Chuyên đề Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Định lí
Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng:
• Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với cơsin góc kề;
• Cạnh góc vng kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với cơtang góc kề
Trong hình bên thì:
b  a sin B  a cos C ; c  a sin C  a cos B
b  c tan B  c cot C ; c  b tan C  b cot B
II. Giải tam giác vuông
Là tìm tất cả các cạnh và góc của tam giác vng B khi
biết hai yếu tố của nó (trong đó ít nhất có một yếu tố về độ
dài).
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI CƠ BẢN VÀ NÂNG CAO
   . Tính giá trị của  để BH = 3CH.
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, B
Giải
Đặt AH = h.
Xét ABH vuông tại H ta có:
BH = AH.cot B = h.cot .
Xét ACH vng tại H ta có:
CH = AH.cot C = AH.tan B = h.tan .
BH  3CH  h.cot   3h.tan  
tan 2  

1
 3 tan 
tan 

1
3

 tan  
 tan 30    30
3
3

Nhận xét: Trong bài giải ta đã biểu diễn BH và CH theo AH và theo một tỉ số lượng giác của góc . Từ
mối quan hệ giữa BH và CH ta tìm được giá trị của .

  35, C
  50 và đường cao AH = 5,0cm.
Ví dụ 2. Giải tam giác ABC biết B
Giải

A , AB, AC và BC.
Ta phải tìm 





A  180  B
 C
  95
• Xét ABH vng tại H ta có:
AH  AB.sinB  AB 

AH
5, 0

 8, 7  cm 

sinB sin 35

BH  AH .cotB  5, 0.cot 35  7,1 cm 
1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


• Xét ACH vng tại H ta có:
AH  AC.sin C  AC 

AH
5, 0

 6,5  cm 
sin C sin 50

CH  AH .cot C  5, 0.cot 50  4, 2  cm 
Do đó BC  BH  CH  7,1  4, 2  11,3  cm 

A  95; AB  8, 7cm; AC  6,5cm; BC  11,3cm
Vậy 
Lưu ý: Sau khi tính được AB và AC, có thể tính BH và CH theo AB và AC:
BH  AB.cos B; CH  AC .cos C
Tuy nhiên, ta nên tính BH và CH theo các số đo đã cho trong đề bài để kết quả được chính xác hơn.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định. Biết BC = 4cm, AB + AC = 8cm. Tính giá trị lớn nhất của
góc A.
Giải
Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD và CK  AD.

Xét ABH vuông tại H, ACK vuông tại K, ta có: BH  AB.sin
Vậy BH  CK   AB  AC  sin

A
A
; CK  AC sin
2
2

A
A
 8sin
2
2

Mặt khác ,

BH  CK  BD  CD  BC  4  cm 
nên 8sin
Do đó

A
A 1
 4  sin   sin 30
2
2 2


A
 30  

A  60
2

A  60 khi D, H, K trùng nhau  ABC đểu.
vậy max 
Nhận xét: Nhờ có việc vẽ đường phân giác AD và các đường thẳng BH, CK cùng vng góc với AD mà
ta tìm được sự liên hệ giữa AB, AC với BH, CK; sự liên hệ giữa BH, CK với BC. Do đó giữa AB, AC và
BC có sự liên hệ với nhau, từ đó tìm được số đo của góc A.
Ví dụ 4. Chứng minh định lí cơsin: Trong một tam giác nhọn, bình phương của một cạnh bằng tổng các
bình phương của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của hai cạnh ấy với cơsin của góc xen giữa của chúng.
Giải

2. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Vẽ đường cao BH. Xét HBC vuông tại H ta có:
BC 2  HB 2  HC 2  HB 2   AC  AH 

2

 HB 2  AC 2  2 AC. AH  AH 2
  HB 2  AH 2   AC 2  2 AC. AH
 AB 2  AC 2  2 AC. AH 1

Xét ABH vng tại H ta có : AH = AB. cosA
Thay vào (1) ta được BC 2  AB 2  AC 2  2 AC . AB.cosA
Nhận xét: Trong một tam giác nhọn, nếu biết hai cạnh và góc xen giữa thì nhờ định lí cơsin ta có thế tính
được cạnh thứ ba.

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng để chứng minh hoặc tính tốn
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C;

b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.

Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng:
AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C
Bài 3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ
tam giác ABM vuông tại M sao cho 
ABM    0    90  . Tính độ dài ngắn nhất của AB.
Bài 4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và BC  3 3cm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm.
Tính giá trị lớn nhất của góc A.
  40 . Tính độ dài BC.
Bài 5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và B
  70 . Tính độ dài BC.
Bài 6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng  < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h,
tính AH.

  40, C
  65
Bài 8. Cho tam giác ABC, B
a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ);
b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm trịn đến centimet).
Bài 9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có:
a) 
A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm;

b) 
A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, 
A  64 , AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác
ABC là tam giác tù.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC, AB =
4cm, BC = 6cm. Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác
đó với D  AB, E  AC ; F, G  BC . Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ hơn 6cm2.
3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Bài 12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A.
Bài 13. Giải tam giác ABC, biết:

  62; C
  53
a) BC  6,8cm; B

  40; C
  35
b) BC  6,8cm; B

Bài 14. Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm trịn đến độ).
Bài 15. Giải tam giác ABC, biết: 
A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn các độ dài đến chữ số thập
phân thứ nhất, làm tròn các số đo góc đến độ).
A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm trịn số đo góc đến độ, làm tròn

Bài 16. Giải tam giác ABC, biết: 
độ dài đến hàng phần mười).
HƯỚNG DẪN
• Vận dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng để chứng minh hoặc tính tốn
Bài 1. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
a) AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C;
b) AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Giải
a) ACD vng tại D, có AD = ACsin C.
ABE vng tại E, có BE = ABsin A.
BCF vng tại F, có CF = BCsin B.
Suy ra AD.BE.CF = AB.BC.CA.sin A.sin B.sin C.
b) ABE vng tại E, có AE = ABcos A.
BCF vng tại F, có BF = BCcos B.
ACD vng tại D, có CD = ACcos C.
Suy ra AE.BF.CD = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Bài 2. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao AA', BB', CC’. Chứng minh rằng:
AB '.BC '.CA '  A ' B.B ' C.C ' A  AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C
Giải
ABB' vng tại B', có AB' = ABcos A.
BCC’ vng tại C', có BC' = BCcos B.
CAA' vng tại A', có CA' = ACcos C.
Suy ra AB'.BC'.CA' = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Chứng minh tương tự ta được:
A'B.B'C.C'A = AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Do đó AB’.BC’.CA' = A'B.B'C.C'A

4. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

= AB.BC.CA.cos A.cos B.cos C.
Nhận xét: Vì ba đường cao tam giác cùng đi qua một điểm nên nếu đề bài chỉ yêu cầu chứng minh
A ' B B 'C C ' A
AB'.BC’.CA' = A'B.B'C.C’A thì theo định lí Xê-va ta có
.
.
 1 từ đó suy ra ngay đpcm.
A ' C B ' A C 'B
Bài 3. Cho đường thẳng xy và điểm A cố định cách xy là 2cm. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ
tam giác ABM vuông tại M sao cho 
ABM    0    90  . Tính độ dài ngắn nhất của AB.
Giải
ABM vng tại M, có AM  AB.sin   AB 

AM
sin 

Do đó AB ngắn nhất  AM ngắn nhất  M  H  AM  2cm
Vậy min AB 

2
khi M  H
sin 

Bài 4. Cho tam giác ABC, cạnh BC cố định và BC  3 3cm . Điểm A di động sao cho AB + AC = 6cm.
Tính giá trị lớn nhất của góc A.
Giải
Vẽ đường phân giác AD. Vẽ BH  AD,

CK  AD. Ta có BH  BD, CK  CD
Suy ra BH  CK  BD  CD  BC
ABH vng tại H, có: BH  AB.sin

A
2

ACK vng tại K, có: CK  AC.sin

A
2

Do đó BH  CK   AB  AC  .sin
Do đó sin

A
A
A
 6 sin mà BH  CK  BC  3 3cm nên 6 sin  3 3
2
2
2


A 3 3
3
A


 sin 60 . Suy ra  60  

A  120
2
6
2
2

Vậy max 
A  120 khi H  K  D  ABC vng cân tại A.
  40 . Tính độ dài BC.
Bài 5. Cho tam giác ABC, AB = 14cm, AC = 11cm và B
Giải
* Tìm cách giải

5. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Vẽ đường cao AH để vận dụng các hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng. Tính HB và HC từ đó
tính được BC.
* Trình bày lời giải
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vng tại H có:
AH  AB.sin B  14sin 40  9.0  cm 
BH  AB.cos B  14.cos 40  10, 7  cm 

Xét AHC vng tại H có:

HC  AC 2  AH 2  112  92  6,3  cm 
• Nếu H nằm giữa B và C thì BC  BH  HC  10, 7  6,3  17  cm 
• Nếu C’ nằm giữa B và H thì BC '  BH  HC '  10, 7  6,3  4, 4  cm 

  70 . Tính độ dài BC.
Bài 6. Cho tam giác ABC, AB = 3,2cm; AC = 5,0cm và B
Giải
Vẽ đường cao AH. Xét ABH vng tại H có:
AH  AB.sin B  3, 2sin 70  3, 0  cm 
BH  AB.cos B  3, 2.cos 70  1,1 cm 

Xét AHC vng tại H có:

HC  AC 2  AH 2  5, 02  3, 02  4, 0  cm 
Điểm C không thể nằm giữa H và B vì trên tia HB có HC > HB.
Chỉ còn trường hợp điểm H nằm giữa B và C.
Ta có BC  BH  HC  1,1  4, 0  5,1 cm 
Bài 7. Cho tam giác ABC cân tại A, góc ở đáy bằng  < 90°. Vẽ các đường cao AH và BK. Biết BK = h,
tính AH.
Giải
Xét KBC vng tại K, có: BK  BC .sin   BC 
Vì ABC cân tại A nên HB  HC 

BK
h

sin  sin 

h
2 sin 

Xét AHC vng tại H có: AH  HC.tan  

h

sin 
h
.

2 sin  cos  2 cos 

  40, C
  65
Bài 8. Cho tam giác ABC, B
a) Tính số đo của góc tạo thành bởi đường cao AH và đường trung tuyến AM (làm tròn đến độ);
6. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


b) Cho biết BC = 45cm, tính độ dài AH (làm tròn đến centimet).
Giải
 
Đặt MAH
a) Xét ABH và AHC vng tại H ta có: BH  AH cot B; CH  AH cot C ; MH  AH tan 
Ta có BH  CH   BM  MH    CM  MH   2MH
Do đó AH cot B  AH cot C  2 AH tan 
Suy ra cot B  cot C  2 tan 
Hay tan  

cot B  cot C cot 40  cot 65

 0,3627
2
2

tan   tan1956'    20
b) Ta có BH + CH = BC hay AH cot B  AH cot C  45  AH  cot B  cot C   45
Suy ra AH 

45
45

 27  cm 
cot B  cot C cot 40  cot 65

Bài 9. Tam giác ABC là tam giác nhọn hay tam giác tù nếu có:
a) 
A  50 , AB = 2,4cm, AC = 6,2cm;
b) 
A  55 , AB = 3,5cm, AC = 4,5cm.
Giải
a) Vẽ CH  AB. Xét ACH vuông tại H, ta có:

AH  AC.cos A  6, 2.cos 50  4, 0  cm 
Trên tia AB có AB < AH nên điểm B nằm giữa A và H.
  90
ABC  H
Suy ra 
Vậy ABC là tam giác tù.
b) Vẽ CH  AB, BK  AC. Xét ACH vuông tại H, ta có:

AH  AC.cos A  4,5.cos 55  2, 6  cm 
Xét ABK vuông tại K, ta có:

AK  AB.cos A  3,5.cos 55  2, 0  cm 
• Trên tia AB có AH < AB nên điểm H nằm giữa A và B.
  90 nên HBC
 nhọn.
Xét HBC có H
• Trên tia AC có AK < AC nên điểm K nằm giữa A và C.
7. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


  90 nên 
ACB nhọn.
Xét KBC có K
Tam giác ABC có ba góc nhọn nên là tam giác nhọn.
A  64 , AB = c, AC = 4,5cm. Xác định giá trị của c để tam giác
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, 
ABC là tam giác tù.
Giải
Vẽ CH  AB, BK  AC. AHC vuông tại H, ta có:

AH  AC.cos A  4,5.cos 64  2, 0  cm 
AKB vng tại K, ta có:

AK  AB.cos A  c.cos 64
 tù hoặc C
 tù.
ABC tù  B
 tù.
• Xét trường hợp B

  90  AH  AB  2  c hay c  2 và c  0
Ta có B
 tù.
• Xét trường hợp C
  90  AK  AB  c.c os64o  4,5  c 
Ta có : C

4,5
 10,3.
cos64o

Tóm lại, ABC tù khi 0  c  2cm hoặc c  10, 3cm
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC, AB =
4cm, BC = 6cm. Một hình chữ nhật DEFG nội tiếp tam giác
đó với D  AB, E  AC ; F, G  BC . Chứng minh rằng diện tích hình chữ nhật DEFG nhỏ hơn 6cm2.
Giải

   ; AD  x thì DB  4  x
Ta đặt B
Ta có DE / / BC suy ra
Do đó DE 

DE AD
(hệ quả định lí Ta-lét)

BC AB

AD.BC x.6 3 x



4
2
AB

Xét DBG vng tại G, ta có DG  DB.sin    4  x  sin 
Diện tích hình chữ nhật DEFG là S  DE.DG 

3
x  4  x  sin 
2
2

2

 x4 x
 ab
Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm ab  
 4
 ta được x  4  x   
2


 2 

(dấu “=” xảy ra khi x = 4-x  x = 2).

8. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

3
Do đó S  .4 sin   6sin 
2

Vì 0  sin   1 nên S  6  cm 2  khi D là trung điểm của AB.
Bài 12. Cho tam giác ABC, AB = 5cm, BC  39cm và CA = 7cm. Tính số đo góc A.
Giải
Xét ABC có CA là cạnh lớn nhất nên góc B là góc lớn nhất.
Ta thấy AC 2  BA2  BC 2 (vì 7 2  52 





2

39 ) nên góc B là góc nhọn (xem bài 1.18).

Do đó ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cơ-sin ta có:
BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC.cosA 



39



2

 52  7 2  2.5.7.cos A

1
A  60
Suy ra cos A  , do đó 
2

Bài 13. Giải tam giác ABC, biết:
  62; C
  53
a ) BC  6,8cm; B
  40; C
  35
b) BC  6,8cm; B
Giải
 C
  65
a) Ta có 
A  180  B
Vì ABC nhọn nên theo định lí sin ta có:
a
b
c


sin A sin B sin C

Do đó

6,8

b
c


sin 65 sin 62 sin 53

Suy ra b 

6,8.sin 62
6,8.sin 53
 6, 6  cm  ; c 
 6, 0  cm 
sin 65
sin 65

Nhận xét: Để giải tam giác trường hợp (g.c.g) ta dùng định lí sin.
 C
  105
b) Ta có 
A  180  B
Vậy ABC là tam giác tù, khơng vận dụng được đính lí sin.
Vẽ đường cao AH. Vì các góc B và C nhọn nên điểm H nằm giữa B và C.
Ta có BH  AH cot B, CH  AHcotC
Mà BH  CH  BC nên AH  cot B  cot C   6,8

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

 AH 

6,8
 2, 6  cm 
cot 40  cot 35

ABH vng tại H, có AH  AB.sin B
Suy ra AB 

AH
2, 6

 4, 0  cm 
sin B sin 40

ACH vng tại H, có AH  AC.sin C
Suy ra AC 

AH
2, 6

 4,5  cm 
sin C sin 35

Bài 14. Giải tam giác ABC, biết: AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 6cm (các số đo góc làm tròn đến độ).
Giải
Xét ABC, cạnh BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất.
Ta có BC 2  AB 2  AC 2 (vì 7 2  52  62 ) nên góc A là góc nhọn (xem bài 1.18).
Vậy ABC là tam giác nhọn. Theo định lí cơ-sin, ta có:
• BC 2  AB 2  AC 2  2 AB. AC .cos A

Do đó 7 2  52  6 2  2.5.6.cos A
1
A  78
Suy ra cos A  , do đó 
5

• AC 2  AB 2  BC 2  2 AB.BC .cosB
Do đó 6 2  52  7 2  2.5.7.cos B
Suy ra cos B 

19
  57
, do đó B
35

  180   78  57   45
•C

Nhận xét: Để giải tam giác khi biết ba cạnh ta thường sử dụng định lí cơ-sin.
A  68 , AB = 5,0cm, AC = 5,7cm (làm tròn các độ dài đến chữ số thập
Bài 15. Giải tam giác ABC, biết: 
phân thứ nhất, làm tròn các số đo góc đến độ).
Giải
Vẽ CH  AB. Xét ACH vng tại H, ta có:

CH  AC.sin A  5, 7.sin 68  5,3  cm 
AH  AC.cos A  5, 7.cos 68  2,1 cm 
Trên tia AB có AH < AB (2,1 < 5,0) nên điểm H nằm giữa A và B. Do
đó BH = 5,0 - 2,1 = 2,9 (cm).
10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 

 
 


Xét HBC vng tại H, ta có: BC  CH 2  BH 2  5,32  2,92  6, 0  cm 
Xét ABC có BC là cạnh lớn nhất nên góc A là góc lớn nhất.
Ta có BC 2  AB 2  AC 2 (vì 62  52  5, 7 2 ) nên góc A là góc nhọn, suy ra ABC nhọn. Do đó
5, 7 2  5, 02  6, 02  2.5, 0.6, 0.cos B

  62
Suy ra cos B  0, 4752  B
  180   68  62   50
Từ đó C

Bài 16. Giải tam giác ABC, biết: 
A  50 , AB = 4,6cm, BC = 3,7cm (làm trịn số đo góc đến độ, làm trịn
độ dài đến hàng phần mười).
Giải
Vẽ BH  AC. ABH vuông tại H, ta có:
AH  AB.cos A  4, 6.cos 50  3, 0  cm 
BH  AB.sin A  4, 6.sin 50  3,5  cm 

HBC vuông tại H, ta có:

HC  BC 2  BH 2  3, 7 2  3,52  1, 2  cm 
• Nếu H nằm giữa A và C thì AC  AH  HC  3, 0  1, 2  4, 2  cm 
  90 và sin C  BH  3,5  sin 71
Khi đó C
BC 3, 7
  71 và B

  180   50  71   59
Suy ra C
• Nếu C’ nằm giữa H và A thì AC '  AH  HC '  3, 0  1, 2  1,8  cm 
Khi đó 
AC ' B  90

  71  
Ta có BC
'C  C
AC ' B  180  71  109 và 
AB ' C  180   50  109   21
C.TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN PHẢN XẠ
Câu 1: Cho tam giác MNP vuông tại N . Hệ thức nào sau đây là đúng?
A. MN = MP . sin P . B. MN = MP . cos P . C. MN = MP . tan P . D. MN = MP . cot P .
Câu 2: Cho tam giác MNP vuông tại N . Hệ thức nào sau đây là đúng?

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


M

N

P

A. NP = MP . cos P . B. NP = MN . cos P . B. NP = MN . tan P . D. NP = MP . cot P .
Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c . Chọn khẳng định sai?
A. b = a . sin B = a . cos C .

B. a = c. tan B = c. cot C . C. a 2 = b 2 + c 2 .

D. c = a . sin C = a . cos B .

 = 50
Câu 4: Cho tam giác ABC vng tại A có BC = a, AC = b, AB = c, ABC
. Chọn khẳng định

đúng?
A. b = c. sin 50 .

B. b = a . tan 50 .

C. b = c. cot 50 .

D. c = b. cot 50 .

Câu 5: Cho tam giác ABC vng tại A có AC = 10 cm,C = 30 . Tính AB; BC .
A. AB =

5 3
20 3
.
; BC =
3
3

B. AB =

10 3
14 3
.
; BC =
3
3

C. AB =

10 3
; BC = 20 3 .
3

D. AB =

10 3
20 3
; BC =
.
3
3

Câu 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20 cm,C = 60 . Tính AB; BC .
A. AB = 20 3; BC = 40 .B. AB = 20 3; BC = 40 3 .C. AB = 20; BC = 40 .D. AB = 20; BC = 20 3 .
 = 40
. Tính AC ;C (làm tròn đến chữ số thập
Câu 7: Cho tam giác ABC vng tại A có BC = 12 cm; B

phân thứ hai)
A. AC » 7, 71;C = 40 . B. AC » 7, 72;C = 50 .

C. AC » 7, 71;C = 50 . D. AC » 7, 73;C = 50 .

 = 55
. Tính AC ;C (làm trịn đến chữ số thập
Câu 8: Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 15 cm, B

phân thứ hai).
A. AC » 12, 29;C = 45 . B. AC » 12, 29;C = 35 . C. AC » 12, 2;C = 35 . D. AC » 12, 92;C = 40 .

.
Câu 9: Cho tam giác ABC vng tại A có BC = 15 cm, AB = 12 cm . Tính AC ; B
 » 3652¢
.
A. AC = 8(cm); B

 » 3652¢
B. AC = 9(cm); B
.

 » 3752¢
.
C. AC = 9(cm); B

 » 3655¢
D. AC = 9(cm); B
.

 (làm trịn đến độ).
Câu 10: Cho tam giác ABC vng tại A có BC = 26 cm, AB = 10 cm . Tính AC ; B

12. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


A. AC = 22;C » 67 . B. AC = 24;C » 66 . C. AC = 24;C » 67 . D. AC = 24;C » 68 .
Câu 10: Cho tam giác ABC vng tại A có AC = 7cm, AB = 5cm . Tính BC ;C .
A. BC = 74(cm);C » 3532¢ .

B. BC = 74(cm);C » 3632¢ .

C. BC = 74(cm);C » 3533¢ .

D. BC = 75(cm);C » 3532¢ .

 = 60
. Tính BC .
Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 16, AB = 14 và B

A. BC = 10 .

B. BC = 11 .

C. BC = 9 .

D. BC = 12 .

 = 60 . Tính
Câu 12: Cho tam giác ABC có AB = 12, AC = 15 và B
BC .

A. BC = 3 3 + 6 .

B. BC = 3 13 + 6 .

C. BC = 9 .

D. BC = 6 .

 = 60,C
 = 50,CA = 3, 5 cm
. Diện tích tam giác ABC gần nhất với
Câu 13: Cho tam giác ABC có B

giá trị nào dưới đây?
A. 4 .

B. 5 .

C. 7 .

D. 8 .

 =D
 = 90,C
 = 40, AB = 4 cm, AD = 3 cm
Câu 14: Cho tứ giác ABCD có A
. Tính diện tích tứ giác
ABCD . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 17, 34cm 2 .

B. 17, 4cm 2 .

C. 17, 54cm 2 .

D. 17, 54cm 2 .

 =D
 = 90,C
 = 45, AB = 6cm, AD = 8cm
. Tính diện tích tứ giác
Câu 15: Cho tứ giác ABCD có A
ABCD .

A. 60cm 2 .

B. 80cm 2 .

C. 40cm 2 .

D. 160cm 2 .

 = 40 và ACB
 = 30 . Gọi
Cho tam giác ABC có BC = 11cm, ABC
N là chân đường vng góc hạ từ
A xuống cạnh BC .
A

B

N

C

Câu 16: Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 5 .

B. 4 .

C. 6 .

D. 7 .

Câu 17: Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 7 .

B. 6 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 18: Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
13. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

A. 27 .

B. 23 .

C. 22 .

D. 21 .

 = 50
 = 35 . Gọi
và ACB
Cho tam giác ABC có BC = 9cm, ABC
N là chân đường vng góc hạ từ A

xuống cạnh BC .

A

B

C

N

Câu 19: Độ dài AN gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 5 .

B. 4 .

C. 2 .

D. 3 .

Câu 20: Độ dài AC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 7 .

B. 6 .

C. 5 .

D. 4 .

Câu 21: Diện tích tam giác ABC gần nhất với giá trị nào dưới đây?
A. 13 .

B. 15 .

C. 16 .

D. 25 .

HƯỚNG DẪN
1. Lời giải:
M

N

Ta có sin P =

P

MN
 MN = MP . sin P .
MP

Đáp án cần chọn là A.
2. Lời giải:
Ta có cot P =

NP
 NP = MN . cot P
MN

Đáp án cần chọn là B.
3. Lời giải:
Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c . Ta có:
+ Theo định lý Pytago ta có a 2 = b 2 + c 2 nên C đúng.
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng ta có:
14. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


b = a.cinB = a. cos C ; c = a. sin C = a. cos B; b = c. tan B = c. cotC ; c = b. tan C = b. cot B .

Nên A, D đúng.
Đáp án cần chọn là B.
4. Lời giải:
A

C

B

Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c .
+ Theo hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vng ta có:
b = a. sin B = a. sin 50; c = a. cos B = a cos 50;b = c. tan 50; c = b. cot 50 .

Nên D đúng.
Đáp án cần chọn là D.
5. Lời giải:
A

B

Xét tam giác ABC vng tại A có: tan C =

cos C =

C

AB
10 3
 AB = AC . tan C = 10. tan 30 =
;
AC
3

AC
AC

10
20 3
10 3
20 3
 BC =
=
=
. Vậy AB =
.
; BC =
BC
cos C
3
3
3
3
2

Đáp án cần chọn là D.
6. Lời giải:
A

B

15. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

C

Xét tam giác ABC vng tại A có: tan C =
cos C =

AB
 AB = AC . tan C = 20. tan 30 = 20 3 ;
AC

AC
AC
20
 BC =
=
= 40 . Vậy AB = 20 3; BC = 40 .
BC
cos C
1
2

Đáp án cần chọn là A.
7. Lời giải:
A

C

B

Xét tam giác ABC vng tại A có
+ sin B =

AC
 AC = BC . sin B = 12. sin 40 » 7, 71 .
BC

 +B
 +C
 = 180  C
 = 180 - 40 - 90 = 50
.
+A

Vậy AC » 7, 71;C = 50 .
Đáp án cần chọn là C.
8. Lời giải:
Xét tam giác ABC vng tại A có
+ sin B =

AC
 AC = BC . sin B = 15. sin 55 » 12, 29 .
BC

 +B
 +C
 = 180  C
 = 180 - 55 - 90 = 35
+A
.

Vậy AC » 12, 29;C = 35 .
Đáp án cần chọn là B.

9. Lời giải:
A

C

Xét tam giác ABC vng tại A có:
16. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

B


+ BC 2 = AB2 + AC 2  AC = BC 2 - AB2 = 152 - 122 = 9(cm) .
+ sin B =

AC
9
3

=
=  B » 3652¢ .
BC
15 5

 » 3652¢
.
Vậy AC = 9(cm); B

Đáp án cần chọn là B.

10. Lời giải:
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
+ BC 2 = AB2 + AC 2  AC = BC 2 - AB2 = 262 - 102 = 24(cm) .
+ sin B =

24 12
AC
 » 67 .
=
=
B
26 13
BC

Vậy AC = 24;C » 67 .
Đáp án cần chọn là C.
10. Lời giải:
Xét tam giác ABC vng tại A có:
+ BC 2 = AB 2 + AC 2 = 52 + 72 = 74  BC = 74(cm) .
+ tan C =

AB
5
 » 3532¢
= C
AC
7

Vậy BC = 74(cm);C » 3532¢ .
Đáp án cần chọn là A.

11. Lời giải:
A

60°
B

H

C

Kẻ đường cao AH .
1
2

Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB. cos B = AB. cos 60 = 16. = 8

AH = AB. sin B = AB. sin 60 = 16.

3
=8 3.
2

17. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHC ta có:
HC 2 = AC 2 - AH 2 = 142 - (8 3)2 = 196 - 192 = 4 .

Suy ra HC = 2 .
Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10 .
Đáp án cần chọn là A.
12. Lời giải:
A

60°
B

H

C

Kẻ đường cao AH .
1
2

Xét tam giác vng ABH , ta có: BH = AB. cos B = AB. cos 60 = 12. = 6

AH = AB. sin B = AB. sin 60 = 12.

3
=6 3.
2

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông AHC ta có: HC 2 = AC 2 - AH 2 = 152 - (6 3)2 = 117 .
Suy ra HC = 3 13 .
Vậy BC = CH + HB = 3 13 + 6 .
Đáp án cần chọn là B.
13. Lời giải:

A

B

D

C

Kẻ đường cao AD .
Xét tam giác vuông ACD , ta có: AD = AC . sin C = 3, 5. sin 50 » 2, 68 cm
CD = AC . cos C = 3, 5. cos 50 » 2, 25cm .
18. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Xét tam giác ABD , có BD = AD. cot B » 2, 68. cot 60 » 1, 55 cm .
Suy ra BC = BD + CD = 3, 8 .
Do đó S ABC =

AD.BC
» 5, 09 cm 2 .
2

Đáp án cần chọn là B.
14. Lời giải:
A

D

B

E

C

 =D
 = 90  AD  BC
Vì A
hay ABCD là hình thang vng tại A, D .

Kẻ BE ^ DC tại E .
 =D
 =E
 = 90
nên ABED là hình chữ nhật.
Tứ giác ABED có ba góc vng A

Suy ra DE = AB = 4 cm; BE = AD = 3 cm .
Xét tam giác BEC vng tại E có EC = BE . cot 40 » 3, 56 (cm )  DC = DE + EC » 7, 56 (cm ) .
Do đó S ABCD =

(AB + CD ).AD
» 17, 34 cm 2 .
2

Đáp án cần chọn là A.
15. Lời giải:
 =D
 = 90  AD  BC

hay ABCD là hình thang vng tại A, D .
Vì A

Kẻ BE ^ DC tại E .
 =D
 =E
 = 90
nên ABED là hình chữ nhật.
Tứ giác ABED có ba góc vng A

Suy ra DE = AB = 6 cm; BE = AD = 8 cm .
 = 45
Xét tam giác BEC vuông tại E có BCE
nên BEC vng cân tại E .
 EC = BE = 8cm  DC = DE + EC = 6 + 8 = 14cm .

Do đó S ABCD =

(AB + CD ).AD
(6 + 14).8
=
= 80 cm 2 .
2
2

Đáp án cần chọn là B.
19. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 

16. Lời giải:
Đặt BN = x (0 < x < 11)  NC = 11 - x .
Xét tam giác ABN vng tại N có AN = BN . tan B = x . tan 40
Xét tam giác ACN vuông tại N có AN = CN . tan C = (11 - x ). tan 30
Nên x tan 40 = (11 - x ). tan 30  x » 4, 48 (thoả mãn).
Khi đó AN = BN . tan B = 4, 48. tan 40 » 3, 76 (cm ) .
Đáp án cần chọn là B.
17. Lời giải:
Theo câu trước ta có AN » 3, 76
Xét tam giác ACN vng tại N có sin C =

AN
AN
 AC =
= 7, 52
AC
sin C

Đáp án cần chọn là A.
18. Lời giải:
Theo kết quả các câu trước ta có AN » 3, 76 nên S ABC =

AN .BC
= 20, 68 cm 2 .
2

Đáp án cần chọn là D.
19. Lời giải:
Đặt BN = x (0 < x < 9)  NC = 9 - x .

Xét tam giác ABN vng tại N có AN = BN . tan B = x . tan 50
Xét tam giác ACN vng tại N có AN = CN . tan C = (9 - x ). tan 35
Nên x tan 50 = (9 - x ). tan 35  x » 3, 33 (thoả mãn).
Khi đó AN = BN . tan B = 3, 33. tan 35 » 2, 79 .
Đáp án cần chọn là D.
20. Lời giải:
Theo câu trước ta có AN » 2, 79
Xét tam giác ACN vng tại N có sin C =

AN
AN
 AC =
» 4, 87
AC
sin C

Đáp án cần chọn là C.
21. Lời giải:

20. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com 
 
 


Theo kết quả các câu trước ta có AN » 2, 79 nên S ABC =

AN .BC
= 12, 555 cm 2 .
2

Đáp án cần chọn là A.
‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐Tốn Học Sơ Đồ‐‐‐‐‐‐‐‐‐ 

21. TỐN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com