Chương IV. §8. Hàm số liên tục

§3:Hàm số liên tục


Ví dụ 1
 Cho

hàm số f(x) = x2
Tính giá trị của mỗi hàm số tại x=1 và so
sánh với giới hạn của hàm số đó khi x


Giải:
f(x)=x2 có TXĐ: D=R
Ta có: f(1)=12 =1;

lim f  x  limx 2 1
x 1

x 1

Vậy f(1)= lim f  x  =1
x 1

Hàm số: f(x) có :
f  x
f(1)= lim
x 1
Ta gọi f(x) là hàm số liên
tục tại điểm x=1.

I.Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa:
 Giả

sử hàm số f xác định trên khoảng (a;b) và
x 0   a;b  . Hàm số f được gọi là liên tục tại
điểmx 0 nếu:
lim f  x  f  x 0 

x  x0

 Hàm

số không liên tục tại điểm x 0 được gọi
là gián đoạn tại x 0 .


Các bước để xác định tính liên tục của
hàm số tại 1 điểm.
 Bước

1:Tìm tập xác định

 Bước

2:Tính f  x 0 

 Bước

3: Tính

lim f  x 

x  x0

 Bước

4 :So sánh: f  x 0  và lim f  x  .
x  x0


Ví dụ 2:

 Xét tính liên tục của hàm số : h(x)=
tại x0=3.



Giải:

y

Tập xác định:
 h(x )=h(3)= 3
0


==3
 Ta có h(3)=
 Vậy hàm số liên tục tại x=3.


0

3

x


Ví dụ 3
   tính lên tục của hàm số sau tại điểm x=0.
Xét

Giải


Tập xác định D =

1

f  x   x

0


f  x0  f  0  0
1

limf  x  lim
x 0 x
x 0


Do đó hàm số gián đoạn tại 0

víi x 0
víi x = 0


Ví dụ 4:
 Xét

tính liên tục của hàm số

x 2  1 víi x  -1

f  x   1
víi x = -1

 2
tại điểm x = -1.
Giải
1
2
f

1


f  x   lim  x  1 2 và  
Ta có: xlim
1
x  1
2
Vì xlim
f  x  f   1 nên hàm số gián đoạn tại điểm
1
x  1


Hàm số gián đoạn tại
x0
khi:


 



x0  K

limf  x 

x  x0

 lim f  x  f  x 
 x  x0

Để xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x0 ta thực hiện các bước
sau:
x0 không thuộc TXĐ

Bước 1

Hàm số khơng
liên tục tại x0

Tập xác định
x0 thuộc TXĐ

Bước 2

Tính f(x0)
Bước 3

Bước 4
 Hàm số
liên tục
tại

Tính

So sánh f(x0) và
f  x
Nếu f  x0  xlim
 x0

 

 

f x
Nếu f x0 xlim
x
0


II. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên
một đoạn.
 

Định nghĩa:
a) Hàm số f xác định trên tập J, trong đó J là một
khoảng hoặc hợp của nhiều khoảng. Ta nói hàm số f
liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc tập
hợp đó.
b) Hàm số y=f(x) được gọi là liên tục trên một đoạn
nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và
và


Ví dụ 5: Xét tính liên tục của hàm số f  x   1  x2
trên đoạn   1;1


Giải

Hàm số đã cho xác định trên đoạn

Vì với mọi x0    1;1 , ta có:

.

limf  x   lim 1  x 2  1  x 02 f  x 0 
x  x0

x  x0

nên hàm số f liên tục trên khoảng
Ngoài ra, ta có:
2

  1;1.

lim f  x   lim  1  x 0 f   1

x  (  1)

và

x    1

lim f  x  lim 1  x 2 0 f  1

x 1

x 1

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên đoạn

.


 

2, Chú ý
Khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như
(a;ba;,… được định nghĩa một cách tương tự.
-Hàm số liên tục trên nửa đoạn (a;blà hàm số
liên tục trên đoạn (a,b) và


y

O

Hình 1. Hàm số liên
tục trên khoảng
(a,b)

x

Hình 2. Hàm số không
liên tục trên khoảng
(a,b)


-Nhận xét:
1) 

Đồ thị hàm số liên tục trên một khoảng hoặc trên một đoạn
là một đường “liền nét”.
Hàm số không liên tục đồ thị của nó khơng phải là một
đường liền nét.
 2) Giả sử y=f(x) và y=g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x .
0
Khi đó:
a, Các hàm số y=f(x)+g(x), y=f(x)-g(x) và y= f(x)g(x)
liên tục tại x0
b, Hàm số y = liên tục tại x0 nếu g(x0)
3) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ ( thương của hai đa
thức ) liên tục trên tập xác định của chúng.


Định lí 1:
 

Các hàm số lượng giác y = ,
y = , y = y = liên tục trên tập xác
định của chúng.



3. Tính chất của hàm số liên tục


Định
lí 2: ( Định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục ).
 

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn  a;b  .
Nếu f  a  f  b  thì với mỗi số thực M nằm giữa
f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c (a;b) sao cho f(c) = M.

Ý nghĩa hình học của định lí:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn
[a;b] và số thực M nằm giữa f(a) và
f(b) thì đường thẳng y = M cắt đồ thị
của hàm số y= f(x) ít nhất tại một
điểm c  (a;b) sao cho f(c) = M.

M


HỆ QUẢ :



Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Nếu f(a)f(b) < 0,
thì tồn tại ít nhất một điểm c  (a;b) sao cho f(c) = 0.

 

y

Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
đoạn [a;b] và f(a)f(b) < 0, thì đồ
thị của hàm số y = f(x) cắt trục
hồnh ít nhất tại một điểm có

hồnh độ c (a;b).

f(b)
a
0

b
f(a)

x