Bài tập ví dụ chương đạo hàm và vi tích phân

BÀI TẬP VÍ DỤ CŨNG CỐ KIẾN THỨC
CHƯƠNG ĐẠO HÀM VÀ VI TÍCH PHÂN
*Các bạn theo dõi phân tóm tắt lý thuyết để nắm lý thuyết trọng tâm nhé
Dạng bài ôm sát đề thi
Chương: Đạo hàm
*Quy tắc Lopitan
ln(1  x)  x
Bài 1: Tính lim
x 0
tan 2 x
lim

x
1 x

ln(1  x)  x
[ ln(1  x)  x]'
 lim
 lim
2
x

0
x 0
tan x
(tan 2 x) '
2 tan x

1
cos 2 x
 x cos3 x

( x cos3 x) '
3cos 2 x.sin x  cos3 x
 lim
 lim
 lim
x 0 2(1  x)sin x
x 0 (2(1  x)sin x) '
x 0 2sin x  2cos x.(1  x)
1

2
ln(tan x)
Bài 2: Tính lim
cot 2x
x
4

co

ng

.c
om

x 0

ng

th

an

1
1
. 2
ln(tan x)
[ln(tan x)]'
lim
 lim
 lim tan x cos x
1 1
cot
2x
(cot
2x)
'
x
x
x
4
4
4
.
sin 2 2x 2
 sin x
 lim
 1
2
3
x  2sin 2x.cos x

4

du
o

1 
1
Bài 3: Tính lim  

x 0 x
arcsin x 


u

Ta tìm (arcsin x)’.

cu

 
arcsin x là hàm ngược của sinx x  ( , ) nên theo lý thuyết ta tìm đạo hàm của nó như
2 2
sau
Đặt y = sin x
1
y  sin x  y '  cos x  1  sin 2 x  1  y 2 Hay arcsin x ' 
1 x2
1
1
arcsin(sin x) '  arcsin y '  

y'
1  y2

1 
arcsin x  x
(arcsin x  x) '
1
lim  
 lim
 lim

x 0 x
x 0 (x.arcsin x) '
arcsin x  x 0 x.arcsin x

 1


1

'
2
1 x2
1

x


 lim
 lim

x 0
x 0 
x

x
 arcsin x

arcsin
x

'
2
2
1 x
 1 x

1

1

CuuDuongThanCong.com

/>

2x
3

2 1  x 2
 lim
0

x 0
2x
2
1  x  x.
2 1 x2  1
1 x2
1 x2

*Chuỗi lũy thừa

x 2n
Bài 4: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của  n
n 1 n.9


Đặt t  x 2


1

 n.9
n 1

n

1
9n n

(t  0) n với c n 

1 1
 9
L 1
9

co

Vậy bán kính hội tụ R 

ng

c n 1
9n n
n
1
lim
 lim
 lim
 0
n  c
n  9.9 n.(n  1)
n  9(n  1)
9
n

.c
om

Chuỗi trở thành

ng

th

an

Xét sự hội tụ tại hai đầu mút x  a  3  3

1
Tại x  a  3  3 chuỗi trở thành  là chuỗi điều hòa nên phân kỳ.
n 1 n
Vậy miền hội tụ là (-3,3)
(1) n  1  x 
.
Bài 5: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của 

n 1 2n  1  1  x 

n

du
o



cu

u

1 x 

Đặt t  

1 x 

Chuỗi trở thành

lim
n 

(1) n
(1) n
n
c

với
.
t

0
 

n
2n  1
n 1 2n  1


c n 1
2n  1
2n  1
 lim

.(1)  lim
1 0
n  2(n  1)  1
n  2n  3
cn

Vậy bán kính hội tụ R 

1 1
 1
L 1

1 x 
Miền hội tụ của chuỗi là a  1  t  a  1  1  t  1  1  
 1 x  0
1 x 
Xét sự hội tụ của chuỗi tại đầu mút x = 0

CuuDuongThanCong.com

/>

Chuỗi trở thành

(1) n
là chuỗi Lebnizt hội tụ do

n 1 2n  1


(1) n
là chuỗi đan dấu và dãy

n 1 2n  1


1
là dãy dương giảm
2n  1
Vậy miền hội tụ là [0, )
an 

41 2n
n
Bài 6: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của  n 1 .  x  3
n 1 4


Chuỗi là chuỗi lũy thừa với c n 
n 

c n 1
42n  2 4n
 lim 2n . n 1  4
n  4
cn
4

Vậy bán kính hội tụ R 

1 1

L 4

Ta xét sự hội tụ tại 2 đầu mút x  a  R  3 

.c
om

lim

41 2n
, a  3
4n 1

1
4


1
, chuỗi trở thành  (1) n không hội tụ do với n lẻ, chuỗi hội tụ về -1, với n
4
n 1
chẵn, chuỗi hội tụ về 0. Điểm hội tụ khơng có định nên chuỗi không hội tụ.

1
Tại x  3  , chuỗi trở thành 1 là chuỗi phân kỳ
4
n 1
1

1
Vậy miền hội tụ là (3  , 3  )
4
4

ng

th

an

co

ng

Tại x  3 

du
o

Chương: TÍCH PHÂN



1



3

x2

3

dx

u

Bài 7: Tính tích phân suy rộng sau





cu

Đây là tích phân suy rộng loại 1.

1

t

dx  lim 3
3
t 
x2
2 
 2
 lim 



t 
3 2 
 t2
3

khi t   

t

 2 
dx  lim 
3

t 
 x2 3
x2
1

2
 2 
 0  lim 
0
t 
t2
 t2 

2 
 2
lim 


2
t 
3 2 
 t2
Vậy tích phân hội tụ về 2
Bài 8: Tính tích phân suy rộng sau





0

x.arctanx
dx
(1  x 2 ) 2

Dễ thấy đây là tích phân suy rộng loại 1

CuuDuongThanCong.com

/>





0

t x.arctanx
x.arctanx
dx  lim 0
dx
2 2
t 
(1  x )
(1  x 2 ) 2

Ta tìm (arctan x)’, đặt y  tan x  y '  1  tan 2 x  1  y 2

.c
om

 
Theo cách tìm đạo hàm hàm ngược (arctan x là hàm ngược của tanx x  ( , ) )
2 2
1
1
arctan(tan x) '  arctan(y) '  
y ' 1  y2
1
Hay arctan(x) ' 
.
1 x2
dx
Đặt u  arctan x  du 
và x  tan u
1 x2
arctan t

u.tan u
1

Tích phân trở thành lim arctan 0
du  lim   sin(2x)  2x cos(2x)  
2
t 
t

1  tan u
8
 arctan 0
arctan t

1
sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0
t  8

Do khi t    arctan t 
2
1

lim  sin(2arctan t)  2.arctan t.cos(2arctan t)  sin 0  2.0.cos 0 
t  8
8

Vậy tích phân hội tụ về
8
14

dx
Bài 9: Tính tích phân suy rộng sau 2 4
x2

du
o

ng

th

an

co

ng

 lim

Ta thấy đây là tích phân suy rộng loại 2
14
dx
dx
 lim t 4
x  2 t 2
x2

u

14

2 4

cu



14

3
4
4
 lim  4 x  2   lim
t 2  3
t 2  3

t



4

3

14  2  4 t  2

3

  323

Bài 10: Xác định tích phân suy rộng sau hội tụ hay phân kỳ



5

0

xdx
x2

x
không xác định tại x=2
x2
Vậy đây là tích phân suy rộng loại 2
5 xdx
2 xdx
5 xdx
t xdx
5 xdx

lim
0 x  2  0 x  2  2 x  2  lim


t 2 0 x  2
t 2 t x  2

Ta thấy hàm số f (x) 

 lim  x  2ln (x  2)   lim  x  2 ln(x  2) 
t

t 2

0

t 2

5
t

 lim  t  2ln t  2  2ln 2   lim  5  2ln 3  t  2ln t  2 
t 2

CuuDuongThanCong.com

t 2

/>

 lim t  2  
t  2 
 t  2  0   t  2 
Ta có khi 
*xem thêm đồ thị hàm số y = lnx
t  2  
t  2 
 lim
t 2

Vậy tích phân suy rộng phân kỳ

Bài 11: Tính tích phân suy rộng sau



0



1
x

e
dx
x2
1

ex
Ta thấy tích phân vừa có cận từ  vừa có cận tại 0 mà tại đó hàm số f (x)  2 không xác
x
định, vậy đây là sự kết hợp của tích phân loại 1 và tích phân loại 2

cu

u

du
o

ng

th

an

co

ng

.c
om

Tích phân trở thành
1
1
k



0 ex
k ex
 1x  


lim
dx  lim  lim  e  
 x 2 dx  tlim
  k 0 t x 2

 t   k 0 

 t 



1

 1t

k
 lim  lim  e  e  
t  k 0 



1
1
Khi t     0  e t  e0  1
t
1
1
k
Khi k  0     e  e   0 *xem thêm đồ thị y  e x
k
Vậy tích phân hội tụ về 1

CuuDuongThanCong.com

/>