DE HSG TOAN 72018NL

SƠ LƯỢC BÀI GIẢI
Câu 1:

10 5 5
3 3


  0,9
7 11 23
5 13
26 13 13
7
3
403 


 0,2 
7 11 23 + 91
10
A=
2 1 1
1 1 3
5(31  
 ) 3.(   )
7 11 23
5 13 10
2 1 1
1 1 3
13(31  
 )

 
7 11 23 + 13 5 10
Ta có A=
155 

5
44
3
A = 13
= 13
30.47.3.29  5.145.2
14 7
5 5
B= 54.6 .9  12.8 .7 = .....( Tự giải)
Câu 2: 4 điểm
1
1) Tìm x; y biết | x - 2013| + | 1007 - 2 y| =0
1
Ta có | x - 2013| ≥ 0 với mọi x và | 1007 - 2 y | ≥ 0 với mọi y
1
1
| x - 2013| + | 1007 - 2 y| = 0 khi | x - 2013| =0 và | 1007 - 2 y| = 0
suy ra x = 2013 và y = 2014
2) Cho n là số tự nhiên . c/m 9.10n + 18 chia hết cho 27
Ta có : 9.10n + 18 = 9.(10n + 2)
(10n + 2) = 1000000….2 ( có n - 1 chữ số 0)
số này có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên (10n + 2) chia hết cho 3
do đó (10n + 2) = 3k ( k là số tự nhiên)
9.10n + 18 = 9.(10n + 2) = 9 . 3k = 27k
vậy 9.10n + 18 = 9.(10n + 2) chia hết cho 27 với mọi số tự nhiên n

Câu 3: 4 điểm
x  16 y  25 z  49


9

16
25 và 4x3 - 3 = 29. Tính x + 2y + 3z
1) cho
vì 4x3 - 3 = 29.nên 4x3 = 32 hay x = 2


2  16 y  25 z  49
y  25 z  49




2
9

16
25

16
25
thay vào dãy tỉ số trên ta có
từ đó tìm được y = 7; z = 1 vậy x + 2y + 3z = 2 +14+3 =21
2) Tìm các số nguyên dương x, biết: (3x-1)(4x-1)(5x-1)(6x-1) -120 =0
Vì x nguyên dương nên 3x - 1 < 4x -1< 5x-1 < 6x-1 mà 4x - 1 và 6x - 1 là các số lẻ

120 chỉ có sự phân tích là 120 = 2 .3. 4 .5 = -5.(-4).(-3).(-2)
Nên: (3x-1)(4x-1)(5x-1)(6x-1) = 2 . 3 . 4 . 5 suy ra x = 1
………………..
Câu 4: 6 điểm
Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ
đng thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E
và cắt tia AC tại F. Chứng minh r»ng:
a) AE = AF
b) BE = CF
c)
a) Ta C/M được ∆ANE = ∆ ANF ( c. g . c)

AE=

AB+ AC
2

Hoặc ∆AEF cân tại A. (Có AH vừa là tia phân giác, vừa là đương cao)  AE = AF
b) c/m

BE = CF

+ Kẻ BI // AC  ∆MBI = ∆MCF( c. g . c)
 AF
 E

 BIE

 AFE ( do đồng vị)  E
vì ∆AEF cân tại A  E

; BIE
 ∆ BEI cân tại B suy ra BE = CF

c)Ta có: AB + AC = AB + AF + CF = (AB+FC)+AF mà CF = BC và AE = AF
 2 AE = AB + AC hay

AE=

AB+ AC
2

Câu 5: Cho a, b, c là các số nguyên tố cùng nhau. C/m A = ab+ac+bc và B =a+b+c và
C = abc nguyên tố cùng nhau
Gọi UCLN(ab,ac,bc,abc) = d  ab, ac, bc, abc đều chia hết cho d
ab+ac+bc chia hết cho d và abc chia hết cho da


- Nếu d > 1 thì do a, b, c ngun tố cùng nhau từng đơi một nên chỉ có hoặc a, hoặc
b., hoặc c chia hết cho d
không làm mất tính tổng qt của bài tốn ta giả sử d là ước của a mà không phải là
ước của b và c


d là ước của ac mà không phải là ước của bc

khi đó ac + bc +ac khơng chia hết cho d vì bc khơng chia hết cho d mâu thuẫn với gt
(ab,ac,bc,abc) = d  ab, ac, bc, abc đều chia hết cho d
suy ra d = 1 suy ra ĐPCM