x   0 0 Câu 44:. 2. 2. 1. 1. D.  e x dx   e x dx 2. 0. 3. 0. Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ trong hình vẽ bên? Khẳng định nào sai? b. A. S   f  x  dx a. b. B. S     f  x   dx a. b. b. C. S   f  x  dx a. D. S .  f  x  dx a.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy, trục Ox và. Câu 45:. đƣờng thẳng x = 2 có diện tích S. Khẳng định nào sau đây đúng:   1   A. tan  1 B. tan  C. tan  1 D. tan  3 S S 2 S S Câu 46: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y = f(x), trục hoadnh và hai đƣờng thẳng x = a, x = b nhƣ trong hình vẽ. Khẳng định nào đúng?. b. A. S   f  x  dx a. Câu 47:. b. b. b. B. S    f  x  dx. C. S   f  x  dx. D. S . a. a. a.  f  x  dx. Diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục và hai đƣờng thẳng x = a, x = b đƣợc tính theo công thức: b. b. A. S   f  x   g  x  dx. B. S .  f  x   g  x  dx. a. a. b. b. b. a. a. C. S    f  x   g  x   dx. D. S   f  x  dx   g  x dx. a. Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y . Câu 48:. 1 , trục hoành x2. và hai đƣờng thẳng x = 1, x = 2 bằng: 1 1 A. B. 4 C. D. 2 2 6 Câu 49: Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y  x2 ; y  x  2 bằng:. 9 9 15 C. D.  2 2 2 x Câu 50: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e , trục Oy, trục Ox và đƣờng thẳng x = 1 có diện tích là: A. S  1 B. S  e  1 C. S  e D. S  e  1 Câu 51: Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số đƣợc cho bởi hình bên dƣới. Diện tích hình phẳng B bằng: A.. 15 2. A. S  B. S . B. . 1. 3. 4. 2 1. 1 3. 3 4. 1. 3. 2 2 2   2 x  4 x  6 dx    2 x  4 x  6  dx    2 x  4 x  6  dx.   2x. 2. 2.  4 x  6  dx    2 x 2  4 x  6  dx    2 x 2  4 x  6  dx.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 1. 3. 4. C. S     2 x  4 x  6  dx    2 x  4 x  6  dx    2 x 2  4 x  6  dx 2. 2 1. D. S .   2x. 2. 1. 2. 2. 3. 3. 4. 1. 3.  4 x  6  dx    2 x 2  4 x  6  dx    2 x 2  4 x  6  dx. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3  3x  2 , trục Oy, trục Ox và đƣờng thẳng x = 1 có diện tích là: 7 1 5 7 A. S   B. S  C. S  D. S  4 4 4 4 Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên) bằng: 9 3 9 9 A. S = 1 B. S  ln 3  C. S  ln 3  4 D. S  ln 3  2 2 2 2 2. Câu 52:. Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + sinx và y = x A. – 4 B. 4 C. 0. D. 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x 2  4 x  3 và y =. Câu 55:. a (là phân số tối giản). Khi đó a + 2b bằng: b A. 67 B. 121 C. 136 Câu 56: (Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đƣờng y  e x , y = 0, x = 0, x = ln4. Đƣờng thẳng x = k (0 < k < lb4) chia (H) thành hai phần có diện tích là S1 , S2 nhƣ hình vẽ bên. Tìm x+ 3 có kết quả dạng. k để S1  2S2 2 A. k  ln 4 3. C. k  ln. B. k  ln 2. 8 3. D. 217. D. k  ln 3. (Chuyên Quốc học Huế lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét hai hình. Câu 57: H1, H2 đƣợc xác định:. . . . . H1  M  x; y  | log 1  x 2  y 2   1  log  x  y  , H 2  N  x; y  | log  2  x 2  y 2   2  log  x  y . Gọi S1, S2 lần lƣợt là diện tích của các hình H1, H2. Tính tỉ số. S1 S2. A. 99. B. 101 C. 102 D. 100 Câu 58: (Đề thi minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 hàm số y  x  x và đồ thị hàm số y  x  x 2 A.. 37 12. B.. 9 4. C.. 81 12. D. 13.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Câu 59:. (Tạp chí THTT Đề 01/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các ln x đƣờng x = 1, x = e, y = 0, y  bằng: 2 x A. 3  e. B. 2  e C. 2  e D. e  3 Câu 60: (Tạp chí THPT Đề 03/2017) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 2 4 hàm số y  2 x  x và trục hoành là: A.. 8 2 15. B.. Ứng dụng 2:. 16 2 15. C. 4 2. D. 2 2. TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ. I. LÝ THUYẾT Bài toán 1: Tính thể tích vật thể Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b. Gọi S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ  a  x  b  (hình bên). Giả sử S  S  x  là một hàm liên tục trên  a; b b. Khi đó, thể tích V của B là V   S  x  dx (5) a. Sử dụng công thức (5), ta tìm đƣợc công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học nhƣ: 1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h, diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ tự là h S0, S1. Thể tích V là: V  S0  S0 S1  S1 3. . . 2) Nhận xét: Khối chóp đƣợc coi là khối chóp cụt có S0=0. Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao h và hS diện tích đáy S là: V  3 3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V = hS Bài toán 2:. Tính thể tích khối tròn xoay.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  a; b , trục Ox và 2 đƣờng thẳng x = a, x = b quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích là: b. Vx    f 2  x  dx (6) a. Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng đƣợc giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn  a; b , trục Oy và hai đƣờng thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta đƣợc khối tròn xoay b. có thể tích là: Vy    g 2  y  dy a. Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V1 ,V2 ,.... mà mỗi phần đƣợc tính bằng các công thức (6), (7) Minh họa các dạng thường gặp: f  x   g  x  , x   a; b. b. V     f 2  x   g 2  x   dx a. f  y   g  y  , y   a; b. g  x   f  x  , x   a; b. b. V     g 2  x   f 2  x   dx a. g  y   f  y  , y   a; b. b. V     g 2  y   f 2  y   dy a.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> b. V     f 2  y   g 2  y   dy a. f  x   g  x  , x   a; c  ;. f  x   h  x  , x   a; c  ;. g  x   f  x  , x  c; b . g  x   h  x  , x  c; b . c. b. a. c. V     f 2  x   g 2  x   dx     g 2  x   f 2  x  dx. c. b. a. c. V     f 2  x   h 2  x   dx     g 2  x   h 2  x  dx. II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA Câu 1:. Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dƣới quanh trục Ox đƣợc tính bằng công thức: b. A. V     f1  x   f 2  x   dx 2. a b. B. V     f1  x   f 2  x   dx 2. a b. C. V     f12  x   f 22  x   dx a b. D. V     f1  x   f 2  x   dx a. Lời giải: b. Ta có: f1  x   f 2  x   0; x   a; b   V     f12  x   f 22  x   dx a.  Chọn đáp án C Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) nhƣ hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b. A. V     f 2  x   g 2  x   dx a b. B. V     g 2  x   f 2  x   dx a.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> c. C. V     f. b. 2.  x   g  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx 2. a c. c b. a. c. D. V     g 2  x   f 2  x   dx     f 2  x   g 2  x  dx Lời giải: Ta có: f  x   g  x   0; x   a; c ; g  x   f  x   0; x  c; b c. V     f. b. 2.  x   g  x  dx     g 2  x   f 2  x  dx 2. a. c.  Chọn đáp án C Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) nhƣ hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) qaunh trục Oy là: b. A. V     g 2  y   f 2  y   dx a b. B. V     g 2  x   f 2  x   dy a a. C. V     g 2  x   f 2  x   dy b. b. D. V     f 2  x   g 2  x   dy a. Lời giải: a. Ta có: g  y   f  y   0; y   a; b  V     g 2  x   f 2  x   dy b.  Chọn đáp án C. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  2  x  và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 4 16 512  A. V  B. V  C. V  D. V  3 15 15 5 Lời giải: x  0 Phƣơng trình: x  2  x   0   x  2 Thể tích khối tròn xoay: 2 2 1  x5 4 x3  2 16 2 2 2 2 V    x  2  x  dx    x  x  4 x  4 dx     x 4  4 x3  4 x 2  dx     x 4    3  0 15 5 0 0 0  Chọn đáp án B 1 Câu 5: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  , trục Ox và hai đƣờng x thẳng x = 1, x = 2. Khối tròn xoay tạo thành khi hình phẳng (H) quay quanh trục Ox có thể tích là: Câu 4:.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> A. V . 7 3. C. V . B. V  ln 2. . D. V   ln 2. 2. Lời giải: 2. Thể tích khối tròn xoay: V    1. 1  2   dx      2 x x 1 2 2.  Chọn đáp án C. Câu 6:. Cho hàm số y  4  x 2 có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox, quanh trục Oy có thể tích là: 32 16 A. V  B. V  3 3 3   2 16  2 4  2   1024 2  C. V  D. V   3 45. . . Lời giải: Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong x  4 4  y , trục Oy và hai đƣờng thẳng y = 0, y = 4 quanh trục Oy 4 4 1 3 4 2 16 V    4  ydy     4  y  2 dy   4  y 2  0 3 3 0 0.  Chọn đáp án B. Câu 7:. Cho hàm số y   x  2  có đồ thị (C), khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C), trục Ox, trục Oy và đƣờng thẳng x = 3 có thể tích là: 33 34 32 33 A. V  B. V  C. V  D. V  5 5 5 5 2. Lời giải: 33 2 Ta có: V     x  2   dx  (đ.v.t.t)   5 3. 2. 0.  Chọn đáp án D. Câu 8:. Thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y  2 x  x , y  x quanh trục Ox là: 1  1  A. V  B. V  C. V  D. V  5 5 6 6 2. Lời giải:.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> x  0 Xét phƣơng trình 2 x  x 2  x  x 2  x  0   ;2 x  x 2  x, x  0;1  x 1 2   V     2 x  x 2   x 2  dx  (đ.v.t.t)   5 0 1.  Chọn đáp án B. Câu 9:. Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đƣờng y  e x , y  0, x  0, x  ln 4 . Đƣờng thẳng x = k  0  k  ln 4  chia (H) thành hai hình phẳng là S1 và S2 nhƣ hình vẽ bên. Quay. S1, S2 quanh trục Ox đƣợc khối tròn xoay có thể tích lần lƣợt là V1 ,V2 . Với giá trị nào của k thì V1  2V2 1 32 1 1 11 32 A. k  ln B. k  ln11 C. k  ln D. k  ln 2 3 2 2 3 3. Lời giải: k. Ta có V1     e. . x 2. 0. ln 4  e2 x  k  e2 k   e2 x  ln 4  e2 k x 2 dx     ; V2     e  dx     8     2 2 2  2 0  2  k k. Theo giả thiết: V1  2V2 .  e2 k 2. . .   e2 k  2  8  2 2 .  1 2k   e  11  k  ln11 2 .  Chọn đáp án B. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đƣờng elip (E) x  9 y  9 quay quanh Ox bằng: A.  B. 2 C. 3 D. 4. Câu 10:. 2. 2. Lời giải: 9  x2 9  x2  V    y 2dx    dx  4 9 9 3 3 3. Ta có: x 2  9 y 2  9  y 2 . 3.  Chọn đáp án D Câu 11: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đƣờng y  x , y  x quanh trục Ox bằng: 1. A.  . . . x  x dx. 0. 1. . . 1. C.    x  x 2  dx. B.   x  x dx 0. 0. Lời giải: Xét phƣơng trình. x0 xx  x  0; x  1 2 x  x 1. Và. . . 1. x  x x   0;1  V    ( x )  x dx     x  x 2  dx 0. 2. 2. 0. 1. D.    x 2  x  dx 0.

<span class='text_page_counter'>(26)</span>  Chọn đáp án C. Câu 12:. Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y  3x  x 2 và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay (H) quanh tục Ox bằng: 9 7 81 A. B. C. D. 9 2 6 10 Lời giải:. 3 x  0 2 81 Xét phƣơng trình: 3x  x 2  0    V     3x  x 2  dx  10 0 x  3  Chọn đáp án B Câu 13: Khối tròn xoay do hình giới hạn bởi các đƣờng y  f  x  , y  0, x  a, x  b,  a  b  quanh trục Ox có thể tích là V1. Khối tròn xoay do hình giới hạn. bởi các đƣờng y  3 f  x  , y  0, x  a, x  b,  a  b  quay quanh trục Ox có thể tích V2. Chọn phƣơng án đúng? A. V1  9V2 B. 6V1  V2 C. V1  V2 D. 9V1  V2. Lời giải: b. b. a. a. b. Ta có: V1    f 2  x  dx;V2    3xf  x  dx  9  f 2  x  dx  9V1 2. a.  Chọn đáp án D Câu 14:. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng a a ;  a; b   ; là phân số tối giản. Khi đó a + b có y  1  x 2 , y  0 quanh trục Ox có kết quả dạng b b kết quả là: A 11 B. 17 C. 31 D. 25. Lời giải Ta có: 1. 1  x  0  x  1 x  1. Vậy V    1  x 2  dx  2. 1. 2. 16  a  16, b  15  a  b  31 15.  Chọn đáp án C Câu 15: Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay đƣợc tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x  1 và trục Ox quay quanh trục Ox biết đáy lọ và miệng lọ có đƣờng kính lần lƣợt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích lọ là: 15 14 15 A. 8 dm3 B.  dm3 C.  dm3 D.  dm3 3 3 2. Lời giải Do đƣờng kính đáy lọ là 2dm nên bán kính đáy lọ là 1 dm. Tƣơng tự, bán kính miệng lọ là 2 dm y  1  x  0; y  2  x  3.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> 3. Vậy V   . . . 2. x  1 dx . 0. 15 dm3 2.  Chọn đáp án C. Câu 16:. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2 x  5, y  x 2  2 . Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox. Một học sinh trình bày bài giải nhƣ sau:  x  1 Bƣớc 1: x 2  2  2 x  5    x3 3. 2 2 Bƣớc 2: VOx     x 2  2    2 x  5  dx   1.  x5  3 575 Bƣớc 3: VOx      10 x 2  21x   (đ.v.t.t)  1 5 5   Hỏi lời giải trên đúng hay sai từ bƣớc nào? A. Lời giải đúng B. Sai từ bƣớc 1 C. Sai từ bƣớc 2 D. Sai từ bƣớc 3. Lời giải 3. 2 2 Ta có: 2 x  5  x  2; x   1;3  VOx     2 x  5    x 2  2   dx   1 2.  Chọn đáp án C Câu 17: Quay hình phẳng (H) nhƣ hình đƣợc tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích là: A. V  4 3 B. V  6 3. C. V  5 3. D. V  2 3. Lời giải 2 2 2  x  y  4 x  3 Xét hệ phƣơng trình:    x  3 x 3  y 1  y 1  Do (H) đối xứng nhau qua Oy nên: 3 3  x3  3 V  2   4  x 2   12  dx  2   3  x 2  dx  2  3x   4 3 3 0  0 0.  Chọn đáp án A.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Câu 18:. Quay hình phẳng (H) nhƣ hình đƣợc tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích: 46 46 A. V  B. V  9 15 23 C. V  D. V  13 9. Lời giải 2 2  x  y  4 Xét hệ phƣơng trình:   x  1  x  1 y  3 x   Do (H) đối xứng nhau qua Oy nên. 3. V  2   4  x 2    0.  . 3x  dx  2  2. 3.  4  x 0. 2.  x5 3x5  3 46  3x 4  dx  2  4 x     3 5  0 15 .  Chọn đáp án B. Câu 19:. Quay hình phẳng (H) nhƣ hình đƣợc tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích là: A. V  3 2 B. V   2 2 2 C. V  D. V  2 2 3 Lời giải.  y  1  1  x2 Ta có: x   y  1  1   y  1  1  x    y  1  1  x 2 2. 2. 2. .  Ta có: V  2   1  1  x 2 0 1.   2. 2. . 2   1  1  x 2  dx  8  1  x 2 dx  0 1.      Đặt x = sint;  t    ;     2 2  . . .  sin 2t  2  V  8  cos tsdt  4  1  cos 2t  dt  4  t   2  2 2  0 0 0 2. 2. 2.  Chọn đáp án D. Câu 20:. Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng  P  : y  x ;  P ' : y  4 x2 ;  d  : y  4 . Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục Ox bằng: 2. A.. 9 5. B.. 4 5. C.. 7 5. D. 2.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Lời giải Đặt V là thể tích cần tìm Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):  x2 x2  4    x  2 Xét phƣơng trình hoành độ giao điểm của (P’) và (d):  x 1 4 x2  4    x  1.  y  x2  VOAC là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H’):  y  4 quanh Ox  Oy . VOAB.  y  4 x2  là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H’’):  y  4 quanh Ox  Oy  2. 2. 2. 1. 2 2 Lúc đó: V  VOAC  VOAB     4   x 2   dx     4   4 x 2   dx     4  x 2  dx     4  16 x 4  dx     0 0 0 0.   x5  2 x5  1 16  4  32 (đ.v.t.t)    4 x      4 x  16     8   4    5 0 5 0 5 5 5     Chọn đáp án B. III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN Câu 1:. Câu 2:. 1 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x3 , y  x 2 quay quanh trục 3 Ox tạo nen khối tròn xoay có thể tích bằng: 486 487 488 489     A. B. C. D. 35 35 35 35 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x  1, x  4 và trục Ox. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> A. V . 7 6. Câu 3:. 6 5 3 C. V  D. V  7 3 5 Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các B. V . đƣờng y  x  2 , trục hoành, x = 3, x = 6 quanh trục Ox bằng: 6. A.. 6. . x  2dx. B..   x  2  dx 3. 3. 6. C.    x  2  dx 3. 2. D.    y 2  2  dy 2. 1. Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đƣờng. Câu 4:. y  x 2  x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 5 6. . C. 3 D. 2 30 Câu 5: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 , trục Oy, trục Ox và đƣờng thẳng x  2 khi quay quanh trục Ox có thể tích là V. Khẳng định nào sau đây đúng? 128 118 128 128 A. B. C. D. 5 5 7 9 Câu 6: Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các A.. B.. đƣờng y  x  1 , trục hoành, x = 2, x = 5 quanh trục Ox bằng: 5. A.. 5. . x  1dx. 2. B..   x  1 dx 2. 2. 2. D.    y 2  1 dx 2. 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng. Câu 7:. 4 y  , y  0, x  1, x  4 quay quanh Ox là: x A. V  6 B. V  12 Câu 8:. 5. C.    x  1 dx. C. V  4. D. V  8. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị số y  x  2 x  1, x  0, y  0, x  2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox 2. có thể tích là:. 5 8 2 C. V  D. V  2 2 3 Câu 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y  x  2 x  1, y  0, x  0, x  2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox A. V . 2 5. B. V . có thể tích là:. 5 8 2 C. V  D. V  2 2 3 Câu 10: Trên mặt phẳng giới hạn (H) nhƣ hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: 5  A. B. C. 3 D. 2 6 30 Câu 11: Cho hình phẳng (H) nhƣ hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: A. V . 2 5. B. V .

<span class='text_page_counter'>(31)</span> b. A. V    f. 2. b.  x   g  x  dx. B. V     f 2  x   g 2  x   dx. 2. a b. a b. C. V    g 2  x   f 2  x   dx. D. V    f  x   g  x   dx. a. a. Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b . Thể tích của khối tròn xoay. Câu 12:. sinh bởi khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x), trục hoành và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox bằng: b. A. V   f. 2. b.  x  dx. B. V    f. a. Câu 13:. 2.  x  dx. b. C. V    f  x  dx. a. b. D. V    f  x  dx. a. a. Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  sinx, y  0, x  0, x   quay quanh trục Ox bằng: A.. 2. B.. 2. 2. C.. 2. D.. 2. 4 3 4 Tính thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng. Câu 14:. y   x2  2, y  1 trục Ox và đƣờng thẳng x = 1 quay quanh trục Ox là: 1. 1. A.     x  1 dx 2. 2. 0. 1. 1. Câu 15:. 1 1. D.     x 2  1 dx    dx. C.     x 2  1 dx    dx 2. 2. 1. 1 1. 1. B.     x  1 dx    dx. 2. 1. 1. 2. 0. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi đƣờng y  x  x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay B xung quanh trục Ox 2. bằng: 5 A. 6 Câu 16:. B..  30. C. 3. D. 2. 6 Cho hình (H) giới hạn bởi các đƣờng y  x  1; y  , x  1 . Quay hình x (H) quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích là: 13 125 35 A. B. C. D. 18 6 6 3 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x , y  x quay quanh trục. Câu 17:. Ox. Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục Ox có thể tích là: A. 0 Câu 18:. B. . C. . D..  6. Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  e x , trục Ox và hai đƣờng thẳng x = 0, x = 1. Thê tích khối tròn xoay khi quay hình đó quanh trục hoành đƣợc cho bởi công thức:.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> 2. 2.  1 2x   1 2x  B.   e dx C.    e dx  D.    e dx  0 0  0  Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các. 1. 1. A.   e dx. 2. 2x. 0. Câu 19:. 2x. đƣờng y  2 x  5 , trục hoành, x = 1, x = 3 quanh trục Ox bằng: 2. A.. . 3. 3. 2 x  5dx. B.. 1. C.    2 x  5 dx.   2 x  5 dx. 3. D.   y 2 dy. 1. 1. 1. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay đƣợc tạo thành khi quay. Câu 20:. hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y  2  x 2 , trục Ox và hai đƣờng thẳng x = - 1, x = 0 xung quanh trục Ox: 0. A. V     2  x 2  dx 1. Câu 21:. 2. 0. B. V    2  x 2  dx 2. 1. 0. 0. 1. 1. C. V     2  x 2  dx D. V    2  x 2 dx. Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y = 3x, y = x, x = 1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích bằng:. 8 A. 3. 8 2 B. 3. C. 8 2. D. 8. Gọi (H) bằng hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x  1, x  4 , Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích bằng: 7 5 7 5 A.  B.  C.  2 D.  2 6 6 6 6 Câu 23: Công thức thể tích V của khối tròn xoay đƣợc tạo khi quay hình cong, giới hạn bởi đồ thị hàm số x  f  y  , trục Oy và hai đƣờng thẳng y = a, y = b (a < b) quay xung Câu 22:. quanh trục Oy là: b. A. V    f  y  dy. b. B. V   f 2  y  dy. a. Câu 24:. a. b. C. V    f 2  y  dy. b. D. V   f  y  dy a. a. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y  3x, y  x, x  0, x  1 . Tính thể tích vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh Ox:. 8 A. 3. 8 2 B. C. 8 2 D. 8 3 Câu 25: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay quanh trục Ox:.  e3  2  A. V      27  Câu 26: y.  5e3  2   13e3  2   13e3  2  B. V    C. V     D. V       27   9   27  Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số. 5  , y  0, x  0, x  . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu đƣợc khi quay (H) quanh trục cosx 3. Ox: A. 5 3. B.. 5 3. C. 5. D..  3.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Câu 27:. Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y  f  x  , y  g  x  và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b). Khi đó thể tích V của khối tròn xoay thu đƣợc khi quay hình (H) xung quanh trục Ox ta có thể đƣợc tính bởi công thức: b. b. A. V     f 2  x   g 2  x   dx. B. V     f 2  x   g 2  x   dx. a. a. b. b. C. V    f 2  x   g 2  x  dx. D. V     g 2  x   f 2  x   dx. a. Câu 28:. 2. a. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  x , x  1, x  1 , trục Ox một vòng quanh trục Ox là: 3. 6 2 D. 7 7 Câu 29: Thể tích khối tròn xoay hình giới hạn bởi các đƣờng 2 y   x  2 x, y  x quay quanh Ox có kết quả là: B. 2. A. . A. Câu 30:.  4. B..  5. C.. C..  6. D..  7. Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đƣờng y  x  x và trục hoành. Thể tích khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 2. A.. 5 6. Câu 31:. . C. 3 D. 2 30 Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới B.. hạn bởi các đƣờng y  3 x , y  0, x  1, x  8 xung quanh trục Ox A. V   2 Câu 32:. 9 93 C. V  18,6 D. 4 5 Kí hiệu V1,V2 lần lƣợt là thể tích hình cầu đơn vị và thể tích khối tròn B. V . xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi đƣờng thẳng y  2 x  2 và đƣờng cong y  2 1  x 2 xung quanh trục Ox. Hãy so sánh V1 ,V2 :. A. V1  V2 Câu 33:. B. V1  V2. C. V1  V2. D. V1  2V2. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đƣờng y  4  x 2 , y  0 xung quanh trục Ox:. 71 512 8 2 C. V  D. 82 15 3 Câu 34: Cho hình (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số 2 y  x  4 x  4, y  0, x  0, x  3 . Khi đó thể tích khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox là: A. V  2. B. V . 33 33 C. D. 33 5 5 Câu 35: Hình (S) giới hạn bởi y  3x  2 , Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox là: A. 33. B..

<span class='text_page_counter'>(34)</span> A.. 4 2 16 C. D. 3 9 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong (P): y  x 2  2 x  2 , tiếp. 8 9. B.. Câu 36:. tuyến của (P) tại điểm A(2;2) và đƣờng thẳng x =1 bằng: 2 1 A. 2 B. C. 3 3. D.. 9 5. 2x 1 , y  0, x  1 . Thể x 1 tích của khối tròn xoay đƣợc tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox bằng:  15   15   15   15  A.    4ln 4  B.   4ln 4  C.    4ln 4  D.   4ln 4  \ 2  2  2  2  Câu 38: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đƣờng x = 0,  1 . Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: x  , y  0, y  4 cosx    A. B. C.  D. 4 2 8 2 Câu 39: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y = x và y  2 x . Khối tròn Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y . Câu 37:. xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích bằng: 1 4 8 A. V   B. V   C. V   D. V  4 3 3 3 Câu 40: Cho hình phẳng giới hạn (H) nhƣ hình vẽ bên. Diện tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: b. c. b. A. S   g  x   f  x  dx    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx a. a. c. b. c. b. a b. a c. c b. a b. a c. c. a. a. B. S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx    f  x   g  x   dx C. S   f  x   g  x  dx    f  x   g  x   dx    g  x   f  x   dx b. D. S   f  x   g  x  dx    f 2  x   g 2  x  dx    g 2  x   f 2  x  dx Câu 41:. c. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đƣờng y  sinx  cosx , trục hoành, x  0, x . A.. 2. quanh trục Ox bằng:. . . . . 2. 2. 2. 2. 0. 0.  sinx+cosx dx. B.. 0. Câu 42:. .   sinx+cosx  dx. C.   sinx+cosxdx D.    sinx+cosx  dx. 0. Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng B giới hạn bởi các đƣờng y   x  4 x và trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay khi quay B quanh trục Ox bằng: 2. A.. 512 15. B.. 512 5. C.. 512 3. D. 512.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đƣờng y = x và trục y = 4 – x. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là: 4 16 32 64 A. V  B. V  C. V  D. 3 3 3 3 Câu 44: Cho hình phẳng giới hạn (H) nhƣ hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox là: Câu 43:. b. A. V     f  x   g  x   dx 2. a b. B. V     g  x   f  x   dx a c. C. V     f 2  x   g 2  x   dx a b. D. V     g 2  x   f 2  x   dx a. Câu 45:. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đƣờng y  x 2  1 , trục hoành, x = - 2, x = 4 quanh trục Ox bằng: 4. A..  x. 2.  1 dx. 2. 4. 4. B.    x  1 dx. C.   x  1dx 2. 2. 2. 2. 4. D.    y 2  1 dy 2. Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn  a; b và thỏa mãn. Câu 46:. 0  f  x   g  x  , x   a; b . Thể tích khối tròn xoay đƣợc sinh ra khi quay hình phẳng đƣợc giới. hạn bởi hai đồ thị hàm số trên và hai đƣờng thẳng x = a, x = b (a < b) quanh trục Ox. Khi đó thể tích đƣợc giới hạn bởi công thức: b. A.   f  x   g  x   dx. b. B.    f  x   g  x   dx. a. Câu 47:. 2. b. b. a. a. C.   f  x   g  x  dx D.    f 2  x   g 2  x   dx. a. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = xlnx, trục Ox và x = e. Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích bằng: A..   5e3  2 .  13e3  2 .  13e3  2 . C. D. 27 27 27 Câu 48: (Đề thi minh họa 2017) Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x y  2  x  1 e , trục tung và trục hoành. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu đƣợc khi quay hình (H) 27. B..   5e3  2 . xung quanh trục Ox: A. V  4  2e Câu 49:. B. V   4  2e  . C. V  e2  5. D. V   e2  5. (Tạp chí THPT đề 04/2017) Thể tích khối tròn xoay nhận đƣợc khi quay hình phẳng giới hạn bởi đƣờng cong y  3x  x 2 và trục hoành quanh trục hoành bằng: A.. 81 10. B.. 85 10. C.. 41 7. D.. 8 7.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Câu 50:. (Tạp chí THPT đề 03/2017)Thể tích V của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x  0  x  1 là một tam giác đều có cạnh là 4 ln  x  1 A. V  4 3  2ln 2  1. Câu 51:. B. V  4 3  2ln 2  1. C. V  8 3  2ln 2  1 D. V  16  2ln 2  1. Quay hình phẳng (H) nhƣ hình đƣợc tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta đƣợc khối tròn xoay có thể tích là:  3 A. V  B. V  12 2 3 C. V  D. V   4.

<span class='text_page_counter'>(37)</span>