MO HINH HOA TOAN HOC

DẠY HỌC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC
I. Quan điểm về mơ hình hóa tốn học:
Lịch sử hình thành và phát triển tốn học đã cho thấy tốn học có nguồn gốc từ thực tế, chính sự phát
triển của thực tiễn đã có tác dụng lớn đối với các nội dung toán học. Thực tiễn là cơ sở để nảy sinh, phát triển và
hồn thiện các lý thuyết tốn học.Tốn học khơng phải là một sản phẩm thuần túy của trí tuệ mà được phát sinh
và phát triển do nhu cầu thực tế của cuộc sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn và thúc đẩy thực tiễn
phát triển với vai trị là cơng cụ, tốn học sẽ giúp giải quyết các bài tốn do chính thực tiễn đặt ra.
Một trong những lí do mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn của chương trình giáo dục ờ hầu hết các
nước trên thế giới là vì lợi ích của toán học trong thực tiễn; toán học được áp dụng dưới nhiều cách khác nhau
trong nhiều môn học như vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, trong công việc và cuộc sống hằng ngày của
mỗi người.
Bên cạnh việc cung cấp cho học sinh những kiến thức và kỹ năng liên quan đến toán học như khái niệm,
định lí, cơng thức, quy tắc thì dạy tốn cần giúp học sinh phát triển kỹ năng kết nối các kiến thức đó để giải
quyết những vấn đề thực tiễn. Khi sử dụng toán học để giải quyết vần đề ngồi lĩnh vực tốn học thì mơ hình
tốn học và q trình hóa tốn học là những cơng cụ cần thiết. Đối với học sinh, mơ hình hóa tốn học là cần
thiết vì những lí do sau đây:
-

Mơ hình hóa toán học cho phép học sinh hiểu được giữa toán học với cuộc sống môi trường xung quanh
và các môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa hơn.

-

Mơ hình hóa tốn học trang bị cho học sinh khả năng sử dụng toán học như một công cụ để giải quyết
vấn đề xuất hiện trong những tình huống ngồi tốn, từ đó giúp học sinh thấy được tính hữu ích của tốn
học trong thực tế, khả năng sử dụng tốn học vào các tình huống ngồi tốn khơng phải là kết quả tự
động của sự thành thạo tốn học thuần túy mà địi hỏi phải có sự chuẩn bị và rèn luyện.

-

Mơ hình hóa tốn học góp phần tạo nên một bức tranh đầy đủ, tồn diện và phong phú của toán học,

giúp học sinh thấy được đó khơng chỉ là một ngành khoa học mà cịn là một phần của lịch sử văn hóa
lồi người.

-

Các nội dung tốn học có thể được hình thành củng cố bởi những ví dụ thự tiễn, điều này giúp học sinh
hiểu sâu, nhớ lâu các chủ đề hoặc phát triển thài độ tích cực của các em đối với tốn học, từ đó tạo động
cơ thúc đẩy việc học tốn.

-

Mơ hình hóa tốn học là một phương tiện phù hợp để phát triển các năng lực toán học của học sinh như
suy luận, khám phám, sáng tạo, giải quyết vấn đề.
Hiện nay có rất nhiều định nghĩa mơ tả khái niệm Mơ hình hóa tốn học được chia sẻ trong lĩnh vực

giáo dục toán học, tùy thuộc vào quan điểm lý thuyết mà mỗi tác giả chọn. Nói một cách ngắn gọn thì Mơ hình
hóa tốn học là q trình giải quyết những vấn đề thực tế bằng cơng cụ toán học.


Sau đây là định nghĩa Mơ hình hóa tốn học của Singapore
Mơ hình hóa tốn học: là q trình thành lập và cải thiện một mơ hình tốn học để biểu diễn và giải quyết các
vấn đề thế giới thực tiễn. Thơng qua Mơ hình hóa tốn học, học sinh học cách lựa chọn và áp dụng một loạt các
kiểu dữ liệu, các phương pháp và cơng cụ tốn học phù hợp trong việc giải quyết các vấn đề thế giới thực tiễn.
Cơ hội để xử lí các dữ liệu thực tế và sử dụng các cơng cụ tốn học để phân tích dữ liệu nên là một phần của
việc học tập tốn học ở tất cả các cấp.
Mơ hình hóa tốn học là một hoạt động phức tạp, bao gồm sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo
cả hai chiều. Vì vậy địi hỏi học sinh phải có nhiều năng lực khác trong các lĩnh vực tốn học cũng như có kiến
thức liên quan đến tình huống thực tế cần xem xét.
II. Các thành tố của quá trình mơ hình hóa tốn học

Tốn học hóa là q trình dịch các vấn đề thế giới thực tiễn thành toán học bằng cách xây dựng một mơ
hình tốn học. Điều này địi hỏi học sinh hiểu được vấn đề mà có thể được kết thúc mở và phức tạp. Họ cần phải
kiểm tra các thơng tin được đưa ra, đặt giả thiết thích hợp và đơn giản hóa vấn đề thành một vấn đề giải quyết
được. Trong q trình đó, họ sẽ xác định các khái niệm và các biến toán học, biểu diễn cho các vấn đề trong một
hình thức tốn học và thiết lập một mơ hình tốn học như một bản vẽ, đồ thị, hàm hoặc các hệ phương trình.
Làm việc với tốn học địi hỏi sinh viên lựa chọn và sử dụng các phương pháp và cơng cụ thích hợp để
giải quyết các vấn đề, sau khi đã xây dựng các vấn đề tốn học. Các sinh viên có thể sử dụng các phần mềm
máy tính để giúp họ phân tích dữ liệu, thực hiện các tính tốn tẻ nhạt và giải quyết vấn đề mà khơng cần phương
pháp tốn học tiên tiến. Sản phẩm cuối cùng trong giai đoạn này là một giải pháp tốn học.
Giải thích là kết nối các lời giải toán học trở lại với thực tiễn, làm cho các lời giải toán học trở nên có ý
nghĩa trong bối cảnh thực tế.
Phản ánh/Phản chiếu là các khía cạnh siêu nhận thức của mơ hình. Nó liên quan đến việc xem xét các
giả định và hạn chế của các mơ hình, các phương pháp tốn học và các công cụ cũng được sử dụng để giải
quyết vấn đề. Chẳng hạn, khi rà sốt các mơ hình và kiến thức toán học mà họ sử dụng, học sinh có thể xem xét
sử dụng một phương pháp hoặc công cụ khác nếu giải pháp này là không chấp nhận được.
Các bài tốn mơ hình hóa
Bài tốn mơ hình hóa tốt cho phép học sinh trải nghiệm tồn bộ q trình mơ hình hóa. Đó là những vấn
đề thực tế mà có thể được kết thúc mở, khơng có cấu trúc, phức tạp. Học sinh cũng nên nhận thấy ý nghĩa trong
việc giải quyết những vấn đề này. Đối với bài tốn kết thúc mở, học sinh có thể đi đến các giải pháp khác nhau.
Bài toán sau đây đã được thiết kế để minh họa cho quá trình mơ hình hóa.
Ví dụ về Bài tốn mơ hình hóa
Trong một thị trấn mới, có một cơng viên và một bãi đất trống. Mọi người có thể đi vịng qua cơng viên
bằng xe đạp của họ và sau đó đi bộ đến một ga tàu điện ngầm. Để làm một cơng viên an tồn, hội đồng thị trấn
muốn xây dựng một đường đi xe đạp và bãi để xe, nơi các hành khách có thể đỗ xe đạp của họ trước khi họ đi
bộ đến nhà ga. Hãy làm việc theo nhóm, chuẩn bị một đề xuất cho hội đồng thành phố xem xét.
Đó là một vấn đề thực tế và sinh viên có thể làm việc nhóm về vần đề đó. Các giáo viên có thể sử dụng
hình ảnh để hiển thị tình hình hiện tại hoặc một tình huống có thể có trong quá khứ đã dẫn đến việc xây dựng
các lối đi xe đạp và kiốt xe đạp. Nhiệm vụ xây dựng mơ hình này cung cấp một số hiểu biết về cách thức xác
định các vị trí của các cơ sở hạ tầng ở một thị trấn, mục tiêu thiết kế và kiến thức toán học cần thiết. Các yếu tố

của q trình xây dựng mơ hình thể hiện trong hình 2 được giải thích chi tiết như sau


A. Tốn học hóa:
1. Để hiểu được vấn đề, học sinh có thể sử dụng một sơ đồ hoặc vẽ một bản phác thảo để biểu diễn cho tình
huống.
2. Học sinh cần phải thực hiện một số giả thiết và thu thập thơng tin như
• Kích thước của cơng viên và lơ đất;
• Tốc độ đi bộ trung bình và tốc độ đi xe đạp;
• Giới hạn tốc độ khi đi xe đạp trong cơng viên;
• Mục tiêu thiết kế (ví dụ: con đường ngắn nhất, thời gian tối thiểu, vv.)
3. Họ cần phải xác định các khái niệm toán học liên quan trước khi xây dựng các mơ hình. Trong trường hợp
này, các vấn đề liên quan đến các khái niệm về khoảng cách, tốc độ và thời gian.
4. Việc xây dựng các mơ hình tốn học sẽ phụ thuộc vào các giả thiết đặt ra. Ví dụ, nếu học sinh sử dụng thời
gian tối thiểu là mục tiêu thiết kế, biểu thức cho thời gian sẽ là như sau:
T

Tổng thời gian di chuyển:

Quang duong di trong cong vien Quang duong di trong lo dat
Toc do di xe dap
Toc do di bo
+

Hình 3 cho thấy một bức phác họa có thể tượng trưng cho các sơ đồ với các giả định sau đây:
- Hình dạng cho cơng viên và lơ đất là hình chữ nhật
- Kích thước và tốc độ được dựa trên thông tin từ internet
- Mục tiêu thiết kế: Thời gian tối thiểu

B. Làm việc với tốn học
5. Học sinh có thể sử dụng phần mềm hình học động như GSP để di chuyển điểm F đến vị trí khác nhau và đo
khoảng cách, lập bảng quan sát và xác định vị trí của F mà tại đó cho ta giá trị nhỏ nhất về thời gian.
6. Học sinh có thể xây dựng một biểu thức khoảng cách bằng cách sử dụng định lý Pythago và xây dựng các
hàm thời gian.

Tổng thời gian di chuyển,

T

1502  (100  x) 2
2502  x 2

5
1
, x kí hiệu cho khoảng cách QF.

Học sinh có thể sử dụng phần mềm vẽ đồ thị để giúp họ tìm giá trị của x, tương ứng với giá trị tối thiểu
của T. Học sinh cấp 2 cũng có thể sử dụng kiến thức của họ để tính tốn và giải quyết các vấn đề.
Cơng nghệ đóng một vai trị quan trọng trong q trình mơ hình hóa. Sự cố gắng của cơng nghệ làm cho
bài tốn dễ dàng tiếp cận đến các nhóm học sinh ở các cấp độ khác nhau. Công nghệ cho phép các học sinh giải
quyết bài tốn mặc dù họ có thể khơng có một số kiến thức cần thiết như hình học Pythago hoặc những kiến
thức của các phép tính để tìm ra lời giải. Phần mềm hình học động như Geometer Sketchpad (GSP) cho phép
học sinh nghiên cứu với các giả thiết hình dạng khác nhau và kích thước của cơng viên, lô đất. Các phần mềm
đồ họa cho phép học sinh tìm thấy giá trị nhỏ nhất và quan sát những gì xảy ra khi một số điều kiện thay đổi.
C. Giải thích/Diễn giải
7. Học sinh cần phải biết rằng giá trị của x biểu diễn cho vị trí của nơi để xe đạp. Trong khi AF biểu diễn cho
đường xe đạp, CF biểu diễn cho các đường đi bộ.
D. Sự phản ánh
8. Sau khi tìm thấy vị trí của nơi để xe đạp, học sinh cần phải kiểm tra xem nó là khả thi để xây dựng nơi để xe

đạp tại vị trí thực tế trên trang web hay khơng và xem xét nếu có bất kỳ hạn chế khác nào khơng.
9. Học sinh có thể xem xét các giả thiết của họ.
- Cơng viên có thể là hình trịn? Điều gì xảy ra nếu cơng viên và các lơ đất là đa giác khơng đều?
Phương pháp của họ có thể áp dụng trong mọi trường hợp hay không? Làm thế nào để thị trấn thấy cần
thiết để làm điều đó?
- Đó là mục tiêu thiết kế thực tế của họ? Họ có thể khảo sát người dân để tìm hiểu xem mọi người muốn
có một giải pháp làm tối thiểu thời gian hoặc họ thích đi bộ với khoảng cách ngắn nhất để thay thế?
10. Công việc này thực sự có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các phương pháp khác nhau. Học sinh có
thể suy nghĩ về bài toán mà họ đã sử dụng để giải quyết các vấn và liệu có những phần mềm mạnh hơn có thể
được sử dụng để giải quyết vấn đề này hay không.


11. Học sinh có thể được khuyến khích để kết nối mơn học của mình với các mơn học khác, ví dụ, việc sử dụng
định luật Snell trong Vật lý nhờ đó mà đường đi nhanh hơn tuân theo định luật khúc xạ.
Bài tốn mơ hình hóa cho phép các học sinh đi xa hơn trong việc tìm kiếm các giải pháp tốn học và địi
hỏi sinh viên để kiểm tra tính khả thi của các giải pháp trong bối cảnh thực tế. Bằng cách tham gia vào q trình
mơ hình hóa tốn học, học sinh phát triển các kỹ năng giao tiếp, kỹ năng hợp tác, kỹ năng, kỹ năng siêu nhận
thức và kỹ năng công nghệ thông tin.
III. Hạn chế của học sinh trong q trình mơ hình hóa và ảnh hưởng của chúng
Có những khả năng bị hạn chế khi học sinh tham gia vào các mô hình tốn học (Galbrainth & Stillman,
2006; Maaβ, 2006). Học sinh có thể có những khó khăn để hiểu được vấn đề, xây dựng giả thiết và xác định các
biến số quan trọng cần thiết để xây dựng các mơ hình toán học. Họ cũng bị hạn chế bởi kiến thức tốn học và
khả năng lựa chọn một phương pháp thích hợp để giải quyết các vấn đề và giải thích các giải pháp của họ. Sự
hiểu biết về những hạn chế cung cấp cái nhìn sâu vào suy nghĩ và học tập của học sinh khi họ trải qua quá trình
mơ hình hóa.
Điều quan trọng là giáo viên cung cấp giàn ý để hướng dẫn học sinh khi họ trải qua các yếu tố khác nhau
của q trình mơ hình hóa tốn học. Giáo viên cần phải xác định kiến thức và kỹ năng cần thiết cho học sinh để
xây dựng các mơ hình tốn học và giải quyết nó. Học sinh có thể làm việc theo nhóm, hợp tác, sử dụng công
nghệ để giải quyết các vấn đề. Công nghệ giúp cho học sinh làm việc với các vấn đề mà nếu khơng có nó sẽ địi
hỏi kiến thức toán học tiên tiến hơn.

IV. Kết luận
Trong phần này, một nhiệm vụ mơ hình tốn học đã được sử dụng để minh họa cho bốn yếu tố của q
trình mơ hình hóa tốn học, là một q trình học tập phong phú cho học sinh. Nhiệm vụ này cho phép học sinh
làm việc cộng tác để đối phó với các vấn đề thực tiễn, đó là kết thúc mở và chân thực. Học sinh cần phải phát
triển nhận thức của q trình mơ hình hóa tốn học và trải nghiệm tất cả hoặc một số yếu tố của quá trình này
trong suốt những năm học của họ.
Để bắt đầu, giáo viên một giới thiệu một số yếu tố của quá trình mơ hình hóa tốn học trong giờ học
tốn học bằng cách sử dụng các ví dụ có liên quan từ sách giáo khoa. Họ có thể tham khảo các nguồn hiện có
như Các chiến lược cho hoạt động và học tập độc lập (SAIL) (Bộ Giáo dục, 2006b), Đánh giá hiệu suất trong
Tốn học (Fan, 2008), và Chương trình đánh giá sinh viên Quốc tế (PISA) (Tổ chức kinh tế Hợp tác và Phát
triển năm 2006). Giáo viên cũng có thể sử dụng mơ hình nhiệm vụ để cho phép học sinh trải nghiệm tồn bộ
q trình xây dựng mơ hình tốn học. Học sinh có thể làm việc trong các nhóm trên các nhiệm vụ này, cùng
với việc sử dụng các cơng nghệ, bên trong hoặc bên ngồi thời gian chương trình giảng dạy.


Giáo viên nên quen thuộc với quá trình xây dựng mơ hình hóa tốn học để tạo điều kiện học tập của học
sinh khi họ đi qua các quá trình mơ hình tốn học. Rõ ràng bốn yếu tố mơ tả ở trên là một điểm khởi đầu tốt cho
giáo viên muốn đưa các hoạt động mơ hình tốn học vào lớp học của mình lần đầu tiên.