Chuong I 8 Rut gon bieu thuc chua can thuc bac hai

1, KiÕn thøc 6, 7, 8 quan träng cÇn nhí.

A.M A
= (M ≠ 0 , B ≠ 0)
B.M B

a, TÝnh chất về phân số (phân thức):
b, Các hằng đẳng thức ®¸ng nhí:
+) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
+) (A - B)2 = A2 - 2AB + B2
+)
+)

A2 - B2 = (A - B)(A + B)
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3

+)
+)

(A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3
A3 + B3 =(A + B)(A2 - AB + B2)

+)

A3 - B3 =(A - B)(A2 + AB + B2)

2, C¸c kiÕn thøc vỊ căn bậc hai

a

1) Nếu a 0, x 0,

2)Để

có nghÜa th× A ≥ 0

√A
)
3
4)

√ A 2=| A|

5)

√

6)
7)

9)
10)

11)

= x  x2 = a

√ AB=√ A . √ B ( víi A 0 vµ B
A √ A ( víi A
0 vµ B > 0 )
=
B √B

√ A 2 B=|A|√ B (víi B 0 )
0 vµ B
A √ B=√ A 2 B ( víi A
A √ B=− √ A 2 B ( víi A < 0 vµ B
A √ AB ( víi AB
0 vµ B
=

√

B
|B|
A A √ B ( víi B > 0 )
=
√B B
C
C ( A B )

A  B 2 ( Víi A
A B

0)

0)
0)
0)

0 vµ A

C

C( A  B )

A B
A B
( víi A

12)
II. CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN:
1. Rót gọn các biểu thức không chứa biến
1.1/Rút gọn nhờ sử dụng hằng đẳng thức

B2 )

0, B

0 và A





B)

A 2=| A|

*)VÝ dơ 1: Rót gän:
2

−3 ¿
¿

2
a) −8 ¿
;
¿
¿
√¿

b)

1− √ 2¿2
¿
2
c) 1+ √ 2 ¿
¿
¿
√¿

3 − √ 5 ¿2
¿
√¿

√ 5− 3 ¿2
¿

d)

2 − √ 5 ¿2
¿
¿
√¿

Gi¶i:
a)
b)
c)

( 3) 2  ( 8)2   3   8 3  8 11

(3 

5) 2  3 

(1 

2) 2 

5 3 

5

(1  2)2 1 



2  1  2   1  2  1  2  1  2  1 

2  2


d)

( 5  3) 2  (2 

5) 2  5  3  2 

5  5  3  2  5 1

*)VÝ dơ 2: Rót gän :
a) A=

√ 4 − 2√ 3

c) C =

√ 7− 4 √3

√ 7+4 √3

+

b) B =

√ 14+8 √ 3 .(2 √2 − √ 6)

d) D =

√ 5− 2 √7 −2 √ 6

;

Gi¶i:

√ 3 −1 ¿2

a)

A=

b) B =

¿
¿
3−
2
√
√3+1=√ ¿

√ 14+8 √ 3 .(2 √2 − √ 6)

=

√ 14+2 √ 48(2 √ 2− √6)

=

√ 8+2 √8 . √ 6+6 .(√ 8 − √6)

√ 8+√ 6 ¿2
¿
¿

√¿

=

2

c) C =

√ 7− 4 √3
√3

= 2d) D =

√ 7+4 √3

+

√3

+2+

2− √3 ¿
¿
2+ √ 3 ¿2
=
¿
¿
√ 7− 2. 2 √3+ √7 − 2. 2 √3=√ ¿

=4

√ 5− 2 √7 −2 √ 6

 5  2 6  2 6  1  5  2 ( 6  1) 2
 5  2( 6  1)  7  2 6

√ 6 −1 ¿2
¿
¿
√¿

=

*)VÝ dơ 3: Rót gän

A=

√ 2− 3+ 2+ 3

Giải:

Cách1:

2 A=

4 2 3 4 2 3  3  2 3  1  3  2 3 1 

 3  1  3  1  3  1  3  1 2 3
Suy ra A =

√6

C¸ch 2: Ta cã: A2 =
Do A > 0 nªn A =

2− √ 3+2 √ 4 −3+2+ √3=6

√6

*)Bµi tËp:

a)
Bµi 1: TÝnh:
Bµi 2: TÝnh:

1 3 

2



3

b)

 2  3

2



1 3 

2

a ¿ √ 8 −2 √7 b ¿ √ 4 − √ 7 − √ 4 + √ 7 c ¿ √ 3 − √ 5+ √ 3+ √ 5





2

31 





3 1

2


Bµi 3: Rót gän A =

√ √3 − √1 − √ 21 −12 √3

Bài 4: Rót gän A =

√ 6+2 √3+ 2 √ 2+2 √6

1.2/ Rót gän vËn dơng c¸c quy tắc khai phơng, nhân chia các căn bậc hai:
*)Ví dô 1:TÝnh
a)

√ 14 . √56

a)

√ 14 . √56

b)

√ √

b)

1
3
3 . 3 . √ 12
2
7

√ √

c)

4

7. 4 7

Gi¶i:
=

√ 14 .56=√ 14 .14 . 4=√ 14 2 . 4= √14 2 . √ 4=14 . 2=28

1
3
7 24
7 24
3 . 3 . √ 12= .
. √12= . . 12=√ 122=12
2
7
2
7
2 7

4

√ √

4 7 4 7 

7. 4 7 

c)
*)VÝ dơ 2: Rót gän:

√

a ) 5  20 

16  7  9 3

80 b ) 3  12  3 2. 24

Gi¶i:

a ) 5  20 

80  5  2 5  4 5 (1  2  4) 5  5

b) 3  12  3 2. 24  3  2 3  3.2.2. 3 (1  2  12) 3 15 3
*) Bµi tËp:

√ 12. √75

Bµi 1: TÝnh: a)

7
24 36
2 . 1 .
9
25 25

√ √ √

12  5 3 

48

b)

2 32  4 8  5 18

c)

c)

√ 0 , 04 .25 ; d ¿ √ 90 .6,4

9  17 . 9  17

e)
Bµi 2: Rót gän:
a)

b)

5 5  20  3 45
d)

3 12  4 27  5 48

e) 12  75  27
f) 2 18  7 2 162
1.3/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu vận dụng trục căn thức ở mẫu bằng ph ơng pháp nhân liên hợp.
*)Ví dụ 1: Trục căn ở mẫu các biểu thức sau

1
3 2

a)

b)

1
2+ 3

c)

1
1 − √2

d)

1
1
−
1 − √ 3 1+ √ 3

Gi¶i:

1
3 2
3 2



1;
3 2
3  2 ( 3  2)( 3  2)

a)
b)
c)

d)

1
2
1
1

3



2 3
2  3
4 3

1 2

 (1  2)
1 2
2

1

1
−
1 − √ 3 1+ √ 3

=

1+ √ 3
1− √ 3
1+ 3 1 − √3 1+ √ 3−(1 − √ 3)
−
= √ −
=
1 −3
−2
(1− √ 3)(1+ √3) (1+ √ 3)(1 − √3) 1− 3


1+ √ 3 −1+ √ 3 2 √ 3
=
=− √ 3
2
2

=

7
*)Ví dụ 2: Trục căn ở mẫu: a) 5 3 2

b)

11
2 3 1

Gi¶i:













7 53 2
7 53 2
7


5  3 2
25  18
5  3 2 (5  3 2) 5  3 2



a)







11 2 3  1
11 2 3  1
11


2 3  1
12  1
2 3  1 (2 3  1) 2 3  1



b)



*)VÝ dô 3: Rót gän:
A=

(

2
2
2+ √3
−

−4 :
√ 5 − √3 √ 5+ √ 3
3 2

)

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thức sau:

1
a)

2

3



1

1 2

3
b)

2

3 1

3

2
3 1

1
1


2 3
3 4

3 1  1

c)

1
1


4 5
5 6

3



3 1 1
1
1

6 7
7 8

d)
1.4/ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ở mẫu nhờ phân tích thành nhân tư:
*) VÝ dơ 1: Rót gän c¸c biĨu thøc:

3 3
a) 3  1

3  6 2 8

1 2
b) 1  2


3 3  
3 3 
 2 
 .  2 

3 1  
3  1 

c)

5  7 5 11  11

5
1  11

d)

Gi¶i:





3 31
3 3

 3
31
a) 3  1



 



3 1 2 2 1 2
3 6 2 8



 3 2
1

2

1

2
1

2
1

2
b)



c)

   2  3 


3 3 1

3 3  
3 3  
 2 
 .  2 
  2 
3 1  
3 1 
3 1







 2 3 . 2
5
5  7 5 11 11


5
1 11
d)



5 7
5

*)Bài tâp: Rút gọn các biểu thøc sau:








3 1 


31 




3 4  3 1
11





11 1

11  1

5  7  11

1
8 9


15  12
5 2
a)

5  5 10

5


1
5
b)

 5 5   5 5 
 1 
 .  1 

5

1
5  1 
 
c) 

2 3 2 5 5

2
1 5
d)

2. Rút gọn các biểu thức chứa biến và các bài toán phu
2.1/CC BC THC HIấN PHN RT GN:
Bớc: Tìm ĐKXĐ ca biu thc (Nếu bài toán cha cho)(Phân tích mu thành nhân t, tìm điều kiện để căn có nghĩa, các nhân tử ở mẫu
khác 0 và phần chia khác 0)
Bíc :Ph©n tÝch tử và mẫu thành nh©n tử (rồi rút gn nu đợc).
Bớc :Quy ng, gm các bc:
+ Chn mu chung : là tích củc nhân t chung và riêng, mi nhân t ly s m ln nht.
+ Tìm nh©n tử phụ: lấy mẫu chung chia cho từng mẫu để được nh©n tử phụ tương ứng.
+ Nh©n nh©n tử phụ với tử – Giữ nguyªn mẫu chung.

Bíc : Bỏ ngoặc: bng cách nhân a thc hoc dùng hằng ng thc.
Bớc : Thu gn: là cng tr các hng t ng dng.
Bớc : Phân tích t thành nhân t (mu gi nguyên).
Bớc :Rút gn.
Lu ý: Bài toán rút gọn tổng hợp thờng có các bài toán phụ: tính giá trị biểu thức khi cho giá trị của ẩn; tìm điều kiện của biến để biểu thức
lớn hơn (nhỏ hơn) một số nào đó; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức...Do vậy ta
phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại toán.
2.2/ Các ví dụ về bài tập rút gọn tổng hợp:

*)Ví dụ 1: Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn A

a a
  a 2 a

A 
 1 : 
 1
 a  1   a 2


a 0
a 0


 a 1 0 a 1
Bài giải: ĐKXĐ:
Ta cã:

 a  a   a  2 a   a ( a  1)   a ( a  2) 

A 
 1 : 
 1 
 1 : 
 1
a

1
a

2
a

1
a

2

 
 
 


( a  1) : ( a  1)
a 1
a1

VËy A =
b) T×m a để A = 5 (Dạng bài toán phụ thứ nhất).
Phơng pháp: Thay A bởi biểu thức vừa rút gọn đợc vào và giải phơng trình:

a 1
5

a1


a 1 5( a  1) 

a  1 5 a  5  4 a 6

3
9
a   a
2
4 (TM§K)

9
VËy víi a = 4 thì A = 5.
c) Tính giá trị của A khi a = 3 + 2 2 (Dạng bài toán phụ thứ hai).
Phơng pháp: Thay giá trị của biến vào biểu thức vừa rút gọn đợc rồi thực hiện các phép tính (Lu ý: Có thể tính giá trị

a råi thay vµo).


Ta cã:

a 2  2 2  1 ( 2) 2  2. 2.1  12 ( 2 1) 2
a  2 1  2 1

Suy ra

. Do ®ã thay vào biểu thức A ta đợc:

2 1 1
2 2

1 2
2 1 1
2

A=
d) Tìm giá trị a nguyên để A nhận giá trị nguyên (Dạng bài toán phụ thứ ba).
Phơng pháp: Chia tử cho mẫu, tìm a để mẫu là ớc của phần d (một số), chú ý điều kiện xác định.

Ta có: A =

a 1
a 1 =1+

Để A nguyên thì

2
a1

2
a 1 nguyên, suy ra

a 1 lµ íc cđa 2

a  1  1

 a 0
  a 4
a  1 2
 a 9
a  1  2
a  1 1

(TM§K).
VËy a = 0; 4; 9 thì A có giá trị nguyên.
e) Tìm a để A < 1 (Dạng bài toán phụ thứ t).

M
M
Phơng pháp: Chuyển vế và thu gọn đa về dạng N < 0 (hoặc N > 0) trong đó dựa vào điều kiện ban đầu ta đà biết đợc M hoặc N dơng
hay âm, từ đó dễ dàng tìm đợc điều kiện của biÕn.

a 1
a1 <1 
0

a 1
a1 -1<0 

a 1  a 1
a1
<0 

2
a  1< 0 

a  1 < 0 a <1. Kết hợp điều kiện ban đầu, suy ra

 a < 1.

A (
*)VÝ dơ 2: Cho biĨu thøc
a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.

x
2
1

):
x 1 x x
x1

Bài giải: a) §KX§ x > 0; x 1. Rót gän

A=(

2
1
x
2
1
):
=( √ +
):
√ x −1 x − √ x √ x −1 √ x − 1 √ x( √ x −1) √ x −1

A

√x +

(

x )2  2
.
x ( x  1)

x  1
(x  2)( x  1)
x 2


1
x ( x  1)
x

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của A (Dạng bài toán phụ thứ năm).
Phơng pháp: Dựa vào điều kiện ban đầu và các bất đẳng thức.

Ta có A=

x2
2
x
2 2
x
x

A min 2 2
Vậy Amin = 2

x

(BĐT Côsi cho hai số dơng)

2
x 2
x
(TMĐK)

2 x 2 .

A


*)Ví dụ 3: Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A.

1

x  1

1
 
 . 1 
x 1 

1 

x 


A A.

b)Tìm giá trị của x để

1 .

Bài giải: a) §KX§ x > 0; x

1 
1 
x 1  x  1 x 1
 1
A 


.
1


.


x 1  
x
x
 x1
x  1 x 1



b)

2

x1

x

 A

2
x1

x  1  0  x  1 1

2
1  1 
x1

)




x  1

x 1

2
 1.
x1

A  A  0  A 1  0 
)0 




 x  1
=
2 x

 x  3  0

 x  1  0

2
0 
x1

(v× x > 1) 

x 9.

x3
0
x1

A A.

VËy x > 9 th×

x
2 x1

x1 x x

A

*)Ví dụ 4: Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A
b) Với giá trị nào của x thì
Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x

A

x

x1

A A
1 .

2 x1
x





x1






2

x



x

2 x 1



x1

x1
0
x

A A  A0
b)





x1

x



x  1 0
(v×



2





x1

x1
x

x 0)

x  1  x  1 . KÕt hỵp víi điều kiện xác định 0 < x <1 thì A  A .



*)VÝ dơ 5:

P  1 


Cho biĨu thøc:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

5 2 6.
b) Tìm x để P.
Bài giải:

b)

1

1
1


.

x 1 x
x


P. 5 2 6.






x1

2 .

 x 2005

2

x  1 x  2005  2  3.

1 :

a) §KX§: x > 0; x

P  1 


1
1

.
x  1 x 
x



x

x  1


  P
x  1 


1

1
x







2

2



x  1 x  2005  2  3



2 3 .

2

 



2

x  1 x  2005  2  3



(TM§K)



x1

2  3 x  2005  2  3




52 6
Vậy x = 2005 thì P.
2.3/ Bài tập tơng tù:



2

x  1 x  2005  2  3

 1
A 

 x3

1 
3

:
x 3 x  3

Bµi 1: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A

1
3

b) Với giá trị nào của x thì A >
c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất.

1 
1
 3
P 

:

x 1  x 1
 1 x

Bµi 2. Cho biểu thức
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để P =

5
4

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc: M

x  12 1
.
x1 P

 2 x
x
3x  3   2 x  2 
D 


 1

x

9
x

3
x

3
x

3




Bµi 3. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức

1
<-2

b) Tìm x để D
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D

a 2 a
 a a

P 
 1 : 
 1
 a 2
a1

Bài 4. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P

b) Tìm a Z để P nhận giá trị nguyên.

B

1
2

x 3 1

Bài 5. Cho biểu thức
a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B.
b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên.



1
2





x  3 1

x2  x
2x  x 2  x 1
P


x x 1
x
x1

Bài 6. Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Q
c) Tìm x để biểu thức

2 x
P


P


nhận giá trị nguyên.

1
1
x 1


2
:
x x
1
x 1
x

Bài 7. Cho biểu thức:
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0

P

Bài 8. Cho biểu thức

a) Tìm ĐKXĐ, rót gäp P

1

a  1

1  
 :
a  



a 1

a  2



a 2

a  1


b) Tìm giá trị của a để P > 0
Bài 9. (Đề thi tuyễn sinh vào lớp 10 - Năm häc 2011 - 2012)

A
Cho

x
10 x


x  5 x  25

5
x  5 , với x  0 và x  25.

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm giá trị của A khi x = 9.

1
3) Tìm x để A < 3 .

x
3
6 x 4


x 1
x1
x 1

P
Bµi 10. Cho biĨu thøc:
a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P.

1
b) Tìm x để P < 2 .

x
1 
1
A 

:
 x  1 x x x 1

Bài 11. Cho biểu thức
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0

1  1
 1

P 

 1

 1 a 1 a  a


Bµi 12. Cho biĨu thøc:
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Với những giá trị nào của a thì P >

với a > 0 và a 1.

1
2.

x
2x  x

x  1 x  x với ( x > 0 và x ≠ 1)

Bµi 13. Cho biểu thức : A =
1) Rót gän biĨu thøc A.

2) TÝnh giá trị của biểu thức khi x 3 2 2
Bµi 14. Cho biĨu thøc

P=

( √1x + √ √x x+1 ): x √+√x x

a) Rót gän P
b) TÝnh GT cđa P khi x= 4

13
3

c) Tìm GT của x để P =
(§Ị thi Hà Nội năm 2008-2009)

x 1  2 x x  x

x1
x 1
Bµi 15. Cho biểu thức : A =
1) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
2) Với giá trị nào của x thì A < -1

(1
Bài 16. Cho biểu thức : A =
a) Rót gän A
b) Tìm x để A = - 1

x x
x x
)(1
)
x 1
x1

(Với

x 0; x 1 )


1
Bµi 17. Cho biểu thức : B = 2 x 2
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức B.
b) Tính giá trị của B với x = 3

A
c) Tính giá trị của x để



1

x
2 x 2 1 x


1
2
x 1

Bài 18. Cho biu thc :
P=
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn P
b) Tìm x để P = 2

x 2



2 x
x 2



25 x

4 x

1
1
a 1

):(

a

1
a
a

2
Bµi 19. Cho biểu thức : Q = (

a 2
)
a1

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn Q.
b) Tìm a để Q dơng.
c) Tính giá trị của biểu thøc khi a = 9 - 4

5

 a
1  a  a a  a 





 2 2 a  a  1  a  1 


Bµi 20. Cho biu thc : M =
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để M = - 4.