De thi hoc sinh gioi toan 9

Trờng THCS Định Tăng.
Đề thi môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Họ và tên ngời ra đề: Nguyễn Khánh Thành.
Đề bài:
Câu 1(4điểm): Cho biểu thức B =

2 x9
x 5 x+6

-

√ x +3 - 2 √ x+1
3− √ x
√x− 2

a. Xác định x để B có nghĩa.
b. Rút gọn B.
c. Tìm x để B là số nguyên.
Câu 2 (1điểm):
Tìm các giá trị của m để 2 đờng thẳng y = (m – 1)x + 2 (m
Vµ y = (3 –m)x + 1
(m 3) song song víi nhau.
¿
(1)
4 x − my=m+6
(2)
C©u 3(2điểm): Cho hệ phơng trình: mx y =2m

1)

{


Giải và biện luận hệ phơng trình trên.
Câu 4(3điểm): Cho hai đờng tròn (O) và (O) cắt nhau tại A và B. Các tiếp tuyến
tại A của các đờng tròn (O) và (O) cắt đờng tròn(O) và (O) theo thứ tự tại C và
D. Gọi P và Q lần lợt là trung điểm của các dây cung AD và AC.
Chứng minh rằng:
a. AC = AB
AD
BD
b. ∠ BPD = ∠ AQB
c. Tø gi¸c APBQ nội tiếp

Đáp án:
Câu 1(4 điểm):
a. Ta có: x - 5 √ x + 6 = ( √ x - 3)( x
Điều kiện:
x 0
3

x
2
x

- 2).
x 0
x 9
x 4

(1điểm).


b. B =

2 √x− 9
( √ x −3)( √ x − 2)

-

√ x +3 + 2 √ x+1
√x − 2
√ x −3

(0,25®iĨm).
2 x − 9−( √ x +3)( √ x −3)+(2 √ x +1)( √ x − 2)
= √
( √ x −3)( √ x − 2)
= 2 √ x − 9− x+ 9+2 x − 4 √ x+ √ x −2
(0,25®iĨm).
( √ x −3)( √ x − 2)
( x −2)(√ x +1)
= √
= √ x+1
(1®iĨm).
( √ x −3)( √ x 2)
x 3
4
c/ Vì B = x+1 = 1+
Nên B z ( B nguyên) thì x - 3 phải là ớc

x 3
x 3
của 4 x -3 = 1; 2; 4.
Tìm đợc các giá trị thích hợp của x là: 1;4;16;25;49
(1,5 điểm).
Câu 2 (1điểm).
Để y = (m-1)x + 2 vµ y = (3 - m)x + 1.
Là song song với nhau thì ta có:
m-1 = 3 – m
v× 2
1.
⇔ 2m = 4 ⇒ m = 2.
Vậy với m = 2 thì thoả mÃn bài ra
Câu 3(2điểm):
Từ (2) suy ra: y = mx 2m Thay vào (1) ta đợc
4x m(mx 2m) = m +6.
⇔ (4 – m2 )x = - 2m2 + m +6.
⇔ - (4 – m2)x = - (2m +3)(m – 2).
(3).
⇔ (m2 – 4)x = (2m +3)(m – 2)
2 m+3
* NÕu m2 – 4
0 ⇒ m
± 2 th× x =

Khi ®ã y = mx – 2m = m( 2 m+3 ) – 2m = m+2
2 m+3
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt (
;- m )
m+2

m+2



ABC

~



DBA.

(0,25 điểm)

m+2
m
m+2

+ Nếu m = 2 thì (3) thoả mÃn với mọi x
Khi đó y = mx 2m = 2x – 4
⇒ HÖ cã vè sè nghiÖm (x, 2x – 4) víi x R.
+ NÕu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4( vô lí).
Hệ vô nghiệm
Câu 4 (3 điểm):
a. Xét ABC và Δ DBA.
Cã ∠ BAC = ∠ ADB ; ∠ DAB = ∠ ACB
⇒

( 1 ®iĨm).

( 1 ®iĨm)

( 0,5 ®iĨm)


AC = AB
AD
BD
b. XÐt Δ BDP vµ Δ BAQ cã ∠ BAC =
AC
= AB ⇒ AQ = AB
AD
BD
PD
BD

(1 ®iĨm).

⇒

⇒

Δ

~

∠ ADB.

Δ
BDP

BAQ ( c.g.c).
( 1®iĨm).
⇒ ∠ BDP = ∠ BAQ
c. ∠ APD + ∠ BPD = 1800 ( KỊ bï).
Mµ ∠ BPD = ∠ AQB ⇒ ∠ APB + ∠ AQB = 1800
Tứ giác APBQ nội tiếp
(1 điểm)

A

0.

0.

Q

p

q
B

D

C