HAM SO LIEN TUC

3. HÀM SỐ LIÊN TỤC
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I – HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa 1
Cho hàm số xác định trên khoảng và
Hàm số được gọi là liên tục tại nếu

II – HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT
KHOẢNG

Định nghĩa 2
Hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
Hàm số được gọi là liên tục trên đoạn nếu nó liên tục trên khoảng và
Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Hàm số liên tục trên khoảng

Hàm số không liên tục trên khoảng


III – MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Định lí 1
a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực .
b) Hàm số phân thức hữu tỉ và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của
chúng.
Định lí 2
Giả sử và là hai hàm số liên tục tại điểm . Khi đó:
a) Các hàm số , và liên tục tại ;
b) Hàm số liên tục tại nếu
Định lí 3

Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho .
Định lí 3 có thể phát biểu theo một dạng khác như sau:
Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì phương trình có ít nhất một nghiệm nằm trong khoảng
.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vấn đề 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Phương pháp:
Tìm giới hạn của hàm số khi và tính
Nếu tồn tại thì ta so sánh với .

Chú ý

1. Nếu hàm số liên tục tại thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó
2. .
3. Hàm số liên tục tại .
4. Hàm số liên tục tại điểm khi và chỉ khi .


Chú ý

Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi
.
Hàm số liên tục tại khi và chỉ khi
.

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x 3

 x 3  27
khi x 3
 2

f  x   x  x  6
 10
khi x 3
 3
1.
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

 x 3
khi x  3

f  x   2x  3  3
2

x  1
khi x 3


2.
 x2  x  2

khi x  1
f(x) 
x 1

khi x  1
1

2.

x2  1 khi x 1
f(x) 
khi x 1
x 1
2
1.
tại điểm 0
Ví dụ 3 Tìm a để hàm số sau liên tục tại x 2

 x4  5x2  4
khi x  2

f  x  
x3  8
 2
khi x 2
 ax  x  1
2.
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1 Xét tính liên tục của hàm số y f(x) tại điểm chỉ ra
 x 2
khi x 4

f(x)  x  4
1
khi x 4
 4
1.

tại x 4
 3 4x  2

khi x 2
f  x   x  2
a
khi x 2

1.

 x 2  3x  2
 2 khi x  1

f(x) 
x 1
 2
khi x 1
 3x  x  1
2.
tại x 1

x
khi x 1
 cos
f  x  
2
 x 1
khi x  1

3.

tại x 1 và x  1 .
Bài 2. Chọn giá trị f(0) để các hàm số sau liên tục tại điểm x 0 .
f(x) 

2x  1  1
x(x  1)

3

f(x) 

2x  8  2

3x  4  2
1.
2.
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra
x  x  2

khi x   1
f(x)  x  1
2x  3
khi x  1
x  1

1.
tại 0


2.

x 1  3 x  1

khi x 0
f(x) 
x
2
khi x 0


tại

x0 0

3 x  1
khi x 1

f(x)  x  1
1
khi x 1
 3
x 1
3.
tại 0
 x2  x  2
 2x khi x  2

f(x)  x  2
 2
khi x 2

x 2
x  x  3
4.
tại 0
Bài 4. Tìm a để các hàm số sau liên tục tại các điểm đã chỉ ra
 x  2a khi x  0
f  x   2
x  x  1 khi x 0 tại x 0
1.

4x  1  1
khi x 0

f(x)  ax2  (2a  1)x

khi x 0
3
2.
tại x 0
 3x  1  2
khi x  1

 x2  1
f(x) 
 a(x2  2)
khi x 1
 x  3
3.
tại x 1 .

Vấn đề 2. Xét tính liên tục của hàm số trên một tập
Phương pháp:Sử dụng các định lí về tính liên tục của hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …
Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều cơng thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các
khoảng đó.

1. các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số:
x 1 2
f(x) 
2
x  3x  2
1. f(x) tan 2x  cos x
2.

 a2  x  2 

khi x  2
f  x   x  2  2
 1  a x khi x 2



liên tục trên ¡ .
1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1 Xác định tính liên tục của hàm số sau trên ¡
x2
f(x) 
2
2
x  x 6

1.
2. f(x)  3x  1
3. f(x) 2 sin x  3 tan 2x
Ví dụ 2 Xác định a để hàm số

Bài 2 Xét tính liên tục của các hàm số sau trên ¡

1.

 x2  5x  6
khi x  2

f  x   2x 3  16
 2  x khi x 2


3 x  1
khi x  1


f(x)  x  1
3 1 x  2
khi x 1
 x  2
2.


Bài 3 Xét tính liên tục hàm số sau trên ¡
 x 2  3x  2
 2x  1  1

khi x 1


khi x 0
f  x  
x 1
f  x  
x


0 khi x 0
a khi x 1


1.
2.
 2x  1 khi x 0

2x2  x  1 khi x 1
f(x) (x  1)3 khi 0  x  2
f(x)



khi x  1
x

1
khi
x


2
3x  1


3.
4.
.
Bài 4. Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên ¡
 x3  3x2  2x
khi x(x  2) 0

 x(x  2)



f(x) a
khi x 2
 sin x khi x  2

f  x  
b
khi x 0

ax  b khi x  


2 2.
1.
.

m
¡
Bài 5. Tìm
để các hàm số sau liên tục trên
 3 x  2  2x  1

khi x 1
f(x) 
x 1
 3m  2
khi x 1

1.
 x 1  1
khi x  0

f(x) 
x
2x 2  3m  1 khi x 0

2.
 2x  4  3
khi x 2

f(x) 
x 1
khi x  2
 2
 x  2mx  3m  2
3.

.

Vấn đề 3. Chứng minh phương trình có nghiệm
Phương pháp :
Để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số liên tục trên D và có hai số sao
cho .
Để chứng minh phương trình có k nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau
(i=1,2,…,k) nằm trong D sao cho .

1. các ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các phương trình sau có đúng một nghiệm.
5
3
1. x  3x  1 0
2. x  2x 4  3 3  2x
Ví dụ 2 Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
7
5
1. x  3x  1 0

Ví dụ 3.

2
2. x sin x  x cos x  1 0

x 5  2x 3  15x 2  14x  2 3x 2  x  1 có đúng 5 nghiệm phân biệt

1i. Bài tập tự luận tự luyện
Bài 1 Chứng minh rằng phương trình sau có đúng ba nghiệm phân biệt

3
3
1. x  3x  1 0
2. 2x  6 1  x 3
Bài 2 Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm với mọi giá trị của m, n
1
1
3

m
m  x  1  x  2   2x  3 0
1.
2. cos x sin x


3.

m  x  a   x  c   n  x  b   x  d  0

( a b c d ).

Bài 3 Cho m  0 và a, b,c là ba số thực bất kỳ thoả mãn
a
b
c

 0
2
m  2 m 1 m
. Chứng minh rằng phương trình ax  bx  c 0 ln có nghiệm.

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình :
4
3
2
  1;1
1. x  x  3x  x  1 0 có nghiệm thuộc khoảng
5
3
  2; 3 
2. x  5x  4x  1 0 có năm nghiệm thuộc khoảng
a  x  b   x  c   b  x  c   x  a   c  x  a   x  b  0 ; a, b,c  0
3.
có hai nghiệm phân biệt.
2 5
4. (1  m )x  3x  1 0 luôn có nghiệm với mọi m
2
3
4
5. m .(x  2)  m(x  1) .(x  2)  3x  4 0 có nghiệm với mọi m .
a b c
  0
2
m n p
Bài 5 . Cho các số thực dương m,n,p thỏa mãn: n  m; mp  n và
. Chứng minh rằng phương trình :

f(x) ax 2  bx  c 0 ln có nghiệm.
Bài 6.
f :  0;1   0;1
c   0;1

f  c  c
1. Cho hàm số  
liên tục.Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số thực
sao cho
.
f(x)
lim
L  1
f :[0;+)  [0;+)
2. Cho hàm số
liên tục và x  x
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số c 0 sao cho
f(c) c .
3. Tìm tất cả các hàm số f : ¡  ¡ liên tục tại x 0 thỏa: f(3x) f(x) .
f :  0;1   0;1
 0;1
4. Cho hàm số  
liên tục trên   và thỏa f(0) f(1) .
1
f(x)  f(x  ) 0
 0;1
n
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phương trình
ln có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn   .
Bài 7.
x ; x ;...; x n   a; b 
1. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a ;b] và n điểm 1 2
. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm
c   a; b 
nf(c) f(x1 )  f(x 2 )  ...  f(x n )

sao cho
.
2
2. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất các số 0      1 sao cho cos   và  tan  1 .
1ii. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Câu 3. Cho hàm số

Vấn đề 1. XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ
f ( x) = 3- x +
Câu 1. Hàm số

1
x + 4 liên tục trên:

A.

[- 4;3].

B.

[- 4;3) .

C.

( - 4;3].

D.

[- ¥ ;- 4] È [ 3;+¥ ) .

Câu 2. Hàm số

[- 1;1.]
A.

f ( x) =

ổ3
ỗ
- ;+Ơ
ỗ
ỗ
C. ố 2

ử
ữ
.
ữ
ữ
ứ D. Ă .

vi

x - 3x + 2
/ 1. Tính f ( 1) .
x- 1
với mọi x =

A. 2.

f ( x) =

xác định và liên tục trên ¡

2

B. 1.

Câu 4. Cho hàm số

x3 + x cos x + sin x
2sin x + 3
liên tục trên:

[1;5].
B.

f ( x) =

f ( x)

C. 0.
f ( x)

D. - 1.

xác định và liên tục trên

[- 3;3] với

x + 3 - 3- x
f ( 0)
x
với x ¹ 0 . Tính
.

2 3
.
A. 3

3
.
B. 3

C. 1.

D. 0.


Câu 5. Cho hàm số
f ( x) =
với

f ( x)

xác nh v liờn tc trờn

( - 4; +Ơ )

C.

m ẻ [- 1; 7 ) .

x + 4 - 2 với x ¹ 0 . Tính f ( 0) .
B. 2.

C. 4.

lim
Câu
D. 1.

Vấn đề 2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
Câu 6. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
ìï x - x - 2
ï
khi x ¹ 2
f ( x) = ïí x - 2
ïï
khi x = 2
ïïỵ m
liên tục tại x = 2.
2

A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = 3.

Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số
ìï x3 - x2 + 2x - 2
ï
khi x ¹ 1
f ( x) = ïí
x- 1
ïï
khi x = 1
ïïỵ 3x + m
liên tục tại x = 1.
A. m = 0.

B. m = 2.

C. m = 4.

D. m = 6.

11.

Biết

ìï x - 1
ïï
khi x ¹ 1
y = f ( x) = í x - 1
ïï
khi x = 1

ïïỵ k +1
liên tục tại x = 1.
1
k= .
2
A.

B. k = 2.

C.

k =-

1
.
2

D. k = 0.

ìï 3- x
ï
khi x ¹ 3
f ( x) = ïí x +1- 2
ïï
khi x = 3
ïïỵ m
Câu 9. Biết rằng hàm số
liên
tục tại x = 3 (với m là tham số). Khẳng định nào dưới đây
đúng?

m Ỵ ( - 3; 0) .
m Ỵ [ 0;5) .

B. m £ - 3.
D.

m ẻ [ 5; +Ơ ) .

Cõu 10. Tỡm giỏ trị thực của tham số m để hàm số
ìï 2
ïï x sin 1 khi x ¹ 0
f ( x) = ớ
x
ùù
m
khi x = 0
ùợ
liờn tc ti x = 0.
A.

m ẻ ( - 2; - 1) .

B. m £ - 2.

x®0

rằng

sin x
= 1.

x

Hàm

số

ìï tan x
ï
khi x ¹ 0
f ( x) = ïí x
ïï
khi x = 0
ïỵ 0
liên tục trên khoảng nào sau õy?
ổ pữ
ử
ỗ
.
ỗ0; ữ
ữ
ỗ
A. ố 2ứ

ổ
pử
ỗ
ữ
ỗ- Ơ ; ữ
ữ.
ỗ

4ứ
B. ố

ổ p pữ
ử
ỗ
- ; ữ
.
ỗ
ữ
ỗ
C. ố 4 4ứ

D.

lim
xđ 0

Cõu 12. Bit rằng

( - ¥ ;+¥ ) .

sin x
= 1.
x
Tìm giá trị thực của tham số m

ìï sin px
ï
khi x ¹ 1

f ( x) = ïí x - 1
ïï
khi x = 1
ïỵ m
để hàm số
liên tục tại x = 1.
A. m =- p.

B. m = p.

Câu 8. Tìm giá trị thực của tham s k hm s

C.

m ẻ [ 7; +Ơ ) .

x

A. 0.

A.

D.

Câu 13. Biết rằng

lim
x® 0

C. m = - 1.

D. m = 1.

sin x
= 1.
x
Tìm giá trị thực của tham số m

ìï 1+ cos x
ïï
khi x ¹ p
2
f ( x) = ïí ( x - p)
ïï
ïïỵ m
khi x = p
để hàm số
liên tục tại x = p.
p
m= .
2
A.

B.

m =-

p
.
2

1
m= .
2
C.

D.

m =-

1
.
2

ìï 3
khi x = - 1
ïï
ï x4 + x
f ( x) = ïí 2
khi x ¹ - 1, x ¹ 0
ïï x + x
ïï
khi x = 0
ïïỵ 1
Câu 14. Hàm số
liên tục
tại:
A. mọi điểm trừ x = 0, x = 1. B. mọi điểm x Ỵ ¡ .
C. mọi điểm trừ x =- 1.
Câu

15.

Số

ìï 0,5
ïï
ïï x( x +1)
f ( x) = ïí 2
ïï x - 1
ïï
ïïỵ 1

điểm

D. mọi điểm trừ x = 0.
gián

đoạn

khi x = - 1
khi x ¹ - 1, x ¹ 1
khi x = 1

là:

của

hàm

số


A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Câu 21. Tìm giá trị nhỏ nhất của

Vấn đề 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT
KHOẢNG
Câu 16. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để hàm số
ìï m2 x2
khi x £ 2
f ( x) = ïí
ïï ( 1- m) x khi x > 2
ỵ
liên tục trên ¡ ?
A. 2.

B. 1.

C. 0.

để hàm số

ìï x2 - 5x + 6
ïï
khi x > 3
f ( x) = ïí 4x - 3 - x
ïï
ïïỵ 1- a2 x
khi x £ 3
liên tục tại x = 3 .
-

A.

2

2

3.

B.

.

3

C.

-

4
.

3

4
.
D. 3

Câu 22. Tìm giá trị lớn nhất của

D. 3.

a

a

để hàm số

ìï 3 3x + 2 - 2
ïï
khi x > 2
ìï x
khi x Ỵ [ 0;4]
ï
x- 2
f ( x) = ïí
f ( x) = ïí
ïï 1+ m khi x Ỵ ( 4;6]
ïï 2
1
ỵ
Câu 17. Biết rằng hàm số

tục
ïï a x +
khi x £ 2
4
ïỵ
liên tục tại x = 2.
0;6].
[
trên
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. amax = 3.
B. amax = 0.
A. m< 2.
B. 2 £ m< 3. C. 3 < m< 5.
D. m³ 5.
Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của tham số a để hàm số

Câu

ìï x2 - 3x + 2
ïï
khi x ¹ 1
x- 1
f ( x) = ïí
ïï
ïïỵ a
khi x = 1
liên tục trên ¡ .
A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

A.

[ 0;1] (với a là tham số). Khẳng định nào dưới đây về giá
đoạn
trị a là đúng?

B. a là một số vô tỉ.

C. a> 5.

D. a< 0.

B.
C.
D.

C.

Xét

tính

liên

tục

của

Câu

f ( x)

khơng liên tục trên ¡ .

f ( x)

( 0;2) .
không liên tục trên

f ( x)

gián đoạn tại x = 1.

f ( x)

liên tục trên ¡ .

Xét

tính

liên

tục

của

hàm

hàm

f ( x)

số

f ( x)

liên tục tại x = 0.
liên tục trên

( - ¥ ;1) .

f ( x)

khơng liên tục trên ¡ .

f ( x)

gián đoạn tại x = 1.

24.

Tìm

các

khoảng

liên

tục

của

hàm

ìï
ïï cos px khi x £ 1
f ( x) = í
.
2
ïï
x
1
khi
x
>
1
ï
số
ïỵ
Mệnh đề nào sau đây là sai?

ìï x - 1

ïï
khi x < 1
f ( x) = í 2- x - 1
.
ïï
khi x ³ 1
ïïỵ - 2x
Khẳng định nào dưới đây
đúng?
A.

B.

D.

A. a là một số nguyên.

20.

23.

D. amax = 2.

ìï 1- cos x khi x £ 0
f ( x) = ïí
.
ïï x +1
khi x > 0
ỵ
Khẳng định nào sau đây đúng?

ìï x2 - 1
ïï
khi x ¹ 1
f ( x) = í x - 1
ïï
ïïỵ a
khi x = 1
Câu 19. Biết rằng
liên tục trên

Câu

C. amax = 1.

A. Hàm số liên tục tại x =- 1.
B. Hàm số liên tục trên các khoảng

( - ¥ ,- 1) ; ( 1;+¥ ) .

C. Hàm số liên tục tại x = 1.
D. Hàm số liên tục trên khoảng

( - 1,1) .

số


f ( x)
Câu 25. Hàm số

có đồ
thị như hình bên khơng liên
tục tại điểm có hồnh độ là
bao nhiêu?

Câu 29. Tính tổng S gồm tất cả các giá trị m để hàm số

y
3

x

1

A. x = 0.

O

1

2

A. S = - 1.

B. x = 1.

D. x = 3.
ìï x2
ïï
ïï x

ï
f ( x) = ïí 0
ïï
ïï x
ïï
ïỵ
Câu 26. Cho hàm số
f ( x)

B. S = 0.

C. S = 1.

D. S = 2.

ìï - x cos x khi x < 0
ïï
ï x2
f ( x) = ïí
khi 0 £ x <1.
ïï 1+ x
ïï 3
khi x ³ 1
ïïỵ x
Câu 30. Cho hàm số
Hàm số

C. x = 2.

số

ìï x2 + x khi x < 1
ïï
f ( x) = ïí 2
khi x = 1
ïï
ïïỵ m2x +1 khi x > 1
liên tục tại x = 1.

f ( x)

khi x < 1, x ¹ 0
khi x = 0

.

khi x ³ 1
Hàm

liên tục tại:

liên tục tại:

A. mọi điểm thuộc x Ỵ ¡ .

B. mọi điểm trừ x = 0.

C. mọi điểm trừ x = 1.

D. mọi điểm trừ x = 0; x = 1.

Vấn đề 5. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A. mọi điểm thuộc ¡ .

B. mọi điểm trừ x = 0 .

TRÊN MỘT KHOẢNG

C. mọi điểm trừ x = 1.

Câu 31. Cho hàm số
đây là sai?

D. mọi điểm trừ x = 0 và x = 1.

f ( x) = - 4x3 + 4x - 1.

Mệnh đề nào sau

A. Hàm số đã cho liên tục trên ¡ .
ìï x2 - 1
ïï
khi x < 3, x ¹ 1
ïï x - 1
f ( x) = 0
ï
B. Phương trình
khơng có nghiệm trên khoảng
f ( x) = ïí 4

khi x = 1
ïï
( - ¥ ;1) .
ïï x +1 khi x ³ 3
ïï
ïỵ
Câu 27. Cho hàm số
. Hàm
f ( x) = 0
( - 2;0) .
C. Phương trình
có nghiệm trên khoảng
f ( x)
số
liên tục tại:
f ( x) = 0
D. Phương trình
có ít nhất hai nghiệm trên khoảng
A. mọi điểm thuộc ¡ .
B. mọi điểm trừ x = 1.
ổ 1ử
ỗ
- 3; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
x
=

3
2ứ
C. mi im tr
.
D. mi im tr x = 1 và x = 3 .
Câu

28.

Số

điểm

gián

đoạn

của

khi x < 0
ïìï 2x
ïï 2
h( x) = í x +1 khi 0 £ x £ 2
ïï
ïïỵ 3x - 1 khi x > 2
là:
A. 1.

B. 2.

C. 3.

hàm

số

4
2
Câu 32. Cho phương trình 2x - 5x + x +1= 0. Mệnh đề nào
sau đây là đúng?

A. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng
B. Phương trình khơng có nghiệm trong khoảng
D. 0.

( - 1;1) .
( - 2;0) .

C. Phương trình chỉ có một nghiệm trong khoảng

( - 2;1) .

D. Phương trình có ít nhất hai nghiệm trong khoảng

( 0;2) .


Câu 33. Cho hàm số
phương trình
A. 0.

f ( x) = 0

f ( 4) = 7

. Số nghiệm của

trên ¡ là:

B. 1.

Câu 34. Cho hàm số
f ( - 1) = 2

f (x) = x3 - 3x - 1

C. 2.
f ( x)

D. 3.

A. Vơ nghiệm.

B. Có ít nhất một nghiệm.

C. Có đúng một nghiệm.

D. Có đúng hai nghiệm.

Câu 35. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc

khoảng

( - 10;10)

để

. Có thể nói gì về số nghiệm của phương x1, x2, x3 thỏa mãn x1 <- 1< x2 < x3 ?
f ( x) = 5
trình
trên đoạn [- 1;4] :
A. 19.
B. 18.
C. 4.
,

phương

trình

[- 1;4] sao cho x3 - 3x2 +( 2m- 2) x + m- 3 = 0
liên tục trên đoạn
có ba nghiệm phân biệt

D. 3.