1 3 một số phương trình quy về bậc nhất và bậc hai một ẩn 17tr đặng việt đông image marked

Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 4. Một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hoặc phương trình bậc
hai


Dạng toán 1: Phương trình bậc ba, phương trình bậc bốn
()

Phương trình trùng phương: ax 4  bx 2  c  0, ( a  0)
— Đặt t  x 2  0 thì ()  at 2  bt  c  0

()

— Để xác định số nghiệm của (), ta dựa vào số nghiệm của () và dấu của chúng, cụ thể:

() v« nghiƯm
 Để () vơ nghiệm  () cã nghiƯm kÐp ©m.
() cã 2 nghiƯm ©m

() cã nghiÖm kÐp t1  t 2  0

 Để () có 1 nghiệm  
() cã 1 nghiƯm b»ng 0, nghiệm còn lạ i âm
() có nghiệm kép dư ¬ng

 Để () có 2 nghiệm phân biệt  
() cã 2 nghiƯm tr¸ i dÊu

 Để () có 3 nghiệm  () có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm cịn lại dương.
 Để () có 4 nghiệm  () có 2 nghiệm dương phân biệt.

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai
2

e d
 Loại 1. ax  bx  cx  dx  e  0 với     0.
a b
4

3

2

2


 Phương pháp giải: Chia hai vế cho x 2  0, rồi đặt t  x 






 t 2   x   với
x
x


d

b

 Loại 2. ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  e với a  c  b  d.

 Phương pháp giải: ( x  a)( x  c )   ( x  b)( x  d)   e

  x 2  ( a  c )x  ac    x 2  (b  d)x  bd   e và đặt t  x 2  ( a  c )x.

 Loại 3. ( x  a)( x  b)( x  c)( x  d)  ex 2 với a.b  c.d.

 Phương pháp giải: Đặt t  x 2  ab 

abcd
 x thì phương trình
2

 abcd   abcd 
 t 
 x t 
 x   ex 2 (có dạng đẳng cấp)
2
2

 


 Loại 4. ( x  a)4  ( x  b)4  c


 Phương pháp giải: Đặt x  t 

 Loại 5. x 4  ax 2  bx  c

ab
ab
 (t  )4  (t  )4  c với  

2
2

(1)


 Phương pháp giải: Tạo ra dạng A 2  B2 bằng cách thêm hai vế cho một lượng
Trang 1/15


2 k.x 2  k 2 , tức phương trình (1) tương đương:
( x 2 )2  2 kx 2  k 2  (2 k  a)x 2  bx  c  k 2  ( x 2  k )2  (2 k  a)x 2  bx  c  k 2 .

2 k  a  0
k?
2
2
 VP  b  4(2 k  a)(c  k )  0

Cần vế phải có dạng bình phương  
 Loại 6. x 4  ax 3  bx 2  cx  d

(2)


 Phương pháp giải: Tạo A 2  B2 bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra



a
2



2



dạng bình phương:  x 2  x  k   x 4  ax 3   2 k 








hai vế của phương trình (2) một lượng:  2 k 


2

a2
4

 2
2
 x  kax  k . Do đó ta sẽ cộng thêm


a2  2
2
 x  kax  k , thì phương trình
4



a
 
a
(2)   x 2  x  k    2 k   b  x 2  ( ka  c )x  k 2  d.
2
4

 

2


a2
2 k   b  0

4

k?
Lúc này cần số k thỏa: 
2
  ( ka  c )2  4  2 k  a  b  ( k 2  d)  0
 VP
4



 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hồn tồn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng
phương pháp tách nhân tử. Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai,
sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai. Khi đó bậc bốn được viết
lại thành tích của 2 bậc hai.
Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner
Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm
nghiệm sau đó chia Hoocner.
— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:



Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x  1.



Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x  1.



Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và
thử lại tính đúng sai.

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo.
Câu 1.

Phương trình
A. a ¹ 0 .

b
= a có nghiệm duy nhất khi:
x +1
B. a = 0 .
C. a ¹ 0 và b ¹ 0 .
Hướng dẫn giải

D. a = b = 0 .

Chọn C.
Điều kiện: x ¹ -1
b
= a (1) Û a ( x + 1) = b Û ax = b - a (2)
Phương trình
x +1
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1

Cõu 2.

ỡ
aạ0
ù
ỡa ạ 0
ỡa ạ 0
ù
ù
ù
ù
.
ù
ù
ớb - a
ớ
ớ
ù
ù
ù
b
a
ạ
a
b
ạ
0
ạ
1
ù
ù
ợ

ợ
ù
ù a
ợ
3
3x
Tp nghiệm của phương trình 2 x +
là :
=
x -1 x -1
Trang 2/15


ỡ 3ỹ
A. S = ù
ớ1; ù
ý.
ù
ù 2ù
ù
ợ
ỵ

ỡ 3ỹ
C. S = ùớ ùý .
ù
ù 2ù
ù
ợ
ỵ

Hng dn gii

B. S = {1} .

D. S = ặ .

Chn C.
iu kin: x ạ 1

ộ x = 1 (l )
ê
3
3x
2
Û 2 x ( x -1) + 3 = 3 x Û 2 x - 5 x + 3 = 0 Û ê
Phương trình 2 x +
.
=
ê x = 3 (n)
x -1 x -1
êë
2
ì
ü
3
Vậy S = ïí ùý .
ù 2ỵ
ù
ù
ù

ợ

Cõu 3.

Tp nghim ca phng trỡnh

(m2 + 2) x + 3m
x

= 2 trường hợp m ¹ 0 là:

ì 3ï
ü
ï
A. T = í- ý .
B. T = Ỉ .
ï
ï mù
ù
ợ
ỵ
C. T = .
D. C ba cõu trờn u sai.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 0
Phương trình thành (m 2 + 2) x + 3m = 2 x Û m 2 x = -3m

Vì m ¹ 0 suy ra x =

-3
.
m

Câu 4. Tập hợp nghiệm của phương trình

(m2 + 2) x + 2m
x

= 2 (m ¹ 0) là :

ì
ï 2ü
A. T = í- ï
B. T = Ỉ .
C. T = R .
ý.
ù mỵ
ù
ù
ù
ợ
Hng dn gii
Chn A.
iu kin: x ¹ 0
(m2 + 2) x + 2m
-2
Phương trình
= 2 Û m 2 x = -2 m Û x =
x

m
ì
ü
-2
Vậy S = ùớ ùý .
ù
ùmù
ù
ợ
ỵ
x-m x-2
=
Cõu 5. Phng trỡnh
cú nghim duy nhất khi :
x +1
x -1
A. m ¹ 0 .
B. m ¹ -1 .
C. m ¹ 0 và m ¹ -1 .
Hng dn gii
Chn C.
ỡù x ạ 1
iu kin: ùớ
ùùợ x ¹ -1

D. T = R \ {0} .

D. Khơng có m .

Phương trình (1) thành

x-m x-2
=
(1) Û ( x - m)( x -1) = ( x - 2)( x +1) Û x 2 - x - mx + m = x 2 - x - 2
x +1
x -1
Û mx = m + 2 (2)

Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác -1 và 1
Trang 3/15


Câu 6.

ì
ï
ï
ï
m¹0
ï
ì
ìïm ¹ 0
m¹0
ï
ï
ï
ï
ïï

ìïïm ¹ 0
m
+
2
ï
ï
.
Ûï
¹ 1 Û ím + 2 ¹ m Û ï
í
í2 ¹ 0 (ld ) Û ớ
ùù
ùùợm ạ -1
ù
ù
m
ù
ù
ùùợm + 2 ạ -m ùùợm ạ -1
ù
ù
m+2
ù
ạ -1
ï
ï
ï
ỵ m
x+a
Biết phương trình: x - 2 +

= a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên.
x -1
Vậy nghiệm đó là :
A. -2 .
B. -1 .
C. 2 .
D. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ¹ 1
Phương trình (1) thành
x+a
= a Û x 2 - 3 x + 2 + x + a = ax - a Û x 2 - (2 + a ) x + 2a + 2 = 0
x -1
Phương trình (1) có nghiệm duy nhất
x-2+

( 2)

Û Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

có một nghiệm bằng 1

Câu 7.

Câu 8.

éa = 2 + 2 2
ê
ìïa 2 - 4a - 4 = 0 ìïa 2 - 4a - 4 > 0

ê
ï
ï
Ûí
Èí
Û êa = 2 - 2 2
ùùợa + 1 ạ 0
ùùợa + 1 = 0
ờ
ờ a = -1
êë
Với a = 2 + 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 + 2
Với a = 2 - 2 2 phương trình có nghiệm là x = 2 - 2
é x = 0 (n)
Với a = -1 phương trình có nghiệm là êê
.
êë x = 1 (l )
2mx -1
= 3 (1) . Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm?
Cho phương trình:
x +1
3
A. m ¹ .
B. m ¹ 0 .
2
3
3
1
C. m ¹ và m ¹ 0 .
D. m ¹ và m ¹ - .

2
2
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện: x ¹ -1
2mx -1
= 3 Û 2mx -1 = 3 x + 3 Û (2m - 3) x = 4 (2)
Phương trình (1) thành
x +1
Phương trình (1) có nghiệm
ìï
3
ì
ïïm ¹
2m - 3 ¹ 0
ï
ï
ï
2
Ûí
.
Û Phương trình (2) có nghiệm khác -1 Û ïí 4
ù
ù
1
ạ
1
ùùm ạ ù
ù 2m - 3

ợ
ùùợ
2
Phng trỡnh ax + b = cx + d tương đương với phương trình :

A. ax + b = cx + d

C. ax + b = cx + d hay ax + b = -(cx + d )

B. ax + b = -(cx + d )
D. ax + b = cx + d

Trang 4/15


Hướng dẫn giải
Chọn C.
Câu 9.

Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 3 x - 5 (1) là tập hợp nào sau đây ?

ì
ï3 7ü
A. í ; ï
ý.
ï
ï
ï
ỵ 2 4ù
ỵ

Hng dn gii
Chn A.
Ta cú

ỡ 3 7ỹ
B. ùớ- ; ùý .
ù
ù
ù
ợ 2 4ù
ỵ

A. 0 .
Hng dn gii
Chn A.
Ta cú

B. 1 .

ỡ 7
3ỹ
C. ù
ớ- ; - ù
ý.
ù
ù
2ù
ù
ợ 4
ỵ

ỡ 7 3ỹ
D. ùớ- ; ùý .
ù
ù
ù
ợ 4 2ù
ỵ

ộ
3
ờx =
ộ x - 2 = 3x - 5
é2 x = 3
ê
2
x - 2 = 3x - 5 Û ê
Ûê
.
Ûê
êë x - 2 = 5 - 3 x
êë 4 x = 7
7
ê
êx =
êë
4
Câu 10. Phương trình 2 x - 4 + x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

C. 2 .

ì2 x - 4 = 0
ï
ïì x = 2
2 x - 4 + x -1 = 0 Û ïí
Û ïí
(vl )
ï
ïïỵ x = 1
ï
ỵ x -1 = 0
Suy ra S = Ỉ .
Câu 11. Phương trình 2 x - 4 - 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta

có:

D. Vơ số.

D. Vơ số.

é2 x - 4 = 2 x - 4
2x - 4 - 2x + 4 = 0 Û 2x - 4 = 2x - 4 Û 2x - 4 ³ 0 Ç ê
ê 2 x - 4 = 4 - 2 x (vl )
ở

ùỡ x 2
x2.
ùớ
ùùợ x ẻ 
Câu 12. Với giá trị nào của a thì phương trình: 3 x + 2ax = -1 có nghiệm duy nhất:
3
A. a > .
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.

B. a <

-3
.
2

ì -3 3 ù
ỹ
ù
C. a ạ ớ ; ý .
ù
ù 2 2ù
ù
ợ
ỵ

D. a <

-3
3
Úa> .
2
2

é3 x = -1- 2ax
3 x + 2ax = -1 Û 3 x = -1- 2ax Û -1- 2ax ³ 0 Ç ê
Û 2ax £ -1 Ç
êë3 x = 1 + 2ax
é
-3
êa <
é(3 + 2a ) x = -1 (2)
ê
2
ê
ê(3 - 2a ) x = 1 (3) . Giải hệ này ta được Û êê
3
êë
êa >
êë
2
é
-3
êa <
ê
2
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất Û ê
.

3
ê
êa >
êë
2
2
Câu 13. Phương trình: x + 1 = x + m có 1 nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :
A. m = 0
B. m = 1 .
Ta có:

Trang 5/15


C. m = -1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D.

D. Không tồn tại giá trị m thỏa.

ì
ï-x 2 + x + 1 khi x ³ 0
x + 1 = x 2 + m Û m = f ( x) = ïí 2
.
ï
x
x
+
1
khi

x
<
0
ï
ỵ
Biểu diễn đồ thị hàm số f ( x) lên hệ trục tọa độ như hình vẽ bên trên. Dựa vào đồ thị ta suy ra

không tồn tại m để phương trình m = f ( x) có duy nhất 1 nghiệm.

Câu 14. Tập nghiệm của phương trình: x - 2 = 2 x -1 là:
A. S = {-1;1} .

Hướng dẫn giải
Chọn C.

B. S = {-1} .

C. S = {1} .

D. S = {0} .

é x - 2 = 2 x -1
1 é x = -1 (l )
Ta có x - 2 = 2 x -1 Û 2 x -1 ³ 0 È ê
Û x ³ Ç êê
êë x - 2 = 1- 2 x
2 êë x = 1 (n)
Vậy S = {1}
Câu 15. Tập nghiệm của phương trình

x -1 -3 x + 1
=
(1) là :
2x - 3
x +1

ì11 + 65 11 + 41 ù
ỹ
ù
ù
A. ùớ
;
ý.
ù
ù
14
10
ù
ù
ợ
ỵ
ỡ11 + 65 11- 65 ù
ỹ
ù
ù
C. ùớ
;
ý.
ù
ù

14
14
ù
ù
ợ
ỵ
Hng dn gii
Chn C.
ỡù2 x - 3 ạ 0 ỡùù x ¹ 3
Û ïí
Điều kiện: ïí
2
ïï x + 1 ¹ 0
ùù
ợ
ùợ x ạ -1

ỡ11- 65 11- 41 ù
ỹ
ù
ù
B. ù
;
ớ
ý.
ù
ù
14
10
ù

ù
ợ
ỵ
ỡ11 + 41 11- 41 ù
ỹ
ù
ù
D. ù
;
ớ
ý.
ù
ù
10
10
ù
ù
ợ
ỵ

Phng trỡnh (1) thnh: x + 1 ( x -1) = (-3 x + 1)(2 x - 3)
TH1: x ³ -1

é
ê x = 11 + 65 (n)
ê
14
Phương trình thành x 2 -1 = -6 x 2 + 11x - 3 Û 7 x 2 -11x + 2 = 0 Û ê
ê
ê x = 11- 65 (n)

êë
14

TH2: x < -1

Trang 6/15


é
ê x = 11 + 41 (l )
ê
10
Phương trình thành -x 2 + 1 = -6 x 2 + 11x - 3 Û 5 x 2 -11x + 4 = 0 Û ê
ê
ê x = 11- 41 (l )
êë
10

ì11 + 65 11- 65 ù
ỹ
ù
ù
Vy S = ùớ
;
ý.
ù
ù
14
14
ù

ù
ợ
ỵ
x2 - 4x - 2
= x - 2 là :
Câu 16. Tập nghiệm của phương trình
x-2
A. S = {2} .
B. S = {1} .
C. S = {0;1} .

Hướng dẫn giải
Chọn C.
Điều kiện: x > 2
Ta có

éx = 0
x2 - 4x - 2
= x - 2 Û x 2 - 4 x - 2 = x - 2 Û x 2 - 5 x = 0 Û êê
x-2
êë x = 5

Vậy S = {5} .
Câu 17. Cho

D. S = {5} .

x 2 - 2 (m + 1) x + 6m - 2
x-2

(l )
(n)

= x - 2 (1) . Với m là bao nhiêu thì (1) có nghiệm duy nhất

A. m > 1 .
B. m ³ 1 .
C. m < 1 .
D. m £ 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Điều kiện x - 2 > 0 Û x > 2 .
(1) Û x 2 -(2m + 3) x + 6m = 0 (2) , phương trình ln có nghiệm là x = 3 và x = 2m , để
phường trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì 2m £ 2 Û m £ 1 .

Câu 18. Với giá trị nào của tham số a thì phương trình: ( x 2 - 5 x + 4) x - a = 0 có hai nghiệm phân biệt
A. a < 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x ³ a

B. 1 £ a < 4 .

C. a ³ 4 .

D. Không có a .

éx = 4
é x2 - 5x + 4 = 0
ê

Û êx =1
Phương trình thành ê
êx-a = 0
ê
ë
êx = a
ë
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Û 1 £ a < 4 .
Câu 19. Số nghiệm của phương trình: x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 là:
A. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x ³ 4

B. 1 .

C. 2 .

D. 3 .

é x = 4 (n)
ê
Phương trình thành x - 4 ( x 2 - 3 x + 2) = 0 Û êê x = 1 (l ) Û x = 4 .
ê
êë x = 2 (l )
Câu 20. Phương trình ( x 2 - 3 x + m)( x -1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi :
A. m <

9
.

4

9
B. m £ Ù m ¹ 2 .
4

9
C. m < Ù m ¹ 2 .
4

D. m >

9
.
4
Trang 7/15


Hướng dẫn giải
Chọn C.

éx =1
Phương trình ( x 2 - 3 x + m)( x -1) = 0 Û êê 2
êë x - 3 x + m = 0 (2)
Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

ìï
9
ì
ïïm <

9 - 4m > 0
ï
ï
Ûí
Û Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khỏc 1 ớ
4.
ùù
ù
ù
ợ1- 3 + m ạ 0
ùợm ạ 2

Câu 21. Cho phương trình: ( x 2 - 2 x + 3) + 2 (3 - m)( x 2 - 2 x + 3) + m 2 - 6m = 0 . Tìm m để phương
2

trình có nghiệm :
A. Mọi m.
B. m £ 4 .
C. m £ -2 .
D. m ³ 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t = x 2 - 2 x + 3 (t ³ 2) . Ta được phương trình t 2 + 2 (3 - m) t + m 2 - 6m = 0 (1) ,

D/ = m 2 - 6m + 9 - m 2 + 6m = 9 suy ra phương trình (1) ln có hai nghiệm là t1 = m - 6 và

t2 = m .

ém - 6 ³ 2
theo yêu cầu bài tốn ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 Û ê

êë m ³ 2
Û m³2
x 2 - mx + 2
Câu 22. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình : m 2 - x =
có nghiệm dương:
2- x
A. 0 < m £ 2 6 - 4 .
B. 1 < m < 3 .
C. 4 - 2 6 £ m < 1 .
D. 2 6 - 4 £ m < 1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Điều kiện x < 2 , với điều kiện này thì phương trình đã cho trở thành
x 2 + 2 - 2m = 0 Û x 2 = 2m - 2 , phương trình đã cho có nghiệm dương khi và chỉ khi
0 < 2m - 2 < 4 Û 1 < m < 3 .
2
ổ x 2 ửữ
2x2
ỗ
ữữ +
Cõu 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để phng trỡnh: ỗ
+ a = 0 (1) cú ỳng 4
ỗố x -1ø÷
x -1
nghiệm.
A. 0.
B. 1.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
x2

Đặt t =
x -1
Phương trình (1) thành t 2 + 2t + a = 0 (2)

C. 2.

D. 3 .

Phương trình (1) có đúng 4 nghiệm

Û phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

ìïD > 0 ìï4 - 4a > 0
ï
ïï
ï
Û íS > 0 Û ïí-2 > 0 (vl ) Û a Ï Ỉ .
ïï
ï
ï
ïïỵ P > 0
ï
ï
ỵa > 0
ỉ
ỉ
1ư
1ư
Câu 24. Định m phng trỡnh : ỗỗ x 2 + 2 ữữữ - 2m ỗỗ x + ữữữ + 1 + 2m = 0 cú nghim :
ỗố

ỗố
x ứ
xứ

Trang 8/15


3
3
A. - £ m £ .
4
4

B. m ³

3
.
4

3
C. m £ - .
4

é
3
êm ³
ê
2
D. ê
.

1
ê
êm £ êë
2

Hướng dẫn giải
Chọn D.
Điều kiện x ¹ 0
1
Đặt t = x + suy ra t £ -2 hoặc t ³ 2 . Phương trình đã cho trở thành
x
2
t - 2mt -1 + 2m = 0 , phương trình này ln có hai nghiệm là t1 = 1 ; t2 = 2m -1 . Theo yêu
é
3
êm ³
é 2 m -1 ³ 2
ê
2
Ûê
cầu bài toán ta suy ra ê
.
êë 2m -1 £ -2
1
ê
êm £ êë
2
ỉ
4
2ư

Câu 25. Định k để phương trình: x 2 + 2 - 4 çç x - ÷÷÷ + k -1 = 0 có ỳng hai nghim ln hn 1:
ỗố
x
xứ
A. k < -8 .
B. -8 < k < 1 .
C. 0 < k < 1 .
D. Khụng tn ti k .
Li gii
Chn B.
2
ổ
4
2 ữử
2
2


2
ỗ
Ta cú: x + 2 - 4 ỗ x - ữữ + k -1 = 0   x    4  x    k  3 0 1 .
ỗ
ố
x
xứ
x
x


2

t t x , phng trình trở thành t 2  4t  k  3  0  2  .
x
Nhận xét : với mỗi nghiệm t của phương trình  2  cho ta hai nghiệm trái dấu của phương trình

1 .
Ta có :   4   k  1  1  k .
Từ nhận xét trên, phương trình 1 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1 khi và chỉ khi

1  k  0
2
1  2  1  k .1  2  0  8  k  1

12  2  1  k .1  2  0








Câu 26. Tìm m để phương trình :  x 2  2 x  4  – 2m  x 2  2 x  4   4m –1  0 có đúng hai nghiệm.
2

A. 3 < m < 4 .

B. m < 2 - 3 Ú m > 2 + 3 .
m  2  3
D. 
.

m  4

C. 2 + 3 < m < 4 .

Lời giải
Chọn D.
2
Đặt t  x 2  2 x  4   x  1  3  3 , phương trình trở thành

t 2  2mt  4m  1  0

 2 .

Nhận xét: Ứng với mỗi nghiệm t  3 của phương trình  2  cho ta hai nghiệm của phương trình

1 . Do đó phương trình 1

có đúng hai nghiệm khi phương trình  2  có đúng một nghiệm

t  3.

Trang 9/15


    m 2  4m  1  0

m  2  3
.

   2m  3

m

4


2
1.  3  2m.3  4m  1  0

Câu 27. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình : x 2 +
A. 2,5.
Lời giải
Chọn D.
Ta

B. 3.

có

:

25 x 2

( x + 5)

C. 3,5.

2

= 11 gần nhất với số nào dưới õy?

D. 2,8.

x 2 ổỗ
25 ửữ
x 2 x 2 10 x 50
.
11
x +
= 11
ữ = 11
ỗx + 5 +
2
x + 5 ỗố
x + 5 ữứ
x5
x5
( x + 5)
25 x 2

2

 x2
 x 5 1
 x2 

x2
x2  x2
 11  0   2

 10   11  

  10

x5
x5 x5
 x
 x5

 x  5  11

1  21
 1, 79
2
x 
x  x  5  0
2

 2
.


1  21
 x  11x  55  0  vn 
 2, 79
x 

2
Câu 28. Có
bao
nhiêu
giá

trị
nguyên
của
m
để
2

phương

2 ( x 2 + 2 x) - (4m - 3)( x 2 + 2 x) + 1- 2m = 0 có đúng 3 nghiệm thuộc [-3;0].

trình:

2

A. 1.
B. 2.
C. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn .
2
2
Ta có:    4m  3  4.2. 1  2m    4m  1

D. 0.

1
 2
x  2x 
1


2
2  x  2 x    4m  3   x  2 x   1  2m  0 
 2
 x  2 x  2m  1  2 

2  6
x
  3; 0

1
2
2

1  x  2 x   0 
2

2  6
  3; 0
x 

2
2
 2    x  1  2m . Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn  3; 0 khi phương trình
2

 2

2

2

có hai nghiệm thuộc đoạn  3; 0

m  0
 2m  0


1
1

 3  1  2m  0  m   0  m  .
2
2



3


1

2
m

0

m  2
Khơng có giá trị ngun nào của m thỏa mãn.
Câu 29. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 6 + 2003 x3 - 2005 = 0

A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 6 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Phương trình x 6 + 2003 x3 - 2005 = 0
Trang 10/15


Vì 1.(-2005) < 0 suy ra phương trình có 2 nghiệm trái dấu
Suy ra có phương trình có một nghiệm âm.

Câu 30. Cho phương trình ax 4 + bx 2 + c = 0 (1) (a ¹ 0) . Đặt: D = b 2 - 4ac , S =

(1) vô nghiệm khi và chỉ khi :

ìïD ³ 0
ïï
B. D < 0 Ú íS < 0 .
ïï
ïïỵ P > 0

A. D < 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt t = x 2 (t ³ 0)

ìD > 0
ï

C. ï
.
í
ï
S
<
0
ï
ỵ

-b
c
, P = . Ta có
a
a

ìD > 0
ï
D. ï
.
í
ï
P
>
0
ï
ỵ

Phương trình (1) thành at 2 + bt + c = 0 (2)
Phương trình (1) vơ nghiệm

Û phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm

ïìïD ³ 0
ï
Û D < 0 È íS < 0 .
ïï
ïïỵ P > 0

Câu 31. Phương trình x 4 +
A. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Ta có D =

(

(

)

(

)

65 - 3 x 2 + 2 8 + 63 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
B. 3.

)

(

2

C. 4.

D. 0.

)

65 - 3 - 4.2. 8 + 63 = 4 - 2 195 - 8 63 < 0

Suy ra phương trình vơ nghiệm.
Câu 32. Phương trình -x 4 - 2 2 -1 x 2 + 3 - 2 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 2.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Đặt t = x 2 (t ³ 0)

(

)

(

B. 3.

)

C. 4.

D. 0.

( 2 -1) t + (3 - 2 2 ) = 0 (2)
Phương trình (2) có a.c = (-1)(3 - 2 2 ) < 0
Phương trình (1) thành -t 2 - 2

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 33. Phương trình: 2 x 4 - 2
A. vô nghiệm

(

)

2 + 3 x 2 + 12 = 0

B. Có 2 nghiệm x =

2+ 3+ 5
, x =2

2+ 3+ 5
.
2

C. Có 2 nghiệm x =

2 + 3- 5
, x =2

2 + 3- 5
.
2

Trang 11/15


2+ 3+ 5
,
2

x=

D. Có 4 nghiệm

2 + 3- 5
.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Đặt t = x 2 (t ³ 0)

x =-

2+ 3+ 5
,

2

x=

2 + 3- 5
,
2

x =-

Phương trình (1) thành

2.t 2 - 2

(

)

2 + 3 t + 12 = 0 (2)

Ta có D ' = 5 + 2 6 - 2 6 = 5
ì
ï
ï
ï
D' = 5> 0
ï
ï
ï
ï

ï -2 2 + 3
b
=- >0
Ta có ï
íï
a
2
ï
ï
ï
ï
12 c
ï
= >0
ï
ï
a
ï
ỵ 2
Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

(

)

Vậy Phương trình (1) có 4 nghiệm.

Câu 34. Cho phương trình x 4 + x 2 + m = 0 . Khẳng định nào sau đây là đúng:
1
A. Phương trình có nghiệm Û m £ .

4
B. Phương trình có nghiệm m £ 0 .
C. Phương trình vơ nghiệm với mọi m .
D. Phương trình có nghiệm duy nhất Û m = -2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Đặt t = x 2 (t ³ 0)
Phương trình (1) thành t 2 + t + m = 0 (2)
Phương trình (1) vơ nghiệm

Û phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm âm

ìïD ³ 0
ìï1- 4m ³ 0
ìï
1
ïï
ïï
1 ïïm £
Û m > Èí
Û D < 0 È íS < 0 Û 1- 4m < 0 È í-1 < 0
4 Û m>0.
ïï
ïï
4 ïï
ïïỵ P > 0
ïïỵm > 0
ïỵm > 0
Phương trình có nghiệm Û m £ 0 .

Câu 35. Phương trình -x 4 +
A. 1 nghiệm.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có

(

)

2 - 3 x 2 = 0 có:
B. 2 nghiệm.

C. 3 nghiệm.

D. 4 nghiệm.

é x2 = 0
-x + 2 - 3 x = 0 Û x -x + 2 - 3 = 0 Û êê 2
Û x2 = 0 Û x = 0 .
êë x = 2 - 3 (vl )
Câu 36. Phương trình sau đây có bao nhiêu nghiệm âm: x 4 - 2005 x 2 -13 = 0
A. 0 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
4

(

)

2

2

(

2

)

Trang 12/15


Chọn B.
Đặt t = x 2 (t ³ 0)

Phương trình (1) thành t 2 - 2005t -13 = 0 (1)
Phương trình (2) có a.c = 1.(-13) < 0

Suy ra phương trình (2) có 2 nghiệm trái dấu

Ruy ra phương trình (1) có một nghiệm âm và một nghiệm dương.

Câu 37. Phương trình : 3 - x + 2 x + 4 = 3 , có nghiệm là :
-4
.
B. x = -4 .

3
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Trường hợp 1: x < -2

A. x =

C. x =

2
.
3

Phương trình thành 3 - x - 2 x - 4 = 3 Û 3 x = -4 Û x =
Trường hợp 2: -2 £ x £ 3
Phương trình thành 3 - x + 2 x + 4 = 3 Û x = -4 (l )
Trường hợp 3: x > 3

Phương trình thành x - 3 + 2 x + 4 = 3 Û 3 x = 2 Û x =

D. Vô nghiệm.

-4
(l )
3

2
(l )
3

Vậy S = Æ .
Câu 38. Phương trình: 2 x - 4 + x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 0 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

B. 1 .

Trường hợp 2: -2 < x <

5
3

C. 2 .

D. Vơ số.

ì2 x - 4 = 0
ï
ïì x = 2
2 x - 4 + x -1 = 0 ùớ
ùớ
(vl ) x ẻ ặ
ù
ù
x
1
=
0
x

=
1
ù
ùợ
ợ
Cõu 39. Cho phương trình: a x + 2 + a x -1 = b . Để phương trình có hai nghiệm khác nhau, hệ thức
giữa hai tham số a, b là:
A. a > 3b .
B. b > 3a .
C. a = 3b .
D. b = 3a .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Câu 40. Phương trình: x + 2 + 3 x - 5 - 2 x - 7 = 0 , có nghiệm là :
é
5ù
A. "x Ỵ ê-2; ú .
B. x = -3 .
C. x = 3 .
D. x = 4 .
êë
3 úû
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Trường hợp 1: x £ -2
Phương trình thành: -x - 2 - 3 x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û -2 x = 4 Û x = -2 (n) .

5
Phương trình thành: x + 2 - 3 x + 5 + 2 x - 7 = 0 Û 0 x = 0 (ld ) Suy ra -2 < x < .
3

5
7
Trường hợp 3: £ x £
3
2
5
Phương trình thành: x + 2 + 3 x - 5 + 2 x - 7 = 0 Û 6 x = 10 Û x = (n) .
3
Trang 13/15


Trường hợp 4: x >

7
2

Phương trình thành: x + 2 + 3 x - 5 - 2 x + 7 = 0 Û 6 x = -4 Û x =
é
5ù
Vậy S = ê-2; ú .
3 ûú
ëê

-2
(l ) .
3

x2
3
x2

3
- 2 x + + - 3 x + 4 = có nghiệm là :
Câu 41. Phương trình
2
2
2
4
1
7
13
3
7
11
A. x = , x = , x = .
B. x = ; x = , x = .
2
2
3
2
3
3
7
5
13
7
5
13
C. x = , x = , x = .
D. x = , x = , x = .
5

4
2
4
2
4
Hướng dẫn giải
Chọn D.
TH 1: x £ 1

é
ê x = 5 + 6 (l )
ê
x
3 x
3
19
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x 2 - 5 x + = 0 Û ê
Phương trình thành:
.
ê
2
2 2
4
4
5
6
êx =
(l )
êë

2
2

TH 2: 1 < x < 2

Phương trình thành: TH 3: 2 £ x £ 3
Phương trình thành: TH 4: 3 < x < 4
Phương trình thành:
TH 4: x ³ 4

2

x2
3 x2
3
7
+ 2 x - + - 3 x + 4 = Û x = (n) .
2
2 2
4
4
x2
3 x2
3
25
5
+ 2 x - - + 3 x - 4 = Û -x 2 + 5 x - = 0 Û x = ( n) .
2
2 2
4

4
2

x2
3 x2
3
13
- 2 x + - + 3x - 4 = Û x =
(n) .
2
2 2
4
4

é
ê x = 5 + 6 (l )
2
2
ê
x
3 x
3
19
2
- 2 x + + - 3x + 4 = Û x 2 - 5 x + = 0 Û ê
Phương trình thành:
.
ê
2
2 2

4
4
5
6
êx =
(l )
êë
2

Câu 42. Định k để phương trình: x 2 + 2 x - k + x -1 = 0 có đúng ba nghiệm. Các giá trị k tìm được có
tổng :
A. -5 .

B. -1 .

C. 0 .

Câu 43. Phương trình: x 2 - 6 x + 5 = k 2 x -1 có nghiệm duy nhất.
A. k < -1 .
Hướng dẫn giải

B. k > 4 .

C. -1 < k < 4 .

D. 4 .

D. k > -1 .

æ x 2 - 2 x + 1 ư÷

x+2
÷- m
= 12 có đúng 4
Câu 44. Có bao nhiêu giá trị nguyên ca m phng trỡnh: ỗỗ 2
ỗố x + 4 x + 4 ÷÷ø
x -1
nghiệm?
A. 14 .
B. 15 .
C. 16 .
D. Nhiều hơn 16 nhưng hữu hạn.
Hướng dẫn giải

Trang 14/15


3mx + 1
2 x + 5m + 3
. Để phương trình có nghiệm, điều kiện để
+ x +1 =
x +1
x +1
thỏa mãn tham số m là :
ém < 0
é
1
ê
êm < 1
1
A. 0 < m < .

B. ê
C. - < m < 0 .
D. ê
3.
1.
êm >
ê
3
3
êë m > 0
3
ëê
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Điều kiện: x > -1
Phương trình thành 3mx + 1 + x + 1 = 2 x + 5m + 3 Û (3m -1) x = 5m + 1 (2)

Câu 45. Cho phương trình:

Phương trình (1) vơ nghiệm Û Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm

duy nhất nhỏ hơn bằng -1
ì
ï3m -1 ¹ 0
ì
3m -1 = 0 ï
1 æ
1 é5m + 1 £ -3m + 1 khi 3m -1 0ửữ
ù
ù

ữữ
m = ẩ ỗỗỗm ạ ầ ờ
ớ
ẩù
ớ 5m + 1
ờ
ữứ
ù
ù
ỗ
5
m
+
1

3
m
+
1
khi
3
m
1
<
0
5
m
+
1
ạ

0
3
3
Ê
1
ố
ù
ở
ợ
ù
ù 3m -1
ợ
ổ
ộ
1ử
ỗỗ
ờ m Ê 0 khi m ữữữ
1 ờ
1 ỗ
1
3 ữữ
m = ẩ ỗỗỗm ạ ầ ờ
ữữ 0 Ê m Ê
1ữ
3 ờ
3 ç
3
ç
ê m ³ 0 khi m < ÷÷÷
çè

êë
3ø
ém < 0
ê
Vậy Phương trình có nghiệm ê
1.
êm >
êë
3
x +m x-2
+
= 2 . Để phương trình vơ nghiệm thì:
Câu 46. Cho phương trình:
x +1
x
é
1
ê
m
=
ém = 1
é m = -1
ém = 2
ê
3
A. ê
.
B. ê
.
C. ê

.
D. ê
.
êë m = 3
êë m = -3
êë m = -2
1
ờ
ờm =
ờở
2
Hng dn gii
Chn A.
ỡù x ạ 0
iu kin: ùớ
ùùợ x ¹ -1
Phương trình thành x 2 + mx + x 2 - x - 2 = 2 ( x 2 + x) Û (m - 3) x = 2 (2) .
Phương trình (1) vơ nghiệm

Û Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 0 hoc bng

-1 .

ổ
ử
ộ 2
ỗỗ
ờ
= 0 (vl )ữữữ
ỡùùm ạ 3

ộm = 3
ỗ
ờ m -3
ữữ
m - 3 = 0 ẩ ỗỗỗm - 3 ạ 0 ầ ờ
.
ờ
ữữ m = 3 ẩ ớù
ờở m = 1
2 = 3- m
ờ 2
ỗỗ
ữ
ù
ợ
= -1 ữữữ
ờ
ỗố
ứ
ờở m - 3

Cõu 47. Cho phng trỡnh:
A. x = 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.

x 2 -1 + x + 1

= 2 . Có nghiệm là:
x ( x - 2)

B. x = 3 .
C. x = 4 .

D. x = 5 .

Trang 15/15


ỡ
ùx ạ 0
iu kin: ù
ớ
ù
ù
ợx ạ 2
Phng trỡnh thnh x 2 -1 + x + 1 = 2 x ( x - 2)
TH 1: x < -1

é x = 2 (l )
ê
Phương trình thành x -1- x -1 = 2 (-x)( x - 2) Û 3 x - 5 x - 2 = 0 Û ê
.
ê x = -1 (l )
êë
3
2

2

TH 2: -1 £ x £ 0

é x = 0 (l )
Phương trình thành x 2 -1 + x + 1 = -2 x ( x - 2) Û 3 x 2 - 3 x = 0 Û êê
.
êë x = 1 (l )
TH3: x > 0
é x = 0 (l )
Phương trình thành x 2 -1 + x + 1 = 2 x ( x - 2) Û x 2 - 5 x = 0 Û êê
.
x
=
5
n
(
)
êë
2x - m
Câu 48. Tìm m để phương trình vơ nghiệm:
= m -1 ( m là tham số).
x-2
A. m = 3 .
B. m = 4 .
C. m = 3 Ú m = 4 .
D. m = 3 Ú m = -4 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: x ¹ 2
Phương trình thành 2 x - m = mx - 2m - x + 2 Û (m - 3) x = m - 2(2)

Phương trình (1) vơ nghiệm

Û Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất bằng 2
ì
m -3 ¹ 0
ù
ộm = 3
ỡ
ù
m
3
=
0
ù
ù
ù
.
ờ
ớ
ẩớm- 2
ờở m = 4
ù
=2
ù
ợm - 2 ạ 0 ï
ï
ï
ỵ m -3
3- 2x - x
Câu 49. Phương trình
= 5 có các nghiệm là:
3 + 2x + x - 2

1
21
2
22
1
23
3
A. x = - , x = -7 .
B. x = - , x = . C. x = - , x = . D. x = - , x = .
8
9
23
9
23
9
23
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Điều kiện: 3 + 2 x + x - 2 ¹ 0
Phương trình thành 3 - 2 x - x = 5 3 + 2 x + 5 x -10

-3
2
Phương trình thành 3 - 2 x + x = -15 -10 x + 5 x -10 Û 4 x = -28 Û x = -7 (n) .

TH 1: x <

TH2:

-3

£ x£0
2

Phương trình thành 3 - 2 x + x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 16 x = -2 Û x = TH 3: 0 < x <

1
(n) .
8

3
2

Phương trình thành 3 - 2 x - x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 18 x = -2 Û x = -

1
(l ) .
9

Trang 16/15


TH 4: x ³

3
2

Phương trình thành -3 + 2 x - x = 15 + 10 x + 5 x -10 Û 14 x = -8 Û x = Câu 50. Tập nghiệm T của phương trình:
A. T = [3; +¥) .

x -3

=

x-4
B. T = [ 4; +¥) .

x -3
là:
x-4
C. (4;+Ơ) .

4
(l ) .
7

D. T = ặ .

Hng dn gii
Chn C.
Điều kiện: x > 4
Phương trình thành

é 0 x = 0 (ld )
éx -3 = x -3
x -3 = x -3 Û x -3 ³ 0 Ç ê
Û x ³3.
Û x ³ 3 Ç êê
êë x - 3 = 3 - x
ëx = 3
Vậy T = (4; +¥) .

Trang 17/15