chuyên đề tính đơn điệu và cực trị hàm số lớp 12 Hoàng Xuân Nhân

1

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa tính đơn điệu:
Cho hàm số y = f ( x) xác định trên tập K .
 Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) .
 Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) trên K nếu ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) .
 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì được gọi là đơn điệu trên K .
 Nhận xét: Trong chương trình lớp 10, để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm f ( x) , ta hay
dùng
tỉ số : T
=

f ( x1 ) − f ( x2 )
, ∀x1 ≠ x2 và x1 , x2 ∈ K . Cụ thể là:
x1 − x2

• Nếu T > 0 thì hàm f ( x) đồng biến trên K . (Tức là f ( x1 ) − f ( x2 ) cùng dấu với x1 − x2 ).
• Nếu T < 0 thì hàm f ( x) nghịch biến trên K . (Tức là f ( x1 ) − f ( x2 ) trái dấu với x1 − x2 ).
2. Định lí (tính đơn điệu và dấu của đạo hàm):
Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K .
 Nếu f ′( x) > 0 với mọi x ∈ K thì hàm f ( x) đồng biến trên K .
 Nếu f ′( x) < 0 với mọi x ∈ K thì hàm f ( x) nghịch biến trên K .
 Chú ý:
•

Định lí trên được mở rộng với f ′( x) ≥ 0 (hay f ′( x) ≤ 0 ) trong trường hợp f ′( x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm; khi đó kết luận hàm số đồng biến (hay nghịch biến) vẫn đúng.

Hoàng Xuân Nhà

1


2

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] và có đạo hàm f ′( x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số

•

đồng biến trên [ a; b ] . (Tương tự cho trường hợp hàm số nghịch biến trên [ a; b ] ).

Dạng tốn 1

Sử dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu của hàm số

 Bài tốn 1: Tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và suy ra tính đơn điệu hàm số.
 Phương pháp:
o Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số.
Tìm nghiệm
o Bước 2: Tính y′ = f ′( x) ; cho y′ = 0 
 x1 , x2 ... (nếu có).

o Bước 3: Lập bảng biến thiên.

o Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các
khoảng của tập xác định.

 Lưu ý:
o Khi lập bảng biến thiên, việc xét đúng dấu cho đạo hàm là bước quyết định, nên học
sinh phải tuyệt đối chính xác.
o Ở lớp 10, khi các em xét dấu cho tam thức bậc hai, học sinh đã quen với thuật ngữ

“trong trái ngoài cùng” . Nghĩa là: Khu vực bên trong hai nghiệm thì biểu thức trái
dấu a , khu vực ngồi hai nghiệm thì biểu thức cùng dấu a . Tuy nhiên nếu đạo hàm

khơng có dạng bậc hai, thì thuật ngữ “trong trái ngồi cùng” sẽ khơng thể áp dụng. Vậy
có quy tắc nào chung cho việc xét dấu mọi bài toán?
 Quy tắc chung để xét dấu đạo hàm:
o Để xét dấu đạo hàm y′ trên một khoảng (α ; β ) nào đó, ta chọn một giá trị x0 ∈ (α ; β )
rồi thay vào y′ , từ đó suy ra được dấu của y′ trên (α ; β ) .
o Với quy tắc này, mọi hàm số có đạo hàm phức tạp ta đều có thể được xét dấu chính xác
sau khi ta tìm được nghiệm của đạo hàm.

Hoàng Xuân Nhà

2


3

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) . B. Hàm số đồng biến trên ( −9; −5 ) .
D. Hàm số đồng biến trên ( 5; +∞ ) .

C. Hàm số đồng biến trên  .

Lời giải:
 Tập xác định: D =  .

x = 1
 Ta có y′ = 3 x 2 + 6 x − 9 ; y′= 0 ⇔ 
.
 x = −3
 Bảng biến thiên:

y′
y

−3

−∞

x

0

+

1

+∞

0

−

+

42

+∞

−∞

10

 Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( −∞; −3) , (1; +∞ ) . Hàm số nghịch biến trên
Choïn
khoảng ( −3;1) . 
→C

Ví dụ 2. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =
− x 4 + 2 x 2 − 4 là
A. (−1;0) và (1; +∞).
C. (−1;0) và (0;1).

B. (−∞;1) và (1; +∞).

D. (−∞; −1) và (0;1).
Lời giải:

 Tập xác định: D =  .

x = 0
 Ta có: y′ =
.
−4x 3 + 4x ; y′= 0 ⇔ 
 x = ±1
 Bảng biến thiên:
x

−∞

y′
y

0

−1

+

0

−

0

−3

−∞

1
+

0

+∞

−

−3
−4

−∞

 Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( −∞; −1) , ( 0;1) . Hàm số nghịch biến trên các
Choïn
khoảng: ( −1;0 ) , (1; +∞ ) . 
→ A

Hoàng Xuân Nhà

3


4

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
2x −1
.
x+2
A. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó.
B. Hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
C. Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.
D. Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
Lời giải:

Ví dụ 3. Chọn mệnh đề đúng về hàm số y =

D  \ {−2} .
 Tập xác định:=
 Ta=
có: y′

5

( x + 2)

2

> 0, ∀x ≠ −2 . Nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó.

 Bảng biến thiên:

−∞

x
y′

−2

+∞

+

+
+∞

y

−∞

2

Chọn

2


→C

Ví dụ 4. Cho hàm số=
y

3 x − x 2 . Hàm số đồng biến trên khoảng nào?

 3
A.  0;  .
 2

3 
C.  ;3  .
2 
Lời giải:

B. ( 0;3 ) .

3 

D.  −∞;  .
2 


 Tập xác định: D = [ 0;3] .
3 x − x )′
(=
2

 =
Ta có: y′

2 3x − x

2

3 − 2x
2 3x − x 2

; y′ = 0 ⇔ x =

3
(nhận).
2

 Bảng biến thiên:
x

0

y′
y

+

0

3
2
0
3
2

 3
 Kết luận: Hàm số đồng biến trên  0;  , nghịch biến trên
 2

3

−

0
3 
Choïn
→ A
 ;3  . 
2 

Hoàng Xuân Nhà

4


5

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 5. Cho hàm số y = x + 3 + 2 2 − x . Khẳng định nào sau đây là khẳng đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và nghịch biến trên khoảng (−2; 2).
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −2) và đồng biến trên khoảng (−2; 2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;1) và đồng biến trên khoảng (1; 2) .
Lời giải:
 Tập xác định: D =

( −∞; 2] .

1
2 − x −1
=
1−
 Đạo hàm: y′ =
; y′ =0 ⇔ 2 − x =1 ⇔ x =1 ⇒ y =6.
2− x
2− x
 Bảng biến thiên:
x
1
2
−∞
+∞
y′

−

+

6
y

5

−∞
 Vậy ta hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −∞;1) và nghịch biến trên khoảng (1; 2 ) .

Choïn

→ B

x
+ sin 2 x, với x ∈ [ 0; π ] . Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
A. Hàm số đồng biến trên [ 0; π ] .
B. Hàm số nghịch biến trên [ 0; π ] .

Ví dụ 6. Cho hàm số y=

 7π 
C. Hàm số nghịch biến trên 0;  .
 12 

 7π 11π 
D. Hàm số nghịch biến trên  ;
.
 12 12 

Lời giải:
 Tập xác định: D =

( −∞; 2] .

1
1
1
+ 2sin x cos x =

+ sin 2 x ; y′ =
0 ⇔ sin 2 x =
− .
 Đạo hàm: y′ =
2
2
2

π
π


− + k 2π
− + kπ
x=
2 x =

6
12
(k ∈ ) . Do
⇔
⇔
7
7
π
π
2 x =
x =
+ k 2π
+ kπ



6
12

11π

x=
 x ∈ [ 0; π ] 
12
⇒
.

k ∈ 
 x = 7π

12

Hoàng Xuân Nhà

5


6

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Bảng biến thiên:
x

7π
12

0

y′

+

π

11π
12

0

0

−

+

y

 7π 11π 
Choïn
 Ta thấy mệnh đề đúng là: Hàm số đã cho nghịch biến trên  ;
. 
→ D


12
12



Ví dụ 7. Hàm số y = 2 x 2 − 3 x − 5 đồng biến trên khoảng nào ?
5

B.  −1;  .
2

3

D.  −1;  và
4

Lời giải:

3 5
A. ( −∞; −1) và  ; 
4 2
5

C.  −∞;  .
2


 Tập xác định: D =

5

 ; +∞  .
2


( −∞; 2] .

 Áp dụng công thức (=
u )′

( )

′
=
u

)′
( u=
2

2

2 u2

2 x 2 − 3 x − 5 ) ( 4 x − 3)
(
2u.u ′ u.u ′
, ta có: y′ =
.

=
u
2u
2 2 x 2 − 3x − 5


3
  −1 ≤ x ≤ 4
3


−
<
≤
x
1
( 2 x 2 − 3 x − 5 ) ( 4 x − 3) ≥ 0



5
4.
Xét y′ ≥ 0 ⇔ 
⇔  x ≥
⇔
2

5
2
x >


 2 x − 3 x − 5 ≠ 0


2
5
 x ≠ −1 ∧ x ≠

2
3
5


Choïn
 Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng:  −1;  và  ; +∞  . 
→ D
4
2



Bài toán 2: Xét dấu đạo hàm cho sẵn để kết luận về tính đơn điệu hàm số
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CẦN LƯU Ý:
Cho hàm số f  x  , g  x  cùng có đạo hàm trên tập D. Khi đó:
 k . f ( x ) ′ = k . f ′ ( x ) với k là hằng số
x ) .g ( x ) ′ f ′ ( x ) .g ( x ) + f ( x ) .g ′ ( x )
 f (=

′
 f ( x ) ± g ( x )  =f ′ ( x ) ± g ′ ( x )

 f ( x ) ′ f ′ ( x ) . g ( x ) − f ( x ) . g ′ ( x )

 =
2
 g ( x ) 
 g ( x) 

Hoàng Xuân Nhà

6


7

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Thay x bởi u
y = f ( x ) 
 y = f (u )

 f ( u ) ′ = u ′. f ′ ( u )

Ví dụ 8. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên  là f ′=
( x ) x 2 ( x − 1) . Hàm số đã cho đồng biến trên
khoảng:

B. ( −∞; +∞ ) .

A. (1; +∞ ) .

C. ( 0;1) .

D. ( −∞;1) .

Lời giải:
 Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu:

x = 0
 Ta có f ' ( x ) = 0 ⇔ x 2 ( x − 1) = 0 ⇔ 
.
x = 1
 Bảng biến thiên:
0

−∞

x

y′

1

0

−

−

+∞

0

+

+∞

y

+∞

Choïn
 Ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) . 
→ A

 Cách 2: Giải bất phương trình (cách này thuận lợi hơn trong trắc nghiệm).

x ) x 2 ( x − 1) ≥ 0 ⇔ x − 1 ≥ 0 (do x 2 ≥ 0, ∀x ∈  ) ⇔ x ≥ 1 .
 Ta có: f ' ( =
 Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) .
Ví dụ 9. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên  và có đạo hàm f ′ ( x ) =
( x + 2 )( x − 1)

2018

( x − 2)

2019

.

Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 1 và đạt cực tiểu tại các điểm x = ±2 .
B. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (1; 2 ) và ( 2; + ∞ ) .
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −2; 2 ) .
Lời giải:
 Ta có f ′ ( x ) =
( x + 2 )( x − 1)

=( x 2 − 4 ) ( x − 1)

2018

( x − 2)

2018

2018

( x − 2)

2019

=
( x + 2 )( x − 1)

2018

( x − 2)

2018

( x − 2)

.

Hoàng Xuân Nhà

7


8

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Xét f ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ ( x − 4 ) ( x − 1)
2

2018

( x − 2)

2018

( x − 1)2018 ≥ 0
, ∀x ∈  )
≥ 0 ⇔ x − 4 ≥ 0 (do 

2018
( x − 2 ) ≥ 0
2

 x ≤ −2
⇔
. Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −2 ) , ( 2; +∞ ) ; hàm số nghịch biến trên
x ≥ 2
Chọn
khoảng ( −2; 2 ) . 
→ D

Ví dụ 10. Cho y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) =− x 2 + 5 x − 6, ∀x ∈  . Hàm số y = −5 f ( x ) nghịch biến
trên khoảng nào?

A. ( −∞; 2 ) và ( 3; +∞ ) .

B. ( 3; +∞ ) .

C. ( 2; +∞ ) .

D. ( 2;3) .
Lời giải:

 Đặt g ( x ) =−5 f ( x ) , ∀x ∈  . Ta có g ′ ( x ) = −5 f ′ ( x ) mà f ' ( x ) =− x 2 + 5 x − 6, ∀x ∈  nên

−5 ( − x 2 + 5 x − 6 ) =
g′( x) =
5 x 2 − 25 x + 30 ;
 Xét g ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ 5 x 2 − 25 x + 30 ≤ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3 . Do đó hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( 2;3) .

Chọn

→ D

Ví dụ 11. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) =

( 3 − x ) ( x 2 − 1) + 2 x, ∀x ∈  .

Hỏi hàm số

g ( x=
) f ( x ) − x 2 − 1 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây ?
B. ( −∞ ;1) .

A. ( 3; + ∞ ) .

C. (1; 2 ) .

D. ( −1;0 ) .

Lời giải:
 Ta có: g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − 2 x =( 3 − x ) ( x 2 − 1) + 2 x − 2 x =( 3 − x ) ( x 2 − 1) ;

x = 3
f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( 3 − x ) ( x 2 − 1) = 0 ⇔ 
.
 x = ±1
 Bảng biến thiên:
x

y′

−∞

1

−1

+

0

−

0

3
+

0

+∞

−

y
ơ

Choïn
 Ta thấy hàm số đồng biến trên các khoảng ( −∞; −1) , (1;3) . 

→C

Hoàng Xuân Nhà

8


9

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 12. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên  và có đạo hàm y = f ' ( x ) thỏa mãn

f ' ( x ) =−
(1 x )( x + 2 ) g ( x ) + 2021 trong đó g ( x ) > 0, ∀x ∈ .
Hàm số y = f (1 − x ) + 2021x + 2020 nghịch biến trên khoảng nào?
A. ( 0;3) .

B. ( −∞;3) .

C. (1; +∞ ) .

D. ( 3; +∞ ) .

Lời giải:

− f ′ (1 − x ) + 2021.
 Đặt h ( x ) = f (1 − x ) + 2021x + 2020 ⇒ h′ ( x ) =−

(1 x )′ . f ′ (1 − x ) + 2021 =
 Theo đề f ′ ( x ) = (1 − x )( x + 2 ) g ( x ) + 2021 ⇒ f ′ (1 − x ) = x ( 3 − x ) g (1 − x ) + 2021.
Thay x bởi 1 – x
 Do đó h′ ( x ) =
−  x ( 3 − x ) g (1 − x ) + 2021 + 2021 =
x ( x − 3) g (1 − x ) .
Mặt khác g ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ g (1 − x ) > 0, ∀x ∈ .
Chọn
 Do đó h′ ( x ) ≤ 0 ⇔ x ( x − 3) ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 3. 
→ A

x ( 2 x + 1) .g ( x ) + 1 trong đó
Ví dụ 13. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và f ′ ( x ) =
g ( x ) > 0, ∀x ∈  . Hàm số y= f ( 2 − x ) + x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
 5
A.  2;  .
 2

B. ( −∞; 1) .

 3
C. 1;  .
 2
Lời giải:

D. ( 0; 1) .

− f ′(2 − x) +1.
 Đặt h ( x )= f ( 2 − x ) + x , suy ra h′ ( x ) =
( 2 − x )′ f ′ ( 2 − x ) + x′ =

x ( 2 x + 1) .g ( x ) + 1
 Ta có f ′ ( x ) =
⇒ f ′ ( 2 − x ) = ( 2 − x )  2 ( 2 − x ) + 1 g ( 2 − x ) + 1 = ( 2 − x )( 5 − 2 x ) g ( 2 − x ) + 1 .
Do đó: h′ ( x ) =
− ( 2 − x )( 5 − 2 x ) g ( 2 − x ) + 1 + 1 =
( x − 2 )( 5 − 2 x ) g ( 2 − x ) .

 Theo đề, g ( x ) > 0, ∀x ∈  ⇒ g ( 2 − x ) > 0, ∀x ∈  , do đó:

5
h′ ( x ) ≥ 0 ⇔ ( x − 2 )( 5 − 2 x ) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ .
2

 5
Choïn
 Vậy hàm số y= f ( 2 − x ) + x đồng biến trên  2;  . 
→ A
 2

Bài toán 3: Dựa vào bảng biến thiên có sẵn để kết luận về tính đơn điệu
 Phương pháp chung:
o Đặt g ( x ) là hàm số cần xét, ta tính đạo hàm g ′ ( x ) .

Hoàng Xuân Nhà

9


10

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

o Kết hợp các nguyên tắc xét dấu tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức để có được bảng xét
dấu cho g ′ ( x ) .
o Dựa vào bảng xét dấu của g ′ ( x ) để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

 Nhắc lại quy tắc về dấu của tích, thương, tổng (hiệu) các biểu thức:
f ( x)






g ( x)









f ( x ) .g ( x )









f ( x) : g ( x)









f ( x) + g ( x)





Chưa biết

Chưa biết

Ví dụ 14. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số y = −2018. f ( x ) đồng
biến trên khoảng nào dưới đây?
x

1



y








y



0

A. ( −∞;0 ) .

0

C. ( 0; +∞ ) .

B. (1; +∞ ) .

D. ( −∞;1) .

Lời giải:
 Đặt g ( x ) = −2018. f ( x ) , ta có: g ′ ( x ) = −2018. f ′ ( x ) .
 Xét g ′ ( x ) =−2018. f ′ ( x ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( x ) ≤ 0 ⇔ x ≥ 1 .
Choïn
 Vậy hàm số y = −2018. f ( x ) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) . 
→ B

Ví dụ 15. Cho hàm số f ( x ) . Hàm số y = f ′( x ) có bảng xét dấu như sau:
x

−∞

f ′( x)

−

(

)

−2
0

3

1
0

+

+

Hàm số y = f x 2 + 2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. ( 0;1) .

B. ( −2; −1) .

C. ( −2;1) .

0

+∞

−

D. ( −4; −3) .

Lời giải:
 Đặt g ( x ) = f ( x 2 + 2 x ) ⇒ g ′ ( x ) = ( x 2 + 2 x )′ . f ′ ( x 2 + 2 x ) = ( 2 x + 2 ) . f ′ ( x 2 + 2 x ) .
2 x + 2 ≥ 0
2 x + 2 ≤ 0
 Xét g ( x ) ≤ 0 ⇔ ( 2 x + 2 ) . f ′ ( x 2 + 2 x ) ≤ 0 ⇔ 
(1)
(2)
∨

′ 2
′ 2
 f ( x + 2 x ) ≤ 0
 f ( x + 2 x ) ≥ 0

Hoàng Xuân Nhà

10


11

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 x ≥ −1
 x ≥ −1

2 x + 2 ≥ 0

  x ∈∅
⇔   x 2 + 2 x ≤ −2 ⇔  
⇔ x ≥ 1 . (*)
 Giải (1), ta có: 
2
′
 2
  x ≤ −3
 f ( x + 2 x ) ≤ 0
 x + 2 x ≥ 3
  x ≥ 1

 x ≤ −1

 x ≤ −1
 2
2 x + 2 ≤ 0

 Giải (2), ta có: 
⇔  x + 2 x ≥ −2 ⇔  x ∈ 
⇔ −3 ≤ x ≤ −1 . (**)
2
 f ′ ( x + 2 x ) ≥ 0
 x2 + 2x ≤ 3

−3 ≤ x ≤ 1

 Hợp hai kết quả (*), (**), ta được: x ∈ S =

[ −3; −1] ∪ [1; +∞ ) . Ta thấy ( −2; −1) ⊂ S , do đó

Chọn
∀x ∈ ( −2; −1) thì hàm số y = f (x 2 + 2 x ) nghịch biến. 
→ B

Giải thích ():

t ≤ −2
o Từ bảng biến thiên, ta dễ dàng có được: f ′ ( t ) ≤ 0 ⇔ 
.
t ≥ 3
 
x 2 + 2 x ≤ −2
 2


 t
o Thay t bởi x 2 + 2 x , ta có: f ′  
.
x + 2x  ≤ 0 ⇔  2
+
≥
2
3
x
x
 t 


 t

Ví dụ 16. Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x

4



f ( x)



0

1



0

2



0

4


0





2 2
x − 8 x + 5 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây ?
3
1

B. (1; + ∞ ) .
C.  −1;  .
D. ( −∞ ; − 2 ) .
2


Lời giải:

y f (2 x + 1) +
Hàm số =
A. ( −1;7 ) .

 Đặt g ( x=
) f (2 x + 1) +

2 2
4
2


x − 8 x + 5 ⇒ g ′ ( x=
8 2  f ′(2 x + 1) + x − 4  .
) 2 f ′(2 x + 1) + x −=
3
3
3



1
5
 5

− ≤x≤
x≤−



−
≤
+
≤
x
4
2
1
2

2
2
⇔ 2
 Xét f ′(2 x + 1) ≤ 0 ⇔ 
; do đó f ′(2 x + 1) ≥ 0 ⇔ 
.
2 x + 1 ≥ 4
x ≥ 3
1 ≤ x ≤ 3

 2
2
2
2
 Xét x − 4 = 0 ⇔ x = 6.
3
 Ta có bảng xét dấu tạm thời như sau:

Hoàng Xuân Nhà

11


12

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
x





5
2

1
2

3
2

6

f ′(2 x + 1)



2
x4
3









Chưa
biết
dấu



Chưa
biết
dấu



f ′(2 x + 1) +

2
x−4
3

0

0



0








0



Chưa
biết
dấu

 5 1 3 
 Từ bảng trên, ta thấy hàm số g ( x ) chắc chắn nghịch biến trên các khoảng:  − ;  ,  ;6  .
 2 2 2 
1  5 1

Chọn
Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn vì  −1;  ⊂  − ;  . 

→C
2  2 2


Đúc kết: Qua bài trên, ta thấy việc xét dấu tổng, hiệu các biểu thức vốn là bài tốn khơng quen
thuộc của đa số học sinh (các em chỉ quen xét dấu tích, thương các đa thức mà thơi). Vì vậy, ta cần
rút ra thuật toán cho loại toán này.
g ′ ( x ) k . f ′ ( x ) + h ( x ) khi đã biết bảng xét dấu của f ′ ( x ) , k là hằng số.
Bài toán: Xét dấu=
o Cho h ( x ) = 0 để tìm các nghiệm x1 , x2 ... (nếu có).

o Lập bảng xét dấu với mỗi hàng lần lượt dành cho x, k . f ′ ( x ) , h ( x ) , kf ′ ( x ) + h ( x ) theo quy
tắc: Tổng hai số dương là một số dương, tổng hai số âm là một số âm, tổng hai số trái dấu thì
chưa xác định được dấu.
Ví dụ 17. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x
f ( x)

1

1




0



0

5

2



0



0





Hàm số y= 3 f ( − x + 2 ) + x3 + 3 x 2 − 9 x + 2018 nghịch biến trên khoảng nào dưới đấy?
3
A.  −∞; −  .
2


3
B.  0;  .
 2

C. ( 2; +∞ ) .

 3 

D.  − ;1 .
 2 

Lời giải:
 Đặt g ( x=
) 3 f ( − x + 2 ) + x3 + 3x 2 − 9 x + 2018 ; đạo hàm: g ′ ( x ) =−3 f ′ ( − x + 2 ) + 3x 2 + 6 x − 9 .

 −1 ≤ − x + 2 ≤ 1  −3 ≤ − x ≤ −1 3 ≥ x ≥ 1
⇔
⇔
 Xét −3 f ′ ( − x + 2 ) ≥ 0 ⇔ f ′ ( − x + 2 ) ≤ 0 ⇔ 
.
− x + 2 ≥ 5
− x ≥ 3
 x ≤ −3
 −3 ≤ x ≤ 1
Do đó −3 f ′ ( − x + 2 ) ≤ 0 ⇔ 
.
x ≥ 3
x = 1
Xét 3 x 2 + 6 x − 9 = 0 ⇔ 
.
 x = −3
Hoàng Xuân Nhà

12


13

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Bảng xét dấu tạm thời như sau:
x

+

3



3

1

−3 f ′ ( − x + 2 )



0



0



3x 2 + 6 x − 9



0



0





0



0

−3 f ′ ( − x + 2 ) 
 g′( x)
3 x 2 + 6 x − 9 



0






Chưa
biết
dấu

 3 
 Ta thấy hàm số g ( x ) chắc chắn nghịch biến trên ( −3;1) mà  − ;1 ⊂ ( −3;1) nên hàm g ( x )
 2 
 3 
Choïn
nghịch biến trên  − ;1 . 
→ D
 2 

Dạng tốn 2

Tìm tham số thỏa mãn tính đơn điệu của hàm số

 Bài tốn 1: Tìm tham số m để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d đơn điệu trên  .
 Phương pháp:
o Bước 1: Tập xác định: D = .
o Bước 2: Đạo hàm y′ = 3ax 2 + 2bx + c .
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu (khi a ≠ 0 ).
a y′ > 0 Giải tìm
 m.
 Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ 
∆ y′ ≤ 0
a y′ < 0 Giải tìm
 m.
 Hàm số nghịch biến trên  ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 

∆ y′ ≤ 0
 Lưu ý: Nếu hàm bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d có a chứa tham số thì ta cần xét a = 0 để kiểm tra
xem hàm số có đơn điệu trên  hay khơng.
ax + b
 Bài tốn 2: Tìm tham số m để hàm số y =
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi
cx + d
khoảng xác định của nó.
 Phương pháp:
 d
o Tập xác định:=
D  \ −  .
 c
ad − bc
o Đạo hàm: y′ =
.
(cx + d ) 2
o Điều kiện đơn điệu:
Giải tìm
m .
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ > 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc > 0 
Giải tìm
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ ad − bc < 0  m .

Hoàng Xuân Nhà

13


14

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

ax + b
có c chứa tham số thì ta nên xét c = 0 để kiểm tra xem hàm số có
cx + d
đơn điệu trên từng khoảng xác định của nó hay khơng.

 Lưu ý: Nếu hàm số y =

ax 2 + bx + c
 Bài tốn 3: Tìm tham số m để hàm số y =
( ad ≠ 0 ) đơn điệu trên mỗi khoảng
dx + e
xác định của nó.
 Phương pháp:
 e
o Tập xác định:=
D  \ −  .
 d
2
a c
b c
a b
Ax + Bx + C
=
B
2

=
,
C
0
A
=
≠
o Đạo hàm: y′ =
với
,
.
0 e
d e
0 d
(dx + e) 2
o Điều kiện đơn điệu:
 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D
 A > 0 Giải tìm
⇔ Ax 2 + Bx + C ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ 
 m .
∆ ≤ 0
 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D
 A < 0 Giải tìm
⇔ Ax 2 + Bx + C ≤ 0, ∀x ∈  ⇔ 
 m .
∆ ≤ 0
 Lưu ý:
ax 2 + bx + c
 Nếu gặp câu hỏi tương tự dành cho hàm số y = 2
thì ta cũng làm theo phương

dx + ex + f
pháp nêu trên.
 Một điều khác nhau mà học sinh cần phân biệt giữa bài toán 2, bài toán 3 là: Đối với bài
toán 2, đạo hàm y′ chỉ lớn hơn 0 hoặc nhỏ hơn 0 chứ không được cho y′ ≥ 0, y′ ≤ 0. Lý do

là nếu ta cho y′ = 0 thì sẽ có vơ số giá trị x thỏa mãn (mà định nghĩa nêu rõ y′ = 0 tại một
số hữu hạn điểm x mà thơi).

Ví dụ 18. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số y=
trên  .
A. m = 2 .

B. m = −2 .

1 3
x − mx 2 + ( 8 − 2m ) x + m + 3 đồng biến
3

C. m = 4 .
Lời giải:

D. m = −4 .

 Ta có y′ = x 2 − 2mx + ( 8 − 2m ) . Nhận thấy a = 1 ≠ 0 .

1 ≥ 0
a > 0
⇔ 2
⇔ −4 ≤ m ≤ 2.
 Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ 

m
−
8
+
2
m
≤
0
 ∆′ ≤ 0

Choïn
 Ta thấy m = 2 thỏa mãn đề bài. 
→ A

Hoàng Xuân Nhà

14


15

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 19. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = ( m − 1) x 3 + ( m − 1) x 2 − ( 2m + 1) x + 5 nghịch
biến trên tập xác định.
5
2
A. − ≤ m ≤ 1 .

B. − ≤ m < 1 .
4
7

C. −

7
≤ m < 1.
2

D. −

2
≤ m ≤ 1.
7

Lời giải:
 Ta có: y′ = 3 ( m − 1) x 2 + 2 ( m − 1) x − ( 2m + 1) .
 Xét m − 1 = 0 ⇔ m = 1 , ta có: y′ =−3 < 0, ∀x ∈  nên hàm số đã cho nghịch biến trên  . Do đó

m = 1 thỏa mãn. (*)
 Xét m − 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1 . Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi và chỉ khi:
m − 1 < 0
m < 1
2
⇔ 2
⇔ − ≤ m < 1 . (**)

2
7

∆=′ ( m − 1) + 3 ( m − 1)( 2m + 1) ≤ 0
7 m − 5m − 2 ≤ 0
 Hợp các kết quả của (*) và (**), ta có −

2
Chọn
→ D
≤ m ≤ 1 thỏa mãn đề bài. 
7

 Nhận xét: Hai ví dụ trên có sự khác nhau về lời giải bởi một trường hợp thì a ln khác 0; trường
hợp cịn lại thì a chứa tham số m, khi đó ta phải xét thêm a = 0 để kiểm tra xem đạo hàm có ln mang
một dấu thỏa mãn đề bài khơng.
Ví dụ 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
khoảng xác định của nó?
A. 5.
B. 2.

C. 3.
Lời giải:

D  \ {−4} . Đạo hàm: y′ =
 Tập xác định:=

D. 1.

4 − m2

( x + 4)

x + m2
đồng biến trên từng
x+4

2

.

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó ⇔ y′ > 0, ∀x ≠ −4

⇔ 4 − m 2 > 0 ⇔ m 2 < 4 ⇔ m ∈ (−2; 2) . Vì m ∈  ⇒ m ∈ {−1;0;1} .
Chọn
 Vậy có 3 giá trị của m thỏa mãn. 
→C

Ví dụ 21. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
khoảng xác định của nó?
A. 5 .
B. Vô số.

C. 7 .
Lời giải:

9x + m
nghịch biến trên từng
mx + 1

D. 3 .

 Nhận thấy c = m chưa chắc khác 0 nên ta xét c= m= 0 trước. Khi đó y = 9 x có y′= 9 > 0

(khơng thỏa mãn đề bài).
Hồng Xn Nhà

15


16

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Xét c= m ≠ 0 , ta có y′ =

⇔ y′ < 0, ∀x ≠ −

9 − m2

( mx + 1)

2

. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định

 m < −3
1
⇔ 9 − m2 < 0 ⇔ 
. Vì m ngun nên có vơ số giá trị m thỏa mãn đề
m
m > 3

Chọn
bài. 
→ B

Ví dụ 22. Hàm số y =

x 2 + ( m + 1) x − 1

2− x
khi các giá trị của m là

A. m ≥ 1 .

( m là tham số) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

B. m = −1 .

C. m ≤ −

5
.
2

Lời giải:

2} . Đạo hàm: y′
 Tập xác định: D =  \ {=

− x 2 + 4 x + 2m + 1
=

2
(2 − x)

D. −1 < m < 1 .

g ( x)

(2 − x)

2

.

 Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi và chỉ khi y′ ≤ 0, ∀x ∈ D
(Dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm trên D ) ⇔ g ( x ) =− x 2 + 4 x + 2m + 1 ≤ 0, ∀x ∈ D
5
Choïn
→C
⇔ ∆′g ≤ 0 ⇔ 4 − ( −1) . ( 2m + 1) ≤ 0 ⇔ 2m + 5 ≤ 0 ⇔ m ≤ − . 
2

 Bài tốn 4: Tìm tham số m để hàm số lượng giác đơn điệu trên  .
 Phương pháp:
 Cách giải 1: Cô lập m về một vế.
=
y′ f ′ ( x ) ≥ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số đồng biến trên .
o Tính đạo hàm y′ = f ′ ( x ) , cho

=
y′ f ′ ( x ) ≤ 0 nếu đề bài yêu cầu hàm số nghịch biến trên .

Ngược lại:

o Cơ lập m để có được dạng g ( m ) ≥ h ( x ) (hoặc g ( m ) > h ( x ) ; g ( m ) ≤ h ( x ) ; g ( m ) < h ( x ) ).
o Tìm Max-Min cho hàm số h ( x ) trên . (Hoặc lập bảng biến thiên cho hàm h ( x ) ).
o Dựa vào giá trị Max-Min hoặc bảng biến thiên để kết luận về điều kiện của m.
 Cách giải 2: Sử dụng tính chất của hàm số bậc nhất
o Đặt t = sin x (hoặc t = cos x ) với điều kiện t ∈ [ −1;1] .

a.1 + b ≥ 0
+
b ≥0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔ 
o Bất phương trình: a sin x + b ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ at
.

−
+
≥
a
.
1
b
0
(
)

t =sin x

a.1 + b < 0
+
b <0, ∀t ∈ [ −1;1] ⇔ 

o Hoàn toàn tương tự: a cos x + b < 0, ∀x ∈  ⇔ at
.

−
+
<
a
b
.
1
0
)
(

t = cos x


Hoàng Xuân Nhà

16


17

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

y ax + b . Vì đạo hàm của
 Nhận xét: Ý tưởng của cách giải 2 là tận dụng tính chất của hàm số =

nó khơng đổi dấu trên [α ; β ] bất kì nên chỉ cần y (α ) ≥ 0, y ( β ) ≥ 0 thì y ≥ 0, ∀x ∈ [α ; β ] ; tương
 y (α ) < 0
a.α + b < 0
tự như thế: y= ax + b < 0, ∀x ∈ (α ; β ) ⇔ 
⇔
.
a.β + b < 0
 y ( β ) < 0

Ví dụ 23. Tìm tất cả các giá trị của m ∈  để hàm số y = sin x + cosx + mx đồng biến trên  .
A. − 2 ≤ m ≤ 2 .

B. − 2 < m < 2 .

C. m ≥ 2 .

D. m ≥ 2 .

Lời giải:

 Ta có: y′ = cosx − s inx + m .

 Hàm đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ cosx − s inx + m ≥ 0, ∀x ∈ 

π

m ≥ s inx − cosx, ∀x ∈  ⇔ m ≥ 2 sin  x −  , ∀x ∈  . (*)
4


π

2 sin  x −  bằng
4


 Ta thấy giá trị lớn nhất của

Choïn
2 nên (*) ⇔ m ≥ 2. 
→C

Ghi nhớ:
o Giả sử hàm g ( x ) tồn tại Max-Min trên  . Ta có:

m ≥ g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≥ Max g ( x )

m > g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m > Max g ( x )

m ≤ g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≤ Min g ( x )

m < g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m < Min g ( x )









o Nếu hàm g ( x ) không tồn tại Max-Min trên  , tuy nhiên thơng qua bảng biến thiên ta tìm
được điều kiện bị chặn: M 1 < g ( x ) < M 2 , khi đó:

m ≥ g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≥ M 2

m > g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≥ M 2

m ≤ g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≤ M 1

m < g ( x ) , ∀x ∈  ⇔ m ≤ M 1

Ví dụ 24. Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số
=
y
trên tập xác định .
5
5
A. m ≤ .
B. m < .
2
2

3 sin 2 x + cos 2 x − ( 2m − 1) x + 2021 đồng biến

C. m ≥

5
.

2

3
D. m ≤ − .
2

Lời giải:

 Ta có:
y′ 2 3 sin 2 x − 2 cos 2 x − ( 2m − 1) . Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ 
=
⇔ 2 3 sin 2 x − 2 cos 2 x − ( 2m − 1) ≥ 0, ∀x ∈ 

 3

π
1

⇔ 2m − 1 ≤ 4 
sin 2 x − cos 2 x  , ∀x ∈  ⇔ 2m − 1 ≤ 4sin  2 x −  , ∀x ∈  (*)
2
6

 2


Hoàng Xuân Nhà

17

18

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

π
3

 Ta thấy giá trị nhỏ nhất của 4sin  2 x −  bằng −4 nên (*) ⇔ 2m − 1 ≤ −4 ⇔ m ≤ − .
2
6

Chọn

→ D

Ví dụ 25. Cho hàm số y= (2m + 1) sin x + (3 − m) x . Tìm tất cả giá trị thực của m để hàm số đã cho
đồng biến trên .
1
A. m = − .
2

 1 2
B. m ∈  − ;  .
 2 3

2


C. m ∈  −4;  .
3


1

D. m ∈  −4; −  .
2


Lời giải:

 Đạo hàm: y=′ (2m + 1) cos x + 3 − m .
 Hàm số đồng biến trên  ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ (2m + 1) cos x + 3 − m ≥ 0, ∀x ∈  (*)

=
t cos x, t ∈ [ −1;1] . (*) được viết lại: (2m + 1)t + 3 − m ≥ 0, ∀t ∈ [ −1;1]
 Đặt

g (t )

2

 g (−1) ≥ 0
−2m − 1 + 3 − m ≥ 0
2
m ≤

⇔
⇔

⇔
3 . Vậy m ∈  −4;  thỏa mãn đề bài.
3

 g (1) ≥ 0
 2m + 1 + 3 − m ≥ 0
m ≥ −4
Choïn

→C

ax + b
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) đơn điệu trên
cx + d
một khoảng K cho trước (với K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

y
=
 Bài tốn 5: Tìm tham số m để hàm số nhất biến
 Phương pháp:

 d
o Bước 1: Tập xác định:=
D  \ −  .
 c
ad − bc
o Bước 2: Đạo hàm y′ =
.
(cx + d ) 2
o Bước 3: Điều kiện đơn điệu:

 y′ > 0
ad − bc > 0


Giải tìm

m .
 Hàm số đồng biến trên K ⇔ 
⇔ d
d
 x ≠ − c , ∀x ∈ K
− c ∉ K
 y′ < 0
ad − bc < 0


Giải tìm

m .
 Hàm số nghịch biến trên K ⇔ 
⇔ d
d
≠
−
∀
∈
−
∉
x
,

x
K
K

 c
c

Hoàng Xuân Nhà

18


19

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Mở rộng Bài tốn 5: Tìm tham số m để =
hàm số y

a .u ( x ) + b
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) đơn điệu
c .u ( x ) + d

trên khoảng K cho trước.
Cách tính nhanh đạo hàm loại này

Đạo hàm của hàm số đã cho là tích hai
vế phải của (1) và (2).

t u ( x ) ⇒ t=′ u′ ( x ) (1)
Đặt =
y′ =

at + b
ad − bc
(2)
f (t ) =
⇒ f ′ (t ) =
2
ct + d
( ct + d )

ad − bc
c.u ( x ) + d 

2

.u ′ ( x )

Nếu học sinh thực hiện cách tính như trên vài lần thì những bài sau đó các em có thể nhẩm
được đạo hàm rất nhanh chóng và chính xác.
( m + 1) cos x − m . Ta thực hiện như bảng sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y =
2 cos x + m
Đạo hàm của hàm số đã
cho là tích hai vế phải của
(1) và (2).
Đặt t =

cos x ⇒ t ′ =
− sin x (1)
m 2 + 3m
2 =
′
y
. − sin x )
m ( m + 1) − 2 ( −m ) m + 3m
( m + 1) t − m ⇒ f=
2 (
′ (t )
(2)
=
f (t )
=
2
cos
x
+
m
(
)
2
2
2t + m
( 2t + m )
( 2t + m )

Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để hàm số y =

(10; +∞ ) ?
A. 3.

B. Vô số.

D  \ {−5m} .
 Tập xác định :=
 Ta có y′ =

5m − 6

( x + 5m )

2

C. 4.

x+6
nghịch biến trên khoảng
x + 5m

D. 5.

Lời giải:

. Hàm số nghịch biến trên khoảng (10; +∞ ) ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ (10; +∞ )

6

5m − 6 < 0

6
m <
⇔
⇔
⇔ −2 ≤ m < .
5
5
−5m ∉ (10; +∞ )
−5m ≤ 10
Choïn
 Do m ∈  ⇒ m ∈ {−2; −1; 0; 1} . 
→C

Hoàng Xuân Nhà

19


20

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 27. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

( −3;1) ?
A. 2 .

B. 3 .

mx − 4
nghịch biến trên khoảng
m−x

C. 1 .

D. 4 .

Lời giải:
 Tập xác định: D =  \ {m} ; y′ =


2

m −4

.

(m − x)
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( −3;1) ⇔
2

y′ < 0, ∀x ∈ ( −3;1)

−2 < m < 2
m 2 − 4 < 0


⇔

⇔   m ≤ −3 ⇔ 1 ≤ m < 2 .

m ≥ 1
m ∉ ( −3;1)

Choïn
 Do m ∈  nên m = 1 . Vậy có một giá trị m thỏa mãn đề bài. 
→C

Ví dụ 28. (Đề Minh họa lần 1, 2017, BGD) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =

 π
đồng biến trên  0;  .
 4
A. m < 2 .
C. 1 ≤ m < 2 .

tan x − 2
tan x − m

B. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2 .
D. m ≤ 0 .
Lời giải:

 π
 π
 Điều kiện: tan x − m ≠ 0, ∀x ∈  0;  ⇔ m ≠ tan x, ∀x ∈  0; 
 4
 4
m ≤ 0

⇔ m ≠ tan x, ∀ tan x ∈ ( 0;1) ⇔ m ∉ ( 0;1) ⇔ 
. (*)
m ≥ 1
 Tính đạo hàm nhanh bằng phương pháp sau:
Đạo hàm của hàm số đã cho là
tích hai vế phải của (1) và (2).

Đặt =
t tan x ⇒ t=′

1
(1)
cos 2 x

y′ =

t −2
−m + 2
(2)
f (t ) =
⇒ f ′ (t ) =
2
t −m
(t − m)
 π
 Ta có y′ > 0, ∀x ∈  0;  ⇒ −m + 2 > 0 ⇒ m < 2 .
 4
m ≤ 0
Choïn
 Từ (*) và (**) suy ra 

. 
→ B
1
m
2
≤
<


−m + 2

tan x − m )
(
2

.

1
2
cos
x

+

+

(**)

Hoàng Xuân Nhà

20


21

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Ví dụ 29. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y =
A. m ≥ −1 .

B. m > −1 .

sin 2 x − 1
đồng biến trên
sin 2 x + m

C. m ≥

1
.
2

 −π π 
; .

 12 4 

D. m > 1 .

Lời giải:
−π
π
−π
π
−1
 Ta có:
< 2x < ⇒
< sin 2 x < 1 . Học sinh
12
4
6
2
2
dùng đường tròn lượng giác để kiểm chứng.
 −π π 
 Điều kiện: sin 2 x + m ≠ 0, ∀x ∈ 
; 
 12 4 
1
1


−m ≤ −
m≥
 1 



⇔ −m ≠ sin 2 x, ∀ sin 2 x ∈  − ;1 ⇔
2⇔
2 (*)


 2 
 −m ≥ 1
 m ≤ −1
 Đạo hàm:
Đạo hàm của hàm số đã cho là
tích hai vế phải của (1) và (2).
Đặt=
t sin 2 x ⇒ =
t ′ 2 cos 2 x (1)
m +1
y′ =
.2 cos
2x

2
t −1
m +1
+
sin
2
x
m
(
)
+

(2)
f (t ) =
⇒ f ′ (t ) =



2
t+m
+
(t + m)

 Ta có: m + 1 > 0 ⇒ m > −1 (**). Từ (*) và (**) ta có m ≥

1
thỏa mãn đề bài.
2

Chọn

→C

 Bài tốn 6: Tìm tham số m để hàm số bậc ba, bậc bốn,… đơn điệu trên tập K cho trước (với
K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).
 Phương pháp:
 Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm y  f ( x) .
 Bước 2: Điều kiện đơn điệu:
 Hàm số đồng biến trên K  y  0, x  K .
 Hàm số nghịch biến trên K  y  0, x  K .
 Bước 3:
Cách 1:

 Biến đổi theo dạng m  g ( x), x  K (hoặc m  g ( x), x  K ).
 Lập bảng biến thiên của hàm số g ( x) với mọi x  K .
 Dựa vào bảng biến thiên và kết luận điều kiện cho tham số m.
Cách 2:
 Tìm nghiệm (đẹp) của phương trình y  0 (x phụ thuộc m).
 Áp dụng điều kiện nghiệm cho tam thức bậc hai (bảng xét dấu đạo hàm).
Bài toán mở rộng: Tìm tham số m để hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d đơn điệu trên một
khoảng có độ dài p.

Hồng Xn Nhà

21


22

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Phương pháp:
o Bước 1: Đạo hàm y  3ax2  2bx  c .
o Bước 2:
 Hàm số đồng biến trên khoảng có độ dài p  y có hai nghiệm
a  0


phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  p    y
.


p
 a 
 y
x

x1



y



0

x2

+

0




 Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài p  y có hai nghiệm
a  0


x
,

x
phân biệt 1 2 thỏa mãn x1  x2  p    y
.

p
 a 
 y
x

x1



+

y

0

x2

0





+

 Lưu ý:

o Dạng này không cần điều kiện a  0,   0 vì điều kiện


p đã bao hàm hai ý trên.

a


o Điều kiện x1  x2  p có thể được xử lý theo hai cách chính:
 Một là sử dụng định lí Vi-ét: x1  x2  p  x12  2 x1 x2  x22  p2
2

 b
c
 ( x1  x2 )  4 x1 x2  p  0     4  p2  0 .

a
 a
2

2

Hoàng Xuân Nhà

22


23

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ
 Hai là tự chế công thức: x1 
 x1  x2 

b  
b  
, x2 
2a
2a

b  b 
2 

(công thức này rất tiện lợi cho trắc


2a
a
a

nghiệm).
o Các câu hỏi: “đồng biến (nghịch biến) trên khoảng có độ dài > p, ≥ p, < p, ≤ p ” ta cũng sẽ
làm tương tự.

Ví dụ 30. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 6 x 2 + mx + 3 đồng biến trên khoảng

( 0; +∞ ) .
B. m ≥ 0 .

A. m ≤ 12 .

C. m ≤ 0 .

D. m ≥ 12 .

Lời giải:
 Ta có: y′ = 3 x − 12 x + m
2

 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) khi và chỉ khi y′ ≥ 0 , ∀x ∈ ( 0; +∞ )

⇔ 3 x 2 − 12 x + m ≥ 0, ∀x ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ −3 x 2 + 12 x , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) .

−3x 2 + 12 x với x > 0 .
 Xét f ( x) =
Ta có f ′( x) =
−6 x + 12 ; f ′( x) = 0 ⇔ x = 2 .
Bảng biến thiên:
x
−∞
f ′( x)

f ( x)

+

2
0

+∞
−

12
−∞

−∞

 Dựa vào bảng biến thiên, ta được giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m ≥ 12 .
Chọn

→ D

Ví dụ 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 2 đồng biến trên
khoảng (1;5 ) là:
A. m < 2 .

B. 1 < m < 2 .

 y′= 4 x − 4(m − 1) x = 4 x ( x − m + 1) .
3

C. m ≤ 2 .

D. 1 ≤ m ≤ 2 .

Lời giải:

2

Hoàng Xuân Nhà

23


24

PHƯƠNG PHÁP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG & VẬN DỤNG CAO

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (1;5 ) khi và chỉ khi y′ ≥ 0 , ∀x ∈ (1;5 )
⇔ 4x ( x 2 − m + 1) ≥ 0, ∀x ∈ (1;5) ⇔ x 2 − m + 1 ≥ 0, ∀x ∈ (1;5) ⇔ m ≤ x 2 + 1, ∀x ∈ (1;5) .
+

) x 2 + 1 với 1 < x < 5 . Ta có: f ′( x) = 2 x = 0 ⇒ x = 0 (loại).
 Xét f ( x=
Bảng biến thiên:
x
−∞
f ′( x)

1

5

+∞

+
26

f ( x)

2

Chọn
 Do đó giá trị m thỏa mãn u cầu của bài toán là m ≤ 2 . 
→C

mx3
 7 mx 2  14 x  m  2
Ví dụ 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y 
3
nghịch biến trên nửa khoảng 1;  ?
14 

A.  − ∞; −  .
15 


 14

B.  − ; + ∞  .
 15



14 
C. 2;   .


15 


14 
D. ;   .

15 

Lời giải:
 Ta có y′ =mx + 14mx + 14 . Điều kiện đề bài tương đương với tìm m để:
2

 2

=
y′ mx 2 + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ∈ [1; + ∞ ) ⇔ m  
x+
14

x  ≤ −14, ∀x ∈ [1; + ∞ )


+
⇔ m≤−

14
, ∀x ∈ [1; + ∞ ) . Đến đây, ta có hai cách đánh giá hàm số vế phải.
14
x+



x
2

+

 Cách 1:

 x2 ≥ 1
, ∀x ∈ [1; + ∞ ) ⇒ x 2 + 14 x ≥ 15, ∀x ∈ [1; + ∞ )
 Ta có: 
14 x ≥ 14
14
14
14
14
≤ , ∀x ∈ [1; + ∞ ) ⇒ − 2
≥ − , ∀x ∈ [1; + ∞ ) .
15
x + 14 x 15
x + 14 x
14
14
Choïn
 Khi đó: m ≤ − 2
→ D
, ∀x ∈ [1; + ∞ ) ⇔ m ≤ − . 
x + 14 x
15
 Cách 2:

28 ( x + 7 )
14
 Xét hàm g ( x ) = − 2
có g ′ ( x )
=
> 0, ∀x ≥ 1 .
2
x + 14 x
x 2 ( x + 14 )
⇒

2

Hoàng Xuân Nhà

24