De toan 8 nam 20162017

UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HỤN
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN : TỐN
LỚP : 8
Thời gian : 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)

(Đề gồm 01 trang)

ĐỀ
Câu 1:( 5 điểm)
a) Chứng minh rằng 22002 - 4 chia hết cho 31
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có:
a(a+1)(2a+1)  6
Câu 2:( 5 điểm)
a) Cho x + y = 2. Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2.
b) Giải phương trình sau:
x  2001 x  1981 x  1957 x  1929



10
16
18
20
22
Câu 3:( 5 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

x4 + 2017x2 + 2016x + 2017
a b c
x y z
x2 y 2 z 2
  0
  1
 2  2 1
2
b) Cho a b c
và x y z
. Chứng minh rằng : a b c

Câu 4:( 5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a) Chứng minh rằng OM = ON
1

1

2

b) Chứng minh rằng AB + CD =MN
c) Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính
SAOD.
-----Hết-----


UBND HUYỆN HÒA BÌNH
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG HỤN
NĂM HỌC 2016-2017
MƠN : TỐN
LỚP : 8
Thời gian : 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM
Câu 1:( 5 điểm)
a) Ta có 25 ≡ 1 (mod 31)

(0,5đ)

Mà 2002 = 5.400 + 2 nên 22002 = (25)400 .22

(0,75đ)

Vì 25 ≡ 1 (mod 31) => (25)400 ≡ 1400 (mod 31)

(0,5đ)

=> (25)400.22 ≡ 1.22 (mod 31)
=> 22002 ≡ 4 (mod 31)
Vậy 22002 - 4 chia hết cho 31

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,25đ)

b) Phân tích 2a+1 = (a-1) + (a+2)

(0,5đ)

 a(a+1)(2a+1) = a(a+1)[(a-1)+(a+2)]

(0,5đ)

= a(a+1)(a-1) + a(a+1)(a+2)

(0,5đ)

a(a+1)(a-1) và a(a+1)(a+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và
3. Mà (2,3)=1 nên chia hết cho 6.
(0,25đ)
Vậy a(a+1)(2a+1)  6

Câu 2:( 5 điểm)
a) Ta có: x + y = 2  y = 2 – x

(0,25đ)

(0,25đ)

Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2
= x2 + 4 – 4x + x2

(0,5đ)

= 2x2 – 4x + 4

= 2( x2 – 2x) + 4

(0,5đ)

= 2(x – 1)2 + 2  2

(0,5đ)

Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1.

(0,25đ)


x  2001 x  1981 x  1957 x  1929



16
18
20
22 = 10
b)
x  2001
x  1981
x  1957
x  1929
(
 1)  (
 2)  (
 3)  (

 4) 0
16
18
20
22

(0,75đ)

x  2017 x  2017 x  2017 x  2017



0
16
18
20
22

(0,5đ)

x  2017 x  2017 x  2017 x  2017



0
16
18
20
22

(0,5đ)

1 1
1
1
(x  2017)(    ) 0
16 18 20 22

(0,5đ)

1
1 
 1 1
     0
Vì  16 18 20 22 
nên x  2017 0
Vậy S = {2017}

(0,5đ)
(0,25đ)

Câu 3:( 5 điểm)
a) Ta có:
x4+2017x2+2016x+2017

b)

= (x4+ x3+ x2)–(x3+ x2+ x)+(2017x2+2017x+2017)

(0,75đ)

= x2(x2+x+1) – x(x2+x+1) + 2017(x2+x+1)

(0,75đ)

= (x2 + x+1)(x2 – x +2017)

(0,5đ)

Từ :

a b c
ayz+bxz+cxy
  0 
0
x y z
xyz

 ayz + bxz + cxy = 0

Ta có :

x y z
x y z
  1  (   ) 2 1
a b c
a b c

x2 y 2 z 2
xy xz yz

 2  2  2(   ) 1
2
 a
b
c
ab ac bc

(0,5đ)
(0,5đ)
(0,5đ)
(0,75đ)



x2 y 2 z 2
cxy  bxz  ayz
 2  2 2
1
2
a
b
c
abc

(0,5đ)



x2 y2 z2
  1

a2 b2 c2
(đpcm)

(0,25đ)


Câu 4:( 5 điểm)
a) Chứng minh OM=ON
Áp dụng hệ quả định lý Ta-Let trong

B

A
O

M

 ABD và  ABC

N

OM OD
ON OC
=
=
;
(0,5đ)
AB BD
AB AC
OD OC

AB

Mà BD AC (cùng = CD )
(0,5đ)
OM ON
=
⇒
⇒ OM = ON (0,5đ)
AB AB



C

D

1

1

2

b) Chứng minh rằng AB + CD =MN
Xét

Δ ABD có

OM DM
=
AB AD

(1)

(0,25đ)
OM AM

xét
có CD AD (2)
OM
OM
DM
AM
Cộng theo vế (1) và (2) : AB + CD = AD + AD
DM  AM AD
1
1


1
+
⇒
AD
AD
OM.( AB CD )
Δ ADC

1
1
Do OM=ON nên tương tự ON. ( AB + CD )=1

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,5đ)
(0,25đ)

1
1
1
1
2
từ đó có (OM + ON). ( AB + CD )=2 ⇒ AB + CD =MN
(0,5đ)
c) Biết SAOB= 20162 (đơn vị diện tích); SCOD= 20172 (đơn vị diện tích). Tính

SAOD.
Ta có:
S BOC OB
S AOB OB

=
S
OD
S AOD OD , COD
⇒

⇒

S BOC
S AOB
=¿ SCOD

S AOD

S AOB .SCOD S BOC .S AOD

(0,5đ)
Chứng minh được S AOD =S BOC
(0,5đ)
( Vì SADC = SBDC. Mà SADC = SAOD + SDOC , SBDC = SBOC + SDOC)


⇒

S AOB .SCOD (S AOD ) 2

Thay số vào: 20162.20172 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2016.2017
= 4066272 (đvdt)
( Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa)
-----Hết-----

(0,5đ)