Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VNG
A.LÝ THUYẾT

B.DẠNG BÀI MINH HỌA
I.BÀI TỐN VÀ CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP
Dạng 1: Chứng minh hệ thức
Phương pháp giải
Sử dụng định lý Ta-lét và hệ thức lượng đã học biến đổi các vế, đưa về dạng đơn giản để chứng minh.
Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH . Chứng minh AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 .
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD tại O . Chứng minh AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 .





2

AM
 AB 
 2
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A A  900 , kẻ BM  CA . Chứng minh
  1.
MC
 BC 
Bài 4 . Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G.
Chứng minh rằng:
a) AE 2  EK .EG ;
1
1
1
b)

;


AE AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị khơng thay đổi.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB  a, CD  b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng
song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng

1
1
1 1

  .
OE OG a b

Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Phương pháp giải
Bước 1: Đặt độ dài cạnh, góc bằng ẩn.
Bước 2: Thơng qua giả thiết và các hệ thức lượng lập phương trình chứa ẩn.
Bước 3: Giải phương trình, tìm ẩn số. Từ đó tính độ dài đoạn thẳng hoặc góc cần tìm.
Bài 1. Cho ABC vng tại A có đường cao AH , có AB  15 cm, AH  12 cm . Tính BH , BC , CH , AC
Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE  AC  E  AC  . Biết AB  9 cm, AC  17 cm, CD  15 cm.
a) Tính AD , BC , DE .
b) Tính S ABCD , S ABC .
3
AC , BC  30 cm . Tính AB , AC .
4
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).

Bài 3. Cho ABC vng tại A , có AB 

1. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


a) Tính cạnh hình thoi biết AB  c, BC  a .
2ac
với AB  c, BC  a .
ac
c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d .

b) Chứng minh BD 

Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết
PQ  a, FE  b . Tính độ dài của BC.
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vng ABCD cạnh 6, lấy điểm E sao cho BE  2 . Trên tia đối của tia CD
lấy điểm F sao cho CF  3 . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.
Dạng 3. Tốn thực tế
Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn.
Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những
góc so với đường vng góc với mặt đất các góc lần lượt là   37,   31. Tính chiều dài CD của cây
cầu.
Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây
sao cho đầu dây chạm đất thì đo được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây.
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 k m . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC  800 m
và AB  AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và
Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho tam giác ABC vng tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?
A

B

C

H

A. AH 2 = AB.AC . B. AH 2 = BH .CH . C. AH 2 = AB.BH . D. AH 2 = CH .BC .
Câu 2: "Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng .. ". Cụm từ thích hợp
điền vào chỗ trống là:
A. Tích hai cạnh góc vng.
B. Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vng trên cạnh huyền.
C. Tích cạnh huyền và 1 cạnh góc vng.
D. Tổng nghịch đảo các bình phương của hai cạnh góc vng.
Câu 3: Cho tam ABC vng tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
A

b

c

h
c'

B

b'
C

H
a

A. b 2 = b ¢.c .

B.

1
1
1
= 2 + 2.
2
h
a
b

C. a.h = b ¢.c ¢ .

D. h 2 = b ¢.c ¢ .

Câu 4: Cho tam giác ABC vng tại A , đường cao AH (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là sai?
A

B

A. AB 2 = BH .BC .

B. AC 2 = CH .BC .

H

C

C. AB .AC = AH .BC .D. AH 2 =

Câu 5: Tìm x , y trong hình vẽ sau:

3. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

AB 2 + AC 2
AB 2 .AC 2


A

12
y

x
B

C

H
20

A. x = 7, 2; y = 11, 8 . B. x = 7; y = 12 .

C. x = 7, 2; y = 12, 8 . D. x = 7, 2; y = 12 .

Câu 6: Tính x , y trong hình vẽ sau:
A

10
y

x
B

C

H

16

A. x = 6, 5; y = 9, 5 .

B. x = 6, 25; y = 9, 75 .C. x = 9, 25; y = 6, 75 . D. x = 6; y = 10 .

Câu 7: Tìm x , y trong hình vẽ sau:

A

8

10

x

B

A. x = 3, 6; y = 6, 4 .

y

H

B. y = 3, 6; x = 6, 4 .

C. x = 4; y = 6 .

C

D. x = 2, 8; y = 7, 2 .

Câu 8: Tính x , y trong hình vẽ sau:
A

4

3

B

A. x = 3, 2; y = 1, 8 .

B. x = 1, 8; y = 3, 2 .

x

H

y

C. x = 2; y = 3 .

Câu 9: Tìm x , y trong hình vẽ sau:

4. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C

D. x = 3; y = 2 .


A

7

5

B

x

C

H
y

A. x =

35 74
; y = 74 .
74

B. y =

35 74
; x = 74 .
74

C. x = 4; y = 6 .

D. x = 2, 8; y = 7, 2 .

Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A , chiều cao AH và AB = 5; AC = 12 . Đặt BC = y; AH = x .
Tính x , y .
60

60
C. x = 4, 8; y = 13 . D. x = ; y = 13 .
; x = 13 .
13
13
Câu 11: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 3 : 4 và

A. x = 4; y = 119 .

B. y =

BC = 15cm . Tính độ dài đoạn thẳng BH .

A. BH = 5, 4 .

B. BH = 4, 4 .

C. BH = 5, 2 .

D. BH = 5 .

Câu 12: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH ^ BC ( H thuộc BC ). Cho biết AB : AC = 4 : 5 và
BC = 41 cm . Tính độ dài đoạn thẳng CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

A. CH » 2, 5 .

B. CH » 4 .

C. CH » 3, 8 .

D. CH » 3, 9 .

Câu 13: Tính x trong hình vẽ sau:
A

13

12

B

x

C

H

A. x = 14 .
B. x = 13 .
C. x = 12 .
D. x = 145 .
Câu 14: Tính x trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A

20

15

B

A. x » 8, 81 .

B. x » 8, 82 .

x

H

C. x » 8, 83 .

C

D. x » 8, 80 .

Câu 15: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết: AB : AC = 3 : 4 và AH = 6cm .
Tính độ dài các đoạn thẳng CH .
A. CH = 8 .
B. CH = 6 .
C. CH = 10 .
D. CH = 12 .
Câu 16: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết AB : AC = 3 : 7 và AH = 42cm .
Tính độ dài các đoạn thẳng CH .
5. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


B. CH = 49 .
A. CH = 96 .
Câu 17: Tính x , y trong hình vẽ sau:

C. CH = 98 .

D. CH = 89 .

A

y

x

1

B

4

H

C

A. x = 2 5; y = 5 . B. x = 5; y = 3 5 . C. x = 5; y = 2 5 . D. x = 2 5; y = 2 5 .
Câu 18: Tính x , y trong hình vẽ sau:
A

y

x

2

B

C

5

H

A. x = 14; y = 35 . B. x = 35; y = 14 . C. x = 24; y = 3 5 . D. x = 6; y = 15 .
Câu 19: Tính x trong hình vẽ sau:
M

x

x
6
N

A. x = 6 2 .

P

D

B. x = 8 2 .

C. x = 8 3 .

D. x =

8
2

.

Câu 20: Tính x trong hình vẽ sau:
M

x

x
8
N

D

P

B. x = 6 .
C. x = 6 3 .
D. x = 82 .
A. x = 6 2 .
Câu 21: Cho ABCD là hình thang vng tại A và D . Đường chéo BD vng góc với BC . Biết
AD = 12cm , DC = 25cm . Tính độ dài BC , biết BC < 20 .
B. BC = 16cm .
C. BC = 14cm .
D. BC = 17cm .
A. BC = 15cm .
Câu 22: Cho ABCD là hình thang vng tại A và D . Đường chéo BD vng góc với BC . Biết

AD = 10cm , DC = 20cm . Tính độ dài BC .
6. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A. BC = 3 61 cm .

C. BC = 15 cm .

B. BC = 2 61 cm .

D. BC = 61 cm .

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 5 : 12 và AB + AC = 34cm .
Câu 23: Tính các cạnh của tam giác ABC .
A. AB = 5; AC = 12; BC = 13 .
B. AB = 24; AC = 10; BC = 26 .
C. AB = 10; AC = 24; BC = 26 .

D. AB = 26; AC = 12; BC = 24 .

Câu 24: Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)
A. AH » 9, 23; BH » 7, 69;CH » 18, 31 .

B. AH » 9, 3; BH » 7, 7;CH » 18, 3 .

C. AH » 8, 23; BH » 8, 69;CH » 17, 31 .

D. AH » 7, 69; BH » 8, 23;CH » 17, 77 .

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Biết AB : AC = 3 : 4 và AB + AC = 21cm .
Câu 25: Tính các cạnh của tam giác ABC .
A. AB = 9; AC = 10; BC = 15 .
B. AB = 9; AC = 12; BC = 15 .
C. AB = 8; AC = 10; BC = 15 .

D. AB = 8; AC = 12; BC = 15 .

Câu 26: Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH .
A. BH = 7, 2; AH = 5, 4;CH = 9, 6 .

B. CH = 7, 2; BH = 5, 4; AH = 9, 6 .

C. AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9 .

D. AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9, 6 .

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vng góc của H
trên AB, AC (hình vẽ).
A

E
D

B

Câu 27: Tỉ số
A.

A.

C

N

H

AB 2
bằng với tỉ số nào sau đây?
AC 2

AB 2
HC
=
.
2
HB
AC

Câu 28: Tỉ số

M

B.

AB 2
HB
=
.

2
HC
AC

C.

AB 2
HA
=
.
2
HB
AC

D.

AB 2
HC
=
.
2
HA
AC

AB 3
BD
=
.
3
ED

AC

D.

AB 3
EC
=
.
3
BD
AC

AB 3
bằng với tỉ số nào sau đây?
AC 3

AB 3
BD
=
.
3
EC
AC

B.

AB 3
AD
=
.

3
EC
AC

C.

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9 cm,CH = 16 cm . Gọi D, E lần lượt
là hình chiếu vng góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và
E lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ).
A

E
D

B

M

7. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

H

N

C


Câu 29: Tính độ dài đoạn thẳng DE .

A. DE = 12 cm .
B. DE = 8 cm .

C. DE = 15 cm .

D. DE = 16 cm .

Câu 30: Tính độ dài đoạn MN ?
A. MN = 15 cm .
B. MN = 13 cm .

C. MN = 12, 5 cm .

D. MN = 12 cm .

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 9cm,CH = 16cm . Gọi D, E lần lượt là
hình chiếu vng góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vng góc với DE tại D và E
lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ).
A

E
D

B

M

N

H

C

Câu 31: Tính diện tích tứ giác DENM .
A. SDENM = 57 cm 2 . B. S DENM = 150 cm 2 . C. S DENM = 37, 5 cm 2 . D. SDENM = 75 cm 2 .
Câu 32: Tính độ dài đoạn thẳng DE .
A. DE = 5 cm .
B. DE = 8 cm .

C. DE = 7 cm .

D. DE = 6 cm .

Câu 33: Kết luận nào sau đây là đúng?
1
3

A. MN = BC .

1
2

B. MN = BC .

C. MN =

3
BC .
4

2
3

D. MN = BC .

Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Cho biết BH = 4cm,CH = 9cm . Gọi D, E lần lượt là
hình chiếu vng góc của H trên các cạnh AB và AC . Các đường thẳng vng góc với DE tại D và E
A
lần lượt cắt BC tại M , N . (hình vẽ).
E
D

B

M

H

Câu 34: Tính diện tích tứ giác DENM .
A. S DENM = 19, 5 cm 2 . B. S DENM = 20, 5 cm 2 . C. SDENM = 19 cm 2 .

N

C

D. S DENM = 21, 5 cm 2 .

Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH . Gọi M , N theo thứ tự là hình chiếu của H lên CD, DE . (hình
vẽ)

8. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


C

N
M
D

Câu 35: Tính CD .CM bằng:
A. CH .CE .
B. CE .CN .

H

C. CH .CN .

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

E

D. CD .CN .


III.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao, biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm . Tính

BH , AH .

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 5cm, BC = 13cm , đường cao AH . Tính AH .
Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC . AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC .
Chứng minh rằng:
 = ABC

AD.AB = AE .AC
b) ADE
a)
Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC , BD và CE là hai đường cao. Các điểm N , M trên các đường thẳng


BD,CE sao cho AMB = ANC = 900 .

Chứng minh rằng tam giác AMN cân.
Bài 5: Cho hình vng ABCD , một điểm E bất kỳ thuộc cạnh AB . Gọi F là giao điểm của DE và BC
.
1
1
1
=
+
2
2
DA
DE
DF 2
Bài 6:Cho đoạn thẳng AB = 4cm . C là điểm di động sao cho BC = 3cm . Vẽ tam giác AMN vuông tại

Chứng minh rằng:

A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để

1
1
+
đạt giá trị lớn nhất.
AM 2 AN 2

 = 1200
Bài 7: Cho hình thoi ABCD với A
. Tia Ax tạo với tia BAx bằng 150 và cắt cạnh BC tại M , cắt
đường CD tại N .
1
1
4
+
=
2
2
AM
AN
3AB 2
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , AH là đường cao.
Cho biết BH = x , HC = y .

Chứng minh rằng:

Chứng minh rằng: xy £

x +y
2

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


HƯỚNG DẪN GIẢI
I.BÀI TOÁN VÀ CÁC DẠNG BÀI
Dạng 1 Chứng minh đẳng thức hình học
Bài 1. Cho ABC nhọn có đường cao AH . Chứng minh AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 .
Lời giải
Xét  ABH vng tại H , ta có:
AB 2  AH 2  BH 2 1 .

Xét ACH vuông tại H , ta có:
AC 2  AH 2  CH 2

 2 .

Lấy 1   2  ta được:
AB 2  AC 2  BH 2  CH 2 (đpcm).

Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD tại O . Chứng minh AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 .
Lời giải
Lần lượt xét các tam giác vuông
AOD , AOB , BOC , DOC ta được:

 AD 2  OA2  OD 2 1
 2
2
2
CD  OC  OD  2 

2
2
2
 AB  OA  OB  3
 BC 2  OB 2  OC 2  4 

 1   4 
Lấy 
, ta được:
 2    3
 AB 2  CD 2  OA2  OB 2  OC 2  OD 2

2
2
2
2
2
2
 AD  BC  OA  OB  OC  OD
 AB 2  CD 2  AD 2  BC 2 .





2

AM
 AB 
 2
Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A A  900 , kẻ BM  CA . Chứng minh
  1.
MC
 BC 

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Lời giải
Gọi H là trung điểm BC. Lại có ABC cân tại A.  AH
vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.Xét AHC và BMC
  900
 
AHC  BMC
 AHC  BMC  g.g 
có: 

BCM
chung

BC MC
BC 2 MC

 BC 2  2 MC . AC 1 .




AC HC
AC
BC
2

Xét:

2

AM
AC  MC
 AB 
 AB 
 2
 2
 1 
 1
MC
MC
 BC 
 BC 
2

AC
AC

2. AB 2
 AB 

 2
(Thay 1 vào)

 
MC
MC 2.MC . AC
 BC 
AB 2
 AC 2  AB 2 (luôn đúng)  đpcm.
AC
Bài 4.Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G.
Chứng minh rằng:
a) AE 2  EK .EG ;
1
1
1
;
b)


AE AK AG
c) Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị khơng thay đổi.
Lời giải
EK EB
(1)
a) Vì AD / / BK 


AE ED
AE EB
(2)
Vì AB / / DG 

EG ED
EK EB AE
Từ (1) và (2) có:


 AE 2  EK .EG
AE ED EG
Vậy AE 2  EK .EG
AE DE
AE BE
b) Vì AD / / BK 
; AB / / DG 


AK DB
AG BD
AE AE DE BE BD
1
1
1
nên





1


AK AG BD BD BD
AK AG AE
1
1
1
Vậy
.


AK AG AE
c) Đặt AB  a, AD  b
 AC 

BK
b
BK AB
a
KC CG KC
; AD / / CK 
nên





KC CG CG
AD DG

b
a
DG
 BK .DG  a.b (hằng số).
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị khơng thay đổi.
Bài 5. Cho hình thang ABCD có AB  a, CD  b . Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng

Vì AB / / CG 

song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng
Lời giải
12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

1
1
1 1

  .
OE OG a b


OE DE
OE DE
(theo hệ quả định lý Ta-lét) (1).



AB DA

a
DA
OE AE
OE AE
(theo hệ quả định lý TaVì OE / / CD nên



DC DA
b
DA
lét) (2).
OE OE DE AE
1 1
Từ (1) và (2) ta được



 1  OE     1
a
b
DA DA
a b

Vì OE / / AB nên

1 1
1
 
a b OE

1 1
1
Tương tự có:
 
a b OG
1
1
1 1
Vậy

  .
OE OG a b


13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Dạng 2: Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc
Bài 1. Cho ABC vng tại A có đường cao AH , có AB  15 cm, AH  12 cm . Tính BH , BC , CH , AC
Lời giải
Xét ABC vng tại A , có đường cao AH . Ta có:
1
1
1



2

2
AH
AB
AC 2
1
1
1
1
1
1



 2 2 
2
2
2
AC
AH
AB
12 15
400
 AC  20  cm  .
2
2
2
2
2
 BC  AB  AC  15  20  625

 BC  25  cm 

 AB 2  BH .BC  BH 

AB 2 152

 9  cm  .
BC
25

AC 2 20 2

 16  cm  .
CB
25
Bài 2. Cho hình thang ABCD , vẽ DE  AC  E  AC  . Biết AB  9 cm, AC  17 cm, CD  15 cm.
 AC 2  CH .CB  CH 

a) Tính AD , BC , DE .
b) Tính S ABCD , S ABC .
Lời giải
a. Xét ADC vuông tại D , có đường cao
DE , ta được:
2
2
2
2
2
 AD  AC  DC  17 15  64

 AD  8  cm  .
1
1
1
1
1
289
.


 2 2 
2
2
2
DE
AD
DC
8 15
14400
120
 DE 
 cm  .
17
Từ B kẻ BH  DC  H  DC  .



 AD  BH .

Ta lại có: AB  DH ( ABCD là hình thang)

  90 0 .
và BAD

 ABDH là hình chữ nhật.
 AB  DH  9  cm 
.

 AD  BH  8  cm 

Xét BHC vuông tại H , ta được:

BC 2  BH 2  HC 2  82   DC  DH 

2

 64  36  100  BC  10  cm  .
b. Ta có:
14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


 S ABCD 

 AB  DC  . AD  92
2

 cm  . 
2

1
8.15
 AD.DC 
 60  cm 2  .
2
2
 S ABC  S ABCD  S ADC  92  60
S ADC 

 S ABC  32  cm2  .

Bài 3. Cho ABC vuông tại A , có AB 

3
AC , BC  30 cm . Tính AB , AC .
4

Lời giải
Gọi AC  x  cm   AB 

3x
 cm  với x  0. Xét
4

ABC vng tại A , có
BC 2  AB 2  AC 2  900 

9x2
 x2
16

 x 2  576  x  24 .

Vậy AC  24  cm  , AB  18  cm  .
Bài 4. Cho hình thoi BEDF nội tiếp tam giác ABC (E thuộc AB, D thuộc AC, F thuộc BC).
a) Tính cạnh hình thoi biết AB  c, BC  a .
2ac
với AB  c, BC  a .
ac
c) Tính độ dài AB, BC, biết AD  m, DC  n, DE  d .

b) Chứng minh BD 

Lời giải
a) Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.
ED AE
Vì ED / / BC nên
(hệ quả định lý Ta-lét)

BC AB
x cx
 
 cx  a  c  x   cx  ac  ax
a
c
ac
  a  c  x  ac  x 
ac
ac
Vậy x 

.
ac
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK  BA .
  BAK
1
Ta có tam giác ABK cân tại B nên BKA
ABC (tính chất góc ngồi tam giác).
2
  DBF
1
  BD / / AK  BD  CB (hệ quả định lý Ta-lét)
Mà EBD
ABC  
AKB  DBF
2
AK CK
BD
CB
a
(1)



AK BC  BK a  c
Trong tam giác ABK có:
AK  AB  BK  c  c  2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).
a
2ac
.2c 
Từ (1) và (2) có: BD 

ac
ac
15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Vậy BD 

2ac
.
ac

d m  n
d
m
ED AD
(hệ quả định lý Ta-lét) 

 BC 

BC AC
BC m  n
m
d m  n

c) Vì ED / / BC nên
Tương tự có AB 

n

d m  n
d m  n
và AB 
.
m
n
Bài 5. Cho tam giác ABC, PQ / / BC với P, Q là các điểm tương ứng thuộc AB, AC. Đường thẳng PC và
Vậy BC 

QB cắt nhau tại G. Đường thẳng đi qua G và song song với BC cắt AB tại E và AC tại F. Biết
PQ  a, FE  b . Tính độ dài của BC.
Lời giải
Đặt BC  x .
Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:
1
1
1 1
ax

   GE  GF 
GE GF a x
ax
ax
2ax
2ax
 GE  GF  2
 EF 
b
ax

ax
ax
ab
 ab  bx  2ax  0  x 
2a  b
ab
Vậy BC 
.
2a  b
Bài 6. Trên cạnh BC của hình vng ABCD cạnh 6, lấy điểm E
sao cho BE  2 . Trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho
CF  3 . Gọi M là giao điểm của AE và BF. Tính góc AMC.
Lời giải
Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.
AB BE
BE
2
1
Vì AB / / CG nên



 (hệ quả định lý Ta-lét)
CG EC BC  BE 6  2 2
 CG  2 AB  2.6  12  FG  CG  CF  12  3  9
BH CF
Vì AH / / CG nên

AB FG
BH 3

3

  BH  6.  2  BH  BE
6
9
9
Xét BAE và BCH có:
 BE  BH  theo treân 

 
 ABE  CBH  90
 AB  BC tính chất hình vuông



  BHC



 BAE  BCH  c.g .c   BEA
AMC  MAH
AHM  MAH
AEB  90
Vậy 
AMC  90 .

16. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

Dạng 3: Tốn thực tế:
Bài 1: Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ
bằng 42 . Tính chiều cao của cột đèn.
Lời giải

  90 .
Gọi chiều cao của cột đèn là AB, bóng của nó trên mặt đất là AC. Ta có: BAC
  42 .
Theo giả thiết, ta có BCA
Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:
  AB  AB  AC.tan BCA
  7,5 tan 42  6, 75  cm 
tan BCA
AC
Vậy chiều cao của cột đèn là 6,75 (cm).
Bài 2: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu những
góc so với đường vng góc với mặt đất các góc lần lượt là   37,   31. Tính chiều dài CD của cây
cầu.
Lời giải
Gọi A là vị trí của trực thăng, B là chân đường vng góc hạ từ A
xuống mặt đất. C và D là hai điểm đầu cầu.
  BD
Ta có: tan BAD
AB

 BD  AB.tan BAD  920.tan 37  920.0, 754  693, 68  m 

Mặt khác: tan BAC

BC
AB

  920.tan 31  920.0, 6  552  m 
 BC  AB.tan BAC

Vậy chiều dài của cây cầu là:
CD  BD  BC  693, 68  552  141, 68  m  .
Bài 3. Một sợi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra một đoạn
dây dài 0, 5 m . Nếu kéo căng sợi dây sao cho đầu dây chạm đất thì đo
được khoảng cách từ đầu dây đến gốc cây là 2, 5 m . Tính chiều cao cây.
Lời giải

17. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Gọi chiều dài dây là AC và chiều cao cây là AB. Đặt
AB  x  m  với x  0, 5 .
Do khi dây treo từ ngọn cây thả xuống đất thì dư ra
một đoạn  0, 5 m .
 AC  x  0, 5  m 

Xét ABC vuông tại B , ta được: AC 2  BC 2  AB 2

  x  0,5  2,52  x 2  x 2  x  0, 25  6, 25  x 2
2

 x  6.

Vậy cây cao 6 m .
Bài 4. Nhà An ở vị trí A , nhà Bảo ở vị trí B cách nhau 2 k m . Quán Game ở tại vị trí C , biết AC  800 m
và AB  AC . Vào một ngày đẹp trời, An hẹn Bảo đến quán Game. Biết An đi bộ với vận tốc 5 km/h và
Bảo đi xe đạp. Hỏi Bảo phải đi với vận tốc bao nhiêu để đến quán Game cùng lúc với An.
Lời giải
800 m = 0,8 Km.

Xét ABC vng tại A , ta có:
BC 2  AB 2  AC 2  2000 2  800 2

 BC  2154  m   2,154  Km  .

Thời gian An đi từ nhà đến quán Game là
AC 0,8
t1 

 0,16  h  .
v1
5
Thời gian Bảo đi từ nhà đến quán Game là
BC 2,154
t2 

h .
v2
v2
Do An và Bảo đến cùng lúc nên
2,154
t1  t2 
 0,16

v2
 v2  13,5  Km/h  .

Vậy Bảo sẽ đi với vận tốc  13, 5 Km/h.

18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


II.TRẮC NGHIỆM RÈN PHẢN XẠ
Câu 1. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2 = HB.HC .
Đáp án cần chọn là B.
2. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có hệ thức HA2 = HB.HC .
Hay "Trong tam giác vng, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của
hai cạnh góc vng trên cạnh huyền".
Đáp án cần chọn là B.
3. Lời giải:
Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai.
Đáp án cần chọn là C.
4. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH . Khi đó ta có các hệ thức
AC 2 = CH .BC ; AB 2 = BH .BC ; AB.AC = BC .AH và

Nhận thấy phương án D: AH 2 =

1
AH

2

=

1
AB

2

+

1
AC 2

.

AB 2 + AC 2
1
1
=
+
là sai.
2
2
2
AB .AC
AB
AC 2

Đáp án cần chọn là D.
5. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AB 2 = BH .BC  BH =

144
AB 2
=
= 7, 2  CH = BC - BH = 20 - 7, 2 = 12, 8 .
20
BC

Vậy x = 7, 2; y = 12, 8 .
Đáp án cần chọn là C.
6. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AB 2 = BH .BC  BH =

100
AB 2
=
= 6, 25  CH = BC - BH = 16 - 6, 25 = 9, 75 .
16
BC

Vậy x = 6, 25; y = 9, 75 .
Đáp án cần chọn là B.
7. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 100  BC = 10 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:

62
AB 2
=
= 3, 6 hay x = 3, 6 .
10
BC
 CH = BC - BH = 10 - 3, 6 = 6, 4 hay y = 6, 4 . Vậy x = 3, 6; y = 6, 4 .
AB 2 = BH .BC  BH =

Đáp án cần chọn là A.
8. Lời giải:
Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 25  BC = 5 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AB 2
32
=
= 1, 8 hay x = 1, 8 .
BC
5
 CH = BC - BH = 5 - 1, 8 = 3, 2 hay y = 3, 2 .
AB 2 = BH .BC  BH =

19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Vậy x = 1, 8; y = 3, 2 .
Đáp án cần chọn là B.
9. Lời giải:

Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 74  BC = 74 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
5.7
35 74
AB.AC
35 74
=
=
; y = 74 .
. Vậy x =
74
BC
74
74

AH .BC = AB.AC  AH =

Đáp án cần chọn là A.
10. Lời giải:
A

12

5

B

x

C

H
y

Theo định lý Pytago ta có BC 2 = AB 2 + AC 2  BC 2 = 169  BC = 13 .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AH .BC = AB.AC  AH =

AB.AC
5.12
60
60
. Vậy x = ; y = 13 .
=
=
BC
13
13
13

Đáp án cần chọn là D.
11. Lời giải:
A

B

Ta có: AB : AC = 3 : 4 
=

H

C

AB AC
AB 2
AC 2
AB 2 + AC 2
AB 2 + AC 2
=

=
=
=
3
4
9
16
9 + 16
25

BC 2
225
=
=9
25
25

(Vì theo định lý Pytago ta có AB 2 + AC 2 = BC 2  AB 2 + AC 2 = 225 )
Nên

AB 2
AC 2
= 9  AB = 9;
= 9  AC = 12 .
9
16

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:
AB 2 = BH .BC  BH =

81
AB 2
=
= 5, 4 . Vậy BH = 5, 4 .
15
BC

Đáp án cần chọn là A.
12. Lời giải:
20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A

B

C

H

Ta có AB : AC = 4 : 5


AB AC
AB 2
AC 2
AB 2 + AC 2
41
=

=
=
=
= 1 (vì theo định lý Pytago ta có:
4
5
16
25
16 + 25
41
AB 2 + AC 2 = BC 2  AB 2 + AC 2 = ( 41)2 = 41 )

AB 2
AC 2
= 1  AB 2 = 16  AB = 4;
= 1  AC = 5
16
25

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

Nên

AC 2 = CH .BC  CH =

AC 2
25
=
» 3, 9 . Vậy CH » 3, 9 .
BC
41

Đáp án cần chọn là D.
13. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
1
AH

2

=

1
AB

2

+

1
AC

2

 AH =

AB.AC
2

AB + AC

2

=

15.20
152 + 202

= 12 . Vậy x = 12 .

Đáp án cần chọn là C.
14. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ABC ta có:
1
AH 2

=

1

AB 2

 AH =

+

1
AC 2

1
AB 2 + AC 2
AB 2 .AC 2
2
=

AH
=
AH 2
AB 2 .AC 2
AB 2 + AC 2



AB.AC
AB 2 + AC 2

12.13

=

» 8, 82 . Vậy x » 8, 82 .

122 + 132

Đáp án cần chọn là B.
15. Lời giải:
A

B

H

C

Ta có AB : AC = 3 : 4 , đặt AB = .3a, AC = 4a (a > 0)
Theo hệ thức lượng

1

AH
 AB = 7, 5; AC = 10 .

2

=

1
AB

2

+

1
AC

2



1
1
1
1
25
5
= 2 +

=
 a = (TM )
2
2
36 9a
36 144a
2
16a

Theo định lý Pytago cho tam giác vng AHC ta có:
21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 

 


CH = AC 2 - AH 2 = 100 - 36 = 8 . Vậy CH = 8 .

Đáp án cần chọn là A.
16. Lời giải:
A

B

H

C

Ta có AB : AC = 3 : 7 , đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0)
Theo hệ thức lượng

1
1
1
1
1
1
1
58
=
+
 2 = 2 +


=
2
2
2
2
1764 441a 2
AH
AB
AC
42
9a
49a

 441a 2 = 102312  a = 2 58 (TM )  AB = 6 58; AC = 14 58

Theo định lý Pytago cho tam giác vng AHC ta có:
CH = AC 2 - AH 2 = (14 58)2 - 422 = 98 . Vậy CH = 98 .

Đáp án cần chọn là C.
17. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AH 2 = BH .CH  AH 2 = 1.4  AH = 2 .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vng AHB; AHC ta có:
AB = AH 2 + HB 2 ; AC = AH 2 + HC 2 = 2 5 . Vậy x = 5; y = 2 5 .

Đáp án cần chọn là C.
18. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có:
AH 2 = BH .CH  AH 2 = 2.5  AH = 10 .
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB; AHC ta có:

AB = AH 2 + HB 2 = 10 + 4 = 14 ;
AC = AH 2 + HC 2 = 10 + 25 = 35

Vậy x = 14; y = 35 .
Đáp án cần chọn là A.
19. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vng ta có


1
MD

2

=

1
MN

2

+

1
MP 2

1
1
1
1

2
=
+

=
 x 2 = 128  x = 8 2 . Vậy x = 8 2 .
64 x 2 x 2
64 x 2

Đáp án cần chọn là B.
20. Lời giải:
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:
1
1
1
1
1
1
1
2
=
+

= 2 + 2 
= 2  x 2 = 72  x = 6 2 . Vậy x = 6 2 .
2
2
2
36 x
36 x

MD
MN
MP
x
22. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Đáp án cần chọn là A.
21. Lời giải:
B

A

D

C

E

Kẻ BE ^ CD tại E
 =D
 =E
 = 90
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì A
) nên BE = AD = 12cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 - x .

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

BE 2 = ED.EC  x (25 - x ) = 144  x 2 - 25x + 144 = 0
 x 2 - 16x - 9x + 144 = 0  x(x - 16) - 9(x - 16) = 0
éx = 16
 (x - 16)(x - 9) = 0  êê
(thỏa mãn)
êë x = 9

Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: BC = BE 2 + EC 2 = 122 + 162 = 20 (loại).
Với EC = 9 , theo định lý Pytago ta có: BC = BE 2 + EC 2 = 122 + 92 = 15 (nhận).
Vậy BC = 15cm .
Đáp án cần chọn là A.
22. Lời giải:
Kẻ BE ^ CD tại E
 =D
 =E
 = 90
Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì A
) nên BE = AD = 10 cm
Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 20 - x .
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong
tam giác vuông BCD ta có: BE 2 = ED.EC  x (20 - x ) = 100
 x 2 - 20x + 100 = 0  (x - 10)2 = 0  x = 10(tm )

Với EC = 16 , theo định lý Pytago ta có: BC = BE 2 + EC 2 = 122 + 102 = 2 61 .
Vậy BC = 2 61 cm .
Đáp án cần chọn là B.
23. Lời giải:
A

B

H

Theo giả thiết: AB : AC = 5 : 12 .
23. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C


Suy ra

AB
AC
AB + AC
34
=
=
=
= 2 . Do đó AB = 5.2 = 10 (cm ); AC = 2.12 = 24 (cm ) .
5
12
5 + 12
17

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 102 + 242 = 676 , suy ra BC = 26 cm .
Đáp án cần chọn là C.
24. Lời giải:

A

B

H

C

Theo câu trước ta có AB = 10; AC = 24; BC = 26 .
 AH .BC = AB.AC  AH =

AB.AC
10.24
=
» 9, 23 ;
BC
26

AB 2
102
100
=
=
» 7, 69 .  CH = BC - BH = 26 - 7, 69 = 18, 31 .
BC
13
13
Vậy AH » 9, 23; BH » 7, 69;CH » 18, 31 .
AB 2 = BH .BC  BH =

Đáp án cần chọn là A.
25. Lời giải:
A

B

H

C

Theo giả thiết: AB : AC = 3 : 4
Suy ra

AB AC
AB + AC
=
=
= 3 . Do đó AB = 3.3 = 9 (cm ); AC = 3.4 = 12 (cm ) .
3
4
3+4

Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pytago ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 122 = 225 , suy ra BC = 15 cm .
Đáp án cần chọn là B.
26. Lời giải:
A

B

H

Ta có AB = 9; AC = 12; BC = 15  AH .BC = AB.AC  AH =
24. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C

AB.AC
12.9
=
= 7, 2
BC
15


AB 2
81
=
= 5, 4  CH = BC - BH = 15 - 5, 4 = 9, 6
BC
15
Vậy AH = 7, 2; BH = 5, 4;CH = 9, 6 .
AB 2 = BH .BC  BH =

Đáp án cần chọn là B.
27. Lời giải:
Xét tam giác vng ABC có AH là đường cao nên AB 2 = BH .BC ; AC 2 = CH .BC
Nên

AB 2
BH .BC
HB
=
=
2
CH .BC
HC
AC

Đáp án cần chọn là B.
28. Lời giải:
Tam giác vng AHB có BH 2 = BD.AB  BD =
Tam giác vng AHC có HC 2 = AC .EC  EC =
Từ đó

BH 2
AB

HC 2
AC

AB 2
HB
BD HB 2 HC 2
HB 2 AC
:
.
=

=
=
mà
theo
câu
trước
thì
nên
2
2
2
HC
EC
AB AC
AC
HC AB

BD
AB 4 AC
BD
AB 3
=
.

=
.
EC
EC
AC 4 AB
AC 3

Đáp án cần chọn là A.
29. Lời giải:
 =E
 =D
 = 90
Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì A
nên DE = AH
2
Xét D ABC vng tại A có AH = HB.HC = 9.16 = 144  AH = 12
Nên DE = 12cm .
Đáp án cần chọn là A.
30. Lời giải:
 = HAE

 = ABC

 + AED
 = 90
+ Ta có: NEC
mà AED
(do AEHD là hình chữ nhật) và HAE
(cùng phụ

 = NEC

 + ABC
 = 90
 + ABC
 = 90

với ACB
) nên NEC
mà ACB
nên ACB
hay D NEC cân tại N
 EN = NC (1).

 + HEN
 = 90
 = NCE
  NCE
 + HEN
 = 90
 + NHE
 = 90
mà NEC
. Lại có NEC
nên
+ NEC


NEH = NHE hay D NEH cân tại N hay NE = NH (2).
Từ (1) và (2) suy ra NH = NC
1
2

1
2

1

2

1
2

Tương tự ta có MH = MB nên MN = MH + NH = HB + HC = .9 + .16 = 12, 5 cm
Đáp án cần chọn là C.
31. Lời giải:
 =E
 = 90
nên DENM là hình thang vng
Vì DM ^ DE , EN ^ DE  DM  EN ; D

Theo câu các câu trước ta có: DM =
Nên S DENM =

BH
CH
= 4, 5; EN =
= 8; DE = 12
2
2

(DM + DN ).DE
(4, 5 + 8).12
=
= 75 cm 2 .
2
2

Đáp án cần chọn là D.
32. Lời giải:
25. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com