Ôn tập Chương III. Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

CHÀO MỪNG CÁC
THẦY CÔ VỀ DỰ
GIỜ LỚP 12 A 3


Với mỗi hàm số F’(x) trong bảng sau hãy tìm
Hồn
thành
sau: mãn.
một hàm
sốbảng
F(x) thỏa
F(x)

F’(x)

F’(x)

2x

x

2

2x

x 5

2x

x2  5

2x

x 2  2017

2x

x 2  2017

2x

x

2

F(x)

2

3sin x

3cosx

3sin x

3cosx

x 2  3sin x

2x+3cosx

x 2  3sin x

2x+3cosx

x

1
2 x
Bảng 1.

1

x

2 x
Bảng 2.



I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT.
1. Nguyên hàm:
Định nghĩa:

F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x)khi nào?

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x  K

Khi F’(x) =

a) Hàm số F(x)= x làø mộtf(x)
nguyên hàm của hàm số f(x)= 2x trên
Ví dụ 1.

2

( ; )

x  ( ; )

khoảng
vì F’(x) = (x2)’= 2x ,
1
b) Hàm số F ( x)  x làø một nguyên hàm của hàm số f ( x) 
1
2 x
, x  (0; )
trên khoảng (0; ) vì F '( x)  x ' 
2 x

 


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:
Định lí 1.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì với mỗi
hằng số C, hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên
hàm của f(x) trên K.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi

ngun hàm của f(x) trên K có dạng nào?


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
1. Nguyên hàm:
Định lí 2.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi
nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với
C là một hằng số.
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a)

x

e dx

b)

cos tdt

c)

1
sin 2 xdx


I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT:
2. Tính chất của nguyên hàm. 3
Cho hàm số f(x) = 4 x  cos x 

Tính chất 1. f '( x) dx  f ( x)  C

3

f
'(
x
)
dx

?


Ví dụ 3. Tìm ngun hàm của các hàm số sau:

a) ( x33) ' dx  x3  C

b)

tan x) ' dx tan x  C
((tan

Tính chất 2.
kf ( x)dx k f ( x )dx
k 0
Muốn tìm ngun hàm của một
tíchngun
dạng hàm của
kf (các
x)dxhàm

(taksốsau:
0)
Ví dụ 4. Tìm
thế
nào?
Tính chấtlàm
3. như
f
(
x
)

g ( x)  dx  f ( x2)dx  g ( x)dx

x



a ) 5e dx





Ví dụ 5. Tìm

(4 x




b)

3

 3)dx



cos

2

x

dx






Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1


a )  6 x 
1 dx
2

sin x 


x3  2 x 2  1
b) 
dx
2
x
Giải:

1


a)  6 x 

1
dx 6 xdx 
2
sin x 


1
2
dx

dx

3
x
 cotx  x  C

sin 2 x 

x3  2 x 2  1
1 

b) 
dx

x

2

dx

2
2 

x
x 

1
x2
1
xdx  2dx   2 dx   2 x   C
x
2
x


(Thêi gian 15 gi©y)

15s
14s
12s
11s
02s
05s
01s
04s
03s
10s
09s
08s
07s
06s
13s

HẾT GIỜ

Bài 2: Tìm ngun hàm của hàm số f(x) = 7 x
a) 7 x dx 7 x.ln 7  C
x

c) 7 dx 7

x 1

x
7
b) 7 x dx 

C
ln 7
x 1
7
d ) 7 x dx 
C
x 1

C

CC


(Thêi gian 15 gi©y)

15s
14s
12s
11s
02s
05s
01s
04s
03s
10s
09s
08s
07s
06s
13s

HẾT GIỜ

Bài 3. F(x) là một ngun hàm của hàm số f ( x) e x  3
Biết F(0) = 6. Tìm F(x)?
a ) F ( x ) e x  3 x  5

b) F ( x) e x  3 x

c) F ( x) e x  1

d ) F ( x) e x  3 x  6
CC


Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là
nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x)=f(x) với mọi x  K
Họ nguyên hàm của hàm số f(x) là

Tính chất 1.
Tính chất 2.
Tính chất 3.

f ( x)dx F ( x)  C

f '( x)dx  f ( x)  C

kf ( x)dx k f ( x)dx  k 0 
 f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx

Ngun hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng
được dùng để tính tốn các tích phân. Mà tích phân
thì lại giúp giải rất nhiều bài tốn thực tế. Ví dụ như tính diên tích
của một cánh cổng hình parabol, tính thể tích của cái trống….
Tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước cịn được gọi
là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân
khơng có các cận.
Dấu  do Leibniz dùng để kí hiệu tích phân, là chữ S kéo
dài theo lối cổ, chỉ chữ cái đầu của chữ sum - tính tổng.