Rut gon bieu thuc chua can 8

A .BIEU THUC SO - BIEU THUC DAI SO.
I. Biéu Thirc S6:
Bai 1: a) Chung minh can phuc tap:
A+

JB

- [aria

—B

fA

2

A

2

—-B

trong d6:A>0,B>0,

2

A°>B

( Dấu + đi với dẫu +, dấu - đi với dấu - ).
b) Ap dung : Biến đổi U =A11+24/30;V

=AS-4A3

i)

œ

ov
—-

Bai

: Số A|4+\7-A4-A7-A42

Go

(Luuy:A=11,
JB =2V30
: Cho hơn so n

=—

( ví dụ : fz.

và0 số nào lớn hơn ? ( áp dụng căn phức tạp ) .

có nhận xét gì về M5 ”

n`—]

GỢI ý : n— "

=> B=4.30)

n 7"

er

do do:

m—]

"=

n —

2555
2 a2)? )

Bai 4 : Trục căn thức ở mẫu:

a) —3

V2

GỢI
Ý:

_

+V¥34+V5

)|(J2+v3)-15 |

b)

2v30

ey Jes
6+V77

c)—*———~
v6

d) ——“——

342-3

2+42+x3+4x6

b) |(d5+v6)-v | c)(3+2+v3) - d)

| (2+v/2)-(v3 +6) |

Bài5 : Rút gọn các biểu thức sau

a) \V5 3129-125
429-1205

:

b) 13+30/2+Jo4+4V2

c)

Jai +5 48—10N7 +4
d ) Chứng tỏ rằng : Ÿ70— 2/4901 + 70+/4901 =5 ( Đặt x¿ = Ÿ70—^/4901 + Ÿ70+^/4901
)

e) 9+4V5+{90-4N/5
f)A=

y3= 2v2

(Đặt a= {9+4V/5+19-4Vj5 . Tinh
J3+242

V17—12V2 _vI7+12/2

Bài 6 : I) Chứng minh rang
1

(ñ+1Nn+tmjng

2) Tinh tong :

a=?)

+49+ 4x5 + {9— 4/5

Yn>0
l

=—-

,ludnco:
I

vn nai

-

x

rR

( gợi ý : trục căn thức ở mầu)




S=

1

1

+

2432

372423

+

1
4/343V4

Bài 7 : Chứng minh rằng : n=2(V3+1)
1

VV2+1-1
Tính giá trị biểu thức:

2-3 1a sé hau ti.

1

yV2+14+1
A=(x'-x°-x°+2x-l)

Bài 9 : Thu gon biéu thức : P=

.

⁄M2+43+X6+X8+4

V2+V34+V4

Bài 10 : Tính giá trị biểu thức :

_ (2003*.2013+ 31.2004 — 1)(2003.2008 + 4)

_

5

100/99 +.99./100

2

Bai
8 : Cho x=

a)

1

T+......... +

2004.2005.2006.2007.2008

s22) cac +2]
212)#+2] cac 21%2)

(1)

~
( đặt x = 2003 )

gợi ý : + nhân tử và mẫu cho 2"

+ +4

(n' +4n”+

ni—4n

(n°+2) -

nội 2n+an

(=0

+1

+ 2n+2)

(+0 +1]

Thayn=2,4,6,8,...... , 40 vào (1).
Bai 11 : Thu gon biéu thức :

1

(3V2-2N3

2 - v3 342+243Bai 12: 1) Tinh giá trị biểu thức:
P=++y`-3(x+ y)+ 2004, biết rằng :

x= 9342V2 +4/3-2V2 , y= 9/174 122 + V17-12V2
1 +

1 +
1
2) Rút gọn biểu thức sau: P =
I+4'5

\5+x9_

Bài 13 : Chứng minh răng số tự nhiên :
¬.......-.
.

r

Gợi ý : két
hop tung

“

——

cap: | 1+

1

ưu pt
2003

3

ar]

Jo+ 13

+}

1

1

—+—

|

a |

!
2004
|+......

1

+....:==———————=

42001 +^/2005

chia hét cho 2005 .

Il. BIEU THUC DAI SO:

Bai 1 : Cho biéu thic:
x°—Ax

x+V¥x

Ya

2(x-I

“Et `

(gợiý: xÌ =và= Yeux J)

a ) Rút gọn P.
b ) Tim gia tri nho nhat cua P .

c ) Tìm x để biểu thức Ó= ws

nhận giá trị là số nguyên .

Bài2 : Cho biểu thức :
¡{2t

xá

x-l

xvx-1

Q2xtVx-1

+

Vx

2x-1

a ) Hãy tim điều kiện của x đề biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọnM.
b ) Với giá trị nào của x thì biêu thức M đạt giá trị nhỏ nhật và tìm giá trị nhỏ nhât đó
củaM ?

Bài3 : Rút gọn các biêu thức sau :
a)

P=

b)

O=

m-n

Ím—vjn

mt+tnt+ 2xhmn

Với m>0,n>0
Và mzđn

m+n

ab—ab

Na-Vb

ab

Va + Vb

với a>0, b>0

Bài4 : Cho biểu thức:

_ÍNš-L Ax+l

lee

vx)
2

a ) Rút gọn P.
b ) Tim x dé

>2

Bài
5 : Cho biêu thức:
P=

xVx-1

xx +1

x+I

a ) Rút gọn P.
b ) Tim x dé

pas

Bài 6 : Cho biểu thức :
1
1
M=
+
a-Va Aa-l)

Va +l
a-2Na+l

1) Tìm điều kiện xác định của a để M có nghĩa .

2) Rut gonM.

Bài 7 : Cho biêu thức :

a) Voi gia tri nao cua x thì P được xác định .

Vict

P=

26x

''x-2

,2+5ýx

Vx +2

b) Rút gọnP.

4—x

c) Tìm x đếP=2.

II. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẬT CỦA B.THỨC
(MAX-MIN)
1. Biêu thức một biên sơ :
Phương pháp : Muốn tìm gia tri cực đại hoặc cực tiểu của một biéu

thức, ta có thê biên đơi biêu thức thành dạng :

Hăng sơ +A” hoặc A” + hăng sô .

Bài 1: Cho biểu thức: A=x”+2x+3
a) Tìm x để Amin
Giai:

A=x

:

b ) Tinh A min do.

+2x4+3=2x°4+2x4+142

vì (x+l) >0 nên A>2 vàA=2

=(x+1 +2
Vậy

A„=2

©x+I=0.

©x=-l.

Bài 2: Cho biểu thức : Ðð=-—x?+6x—4
a ) Tìm x để B„ ; b) Tính giá trị 8„ đó.
Giai:
B=—-x +6x-4=(-x+6x-9)+5

=-(x°-6x+9)+5

vì -(x-3) <0,Vx nên 8<5 và B=5 © x=

=-(x-3) +5

3
Vậy giá trị lớn nhất của B =5 khix=3 hay 8 =5
1

Bài 3: Cho biểu thức :B =

gợiý: 8

x 42x43

b)Tính 8
khi mẫu I(x+DỶ +2, Min

a) Tim
x dé B

max

©x=3.

`
?

Mẫu Min khi (x+l) =0 =

đó.

x=-I

Bài 4: Cho biểu thức :P==————
—x +6x-4
a ) Tìm x đê Pmin

;

b) Tính
P min đó.

Bài 5: Cho biểu thức: 8=———_1*}_—_—
x +2x°-4x—-5
a ) Rút gọn B.

-

b) Tìm x để B. Tính B„ đó.
Bai 6: Cho biểu thức:
a) Timadé

BMax

,

Gợi ý : p.fích mâu làm xuât hiện nhân tử chung (x + I)

ab? +bŸ(b°—a)+1

B=
;

ab’ +2b' +a’ +2

b) Tính giá trị B Max đó.




gợi
ý :+ ab’ +b?(b’-a)+1=ab’
+b’ — ab’ +1 rit gon.
+ p.tích a?b†+2b*+ a?+2

làm xuất hiện nhân tử chung (0 +1) .

Bài 7: Cho biểu thức: 8=x(x+I)(x+2)(x+3).
a) TìmxđểBMin

; b) Tính
B Min đó.

gợi
ý : + nhân từng cặp :x(x+lI)

;(x+2Xx+3)

+ Lấy kết quả thứ 1 nhân két qua thir 2: B=(x°+3x) +2(2°+3x) +1-1

Bài 8: Cho biểu thức: B=2—
x +1
2

a)Timxdé€BMin

;_

b) Tinh gia tri B Min do.

Bài 9: Cho biểu thức: ø=-Šx *#!#Ì
+2x+1
2

với xz-~

a)TimxdéBMin
;
b) Tính giá trịB Min đó.
Gợi ý : + Tách hạng tử : x +x+l=+x+2x+l—x
+ Thêm bớt hạng tử : x =(x + l)— ]1 đề được :
B=i-—

+

x+l

(x+l)

> dua vé binh phương của Ï hiệu.

2. Biêu thức
2 biến số trở lên:

Bail: Cho biểu thức:
a ) Tìm

x và y dé A

A=x?+2y?-2xy+2x-10y

Min

với x, y là các số thực .

; b) Tính A Min đó.

Gợi ý: + Viết A=(x-y+1) +(y-4) -17
Bài 2: Cho biểu thức:
a ) Tìm

Gợi ý:

x và

=x?+6y?+14z?—8yz+6zx—
4xy

y và z để B Min

Viết

; b) Tính B Min đó .

B=(x-2y+3z} +2(y?+2yz+z?)+3z

Bài 3: Cho biểu thức: =1677—x?— y?+36x+4y
a ) Tìm x và y để B đạt giá trị lónnhất — ; b) Tính
B Max đó.

Goiy : Cé thé viét B = 2005 —(x-18) —(y-2)

Bài 4: Cho hai số thực thỏa mãn điều kiện:

x?+ y?=1.

Tìm giá trị lớn nhật và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = x + y.

Hướng dân:

Tacó:

(x+y) <2(x+y?)=2

=A?<2

=|Al
>-V2

Bài 5: Cho hai số dương
x và y có tổng băng 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của 8 = (1 — =)2 1 —
x

Huong dan: + Bién doi:

B= 142

+ 1=(xt+y) >4xy

xy

y

|2

( nhân phá bỏ ngoặc ,„ quy đồng, thu gon) .

2
>—>8
xy

Bai 6: Tim giá trị nhỏ nhất của : y= (x-ay}

D>

B>09

+6(x-ay)++x +l6y°—8xy+2x—8y+10




(voix,y,alacac so nguyén )
Huong dan:

x”=§xy+16y?)+2(x~ 4y) +l
y=|(x=ay) +6(x~ay)+9 |+(
y)+1
=(x-ay+3) +(x-4y)} +2(x-4
=(x-ay+3) +(x-4y+l) >0

>
Bai 7:

x-ay+3=0

miny=0
Cho

(1)

x-4y+I=0

(2)

M =Va+3-4Va-1+Va+15-8Va-1

a ) Tìm điều kiện xác định của a để M được xác định .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M và giá trị của a tương ứng.
Hướng dẫn :
a)

M xác định với mọi

b) Ta có :

=>

a+3-4Va—1=(Va—1-2)

a+15-8Va—1=(Va-1-4)
M =|Va-1-2|+|4—Va-1|

Vậy:minM=2
.

z>I

khi

2<4a-l<4_

k

,

( vận dụng : |a|+|b|>
|ø+ b| )

suyra
giá trị của a.
~

Bai 8: Cho ba so duong x, y , z thoa man

1

:

l+x

4

1
I+y

4

1

>2

l+z

Tìm giá trị lớn nhất của tích : P=x.y.z
Hướng dân :

Tương tự

:

l+y

Hà

Từ đó suy ra: P=

ln p

|

I+zj

eat (I+z)

`"

>

ý,
š s2
l+y

ae

maxP=—

l+z

ESTES

(1+ y)(1+z)

(1+x)(1+
(lo)
y)

1

8

khix=y=z=

Bài 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= \(x- 1990) +

—

l+x


_Ìvị

(x-1991)

Hướng dẫn: vận dụng cách làm bài 7.

Bai 10:

Tìm giá trị nho nhat cua biéu thirc :B=a° +b? +ab ; cho biét a và b thỏa mãn a + b = Ï
Hướng dẫn :
+

=(a+b)(a? ~ab+b?)+ab=

a —ab+b’+ab=a

+ Ta có: 2(a°+Д)>(a+b} =1 =

a? +b

+b




Vay:

minB=

Bài II:
Cho biểu thức: P=

2

_

3

xi-xtx-1l

Chứng minh rằng:
Hướng dẫn :
petich:

khia=b=+

.

2

I

xl+x-x-l

0< P< =

Ị

_

x-x+x-x+x-I

với mọi giá trỊ của x#+1

.

x-x +x-l=(x-l
x+xz -x-I=(x-Il
x = x4 49°

2? += 15 (x=1)(0° +.x41)(x° - x41)

Do đó P có thê rút gọn thanh :
2

2

CSIR

2

ST

TT
2

bo ie

32

KD

Xét hiệu : >

TA

CA

7

P nều hiệu này dương,

4

1A

taco két luận .

_—†

Bài 12: Cho biểu thức p=L- 1L
xX

1Ã,

wy

x+y

x+y+z

Với giá tri nao cua cac so nguyén duong x, y,, z thì P đạt giá tri duong bé nhat .
Huong dan:
vì P>0

l

1
—-+
x
xty

<
l

l

xX

x+y

Dat Q=—+
Dod6Pmin

+khix=3

x+y+z

2

thh

P=—-O

l

xd+y+z

@„

&

X

1

+——

©

Tacd: tet

1

+.—————

l

2

©& xnhỏ nhất

x>2

6

x>3 do đóx nhỏ nhất khi x =3.

>

g-t,1,_!

>

—

3

1

3+y

34+y

3+y+z

1
1 1
+ <--=

3+y+z

=

+

11".

Vi:


©

3+y>6

...
3+y

3+y+z

0=S+T+—
nénQMax
+Z

2

2 36

Vì: : khơng đổi nên QMax
Mà:

<1
1

©> y nhỏ nhất
=

3+y>7

<

y>4 vậy y nhỏ nhất bằng 4

......ố...

6

7

<=

7+z

6

7+z

6

7

znhỏ nhất (LL tương
tự :z=36 )

42

Tóm lai : min

`

Bài 13:

¬...

¬

Cho x,

oo

¬

2x+y+3z=6

y, z là các sơ thực khơng âm thỏa mãn :

3x+4y-3z=4

(I)
(2)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =2x + 3y— 4z.
Hướng dân
Cong vé theo vé (1) va (2): 5x +5y=10

Thé vao (1):

2x +2-x+3z=6

©

<
z=5-4

Khi đó : P=2x+3(2-x)-4|S-*|=*+2
3

`
vix>O

=

2

a

3

.
2
=> minP=—

y=2-x

3

3

.
khix=...,y=...,Z=...

Bai 14:
Tìm giá trị của
x dé biểu thức y= x—Ax—1993 đạt giá trị nhỏ nhất
. Tìm g.trị NN đó.
Hướng dẫn

+ TXD: ?
+ thém bot hang tu (- 1993 ) vao y dé SD duoc HDT.
Bai 15:

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y=~“—+~— với 0—-X

+Viết: yẽ+tx eS
I-x

x

Hướng dẫn

l—x

“¿+ *!F,

(với 0x

+ thu gon
y , su dung BDT cau chy.
Bai 16:

Tim gid tri lon nhat va nho nhat cua biéu thite A=x?+y"

.

Biết rằng x và y là các số thực thỏa mãn : x?+ y°—xy=4
Hướng dẫn
Từ:
&

x +y-xy=4

2x +2y`-2xy=8

(x? + y?)+(2° -2xy + y’)=8

Max A=?
Mặt khác: 2x+2y°=8+2xy

Bai 17:

&

.

Cho x, y, z l cỏc sụ tha món

âA+(x-y)

=8

â

3(1è+ y?)=8+(3?+2xy+ +)

=

3A=8Đ+(x+y)

: x + y +Z = 3.

>8

. Tim min A=?

Tìm giá trị lớn nhât của biêu thức : M = xy + yz + zx
Hướng dân
M=xy+z(x+y)=xy+(3-x-y)(x+y)= xy+3(x+y)-(x+y}




Bai 18:
Cho x, y là hai số thỏa man x + 2y =3 . Tim

Hướng
Biểu diễn x theo y rồi thế vào E..
Bài 19:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
A=x +2y”+3z”-2xy+
2xz — 2x— 2y —
Hướng

gia tri nho nhat cla: B= x? +2y’
dẫn

8z + 2000
dẫn

Biểu diễn: A=(x-y+z-1) +(y+z-2) +(z-l) +1994
Bài 20 :
Cho x y là hai sô dương thay đơi ln ln thỏa mãn điêu kiện xy = T1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A=

posts

x+y

y

x+y

7

Hướng dẫn

Từ:

(2-yÌ>0
(
y)

=

x'+y?>2x#y
»
»
x

+ để ý : Max A = Lkhi

>

l

<=
x+y ` xy

2

=y

4y?°=x
+y=l

Bai 21:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8 = (x- a) +(x-b} + (x-c}
Hướng dẫn
2

Baa

xO"

Biéu dién :
o

|

+b+

(a +i +e) Et)
;

minB=(a°+b° rer)

+b+

ry

Bài 22:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức :
a) P=x`-2xy+6y”-l2x+2y+45
b) O=xˆ-2xy+3yˆ-2x—10y+20
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
c€) E=-x +2xy-4y°+2x+l10y-3

Hướng dẫn :

Biểu diễn:a)

b)
c)

P=(x-6-y)}

+5(y-1) +4

Q=(x-y-1)
+2(y-3) 41
E=l0-(x-y-1} -3(y-2}

2

vớia,b,c cho trước .