DAO HAM CAP HAI

TRẢ BÀI CŨ

Cho hàm số
3

2

a) y x  5 x  4 x
b) y sin 3 x
'

Tìm y và đạo hàm của hàm số y

'


BÀI GIẢI
y  x
'

3 '



 5 x

2 '



 4 x

'

'

y  sin 3 x 
'

2

 3 x  .cos 3 x

2

3.cos 3 x

3x  5.2 x  4.1
3x  10 x  4

y

' '



'

 3 x  10 x  4 
2

3  x

2 '

'

' '

y

'

  10  x    4 

'

3.  cos 3 x 

'

'

3   3 x  sin 3 x

3.2 x  10.1  0

3   3 .sin 3 x

6 x  10

 9sin 3 x


ĐẠO HÀM CẤP HAI

.

I.ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm tại mỗi điểm x   a; b  .
'
'
y

f
 x  xác định một hàm số mới trên khoảng a; b  .
Khi đó, hệ thức
'
'
'
Nếu hàm số y  f  x  lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y
là đạo hàm cấp hai của hàm số y  f  x  và kí hiệu là y '' hoặc f ''  x 


Chú ý
- Đạo hàm cấp 3 của hàm số y  f  x  được định nghĩa tương tự
và kí hiệu là y ''' hoặc f '''  x  hoặc f

3

 x

-Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm cấp n  1 , kí hiệu f

 n  N , n 4  . Nếu

f

n  1

 n  1

 x

 x  có đạo hàm thì đạo hàm của nó được

gọi là đạo hàm cấp n của f  x  , kí hiệu y
f

 n

 x   f

 n  1

 x 

'

 n

hoặc f

 n

 x


5
y

x
Ví dụ1: Cho hàm số
Tính đạo hàm cấp 5 và cấp n
của hàm số.
Giải

y  x
'

5 '



y 5  x
''

5 x

4 '



y ''' 20  x
y4

4

5.4 x 20 x

3 '

2 '

y   0, n  5

2

  
Tính y ''   
 12 

Giải

y '  3sin 3 x

3

 20.3x 60 x
60  x  60.2 x 120 x

y 5 120
n

3

Ví dụ 2: Cho hàm số y cos 3 x

2

y ''  9 cos 3 x
  
   9 2
y ''  
  9 cos    
2
 12 
 4


II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
Bài toán: Một vật rơi tự do theo phương thẳng đứng có phương trình
1 2
s  gt ( trong đó g 9,8 m / s 2 ).
2

a) Hãy tính vận tốc tức thời v  t  tại các thời điểm t0 4 s; t1 4,1s
v
b)Tính tỉ số
trong khoảng t t1  t0

t
Giải
'
v  t  s  t  gt
t0 4  v  4  4 g 39, 2m / s
t1 4,1  v  4,1 4,1g 40,18m / s


Hàm số y  f  x  xác định trên khoảng  a; b  và có đạo hàm tại x0   a; b 
f  x   f  x0 
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim
x  x0
x  x0
y
'
Hoặc với x  x  x0 và y  f  x   f  x0  khi đó f  x0  lim
x  0 x
Vậy tương ứng với ví dụ trên khi t t1  t0 . Em hãy cho biết

v ?

v v  t1   v  t0 
v v  t1   v  t0 

t
t 1  t0
v
'
được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động
v  t  lim

t  0 t
tại thời điểm t

'
a
t

v


t
Kí hiệu:


II. Ý NGHĨA CƠ HỌC CỦA ĐẠO HÀM CẤP HAI
1.Ý nghĩa cơ học
Đạo hàm cấp hai f ''  t  được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động
s  f  t  tại thời điểm t và
'

a  t  v  t   f ''  t 


2.Ví dụ: Xét chuyển động có phương trình s  t   A sin  t   
VớiA,  ,  là những hằng số.
Tìm gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động.
Giải
Gọi v  t  là vận tốc tức thời tại thời điểm t
v  t  s '  t   A cos  t   
Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t

a  t  v '  t  s ''  t 
2

 A sin  t   


Trắc nghiệm
Câu 1: Cho hàm số y cos 2 x
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A

y ''  2 cos 2 x

C

y ''  4 cos 2 x

B

y '' 4 cos 2 x

D

y '' 4sin 2 x


4

2

Câu 2: Cho hàm số y x  3x  2 x  1
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
3

A

y '' 4 x  6 x  2

B

2

y ''  12 x  6 x

C

y '' 12 x  6

D

y '' 12 x  6

2


Câu 3: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình
3
2
S t  3t  9t , t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

Gia tốc của chuyển động khi t 3s bằng
A

12

B 3

C

0

D

-27


Củng cố
1)Cơng thức tính đạo hàm cấp n: f

 n

 x   f

 n  1

 x 

'

2)Đạo hàm cấp hai f ''  t  được gọi là gia tốc tức thời của chuyển động

'
a
t

v
s  f  t  tại thời điểm t và    t   f ''  t 
3)Bài tập về nhà trang 174
4) Nội dung chuẩn bị ôn chương 5.