Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 34 trang )
tai lieu, document1 of 66.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRẮC
NGHIỆM VỀ CHỦ ĐỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Giáo Viên: Nguyễn Ngọc Quang
luan van, khoa luan 1 of 66.
THÁNG 1 NĂM 2018
Trang 1
tai lieu, document2 of 66.
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài:
Thực tế giảng dạy cho thấy, việc lựa chọn phương pháp dạy học phù hợp sẽ kích
thích được hứng thú học tập của học sinh, giúp học sinh lĩnh hội được tri thức một cách
chủ động và đạt được mục đích học tâp.
Việc lựa chọn phương pháp giảng dạy phù hợp với một nội dung kiến thức nhất
định là đặc biệt quan trọng. Nó giúp người thầy có được sự định hướng trong việc giảng
dạy - tuỳ thuộc vào mục tiêu, nội dung cần đạt, trình độ nhận thức của học sinh. Nó giúp
người học dễ dàng tiếp cận kiến thức, tích lũy kiến thức đó và vận dụng vào làm bài thi
đạt được kết quả cao nhất.
Trong đề thi THPT QG những năm qua, các bài toán về chủ đề hàm số luôn chiếm
một tỷ lệ đáng kể và gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi
nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn khi học các nội dung về chủ đề hàm số nói chung
và chủ đề cực trị hàm số nói riêng, đặc biệt là các bài toán ở mức độ vận dụng và vận
dụng cao. Đặc biệt là từ khi Bộ GD và ĐT áp dụng phương thức thi trắc nghiệm cho mơn
Toán, địi hỏi học sinh khơng những phải có kiến thức sâu, rợng mà cịn phải có các cách
tiếp cận, các phương pháp phù hợp để giải bài toán một cách nhanh nhất.
Để giúp học sinh có những cách tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải
các bài toán về cực trị của hàm số, tôi đã chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm:
“ Hướng
dẫn học sinh lớp 12 giải một số dạng toán trắc nghiệm về chủ đề cực trị của hàm
số”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Mục đích nghiên cứu của đề tài là nhằm cung cấp thêm cho học sinh những cách
tiếp cận nhanh nhất, hiệu quả nhất trong việc giải các bài toán về cực trị của hàm số; từ
đó từng bước tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với
mong muốn nâng cao chất lượng dạy và học chủ đề cực trị của hàm số.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Nghiên cứu, tìm tịi các cách tiếp cận, các phương pháp giải các bài toán trắc
nghiệm về chủ đề “Cực trị hàm số”.
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu: các phương pháp giải bài toán trắc nghiệm về chủ đề “Cực trị
hàm số”.
Khách thể nghiên cứu: học sinh hai lớp 12A1 và 12A9.
luan van, khoa luan 2 of 66.
Trang 2
V. Phạm vi nghiên cứu: các dạng toán: tìm số điểm cực trị của hàm số, tìm điều kiện
tai lieu, document3 of 66.
của tham số m để hàm số có n điểm cực trị, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đạt
cực trị tại điểm x x0 .
VI. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp điều tra thực tiễn.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
VII. Cấu trúc của SKKN
A. Đặt vấn đề
I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
V. Phạm vi nghiên cứu
VI. Phương pháp nghiên cứu
VII. Cấu trúc của SKKN
B. Nội dung
I. Cơ sở lý thuyết
II. Một số dạng toán
III. Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề
IV. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
C. Kết luận và đề xuất
I. Kết luận
II. Đề xuất
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lý thuyết:
1. Khái niệm cực trị hàm số :
Giả sử hàm số xác định trên tập hợp D D ¡
và
x0 D
x0 được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa
a; b D
điểm x0 sao cho: f
.
f
(
x
)
f
(
x
),
x
a
;
b
\
x
0
0
luan van, khoa luan 3 of 66.
Trang 3
Khi đó
gọi là giá trị cực đại của hàm số f .
f x0 được
tai lieu,
document4
of 66.
x0 được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa
a; b D
điểm x0 sao cho:
.
f
(
x
)
f
(
x
)
x
a
;
b
\
x
0
0
Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f .
Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị
Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f đạt cực trị tại
điểm x0 .
Như vậy : Điểm cực trị phải là một điểm trong của tập hợp D
y
Điểm cực đại
Điểm cực tiểu
Điểm cực tiểu
x
O
Điểm cực đại , cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số , f(x0 ) là giá trị cực trị (hay
cực trị ) của hàm số.
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó , nếu f có đạo hàm tại điểm
x0 thì f ' x0 0 .
Chú ý :
Đạo hàm f ' có thể triệt tiêu tại điểm x0 nhưng hàm số f khơng đạt cực trị tại điểm
x0 .
Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo hàm
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 ,
hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm .
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên
các khoảng a; x0 và x0 ; b . Khi đó :
f ' x0 0, x a; x0
Nếu
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f
'
x
0,
x
x
;
b
0
0
x
a
x0
b
0
f '( x)
f (a)
f ( x)
f (b)
f ( x0 )
luan van, khoa luan 4 of 66.
Trang 4
a; x0
tai lieu, document5
66.
f ' x0 0,ofx
Nếu
thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0 .
f
'
x
0,
x
x
;
b
0
0
x
a
x0
b
0
f '( x)
f ( x0 )
f ( x)
f (a)
f (b)
Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng a; b chứa điểm x0 ,
f ' x0 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 .
Nếu f '' x0 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0 .
Nếu f '' x0 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0 .
Chú ý :
1. Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực trị
của đồ thị hàm số f .
f '( x0 ) 0
2. Trong trường hợp f '( x0 ) 0 không tồn tại hoặc
thì định lý 3 khơng dùng
f ''( x0 ) 0
được.
4. Tịnh tiến đồ thị
Cho hàm số y f x có đồ thị C . Khi đó, với số a 0 ta có:
a) Nếu tịnh tiến C theo phương của y
a x 1
lên trên a đơn vị ta được đồ thị
xb
hàm số y f x a
b) Nếu tịnh tiến C theo phương của y a 2 xuống dưới a đơn vị ta được đồ thị
hàm số y f x a
c) Nếu tịnh tiến C theo phương của a, b, c qua trái a đơn vị ta được đồ thị hàm số
y f x a
d) Nếu tịnh tiến C theo phương của a 2, b 1, c 1; qua phải a đơn vị ta được
đồ thị hàm số y f x a
e) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy
rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua trái a đơn vị.
f) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách lấy đối xứng (C) qua trục Oy
rồi tịnh tiến theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
g) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
h) Đồ thị của hàm số y f x a có được bằng cách tịnh tiến (C) theo phương của
Ox qua trái a đơn vị rồi lấy đối xứng qua trục Oy.
5. Quan hệ giữa cực trị hàm số và phép biến đổi đồ thị
a) Nếu đồ thị hàm số y f ( x) có n điểm cực trị có hoành độ dương(các điểm cực trị
nằm bên phải Oy) thì đồ thị hàm số y f ( x ) có 2n 1 điểm cực trị.
luan van, khoa luan 5 of 66.
Trang 5
Nếu đồ thịofhàm
tai lieu, b)
document6
66.số y f ( x) có n điểm cực trị và phương trình f x 0 có m
nghiệm bợi lẻ thì đồ thị hàm số y f ( x) có m n điểm cực trị.
c) Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y f ax b c bằng số điểm cực trị của đồ
thị hàm số y f ( x).
d) Khi tịnh tiến đồ thị thì số điểm cực trị không thay đổi.
II. Một số dạng toán:
Dạng 1: Cho đồ thị hàm số f ( x). Hỏi số điểm cực trị của đồ thị hàm số có chứa dấu
giá trị tuyệt đối liên quan đến f ( x).
Phương pháp: Sử dụng các kết quả của mục I.5.
Câu 1. Cho hàm số y f ( x) có đồ thị như hình vẽ. Hỏi
hàm số y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
Lời giải
Ta thấy đồ thị hàm số y f ( x) có 1 điểm cực trị có hoành độ dương nên đồ thị hàm số
y f ( x ) có 3 điểm cực trị.
Câu 2. Cho hàm số y f ( x) có đồ thị như hình vẽ sau:
1. Hàm số y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
2. Hàm số y f ( x) có bao nhiêu điểm cực trị?
3. Hàm số y f ( x ) có bao nhiêu điểm cực trị?
Lời gải
1. Đồ thị hàm số y f ( x) có 2 điểm cực trị có hoành độ dương nên hàm số
y f ( x ) có 5 điểm cực trị
2. Đồ thị hàm số y f ( x) có 3 điểm cực trị và phương trình f ( x) 0 có 2 nghiệm
đơn nên hàm số y f ( x) có 5 điểm cực trị.
3. Đồ thị hàm số y f ( x ) có 5 điểm cực trị và phương trình f ( x ) 0 có 2 nghiệm
đơn nên hàm số y f ( x ) có 7 điểm cực trị.
Câu 3. Cho hàm số y f ( x) . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
luan van, khoa luan 6 of 66.
Trang 6
x m có 5 điểm cực trị.
g x f x m có 7 điểm cực trị.
g x f x m có 5 điểm cực trị.
Tìm m đểof
hàm
tai lieu,1.document7
66.số g x f
2. Tìm m để hàm số
3. Tìm m để hàm số
Lời giải
Ta có BBT của hàm số f x :
x
f'(x)
-∞
-1
-2
+
0
-
0
1
+
0
+∞
2
-
0
+
1. Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f ( x) qua Oy được đồ thị hàm số y f x .
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số g x f x m .
Ta thấy: Hàm số y f ( x) có 4 điểm cực trị trong đó có 2 cực trị dương f x
có 5 điểm cực trị
f x m có 5 điểm cực trị với mọi m.
2. Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số y f x m .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m nằm bên phải Oy qua Oy được
đồ thị hàm số g x f x m .
Từ đó ta thấy: để hàm số g x f x m có 7 điểm cực trị thì hàm số
y f x m phải có 3 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo
phương của Ox sang phải lớn hơn 1 đơn vị và không quá 2 đơn vị
2 m 1. Vậy 2 m 1 .
3. Để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 2
cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox (sang phải
hoặc trái) phải thỏa mãn:
Tịnh tiến sang phải không quá 1 đơn vị 0 m 1.
Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn 1 đơn vị 0 m 1.
Vậy 1 m 1.
Câu 4. Cho hàm số y f ( x) . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
luan van, khoa luan 7 of 66.
Trang 7
x m có 5 điểm cực trị.
g x f x m có 5 điểm cực trị.
g x f x m có 3 điểm cực trị.
Tìm m đểof
hàm
tai lieu,1.document8
66.số g x f
2. Tìm m để hàm số
3. Tìm m để hàm số
Lời giải
Ta có BBT của hàm số f x :
x
f'(x)
+∞
0
+
0
1
-
0
3
-
CĐ
0
+∞
+
CT
1. Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Lấy đối xứng đồ thị hàm số y f ( x) qua Oy được đồ thị hàm số y f x .
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f x theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số g x f x m .
Ta thấy: Hàm số y f ( x) có 2 điểm cực trị trong đó có 1 cực trị dương f x
có 3 điểm cực trị
f x m có 3 điểm cực trị với mọi m. Vậy không có giá trị nào của m để hàm
số g x f x m có 5 điểm cực trị.
2. Đồ thị hàm số g x f x m có được bằng cách:
+ Tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox sang phải hoặc trái m
đơn vị được đồ thị hàm số y f x m .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y f x m nằm bên phải qua Oy được đồ
thị hàm số g x f x m .
Từ đó ta thấy: để hàm số g x f x m có 5 điểm cực trị thì hàm số
y f x m phải có 2 cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo
phương của Ox sang phải lớn hơn 0 đơn vị m 0. Vậy m 0.
3. Để hàm số g x f x m có 3 điểm cực trị thì hàm số y f x m phải có 1
cực trị dương tịnh tiến đồ thị hàm số y f ( x) theo phương của Ox trái nhỏ
hơn 3 đơn vị 0 m 3.
Vậy 0 m 3.
Dạng 2: Cho đồ thị f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f ' x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' x với trục
hoành.
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) f u x .
+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g ' x để xét dấu g ' x .
luan van, khoa luan 8 of 66.
Trang 8
Câu document9
1. Đường cong
trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số y f x . Số điểm cực trị
tai lieu,
of 66.
của hàm số y f x là
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Ta thấy đồ thị hàm số f x có 4 điểm chung với trục hoành x1; 0; x2 ; x3 nhưng chỉ cắt
thực sự tại hai điểm là 0 và x3 .
Bảng biến thiên
Vậy hàm số y f x có 2 điểm cực trị. Chọn A.
Cách trắc nghiệm. Ta thấy đồ thị của f ' x có 4 điểm chung với trục hoành nhưng cắt
và băng qua luôn trục hoành chỉ có 2 điểm nên có hai cực trị.
Cắt và băng qua trục hoành từ trên xuống thì đó là điểm cực đại.
Cắt và băng qua trục hoành từ dưới lên thì đó là điểm cực tiểu.
Câu 2. Cho hàm số y f x . Đồ thị hàm số y f x như hình
bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số g x f x 2 3 .
A. 2.
C. 4.
Ta có g x 2 xf x 2 3 ;
B. 3.
D. 5.
Lời giải.
x 0
x 0
x 0
theo do thi f ' x
g x 0
x 2 3 2
x 1
.
2
f
x
3
0
x 2 3 1 nghiem kep
x 2 nghiem kep
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 2;
x 2; x 0.
1
x 2 3 1
f x 2 3 0.
x 2; x 2 4
theo do thi f ' x
Từ 1 và 2 , suy ra g x 2 xf x 2 3 0 trên khoảng 2; nên
.
luan van, khoa luan 9 of 66.
Trang 9
2
g x mang dấu
Nhậndocument10
thấy các nghiệm
tai lieu,
of 66.x 1 và x 0 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi
dấu; các nghiệm x 2 là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy f x tiếp xúc
với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 ) nên qua nghiệm không đổi dấu.
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có bảng xét dấu của y f x như
sau
Hỏi hàm số g x f x 2 2 x có bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1.
B. 2.
Ta có g x 2 x 2 f x 2 2 x ;
C. 3.
Lời giải.
D. 4.
x 1
x 1
2
2 x 2 0
x 2 x 2
x 1 2 nghiem kep
theo BBT f ' x
g x 0
2
2
x 1
x 2 x 1 nghiem kep
f x 2 x 0
x 2 2 x 3
x 3
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 3;
x 3; 2 x 2 0.
x 3; x 2 2 x 3
f x 2 2 x 0.
theo BBT f ' x
1
2
Từ 1 và 2 , suy ra g x 2 x 2 f x 2 2 x 0 trên khoảng 3; nên g x
mang dấu .
Nhận thấy các nghiệm x 1 và x 3 là các nghiệm bội lẻ nên g x qua nghiệm đổi
dấu.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ và f 0 0, f 1 0, đồng
thời đồ thị hàm số y f x như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số g x f 2 x là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
Lời giải.
x 2
.
Dựa vào đồ thị, ta có f x 0
x
1
nghiem
kep
luan van, khoa luan 10 of 66.
Trang 10
D. 4.
Bảngdocument11
biến thiên của
tai lieu,
of hàm
66. số y f x
x 2
f x 0 theo BBT f x x 1 nghiem kep
Xét g x 2 f x f x ; g x 0
.
x a a 2
f x 0
x b b 0
Bảng biến thiên của hàm số g x
Vậy hàm số g x có 3 điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Dấu của g x được xác định như sau: Ví dụ chọn x 0 1; b
1
Theo giả thiết f 0 0.
2
Từ 1 và 2 , suy ra g 0 0 trên khoảng 1; b .
f 0 0.
x 0
theo do thi f ' x
Nhận thấy x 2; x a; x b là các nghiệm đơn nên g x đổi dấu khi qua các nghiệm
này. Nghiệm x 1 là nghiệm kép nên g x không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong
bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm x 1 vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của
g x .
Dạng 3: Cho đồ thị f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x v x .
Phương pháp:
+ Từ đồ thị hàm số f ' x hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị f ' x với trục
hồnh.
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) f u x v x .
+ Dựa vào đồ thị của f ' x và biểu thức của g ' x để xét dấu g ' x .
Chú ý: * Nếu trong khoảng a; b đồ thị hàm số f ' x nằm trên đồ thị hàm số v '( x) thì
g '( x) f '( x) v '( x) 0, x a; b .
* Nếu trong khoảng a; b đồ thị hàm số f ' x nằm dưới đồ thị hàm số v '( x) thì
g '( x) f '( x) v '( x) 0, x a; b .
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f ' x như hình vẽ
bên dưới
luan van, khoa luan 11 of 66.
Trang 11
tai lieu, document12 of 66.
Số điểm cực trị của hàm số g x f x 2017 2018x 2019 là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải.
Ta có g x f ' x 2017 2018; g x 0 f ' x 2017 2018.
Dựa vào đồ thị hàm số y f ' x suy ra phương trình f ' x 2017 2018 có 1 nghiệm
đơn duy nhất. Suy ra hàm số g x có 1 điểm cực trị. Chọn A.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ
bên dưới. Hỏi hàm số g x f x x đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
A. x 0.
C. x 2.
B. x 1.
D. Khơng có điểm cực tiểu.
Lời giải.
Ta có g x f x 1; g x 0 f x 1.
Suy ra số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
số f x và đường thẳng y 1.
x 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0 x 1 .
x 2
Lập bảng biến thiên cho hàm g x ta thấy g x đạt cực tiểu tại x 1. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị
hàm f x nằm phía dưới đường y 1 nên g x mang dấu .
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ
bên dưới.
luan van, khoa luan 12 of 66.
Trang 12
3
x
tai lieu,
Hàmdocument13
số g x f of
x 2 x 2 đạt cực đại tại
x 66.
A. x 1.
3
B. x 0 .
C. x 1 .
D. x 2 .
Lời giải.
2
2
Ta có g x f x x 2 x 1; g x 0 f x x 1 .
Suy ra số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
số f x và parapol P : y x 1 .
2
x 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0 x 1 .
x 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực đại tại x 1. Chọn C.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ;0 ta thấy đồ thị
hàm f x nằm phía trên đường y x 1 nên g x mang dấu .
2
Nhận thấy các nghiệm x 0; x 1; x 2 là các nghiệm đơn nên qua nghiệm g x đổi
dấu.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ . Đồ thị hàm số y f x như hình vẽ
bên dưới. Hàm số g x 2 f x x 2 đạt cực tiểu tại điểm
A. x 1.
B. x 0.
C. x 1.
D. x 2.
Lời giải.
Ta có g x 2 f x 2 x; g x 0 f x x.
Suy ra số nghiệm của phương trình g x 0 chính là số giao điểm giữa đồ thị của hàm
số f x và đường thẳng y x.
luan van, khoa luan 13 of 66.
Trang 13
tai lieu, document14 of 66.
x 1
x 0
Dựa vào đồ thị ta suy ra g x 0
.
x 1
x 2
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g x đạt cực tiểu tại x 0. Chọn B.
Chú ý. Cách xét dấu bảng biến thiên như sau: Ví dụ trên khoảng ; 1 ta thấy đồ thị
hàm f x nằm phía trên đường y x nên g x mang dấu .
Dạng 4: Cho biểu thức f ' x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
Phương pháp:
+ Tính đạo hàm của hàm số g ( x) f u x g ' x u '( x). f ' u( x) .
+Từ biểu thức của f ' x và u '( x) hãy xét dấu g ' x rồi suy ra số điểm cực trị của
f u x .
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 3 x với mọi x ¡ . Hàm số
y f x đạt cực đại tại
A. x 0.
B. x 1.
C. x 2.
Lời giải.
x 1
Ta có f x 0 x 1 3 x 0
.
x 3
Bảng biến thiên
D. x 3.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x đạt cực đại tại x 3. Chọn D.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 1 x 2 1 với mọi
2
x ¡ . Hàm số g x f x x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 1.
B. 2.
C. 3.
luan van, khoa luan 14 of 66.
Trang 14
D. 4.
Lời giải.
Ta có g x f x 1 x 1 x 1 x 2 ;
tai lieu, document15 of 66.
2
x 1
g x 0 x 1 x 1 x 2 0 x 1 . Ta thấy x 1 và x 2 là các nghiệm
x 2
đơn còn x 1 là nghiệm kép
hàm số g x có 2 điểm cực trị. Chọn B.
2
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 1 x 4 với mọi x ¡ . Hàm
số g x f 3 x có bao nhiêu điểm cực đại ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
Lời giải.
2
Ta có g x f 3 x 3 x 1 4 3 x 2 x 4 x x 1 ;
x 1
g x 0 2 x 4 x x 1 0 x 2 .
x 4
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số g x đạt cực đại tại x 2. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 4 với mọi x ¡ . Hàm
2
số g x f x 2 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.
D. 5.
Ta có g x 2 xf x 2 2 x5 x 2 1 x 2 4 ;
2
x 0
g x 0 2 x5 x 2 1 x 2 4 0 x 1
.
2
2
x 2 x 2 0
Ta thấy x 1 và x 0 là các nghiệm bội lẻ
hàm số g x có 3 điểm cực trị.
Chọn B.
2
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 2 x với mọi x ¡ . Hàm số
g x f x 2 8x có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
2
Ta có g x 2 x 4 f x 2 8x 2 x 4 x 2 2 x 2 x 2 2 x ;
x 4
x 4 0
x 0
2
2
2
2
g x 0 2 x 4 x 2x 2 x 2x 0 x 2x 0
.
x 2
x2 2 x 2
x 1 3
hàm số g x có
Ta thấy x 1 3, x 0, x 2 và x 4 đều là các nghiệm đơn
5 điểm
cựcluan
trị. Chọn
luan van,
khoa
15 of C.
66.
Trang 15
tai lieu, document16 of 66.
Dạng 5: Cho biểu thức f ' x, m . Tìm m để hàm số f u x có n điểm cực trị
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 2mx 5 với mọi
x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m 10 để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị ?
A. 6.
B. 7.
C. 8.
D. 9.
Lời giải.
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm thị hàm số f x nên yêu cầu bài
tốn f x có 2 điểm cực trị dương.
*
x 0
x2 0
Xét f x 0 x 1 0
x 1
.
x 2 2mx 5 0 1
x 2 2mx 5 0
m 2 5 0
Do đó * 1 có hai nghiệm dương phân biệt S 2m 0 m 5
P 5 0
m10
m 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3. Chọn B.
m¢
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 m2 3m 4 x 3
3
2
5
với mọi x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số g x f x có 3 điểm cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
x 1
x 1 0
2
Xét f x 0 x m 2 3m 4 0 x 3
.
x 2 m2 3m 4 0 1
x 3 0
Yêu cầu bài toán 1 có hai nghiệm trái dấu m2 3m 4 0 1 m 4
m¢
m 0;1;2;3. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số f x có đạo hàm f x x 1 x m x 3 với mọi x ¡ .
4
5
3
Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn 5;5 để hàm số g x f x có 3 điểm cực
trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
Lời giải.
x 1 nghiem boi 4
x 1 0
Xét f x 0 x m 0 x m nghiem boi 5 .
x 3 nghiem boi 3
x 3 0
D. 6.
Nếu m 1 thì hàm số f x có hai điểm cực trị âm ( x 3; x 1 ). Khi đó, hàm
số f x chỉ có 1 cực trị là x 0. Do đó, m 1 không thỏa yêu cầu đề bài.
Nếu m 3 thì hàm số f x không có cực trị. Khi đó, hàm số f x chỉ có 1 cực trị
là x 0. Do đó, m 3 không thỏa yêu cầu đề bài.
luan van, khoa luan 16 of 66.
Trang 16
m 1 of 66.
tai lieu,
document17
Khi
thì hàm số f x có hai điểm cực trị là x m và x 3 0.
m 3
Để hàm số f x có 3 điểm cực trị thì hàm số f x phải có hai điểm cực trị trái dấu
mZ
m 0
m 1; 2; 3; 4; 5. Chọn C.
m 5;5
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 2 x 1 x 2 2mx 5 với mọi
x ¡ . Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g x f x có đúng 1 điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.
x 0
x2 0
Xét f x 0 x 1 0
x 1
.
x 2 2mx 5 0 1
x 2 2mx 5 0
Theo yêu cầu bài toán ta suy ra
Trường hợp 1. Phương
trình
1
có
hai
D. 5.
nghiệm
âm
phân
biệt
m2 5 0
S 2m 0 m 5.
P 5 0
Trường hợp này không có giá trị m thỏa yêu cầu bài toán.
Trường hợp 2. Phương trình 1 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép m2 5 0
m¢
5 m 5
m 2; 1. Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm f x x 1 x 2 2 x với mọi x ¡ . Có
2
bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x f x 2 8 x m có 5
điểm cực trị ?
A. 15.
B. 16.
C. 17.
D. 18.
Lời giải
x 1 nghiem boi 2
2
Xét f x 0 x 1 x 2 2 x 0 x 0
.
x 2
Ta có g x 2 x 4 f x 2 8x m ;
luan van, khoa luan 17 of 66.
Trang 17
x 4
2
x 8x m 1
g x 0 2 x 4 f x2 8x m 0 2
x 8x m 0
x2 8x m 2
tai lieu, document18 of 66.
3 nghiem boi 2
. Yêu
1
2
cầu bài toán g x 0 có 5 nghiệm bợi lẻ mỗi phương trình 1 , 2 đều có hai
nghiệm phân biệt khác 4. (do (1), (2), (3) không có nghiệm chung) *
Xét đồ thị C của hàm số y x 2 8x và hai đường thẳng d1 : y m, d2 : y m 2
(như hình vẽ).
Khi đó * d1 , d2 cắt C tại bốn điểm phân biệt m 16 m 16.
Vậy có 15 giá trị m nguyên dương thỏa. Chọn A.
Dạng 6: Cho đồ thị f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f u x .
Câu 1. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R và có đồ thị như
hình bên. Đồ thị của hàm số g x f x có bao nhiêu điểm
cực đại, bao nhiêu điểm cực tiểu ?
A. 1 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
B. 2 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
C. 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu.
D. 3 điểm cực đại, 2 điểm cực tiểu.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị, ta có
x a 0 a 1
x 0
f x 0 x 1 nghiem kep và f x 0 x 1
.
x b 1 b 3
x 3
2
x a 0 a 1
x 1
x b 1 b 3
f x 0
Ta có g x 2 f x . f x ; g x 0
.
f
x
0
x 0
x 1 nghiem boi 2
x 3
Bảng biến thiên
luan van, khoa luan 18 of 66.
Trang 18
tai lieu, document19 of 66.
Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận g x có 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R vàcó đồ thị
như hình vẽ bên. Hàm số g x f f x có bao nhiêu điểm
cực trị ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị ta thấy f x đạt cực trị tại x 0, x 2.
x 0 nghiem don
.
Suy ra f x 0
x 2 nghiem don
f x 0
Ta có g x f x . f f x ; g x 0
.
f
f
x
0
x 0 nghiem don
.
f x 0
x 2 nghiem don
f x 0 1
f f x 0
.
f x 2 2
Dựa vào đồ thị suy ra:
Phương trình 1 có hai nghiệm x 0 (nghiệm kép) và x a a 2 .
Phương trình 2 có một nghiệm x b b a .
Vậy phương trình g x 0 có 4 nghiệm bợi lẻ là x 0, x 2, x a và x b. Suy ra
hàm số g x f f x có 4 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên ¡ và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tìm
số điểm cực trị của hàm số g x 2
A. 2.
B. 3.
luan van, khoa luan 19 of 66.
f x
3
f x
.
C. 4.
Lời giải.
Trang 19
D. 5.
Ta códocument20
g x f of
x 66.
2 .ln 2 3
tai lieu,
f x
f x
.ln 3 ;
f x 0
f x 0
1
f x 0
g x 0 f x
3 f x ln 2
.
ln 2
f x
f
x
log
1
2
3
2 .ln 2 3 .ln 3 0
2
ln 3
ln 3
2
Dựa vào đồ thị ta thấy:
1 có ba nghiệm bội lẻ phân biệt (vì đồ thị hàm số y f x có 3 điểm cực trị).
phương trình 2 vô nghiệm.
f x 1, x ¡
Vậy hàm số g x 2
f x
3
f x
có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Đồ
thị hàm số g x f x 4 có tổng tung độ của các điểm cực trị bằng
A. 2.
B. 3.
C. 4.
Lời giải.
Đồ thị hàm số g x f x 4 có được bằng cách
D. 5.
Tịnh tiến đề thị hàm số f x lên trên 4 đơn vị ta được f x 4.
Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f x 4 qua Ox, ta được
f x 4 .
Dựa vào đồ thị hàm số g x f x 4 , suy ra tọa độ các điểm cực trị là
1;0 , 0;4 , 2;0
tổng tung độ các điểm cực trị bằng 0 4 0 4. Chọn C.
Câu 5. Cho hàm số y f x có đạo hàm trên R và có đồ thị
hàm số như hình bên. Đồ thị hàm số h x 2 f x 3 có bao
nhiêu điểm cực trị ?
A. 4.
B. 5.
C. 7.
D. 9.
Lời giải.
g x 2 f x ;
Xét g x 2 f x 3
x 1
x 0
theo do thi f x
g x 0 f x 0
. Ta tính được
x a 1 a 2
x 2
luan van, khoa luan 20 of 66.
Trang 20
g 1 1
g 0 7
.
g a 1
g 2 1
Bảngdocument21
biến thiên của
tai lieu,
of hàm
66. số g x
Dựa vào bảng biến thiên suy ra
Đồ thị hàm số g x có 4 điểm cực trị.
Đồ thị hàm số g x cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt.
Suy ra đồ thị hàm số h x 2 f x 3 có 7 điểm cực trị. Chọn C.
Dạng 7: Cho bảng biến thiên của hàm f x . Hỏi số điểm cực trị của hàm f u x .
Câu 1. Cho hàm số y f x xác định, liên tục trên ¡ và có bảng biến thiên như sau
Hàm số g x 3 f x 1 đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
A. x 1 .
B. x 1 .
C. x 1 .
Lời giải.
Ta có g x 3 f ' x .
D. x 0 .
Do đó điểm cực tiểu của hàm số g x trùng với điểm cực tiểu của hàm số f x .
Vậy điểm cực tiểu của hàm số g x là x 1. Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số g x f x 2 1 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 0.
B. 1.
Lời giải. Ta có g x 2 x. f x 2 1 ;
C. 2.
D. 3.
x 0
x 0
x 0 nghiem don
2
theo BBT
g x 0
x
1
2
x 0 nghiem boi 3
2
x
0
nghiem
kep
f x 1
x2 1 1
.
Vậy g x 0 có duy nhất nghiệm bội lẻ x 0 nên hàm số g x có 1 điểm cực trị.
Chọn B.
Câu 3. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
luan van, khoa luan 21 of 66.
Trang 21
tai lieu, document22 of 66.
Tìm số điểm cực trị của hàm số g x f 3 x .
A. 2.
B. 3.
C. 5.
Lời giải.
Ta có g x f 3 x .
D. 6.
3 x 0
x 3
theo BBT
g x 0 f 3 x 0
.
3 x 2
x 1
g x không xác định 3 x 1 x 2.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số g x f 3 x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Câu 4. Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau
x
1
3
0
0
f ' x
f x
2018
2018
Hỏi đồ thị hàm số g x f x 2017 2018 có bao nhiêu điểm cực trị ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.
D. 5.
Lời giải.
Đồ thị hàm số u x f x 2017 2018 có được từ đồ thị f x bằng cách tịnh tiến đồ
thị f x sang phải 2017 đơn vị và lên trên 2018 đơn vị.
Suy ra bảng biến thiên của u x
x
u ' x
u x
2016
0
2020
0
4036
0
Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số g x u x có 3 điểm cực trị. Chọn B.
Dạng 8: Cho biểu thức f x, m . Tìm m để hàm số f u x có n điểm cực trị
luan van, khoa luan 22 of 66.
Trang 22
tai lieu, document23 of 66.
Câu 1. Cho hàm số f x x3 2m 1 x 2 2 m x 2 với m là tham số thực. Tìm tất
cả các giá trị của m để hàm số g x f x có 5 điểm cực trị.
5
A. 2 m .
4
5
B. m 2.
4
Ta có f x 3x 2 2 2m 1 x 2 m.
5
m 2.
4
Lời giải.
C.
D.
5
m 2.
4
Hàm số g x f x có 5 điểm cực trị hàm số f x có hai cực trị dương
f x 0
có
hai
nghiệm
dương
phân
biệt
2
2m 1 3 2 m 0
0
5
2 2m 1
S 0
0
m 2.
3
4
P 0
2 m
3 0
Chọn C.
Câu 2. Cho hàm số f x mx3 3mx2 3m 2 x 2 m với m là tham số thực. Có
bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 10;10 để hàm số g x f x có 5 điểm
cực trị ?
A. 7.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Lời giải.
Để g x f x có 5 điểm cực trị f x 0 có 3 nghiệm phân biệt.
x 1
Xét f x 0 x 1 mx 2 2mx m 2 0 2
mx 2mx m 2 0
Do đó
* phương trình 1 có hai nghiệm phân
*
1
.
biệt
khác
m0
1 m 2 m m 2 0
f 1 2 0
m¢
m 0
m 1; 2; 3; ...; 10. Chọn C.
m 10;10
Câu 3. Cho hàm số bậc ba f x ax3 bx 2 cx d có đồ thị nhận hai điểm A 0;3 và
B 2; 1 làm hai điểm cực trị. Khi đó số điểm cực trị của đồ thị hàm số
g x ax 2 x bx 2 c x d .
C. 9.
Lời giải.
2
2
Ta có g x ax x bx c x d f x .
A. 5.
B. 7.
D. 11.
Hàm số f x có hai điểm cực trị trong đó có một điểm cực trị bằng 0 và một điểm cực
hàm số f x có 3 điểm cực trị.
trị dương
1
Đồ thị hàm số f x có điểm cực trị A 0;3 Oy và điểm cực trị B 2; 1 thuộc góc
phần tư thứ IV nên đồ thị f x cắt trục hoành tại 3 điểm ( 1 điểm có hoành độ âm, 2
luan van, khoa luan 23 of 66.
Trang 23
điểmdocument24
có hoành độofdương)
đồ thị hàm số f
tai lieu,
66.
biệt. 2
x
cắt trục hoành tại 4 điểm phân
Từ 1 và 2 suy ra đồ thị hàm số g x f x có 7 điểm cực trị. Chọn B.
Cách 2. Vẽ phát họa đồ thị f x rồi suy ra đồ thị f x , tiếp tục suy ra đồ thị f x .
Câu 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y x3 3x 2 3 m có ba điểm cực trị.
A. m 3 hoặc m 1.
C. 1 m 3.
B. m 1 hoặc m 3.
D. m 3 hoặc m 1.
Lời giải
Xét hàm số f ( x) x3 3x 2 3 m.
x 0
Ta có: f '( x) 3x 2 6 x; f '( x) 0
.
x 2
x
y'
0
-2
-∞
+
0
-
0
+∞
+
+∞
m+1
y
m-3
-∞
Do số điểm cực trị của hàm số y x3 3x 2 3 m bằng tổng số điểm cực trị của hàm số
f ( x) x3 3x2 3 m và số nghiệm của phương trình
f ( x) x3 3x 2 3 m 0 * (không kể nghiệm bội chẵn). Khi đó yêu cầu bài toán trở
thành (*) có một nghiệm (không kể nghiệm 0 và – 2 là các nghiệm bội chẵn và cũng là
các điểm cực trị của hàm số f ( x) ).
m 1 0
m 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
. Chọn D.
m 3 0
m 3
Câu 5. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m 9;9 để hàm số
y mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị?
A. 11.
B. 10.
C. 7.
D. 9.
Lời giải
3
2
Xét hàm số f ( x) mx 3mx 3m 2 x 2 m .
Do hàm số y f ( x) có tối đa 2 điểm cực trị và phương trình f ( x) 0 có tối đa 3
nghiệm nên để hàm số y mx3 3mx 2 3m 2 x 2 m có 5 điểm cực trị thì phương
trình f ( x) 0 có 3 nghiệm phân biệt ( vì khi f ( x) 0 có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số
y f ( x) cũng có 2 điểm cực trị).
Ta có:
f ( x) 0 mx3 3mx2 3m 2 x 2 m 0
x 1 mx 2 2mx m 2 0
x 1
2
g ( x) mx 2mx m 2 *
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
luan van, khoa luan 24 of 66.
Trang 24
0
m66.
tai lieu, document25 of
m 0
m¢
' 2m 0
m 1;2;3;4;5;6;7;8;9.
1
m
9;9
m
g (1) 4m 2 0
2
Chọn D.
Dạng 9: Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x x0 .
Bổ đề: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 D. Giả sử
f '( x) x x0 .h( x) với h x0 0, n N . Đặt g ( x) x x0 .h( x). Khi đó:
a) Nếu g '( x0 ) 0 thì f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0.
2 n 1
b) Nếu g '( x0 ) 0 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
Chứng minh
a) Vì g '( x) liên tục trên D và g '( x0 ) 0 nên a; b D sao cho x0 a; b và
g '( x) 0, x a; b .
Vì h( x0 ) 0 nên g ( x) 0 có nghiệm đơn x x0 g ( x) đổi dấu khi x qua x0. Ta có
BBT:
x
a
x0
g'(x)
b
+
+
g(x)
0
-
Suy ra g ( x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua x0. Vì f '( x) x x0 .g ( x) nên
dấu của f '( x) cùng dấu với dấu của g ( x) dpcm
b) Chứng minh tương tự.
Áp dụng 2 bổ đề trên vào bài tốn cực trị ta có:
KQ1: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm cấp 2 liên tục trên D và x0 D. Giả sử
2n
f '( x) x x0 .h( x) với h x0 0, n N . Đặt g ( x) x x0 .h( x). Khi đó:
a) g '( x0 ) 0 hàm số đạt cực tiểu tại x0.
b) g '( x0 ) 0 hàm số đạt cực đại tại x0.
Chứng minh
2 n 1
a) Ta có: từ giả thiết g '( x0 ) 0.
Nếu g '( x0 ) 0 thì theo bổ đề 1 f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua
x0 x x0 là điểm cực tiểu của hàm số f(x).
Nếu f(x) đạt cực tiểu tại x = x0 thì ta cần chứng minh g '( x0 ) 0 . Thật vậy, giả sử
g '( x0 ) 0 khi đó, theo bổ đề 1 thì f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua x0
x x0 là điểm cực đại của hàm số f(x) trái giả thiết. Vậy g '( x0 ) 0 .
b) Chứng minh tương tự.
KQ2: Cho hàm số y f ( x) có đạo hàm trên D và x0 D. Nếu f '( x) x x0 .h( x)
thì điều kiện cần để f(x) đạt cực trị tại x = x0 là h(x0) = 0.
2n
luan van, khoa luan 25 of 66.
Trang 25
