Chuyên đề dấu của tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai

Tailieumontoan.com

Điện thoại (Zalo) 039.373.2038

CHUYÊN ĐỀ

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Tài liệu sưu tầm, ngày 8 tháng 12 năm 2020


Website: tailieumontoan.com

Chương

Câu 1:

4

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHUYÊN ĐỀ 5
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Gọi S là tập nghiệm của bất phương trình x 2 − 8 x + 7 ≥ 0 . Trong các tập hợp sau, tập nào
không là tập con của S ?
A. ( −∞;0] .

B. [8; +∞ ) .

C. ( −∞; −1] .

D. [ 6; +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn D
x ≥ 7
Ta có x 2 − 8 x + 7 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≤ 1
Câu 2:

Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) =− x 2 − x + 6 ?
A.

x

−2

−∞

f ( x)

−

+∞

3

+

0

0

−

B.

x

−2

−∞

f ( x)

+

+∞

3

−

0

0

+

C.

x

−3

−∞

f ( x)

−

+∞

2

+

0

0

−

D.

x

−3

−∞

f ( x)

+

+∞

2

−

0

0

+

Hướng dẫn giải
Chọn C

Câu 3:

 x = −3
Ta có − x 2 − x + 6 = 0 ⇔ 
x = 2
Hệ số a =−1 < 0
Áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai ta có đáp án C là đáp án cần tìm.
− x2 + 6x − 9 ?

Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) =
A.
. x

f ( x)

−∞

+∞

3

+

0

−
B.

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 1/18


Website: tailieumontoan.com
.

−∞

x

f ( x)

+∞

3

−

0

+
C.

.

−∞

x
f ( x)

+∞

3

−

0

−
D.

.

−∞

x
f ( x)

+∞

3

+

0

+
Hướng dẫn giải

Câu 4:

Chọn C
Tam thức có 1 nghiệm x = 3 và hệ số a =−1 < 0
Vậy đáp án cần tìm là C
 12
x 2 + x + 36 ?
Bảng xét dấu nào sau đây là của tam thức f ( x ) =
A.
. x

−6

−∞

f ( x)

−

0

+∞
+
B.

.

−6

−∞

x
f ( x)

+

0

+∞
−
C.

.

−6

−∞

x
f ( x)

+

0

+∞

+
D.

.

−6

−∞

x
f ( x)

−

0

+∞
−
Hướng dẫn giải

Chọn C
Tam thức có một nghiệm x =
−6, a =
1 > 0 đáp án cần tìm là C
Câu 5:

Cho tam thức bậc hai f ( x ) = x 2 − bx + 3 . Với giá trị nào của b thì tam thức f ( x) có hai
nghiệm?
A. b ∈  −2 3; 2 3  .

(

(
)
D. b ∈ ( −∞; −2 3 ) ∪ ( 2

B. b ∈ −2 3; 2 3 .

)

C. b ∈ −∞; −2 3  ∪  2 3; +∞ .

)

3; +∞ .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 2/18


Website: tailieumontoan.com
b < −2 3
Ta có f ( x ) = x 2 − bx + 3 có nghiệm khi b 2 − 12 > 0 ⇔ 
.
2
3
b
>


Câu 6:

0 (1) có hai nghiệm phân
Giá trị nào của m thì phương trình ( m − 3) x 2 + ( m + 3) x − ( m + 1) =
biệt?

3

A. m ∈  −∞; −  ∪ (1; +∞ ) \ {3} .
5


 3

C. m ∈  − ; +∞  .
 5


 3 
B. m ∈  − ;1 .
 5 
D. m ∈  \ {3} .
Hướng dẫn giải

Chọn A
m ≠ 3

m ≠ 3
a ≠ 0
5

Ta có (1) có hai nghiệm phân biệt khi 
⇔ m < − .
⇔ 2
3
∆ ' > 0
5m − 2m − 3 > 0

  m > 1
Câu 7:

Tìm tập xác định của hàm số y=

1

A.  −∞;  .
2


2 x2 − 5x + 2 .

B. [ 2; +∞ ) .

1

1 
C.  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) . D.  ; 2  .
2

2 
Hướng dẫn giải

Chọn C

x ≥ 2
Điều kiện 2 x − 5 x + 2 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≤ 1

2
2

1

Vậy tập xác định của hàm số là  −∞;  ∪ [ 2; +∞ ) .
2


Câu 8:

Các giá trị m để tam thức f ( x) = x 2 − (m + 2) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần là
A. m ≤ 0 hoặc m ≥ 28 . B. m < 0 hoặc m > 28 . C. 0 < m < 28 .
Hướng dẫn giải
Chọn B

D. m > 0 .

để tam thức f ( x) = x 2 − (m + 2) x + 8m + 1 đổi dấu 2 lần khi và chỉ khi
 m > 28
2
.
∆ > 0 ⇔ ( m + 2 ) − 4 ( 8m + 1) > 0 ⇔ m 2 − 28m > 0 ⇔ 
m < 0
Câu 9:

Tập xác định của hàm số f ( x=
)

2 x 2 − 7 x − 15 là

3


A.  −∞; −  ∪ ( 5; +∞ ) .
2

3

C.  −∞; −  ∪ [5; +∞ ) .
2


3

B.  −∞; −  ∪ [5; +∞ ) .
2

3

D.  −∞;  ∪ [5; +∞ ) .
2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 3/18


Website: tailieumontoan.com
x ≥ 5

Điều kiện 2 x − 7 x − 15 ≥ 0 ⇔ 
.
x ≤ − 3

2
3

Vậy tập xác định của hàm số là  −∞; −  ∪ [5; +∞ ) .
2

2

Câu 10: Dấu của tam thức bậc 2: f ( x) =
− x 2 + 5 x − 6 được xác định như sau
A. f ( x ) < 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) > 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
B. f ( x ) < 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) > 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
C. f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .
D. f ( x ) > 0 với −3 < x < −2 và f ( x ) < 0 với x < −3 hoặc x > −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có bảng xét dấu
x
−∞
−
f ( x)

3
0

2

0

+

+∞

−

Vậy f ( x ) > 0 với 2 < x < 3 và f ( x ) < 0 với x < 2 hoặc x > 3 .

 x 2 − 4 x + 3 > 0
là
Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình  2
 x − 6 x + 8 > 0
A. ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ ) .

B. ( −∞;1) ∪ ( 4; +∞ ) . C. ( −∞; 2 ) ∪ ( 3; +∞ ) . D. (1; 4 ) .
Hướng dẫn giải

Chọn B

 x < 1

 x 2 − 4 x + 3 > 0
x < 1
 x > 3
⇔
Ta có:  2
.
⇔

x
>
4
x
<
2

 x − 6 x + 8 > 0


  x > 4


 x2 + 4x + 3 ≥ 0

Câu 12: Hệ bất phương trình 2 x 2 − x − 10 ≤ 0 có nghiệm là
 2
2 x − 5 x + 3 > 0
3
5
A. −1 ≤ x < 1 hoặc < x ≤ .
B. −2 ≤ x < 1 .
2
2
C. −4 ≤ x < −3 hoặc −1 ≤ x < 3 .

D. −1 ≤ x ≤ 1 hoặc

3
5

2
2

Hướng dẫn giải
Chọn A

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 4/18


Website: tailieumontoan.com

  x ≤ −3

 x ≥ 1
 x2 + 4x + 3 ≥ 0
 −1 ≤ x < 1

 2
5
Ta có: 2 x − x − 10 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔  3
5 .

<
<
x
2
 2


2
2
2 x − 5 x + 3 > 0
 x < 1

 x > 3
 
2

Câu 13: Xác định m để với mọi x ta có −1 ≤
5
A. − ≤ m < 1 .
3

x2 + 5x + m
< 7.
2 x 2 − 3x + 2

5
B. 1 < m ≤ .
3

5
C. m ≤ − .
3
Hướng dẫn giải

D. m < 1 .

Chọn A
x2 + 5x + m
< 7 có tập nghiệm là  khi hệ sau có tập nghiệm là  (do
2 x 2 − 3x + 2
2 x 2 − 3 x + 2 > 0 ∀x ∈  )

Ta có: −1 ≤

2
−1( 2 x 2 − 3 x + 2 ) ≤ x 2 + 5 x + m
13 x − 26 x + 14 − m > 0 (1)

có tập nghiệm là 
⇔ 2
 2
2
( 2)
3 x + 2 x + m + 2 ≥ 0
 x + 5 x + m < 7 ( 2 x − 3 x + 2 )

Ta có (1) có tập nghiệm là  khi ∆ ' < 0 ⇔ −13 + 13m < 0 ⇔ m < 1 (3)

( 2)

có tập nghiệm là  khi ∆ ' ≤ 0 ⇔ −5 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ −

5
(4)
3

5
Từ (2) và (4), ta có − ≤ m < 1 .
3

x 2 + 4 x − 21
ta có
x2 −1
A. f ( x ) > 0 khi −7 < x < −1 hoặc 1 < x < 3 .

Câu 14: Khi xét dấu biểu thức f ( x ) =

B. f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
C. f ( x ) > 0 khi −1 < x < 0 hoặc x > 1 .
D. f ( x ) > 0 khi x > −1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: x 2 + 4 x − 21 =
0⇔ x=
−7; x =
3 và x 2 − 1 =0 ⇔ x =±1 . Lập bảng xét dấu ta có

f ( x ) > 0 khi x < −7 hoặc −1 < x < 1 hoặc x > 3 .
Câu 15: Tìm m để ( m + 1) x 2 + mx + m < 0, ∀x ∈  ?
A. m < −1 .

B. m > −1 .

4
C. m < − .
3

Hướng dẫn giải

D. m >

4
.
3

Chọn C
Với m = −1 không thỏa mãn.
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 5/18


Website: tailieumontoan.com
a < 0
Với m ≠ −1 , ( m + 1) x 2 + mx + m < 0, ∀x ∈  ⇔ 
∆ < 0
m < −1

m + 1 < 0
4
4

⇔ m < − ⇔ m < − .
⇔
2
3
3

−3m − 4m < 0

  m > 0
Câu 16: Tìm m để f ( x )= x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈  ?
A. m >

3
.
2

B. m >

3
.
4

3
3
4
2
Hướng dẫn giải

C.

D. 1 < m < 3 .

Chọn D

f ( x )= x 2 − 2 ( 2m − 3) x + 4m − 3 > 0, ∀x ∈  ⇔ ∆ < 0 ⇔ 4m 2 − 16m + 12 < 0 ⇔ 1 < m < 3 .

Câu 17: Với giá trị nào của a thì bất phương trình ax 2 − x + a ≥ 0, ∀x ∈  ?
A. a = 0 .

B. a < 0 .

C. 0 < a ≤

1
.
2

D. a ≥

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn D

1
a ≥ 2

1 − 4a 2 ≤ 0
∆ ≤ 0
1
Để bất phương trình ax 2 − x + a ≥ 0, ∀x ∈  ⇔ 
⇔
⇔ 
1 ⇔a≥ .

2
a > 0
a > 0
  a ≤ − 2

a > 0

Câu 18: Với giá trị nào của m thì bất phương trình x 2 − x + m ≤ 0 vơ nghiệm?
1
1
B. m > 1 .
C. m < .
D. m > .
A. m < 1 .
4
4
Hướng dẫn giải
Chọn D
Bất phương trình

x 2 − x + m ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình
∆ < 0
1
⇔ 1 − 4m < 0 ⇔ m > .
x 2 − x + m > 0, ∀x ∈  ⇔ 
4
1 > 0

Câu 19: Cho f ( x) =
−2 x 2 + (m + 2) x + m − 4 . Tìm m để f ( x) âm với mọi x .

A. −14 < m < 2 .
C. −2 < m < 14 .

B. −14 ≤ m ≤ 2 .
D. m < −14 hoặc m > 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn A
Ta có
∆ < 0
2
f ( x ) < 0, ∀x ∈  ⇔ 
⇔ ( m + 2 ) + 8 ( m − 4 ) < 0 ⇔ m 2 + 12m − 28 < 0 ⇔ −14 < m < 2 .
a < 0
1
1
2
Câu 20: Bất phương trình
có nghiệm là
− ≤
x−2 x x+2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 6/18


Website: tailieumontoan.com



 3 + 17

3 − 17 
A.  −2,
B. x ∉ {−2, 0, 2} .
, +∞  .
 ∪ ( 0, 2 ) ∪ 
2
2




C. −2 < x < 0 .
D. 0 < x < 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
x ≠ 0
Điều kiện 
.
 x ≠ ±2
x ( x + 2 ) − ( x − 2 )( x + 2 ) − 2 x ( x − 2 )
1
1
2
Với điều kiện trên ta có
− ≤
⇔
≤ 0.
x−2 x x+2

( x − 2) x ( x + 2)

⇔

−2 x 2 + 6 x + 4
≤ 0.
( x − 2) x ( x + 2)

Ta có bảng xét dấu
x
−2
−∞

f ( x)

+

3 − 17
2

−

0

0

0

+

3 + 17
2

2

−

0

0

+

+∞

−

0


 3 + 17

3 − 17 
Vậy nghiệm của bất phương trình là  −2,
.
0,
2
,
∪
∪

+∞
(
)




 2

2 




Câu 21: Tập nghiệm của bất phương trình
A. S =
C. S =

3x
< 1 là
x −4
2

( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
( −1,1) .

B. S =

S
D. =

( −∞, −4 ) .
( 4, +∞ ) .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Điều kiện x ≠ ±2
 x 2 + 3x − 4
 3x
 3x
>
−
+
>
1
1
0
>0
 x 2 − 4
 x 2 − 4
3x
3x
 x 2 − 4
⇔
<1 ⇔ 
⇔ 2
< 1 ⇔ −1 < 2
x
x
3

3
x −4
x2 − 4


 − x + 3x + 4 < 0
<1
−1 < 0
 x 2 − 4
 x 2 − 4
 x 2 − 4

 x < −4
Lập bảng xét dấu ta được nghiệm của bất phương trình là  −1 < x < 1
 x > 4

( −∞, −4 ) ∪ ( −1,1) ∪ ( 4, +∞ ) .
để bất phương trình x 2 − 2 ( 4k − 1) x + 15k 2 − 2k − 7 > 0

Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =
Câu 22: Tìm giá trị nguyên của k
với mọi x ∈  là
A. k = 2 .

B. k = 3 .

C. k = 4 .
Hướng dẫn giải

nghiệm đúng

D. k = 5 .

Chọn B
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈  thì:

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 7/18


Website: tailieumontoan.com
a = 1 > 0
2
⇔ ∆′ < 0 ⇔ ( 4k − 1) − 15k 2 + 2k + 7 < 0 ⇔ 2 < k < 4

 ∆′ < 0
Vì k ∈  nên k = 3 .
Câu 23: Có bao nhiêu giá trị m nguyên âm để mọi x > 0 đều thoả bất phương trình

(x

2

+ x + m ) ≥ ( x 2 − 3x − m ) ?
2

2

A. 0 .

B. 1 .

D. 3 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn B

(

Ta có x 2 + x + m

) ≥ (x
2

− 3x − m ) ⇔ ( x 2 + x + m ) − ( x 2 − 3x − m ) ≥ 0
2

2

2

2

⇔ 4 x ( 2 x + m )( x − 1) ≥ 0
Với m < 0 ta có bảng xét dấu
m
TH1: − ≥ 1

2
−

m
2

x

−∞

0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

-

0

+

0

-

0

+

x −1
2x + m
f ( x)

1

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
TH 2: −

+∞

m
=
1⇔ m =
−2
2

m
<1
2

−

m
2

x

−∞

0

4x

-

0

+

||

+

||

+

-

||

-

0

+

||

+

-

||

-

||

-

0

+

-

0

+

0

-

0

+

2x + m
x −1
f ( x)

Từ Bảng xét dấu ta thấy để BPT nghiệm đúng với x > 0 thì −
Vậy có 1 giá trị
Câu 24: Bất phương trình
 −7 < x < −2
A. 
.
3 < x < 4
Lời giải
Chọn A

+∞

1

m
=
1⇔ m =

−2
2

( x − 1 − 3)( x + 2 − 5) < 0 có nghiệm là
 −2 ≤ x < 1
B. 
.
1 < x < 2

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

0 < x < 3
C. 
.
4 < x < 5

 −3 < x ≤ −2
D. 
.
 −1 < x < 1

Trang 8/18


Website: tailieumontoan.com
Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trong từng khoảng ta được nghiệm là A.
Cách khác:

 x − 1 > 3
 x > 4



 x − 1 − 3 > 0
⇔   x − 1 < −3
⇔   x < −2 ⇔ −7 < x < −2
Trường hợp 1: 
 x + 2 − 5 < 0
−5 < x + 2 < 5
−7 < x < 3


−3 < x − 1 < 3
−2 < x < 4
 x − 1 − 3 < 0


⇔  x + 2 > 5
⇔  x > 3
⇔ 3< x < 4
Trường hợp 2: 
 x + 2 − 5 > 0
  x + 2 < −5
  x < −7


Câu 25: Bất phương trình: − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x có nghiệm là:
A. 3 < x ≤ 5 .
B. 2 < x ≤ 3 .
C. −5 < x ≤ −3 .
Hướng dẫn giải

Chọn A

D. −3 < x ≤ −2 .

Ta có − x 2 + 6 x − 5 > 8 − 2 x

 1 ≤ x ≤ 5

− x 2 + 6 x − 5 ≥ 0

1 ≤ x ≤ 5
 




  x>4
x
−
<
8
2
0


 x>4

⇔
⇔  x ≤ 4
⇔


8 − 2x ≥ 0

x
≤
4





 3 < x < 25
2
2
2
 − x + 6 x − 5 > ( 8 − 2 x )
x
x
−
+
−
>
5
38
69
0



 


3
⇔ 3 < x ≤ 5.
Câu 27: Bất phương trình:

2 x + 1 < 3 − x có nghiệm là:

 1

A.  − ; 4 − 2 2  .
 2


(

)

B. 3; 4 + 2 2 .

(

)

C. 4 − 2 2;3 .

(

)

D. 4 + 2 2; +∞ .

Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: 2 x + 1 < 3 − x
 2x +1 ≥ 0

⇔  3− x > 0

2
2 x + 1 < ( 3 − x )


1

 x≥−1
x≥−


2
2


1
x<3
⇔
⇔ − ≤ x < 4 − 2 2.
⇔
x<3
2


− x 2 + 8 x − 8 < 0

x
>
+
4
2
2



 x < 4 − 2 2
 

 2 x2 − x − 6 ≤ 0
là:
Câu 28: Nghiệm của hệ bất phương trình:  3
2
x + x − x −1 ≥ 0
A. –2 ≤ x ≤ 3 .
B. –1 ≤ x ≤ 3 .
C. 1 ≤ x ≤ 2 hoặc x = –1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

Ta có 2 x 2 − x − 6 ≤ 0 ⇔ −

D. 1 ≤ x ≤ 2 .

3

≤ x ≤ 2, ( I ) .
2

 x = −1
2
. ( II )
x 3 + x 2 − x − 1 ≥ 0 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − 1) ≥ 0 ⇔ ( x − 1)( x + 1) ≥ 0 ⇔ 
 x ≥1
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 9/18


Website: tailieumontoan.com

S [1; 2] ∪ {−1} .
Từ ( I ) và ( II ) suy ra nghiệm của hệ là=
Câu 29: Bất phương trình: x 4 − 2 x 2 − 3 ≤ x 2 − 5 có bao nhiêu nghiệm nghiệm nguyên?
A. 0.
C. 2.

B. 1.
D. Nhiều hơn 2 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải

Chọn A
Đặt =
t x2 ≥ 0
Ta có t 2 − 2t − 3 ≤ t − 5 .
t ≤ −1

thì ta có t 2 − 3t + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ t ≤ 2 loại
Nếu t 2 − 2t − 3 ≥ 0 ⇔ 
≥
t
3

 1 − 33
t ≤
2 loại.
2
2
Nếu t − 2t − 3 < 0 ⇔ −1 < t < 3 thì ta có −t + t + 8 ≤ 0 ⇔ 
 1 + 33
t ≥

2

Câu 30: Cho bất phương trình: x 2 − 2 x ≤ x − 2 + ax − 6 . Giá trị dương nhỏ nhất của a để bất phương
trình có nghiệm gần nhất với số nào sau đây:
A. 0,5.
B. 1,6.
C. 2,2.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Trường

hợp

1:

x ∈ [ 2; +∞ ) .

x 2 − ( a + 3) x + 8 ≤ 0 ⇔ a ≥ x +

x=2 2.
Trường hợp

2:

Khi

đó

bất

D. 2,6.

phương

trình

đã

cho

8
− 3 ≥ 4 2 − 3 ≈ 2, 65 ∀x ∈ [ 2; +∞ ) , dấu " = "
x

x ∈ ( −∞; 2 ) .

Khi

đó

bất

4

a ≥ x + − 1 khi x ∈ ( 0; 2 )

x
x 2 − ( a + 1) x + 4 ≤ 0 ⇔ 
 a ≤ x + 4 − 1 khi x ∈ ( −∞;0 )

x
đẳng thức cauchy).

phương

(1)
( 2)

trình

đã

cho

trở

thành

xảy ra khi

trở

thành

. Giải (1) ta được a > 3 (theo bất

4
4
− 1 ⇔ a ≤ −2 x. − 1 = −5 .
x
x
Vậy giá trị dương nhỏ nhất của a gần với số 2, 6 .

Giải ( 2 ) : a ≤ x +

Câu 31:

Số nghiệm của phương trình:
A. 0.
B. 1.

x + 8 − 2 x + 7 =2 − x + 1 − x + 7 là:

C. 2.
Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn B
Điều kiện x ≥ −7 .

t
Đặt=
Ta có

x + 7 , điều kiện t ≥ 0 .
t 2 + 1 − 2t = 2 − t 2 − 6 − t ⇔ t − 1 = 2 − t 2 − t − 6

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 10/18


Website: tailieumontoan.com
Nếu t ≥ 1 thì ta có 3 − =
t

t 2 − t − 6 = 9 − 6t + t 2
3⇔x=
⇔t=
3 ⇔ x+7 =
2
t2 − t − 6 ⇔ 
t ≤ 3

t
Nếu t < 1 thì ta có 1 + =

t 2 − t − 6 = 1 + 2t + t 2
7
t2 − t − 6 ⇔ 
⇔ t =− ( l ) .
3
t ≥ −1

(

Câu 32: Nghiệm của bất phương trình: x 2 + x − 2

)

2 x 2 − 1 < 0 là:

 5 − 13 
A. 1;
 ∪ ( 2; +∞ ) .
2 


9

B. −4; −5; −  .
2



2  2 
C.  −2; −
;1 .
 ∪ 
2
2

 


 17 
D. ( −∞; −5] ∪ 5;  ∪ {3} .
 5
Hướng dẫn giải

Chọn C

(x

2

+ x − 2)


2
 x < −
2
2 x 2 − 1 > 0


2  2 
 
2
⇔ 
2x −1 < 0 ⇔  2
;1 .
∪
2 ⇔ x ∈  −2; −
2   2 
 x + x − 2 < 0

 x >
2

−2 < x < 1

Câu 33: Bất phương trình

2 x2 − x −1
≤ −2 x 2 + x + 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên?
x +1 − 2x

A. 1.
C. 3.

B. 2.
D. Nhiều hơn 3 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải

Chọn B

• Nếu x ≥ −1 thì
⇔

2x2 − x −1
2x2 − x −1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔
≤ −2 x 2 + x + 1
x +1 − 2x
1− x

2 x 2 − x − 1 − (1 − x ) ( −2 x 2 + x + 1)
1− x

≤0 ⇔

2 x 2 − x − 1 − ( −2 x 2 + x + 1 + 2 x 3 − x 2 − x )

x ( −2 x 2 + 5 x − 1)
−2 x 3 + 5 x 2 − x
≤0
⇔
≤0 ⇔
1− x
1− x

1− x

≤0



5 + 17
x =
4
Cho x = 0 ; −2 x 2 + 5 x − 1 =0 ⇔ 
; x −1 = 0 ⇔ x = 1

5 − 17
x =
4

5 − 17
5 + 17
.
∨1 < x ≤
4
4
Vì là nghiệm ngun nên có nghiệm là 0; 2

Lập bảng xét dấu ta có: 0 ≤ x ≤

•

Nếu x < −1 thì

2x2 − x −1
2x2 − x −1
≤ −2 x 2 + x + 1 ⇔
≤ −2 x 2 + x + 1
x +1 − 2x
−1 − 3 x

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 11/18


Website: tailieumontoan.com
⇔

2 x 2 − x − 1 − ( −1 − 3 x ) ( −2 x 2 + x + 1)
−1 − 3 x

≤0 ⇔

2 x 2 − x − 1 − ( 2 x 2 − x − 1 + 6 x3 − 3x 2 − 3x )

x ( −6 x 2 + x + 3)
−6 x3 + x 2 + 3 x
≤0
⇔
≤0 ⇔
−1 − 3 x
−1 − 3 x

−1 − 3 x

≤0


1 + 73

x =
1
12
; −3 x − 1 =0 ⇔ x =
Cho x = 0 ; −6 x 2 + x + 3 =
0⇔
−
3

1 − 73
x =

12
1 − 73
1
1 + 73
.
≤ x< − ∨0≤ x≤
12
3
12
Vì là nghiệm nguyên nên có nghiệm là 0 (loại)
Vậy bất phương trình đã cho có 2 nghiệm ngun.

Lập bảng xét dấu ta có:

 x2 −1 ≤ 0
Câu 34: Hệ bất phương trình 
có nghiệm khi
x

−
m
>
0

A. m > 1 .
B. m = 1 .
C. m < 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C

D. m ≠ 1 .

 x2 − 1 ≤ 0
−1 ≤ x ≤ 1
⇔
Ta có: 
.
x > m
x − m > 0
Do đó hệ có nghiệm khi m < 1 .
Câu 35: Xác định m để phương trình ( x − 1)  x 2 + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  =
0 có ba nghiệm phân biệt lớn
hơn –1.
7
A. m < − .
2
7
16
C. − < m < −1 và m ≠ − .

2
9

16
.
9
7
19
D. − < m < −3 và m ≠ − .
2
6
Hướng dẫn giải

B. −2 < m < 1 và m ≠ −

Chọn D

x = 1
Ta có ( x − 1)  x 2 + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  =
.
0⇔ 2
x
2
m
3
x
4
m
12
0

*
+
+
+
+
=
(
)
(
)

Giải sử phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 , theo Vi-et ta có
 x1 + x2 =
−2 ( m + 3)
.

x2 4m + 12
 x1.=

Để phương trình ( x − 1)  x 2 + 2 ( m + 3) x + 4m + 12  =
0 có ba nghiệm phân biệt lớn hơn –1 . thì
phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 1 và đều lớn hơn −1 .

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 12/18


Website: tailieumontoan.com
 m 2 + 2m − 3 > 0

( m + 3)2 − ( 4m + 12 ) > 0


 ∆′ > 0
19

6m + 19 ≠ 0
m ≠ −

6
⇔ 1 + 2 ( m + 3) + 4m + 12 ≠ 0 ⇔ 
⇔
( x1 + 1) + ( x2 + 1) > 0
 x > x > −1
−2 ( m + 3) + 2 > 0
 2
1
 x +1 x +1 > 0

( 1 )( 2 )
4m + 12 − 2 ( m + 3) + 1 > 0
m > 1

  m < −3
 7

19
− 2 < m < −3
m ≠ −
⇔

.
6 ⇔
m < −2
m ≠ − 19


6

7
m > −

2

Câu 36: Phương trình

( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m2 + 4m − 5 =0 có

đúng hai nghiệm

x1 , x2

thoả

2 < x1 < x2 . Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
A. −2 < m < −1 .

B. m > 1 .

C. −5 < m < −3 .
Hướng dẫn giải

D. −2 < m < 1 .

Chọn A

0 có có đúng hai nghiệm x1 , x2 thoả
Để phương trình ( m + 1) x 2 − 2 ( m − 1) x + m 2 + 4m − 5 =

2 < x1 < x2 .
( m − 1)2 − ( m + 1) ( m 2 + 4m − 5 ) > 0

 ∆′ > 0
m ≠ −1

⇔ m + 1 ≠ 0 ⇔ 
.Theo Vi-et ta có
2
2
0
x
x
−
+
−
>
(
)
(
)
x > x > 2

 1
2
1
 2

( x1 − 2 )( x2 − 2 ) > 0

2 ( m − 1)

 x1 + x2 =
m +1
.

2
4
5
m
m
+
−
 x .x =
 1 2
m +1

( m − 1) ( −m 2 − 5m − 6 ) > 0
  −2 < m < 1


m
≠

−
1

  m < −3

−
2
m
1
(
)
⇒
⇔ −2 < m < −1 .
⇔ m ≠ −1
−4>0
 m +1
−3 < m < −1
 2

 m + 4m − 5 − 2. 2 ( m − 1) + 4 > 0
m > −3
m +1
 m + 1
Câu 37: Nghiệm dương nhỏ nhất của bất phương trình x 2  4 x  5  2 x  9  x 2  x  5 gần nhất với
số nào sau đây
A. 2,8 .

B. 3 .

C. 3,5 .

D. 4,5 .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Lập bảng phá dấu giá trị tuyệt đối giải BPT trên ta được tập nghiệm là
 x = −1

vậy nghiệm dương nhỏ nhất là x = 4,5 , đáp án D
x ≥ 9

2
1
1
Câu 38: Tìm m để 4 x − 2m − > − x 2 + 2 x + − m với mọi x ?
2
2
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 13/18


Website: tailieumontoan.com
B. m <

A. m > 3 .
C. m >

3
.

2

3
.
2

D. −2 < m < 3
Hướng dẫn giải

Chọn C
Ta thấy để 4 x − 2m −
Hay − x 2 + 2 x +

1
1
1
> − x 2 + 2 x + − m đúng với mọi x thì − x 2 + 2 x + − m < 0, ∀x ∈ 
2
2
2

1
1
3
< m, ∀x ∈  ⇔ 1 + − m < 0 ⇔ m > .
2
2
2

Câu 39: Cho bất phương trình: x 2 + x + a + x 2 − x + a ≤ 2 x ( 1). Khi đókhẳng định nào sau đây đúng

nhất?
1
.
4
C. ( 1) có nghiệm lớn hơn 1 khi a < 0 .

A. (1) có nghiệm khi a ≤

B. Mọi nghiệm của( 1) đều không âm.
D. Tất cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải

Chọn D
2

2

1 
1 
1 
1

Ta có x + x + a + x − x + a ≤ 2 x ⇔  x +  +  a −  +  x −  +  a −  ≤ 2 x
2 
4 
2 
4

2

2

Do vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng 0 nên để BPT có nghiệm thì 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 nên B đúng.
1
1
Với a > BPT ⇔ 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0 vơ nghiệm hay BPT có nghiệm khi a ≤
nên A đúng.
4
4
Khi a < 0 ta có x 2 + x + a= 0, x 2 − x + a= 0 có 4 nghiệm xếp thứ tự x1 < x2 < x3 < x4
Với x > x4 hoặc x < x1 ta có BPT: 2 x 2 − 2 x + 2a ≤ 0

1; x1 x2 < 0
Có nghiệm x1 < x < x2 và x1 + x=
2
Nên tồn tại nghiệm lớn hơn 1 vậy C đúng
Câu 40: Cho bất phương trình: x 2 + 2 x + m + 2mx + 3m 2 − 3m + 1 < 0 . Để bất phương trình có nghiệm,
các giá trị thích hợp của tham số m là:.
1
1
1
A. −1 < m < − .
B. −1 < m < .
C. − < m < 1 .
2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D

D.

1
< m < 1.
2

Ta có: x 2 + 2 x + m + 2mx + 3m 2 − 3m + 1 < 0 ⇔ ( x + m ) + 2 x + m + 2m 2 − 3m + 1 < 0
2

⇔ ( x + m + 1) < −2m 2 + 3m có nghiệm khi và chỉ khi −2m 2 + 3m > 1 ⇔
2

Câu 42: Tìm a để bất phương trình x 2 + 4 x ≤ a ( x + 2 + 1) có nghiệm?
A. Với mọi a .

B. Khơng có a .
C. a ≥ −4 .
Hướng dẫn giải

1
< m <1
2

D. a ≤ −4 .

Chọn A
Ta có: a + 1

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 14/18


Website: tailieumontoan.com
x 2 + 4 x ≤ a ( x + 2 + 1) ⇔ ( x + 2 ) − a x + 2 − a − 4 ≤ 0
2

⇔ ( x + 2) − a x + 2 +
2

2

a  a2
a2 a2

+a+4
≤
+a+4 ⇔ x+2 −  ≤
4
4
2
4


a2
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi + a + 4 ≥ 0 luôn đúng với ∀a .
4

Câu 43: Để bất phương trình
thỏa điều kiện:

A. a ≥ 3 .

( x + 5)(3 − x) ≤ x 2 + 2 x + a nghiệm đúng ∀x ∈ [ −5;3] , tham số a phải
B. a ≥ 4 .

C. a ≥ 5 .
Hướng dẫn giải

D. a ≥ 6 .

Chọn C

( x + 5)( 3 − x ) ≤ x 2 + 2 x + a ⇔

− x 2 − 2 x + 15 − x 2 − 2 x ≤ a

Đặt t = − x 2 − 2 x + 15 , ta có bảng biến thiên
x
−5
−1
16
2
− x − 2 x + 15
0

3

0

Suy ra t ∈ [ 0; 4] .Bất phương trình đã cho thành t + t − 15 ≤ a .

2

Xét hàm f ( t ) = t 2 + t − 15 với t ∈ [ 0; 4] .
Ta có bảng biến thiên
t

0

4

5

f (t )

−15
Bất phương trình t + t − 15 ≤ a nghiệm đúng ∀t ∈ [ 0; 4] khi và chỉ khi a ≥ 5.
2

x vô nghiệm?
Câu 44: Với giá trị nào của m thìphương trình x 2 − 2m + 2 x 2 − 1 =
2
2
2
A. m ≤ .
B. m < 0 hoặc m > . C. 0 ≤ m ≤ .
D. m = 0 .
3
3
3
Hướng dẫn giải

Chọn B
Điều

kiện

 x 2 − 2m ≥ 0
 x 2 − 2m ≥ 0

.
⇔
 2
x
;
1
1;
∈
−∞
−
∪
+∞
(
)
]
[
 x − 1 ≥ 0



Phương

x 2 − 2m =−
x 2 x 2 − 1 ⇔ x 2 − 2m =
−3 x 2 + 4 ⇔ 2 ( x 2 − 1) =
m (1)

trình

trở

thành
với

 2 3
  2 3
x ∈ −
; −1 ∪ 1;
 . Phương trình đã cho vơ nghiệm khi phương trình (1) vô nghiệm
3
3

 

2
khi m < 0 hoặc m > .
3

x 2 − 3x − 4 ≤ 0

Câu 45: Cho hệ bất phương trình  3
2

 x − 3 x x − m + 6m ≥ 0
Để hệ có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 15/18


Website: tailieumontoan.com
A. 2 ≤ m ≤ 8 .

B. –8 ≤ m ≤ 2 .
C. –2 ≤ m ≤ 8 .
Hướng dẫn giải

D. –8 ≤ m ≤ –2 .

Chọn C
Ta có x 2 − 3 x − 4 ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4 .
Trường

hợp

1:

x ∈ [ 0; 4] ,

bất

x 3 − 3 x 2 − m 2 + 6m ≥ 0 ⇔ m 2 − 6m ≤ x 3 − 3 x 2 ,

phương
mà

trình

hai

trở

x 3 − 3 x 2 ≤ 16 ∀x ∈ [ 0; 4]

thành
suy

ra

⇔ m 2 − 6m ≤ 16 ⇔ −2 ≤ m ≤ 8 .

Trường

hợp

2:

x ∈ [ −1;0 ) ,

bất

x 3 + 3 x 2 − m 2 + 6m ≥ 0 ⇔ m 2 − 6m ≤ x 3 + 3 x 2 ,

phương
mà

trình

hai

x3 − 3 x 2 ≤ 2 ∀x ∈ [ −1;0 )

trở

thành
suy

ra

⇔ m 2 − 6m ≤ 2 ⇔ 3 − 11 ≤ m ≤ 3 + 11 .
Vậy –2 ≤ m ≤ 8  thì hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 46:

2
 x − 5 x + 4 ≤ 0
có tập nghiệm biểu diễn trên trục số có độ
Hệ bất phương trình:  2
2
2
 x − (m + 3) x + 2(m + 1) ≤ 0

dài bằng 1, với giá trị của m là:

A. m = 0 .

B. m = 2 .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải

C. m = − 2 .
Chọn D

2

1 ≤ x ≤ 4
 x − 5x + 4 ≤ 0
Thay m = 0 vào ta có  2
⇔ 1 ≤ x ≤ 2 . A đúng
⇔
1
≤
x
≤
2
−
+
≤
x
x
3
2
0




2

 x − 5x + 4 ≤ 0
Thay m = 2 vào ta có  2
⇔

 x − 5x + 6 ≤ 0
Tương tự C đúng.

1 ≤ x ≤ 4
⇔ 2 ≤ x ≤ 4 . B đúng

2 ≤ x ≤ 3

Câu 47: Để phương trình: x + 3 ( x − 2) + m − 1 =0 có đúng một nghiệm, các giá trị của tham số m là:
21
B. m < –  hoặc m > 1 .
4
29
D. m < –  hoăc m > 1 .
4
Hướng dẫn giải

29
.
4
21
C. m < –1 hoặc m > .

4

A. m < 1 hoặc m >

Chọn A

0⇔m=
1 − x + 3 ( x − 2)
Ta có x + 3 ( x − 2 ) + m − 1 =
Xét hàm số y =1 − x + 3 ( x − 2)

− x 2 − x + 7 khi x ≥ −3
Ta có y =  2
 x + x − 5 khi x < −3
Bảng biến thiên của y =1 − x + 3 ( x − 2)
x

−∞

y

+∞

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

−3

−

1

2

+∞

Trang 16/18


Website: tailieumontoan.com
29
4
1

−∞
m < 1
Dựa vào bảng trên phương trình có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi 
 m > 29
4

Câu 48:

0 có ba nghiệm phân biệt, giá trị thích hợp của tham số m là:
Phương trình x − 2 ( x + 1) + m =
A. 0 < m <

9
.
4

9
< m < 0.

4
Hướng dẫn giải

B. 1 < m < 2 .

D. –2 < m < 1 .

C. –

Chọn C

0
Xét x − 2 ( x + 1) + m =

(1)

Với x ≥ 2 , ta có: (1) ⇔ ( x − 2 )( x + 1) + m =0 ⇔ m =− x 2 + x + 2
Với x < 2 , ta có: (1) ⇔ − ( x − 2 )( x + 1) + m = 0 ⇔ m = x 2 − x − 2
2

− x + x + 2 khi x ≥ 2
Đặt f ( x ) =  2

 x − x − 2 khi x < 2
Bảng biến thiên:

x

1
2

−∞

2

+∞

+∞

0

f ( x)

9
−
4

−∞
Dựa vào bảng biến thiên ta có −

9
< m < 0.
4

Câu 49: Để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 10 x − 2 x 2 − 8 = x 2 − 5 x + a . Giá trị của tham số a
là:
A. a = 1 .

 45 
C. a ∈  4;  .

 4
Hướng dẫn giải

B. a ∈ (1; 10 ) .

D. 4 < a <

43
.
4

Chọn D
Xét phương trình: 10 x − 2 x 2 − 8 = x 2 − 5 x + a

(1)

⇔ a= 10 x − 2 x 2 − 8 − x 2 + 5 x

Xét f ( x )= 10 x − 2 x 2 − 8 − x 2 + 5 x
2
2

khi 10 x − 2 x 2 − 8 ≥ 0
(10 x − 2 x − 8 ) − x + 5 x
=
2
2
2
− (10 x − 2 x − 8 ) − x + 5 x khi 10 x − 2 x − 8 < 0

−3 x 2 + 15 x − 8 khi 1 ≤ x ≤ 4

= 2
khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 4

 x − 5x + 8
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

Trang 17/18


Website: tailieumontoan.com
Bảng biến thiên:
x

−∞

5
2

1

4

+∞

+∞
+∞

43

4

f ( x)
4

4

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ 4 < a <

43
.
4

Câu 50: Để phương trình sau cónghiệm duy nhất: 2 x 2 − 3 x − 2 = 5a − 8 x − x 2 , Giá trị của tham số a là:
A. a = 15 .

B. a = –12 .

C. a = −

56
.
79

D. a = −

49
.
60

Hướng dẫn giải
Chọn A
Xét phương trình: 2 x 2 − 3 x − 2 = 5a − 8 x − x 2

(1)

( 2 x 2 − 3 x − 2 ) + 8 x + x 2 khi 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
⇔=
5a f ( x )= 
2
2
2
−2 x + 3 x + 2 + 8 x + x khi 2 x − 3 x − 2 < 0
3 x 2 + 5 x − 2 khi 2 x 2 − 3 x − 2 ≥ 0
= 2
2
− x + 11x + 2 khi 2 x − 3 x − 2 < 0
Bảng biến thiên:
5
1
−
−
x
−∞
2
2
6
+∞
f ( x)
−

+∞

+∞

49
12

Dựa vào bảng biến thiên ta có: phương trình (1) có nghiệp duy nhất 5a =
−

Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038

49
−49
⇔a= .
12
60

Trang 18/18