1 4 các dạng toán phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 57tr đặng việt đông image marked

CÁC DẠNG TỐN
BÀI 3_CHƯƠNG 3_ĐẠI SỐ 10: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU
ẨN
STT
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

TÊN DẠNG TỐN

GHI
CHÚ

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Xác định nghiệm của phương trình bậc nhất 2 ẩn
Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh
Giải hệ phương trình ba ẩn với hệ số tường minh
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có 1 nghiệm duy nhất
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn vơ nghiệm, có nghiệm
Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có vơ số nghiệm.
Tìm điều kiện để hệ 3 ẩn có nghiệm thỏa điều kiện cho trước

Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình 2 ẩn.
Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình 3 ẩn.

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
I – LÝ THUYẾT
1. Phương trình bậc nhất hai ẩn.
Có dạng ax  by  c (a, b, c  , a 2  b 2  0) .
Cặp số ( x0 ; y0 ) gọi là nghiệm của phương trình ax  by  c nếu ( x0 ; y0 ) thỏa mãn phương trình

ax  by  c .
Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt phẳng Oxy là một

a
c
x .
b
b
2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
a x  b1 y  c1
Có dạng  1
với x, y là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
a2 x  b2 y  c2
đường thẳng d : ax  by  c  y 

Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b
c
Ký hiệu: D  1 1  a1b2  a2b1 , Dx  1
a2 b2
c2

b1
a
 c1b2  c2b1 , Dy  1
b2
a2

Xét D
D0
D0

Dx  0 hoặc Dy  0

Dx  Dy  0

c1
 a1c2  a2 c1.
c2

Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất x 
Hệ vơ nghiệm.
Hệ có vô số nghiệm.

D
Dx
, y y
D
D

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp
thế, phương pháp cộng đại số.
Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm ( x; y ) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M ( x; y ) thuộc cả 2 đường thẳng:
(d1 ) : a1 x  b1 y  c1 và (d 2 ) : a2 x  b2 y  c2 .
 Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất  (d1 ) và (d 2 ) cắt nhau 

a1 b1

a2 b2

 Hệ ( I ) vô nghiệm  (d1 ) và (d 2 ) song song với nhau 
 Hệ ( I ) có vô số nghiệm  (d1 ) và (d 2 ) trùng nhau 

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a1 x  b1 y  c1 z  d1

Có dạng: a2 x  b2 y  c2 z  d 2 với x, y, z là ẩn, các chữ số còn lại là hệ số.
a x  b y  c z  d
3
3

3
 3
Cách giải: Giải bằng phương pháp cộng đại số hoặc bằng phương pháp thế.
II – DẠNG TOÁN
1. Dạng 1: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp giải: Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt
phẳng Oxy là một đường thẳng d : ax  by  c . Vẽ đường thẳng d : ax  by  c đi qua hai điểm

c
c
A(0; ), B( ;0) thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c .
b
a
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

01
-2

A. x  y – 2  0 .

B. x  y  2  0 .

C. 2 x  y  2  0 .
Lời giải

Chọn D.
Cách 1: Giải theo tự luận

D. 2 x  y – 2  0 .


Gải sử đường thẳng có phương trình y  ax  b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (1;0), (0; 2) nên tọa
a  b  0
a  2
độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ 

b  2
b  2

Vậy đường thẳng có phương trình: y  2 x  2  2 x  y  2  0
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm (1;0), (0; 2) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,
phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.
Thay điểm (1;0) vào đáp án A, ta được: 1  0 không thỏa mãn. Loại A, tương tự ta loại B và C.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

A. 3 x  2 y  6  0 .

3

B. 3 x  2 y  6  0 .
C. 3 x  2 y  6  0 .

-2

O

D. 3 x  2 y  3  0 .

x

Lời giải
Chọn A.
Cách 1: Giải theo tự luận
Gải sử đường thẳng có phương trình y  ax  b . Đường thẳng đi qua 2 điểm (2;0), (0;3) nên tọa
3

2a  b  0
a 
độ 2 điểm này thỏa mãn phương trình. Từ đó ta có hệ 

2
b  3

b  3

Vậy đường thẳng có phương trình: y 

3
x  3  3x  2 y  6  0
2

Ta chọn đáp án A.
Cách 2: Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy đường thẳng đi qua 2 điểm (2;0), (0;3) , ta thay tọa độ 2 điểm vào mỗi phương trình,

phương trình nào thỏa mãn thì đó là đáp án cần chọn.
Thay điểm (2;0), (0;3) vào đáp án A: thỏa mãn. Chọn đáp án A.


B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT.
Câu 1:

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y

0
-1

A. x  2 y – 2  0 .
Câu 2:

2

B. x  2 y  2  0 .

x

C. 2 x  y  2  0 .

D. 2 x  y – 2  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y
1

0
-1

A. x  2 y  0 .
Câu 3:

2

B. x  2 y  0 .

x

C. 2 x  y  0 .

D. 2 x  y  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
y
-3

A. 2 x  5 y  1  0 .
Câu 4:

1
0
-1

2

B. 2 x  5 y  1  0 .

x

C. 2 x  5 y  1  0 .

D. 2 x  5 y  1  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?


y
2
1
01
-1

A. 3 x  2 y  7  0 .
Câu 5:

3

B. 3 x  2 y  7  0 .

x

C. 3 x  2 y  7  0 .

D. 3 x  2 y  7  0 .

Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?

y

-2

0
-1

2

x

-3

A. x  2 y  4 .

B. x  2 y  4 .

C.  x  2 y  4 .

D. x  2 y  4 .

THƠNG HIỂU.
Câu 6:

Cho các hình sau:
y

O 1

y

3

x

Hình 1

y
3

3
-3

O 1

-3

y

3

x

Hình 2

O 1

x
-3

-3

Hình 3

Hình 4

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  y  3  0 ?
A. Hình 3.
Câu 7:

Cho các hình sau:

B. Hình 1.

C. Hình 2.

O 1

D. Hình 4.

x


y

y

1

x

O

1
O

y

1

1

x

1

y

-1

O

x

O

1

x

-1

Hình 1
Hình 2
Hình 3
Hình 4
-4
Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình 4 x  2 y  3-4 0 ?
A. Hình 1.
Câu 8:

B. Hình 3.

Cho các hình sau:

D. Hình 4.

y

y

3

-2
-5

C. Hình 2.

1
0

-1

y
5

1
0
-1

5

01
-1

y
2
01

-3

Hình 1

Hình 2

Hình 3

5

Hình 4

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  2 y  5  0 ?
A. Hình 4.

Câu 1
A

B. Hình 1.

C. Hình 2.

ĐÁP ÁN CÂU HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 1
Câu 2
Câu 3
Câu 4
Câu 5
Câu 6
Câu 7
A
C
B
B
C
C

D. Hình 3.

Câu 8
B

2. Dạng 2: Xác định được nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương pháp giải: Cặp số ( x0 ; y0 ) là nghiệm của phương trình ax  by  c nếu ax0  by0  c
thỏa mãn.
A. VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1: Cặp số nào sau đây là một nghiệm của phương trình 3 x  2 y  6  0 ?
 3
A. 1;  .
 2

B.  2;  6  .

C.  3;  2  .

D.  2; 6  .


Lời giải
Chọn B.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào thỏa mãn thì đó là nghiệm của phương
trình.
Ví dụ 2: Cặp số nào sau đây khơng phải là nghiệm của phương trình 2 x  5 y  3  0 ?
 5
A.  0;  .
 3

 3 
C.  ;0  .
 2 

B. 1;1 .

D.  6;3 .

Lời giải
Chọn A.
Lấy các cặp số lần lượt thay vào phương trình, cặp số nào khơng thỏa mãn thì đó khơng phải là
nghiệm của phương trình.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
NHẬN BIẾT.
Câu 1:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x  2 y  3  0 ?
 3 
A.  0;  .
 2 

B. 1;1 .

C.  5;1 .

D.  3;  3 .

Câu 3:

x y
 1  0 ?
2 3
A.  0;3 .
B.  2;3 .
C.  2; 0  .
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 4 x  5 y  2 ?

Câu 4:

 1 1 
1 1
 1 1 
A.  ;  .
B.  ;  .
C.  ;  .
 4 5
 4 5
 4 5 
Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 4 x  5 y  2 ?

Câu 5:

 1 1 
1 1
 1 1 
 1 1 
A.  ;  .
B.  ;  .
C.  ;  .
D.  ;  .
 4 5
 4 5
 4 5 
4 5 
Cặp số nào sau đây khơng phải là nghiệm của phương trình x  y  2 ?

Câu 2:

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình

A.  1;  1 .
Câu 6:

D.  0; 2  .

x y
  1 ?
2 3
C.  4;3 .
D.  0;  3 .

B.  2;0  .

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
A.  1;1 .

Câu 8:

C.  3;1 .

 1 1 
D.  ;  .
4 5 

Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình
A.  4;9  .

Câu 7:

B.  2;0  .

D.  2;  3 .

B. 1;1 .

3 x
1
 2y  ?
2
2

 1
C.  0;  .
 4

THÔNG HIỂU
Cặp số nào sau đây khơng phải là nghiệm của phương trình x  y  2 ?

 1 
D.  ;0  .
 3 


A.  x0 ;  2  x0  .
Câu 9:

B.  x0  2;  x0  .

C.  2  x0 ; x0  .

D.  1  x0 ;1  x0  .

Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 2 x  y  1  0 ?
A.  x0 ;1  2 x0  .

B.  x0  1;  2 x0  .

C.  2  x0 ; 2 x0  3 .

D.  1  x0 ;1  2 x0  .

Câu 10: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình x  2 y  3  0 ?
A.  2a  3; a  .

B.  2a  2; a  1 .

C.  5  2a; a  1 .

D.  1  2a;1  a  .

x y 5
   0?
2 3 6
A.  2b  1;3b  1 .
B.  2b  1;3b  1 .
C.  2b  1;  3b  1 . D.  2b  1;3b  1 .

Câu 12: Cặp số nào sau đây không phải là nghiệm của phương trình 3 x  y  4  0 ?
Câu 11: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình

A.  t ; 4  3t  .

B.  t  1;1  3t  .

Câu 1

Câu 2

Câu 3

B

C

D

C.  t ;  4  3t  .

D.  2t ; 4  6t  .

ĐÁP ÁN CÂU HỎI LUYỆN TẬP DẠNG 2
Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 Câu 9
A

D

A

A

D

A

Câu
10
A

Câu
11
B

Câu
12
C

3. Dạng 3: Giải hệ phương trình hai ẩn với hệ số tường minh
Phương pháp giải:
Tự luận: Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế, hoặc định thức Crame.
Công thức nghiệm: Quy tắc Crame.
a b
c b
a c
Ký hiệu: D  1 1  a1b2  a2b1 , Dx  1 1  c1b2  c2b1 , Dy  1 1  a1c2  a2 c1.
a2 b2
c2 b2
a2 c2

Xét D
D0
D0

Dx  0 hoặc Dy  0

Dx  Dy  0

Kết quả
Hệ có nghiệm duy nhất x 

D
Dx
, y y
D
D

Hệ vơ nghiệm.
Hệ có vơ số nghiệm.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c trong mặt phẳng Oxy là một

c
c
đường thẳng d : ax  by  c . Vẽ đường thẳng d : ax  by  c đi qua hai điểm A(0; ), B( ;0)
b
a
thì d là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình ax  by  c .
A. VÍ DỤ MINH HỌA

 2 x  y  1
Ví dụ 1: Nghiệm của hệ: 
là:
3 x  2 y  2
A.






B.



D. 2  2; 2 2  3 .

2  2; 2 2  3 .

C. 2  2;3  2 2 .



2  2; 2 2  3 .







Lời giải
Chọn C.
Cách 1: Giải theo tự luận: Phương pháp thế





Ta có : y  1  2 x  x  2 1  2 x  2  x  2  2  y  3  2 2 .
Ta chọn đáp án C
Cách 2: Bấm máy
Sử dụng MTCT: Bấm theo cú pháp: MODE – 5 -1, nhập các hệ số ở 2 phương trình của hệ, bấm
tiếp phím =, = để đọc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.

x  2 y  1
Ví dụ 2: Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3 x  6 y  3
A. 0.
B. 1.
C. 2.

D. Vô số nghiệm.

Chọn D.
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận

Ta lập các tỉ số :

1 2 1
 
3 6 3

 Hệ phương trình có vô số nghiệm
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Chọn đáp án D.
6 5
x  y  3

Ví dụ 3: Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 9  10  1
 x y

A. (3; 5)

1 1
B. ( ; )
3 5

C. (3;5)

Chọn C.
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận

1
1
Đặt ẩn phụ : u  , v  .
x
y

D. (

1 1
; )
3 5


1

u

6u  5v  3
12u  10v  6

3
Hệ phương trình trở thành 


9
u

10
v


1
9
u

10
v

1
1


v 

5

x  3

y  5
Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Sử dụng MTCT
Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản rồi bấm máy, sau đó lấy nghịch đảo là đc nghiệm của hệ.
Chọn đáp án C.

 x  1  y  0
Ví dụ 4 : Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
2 x  y  5
A. x  3; y  2.
B. x  2; y  1.
C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

Chọn B.
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận
Từ phương trình 2, rút y theo x, rồi thay vào phương trình 1.

 x 1  5  2x
 x  2  y  1 . Chọn B.
Ta có : x  1  2 x  5  0  5  2 x  0  
 x  1  5  2 x
Cách 2: Giải theo trắc nghiệm: Lần lượt thay các đáp án vào hệ, đáp án nào thỏa mãn thì ta chọn
đáp án đó. Chọn B.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

ìï 2 x + y = 1
ï
Câu 1. Nghiệm của hệ: í
là:
ïï3 x + 2 y = 2
ïỵ
A.

(
(

)

B.

)

D. 2 - 2; 2 2 - 3

2 - 2; 2 2 - 3

C. 2 - 2; 3 - 2 2

(
(

)

2 + 2; 2 2 - 3

)


ìï( 2 + 1)x + y = 2 - 1
ï
Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình í
là:
ïï 2 x - ( 2 - 1) y = 2 2
ùợ
ổ
ổ
1ử
1ử

A. ỗỗ1; - ữữữ
B. ỗỗ-1; ữữữ
C. (1; 2)
2ứ
2ứ
ốỗ
ốỗ

D. (1; -2)

ùỡ2 x - 3 y = 4
Câu 3. Tập hợp các nghiệm (x, y) của hệ phương trình : ïí
là tập hợp nào sau đây.
ïïỵ-6 x + 9 y = -12
A.Một đường thẳng.
B.Tồn bộ mặt phẳng Oxy.
D. f

C.Nửa mặt phẳng.

ìï2 x + 3 y = 5
Câu 4. Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm (x, y) : ïí
ïïỵ4 x + 6 y = 10
A.0
B.1
C.2

D.Vơ số

ïì3 x + 4 y = 1

Câu 5. Tìm nghiệm của hệ phương trình: ïí
ïïỵ2 x - 5 y = 3
ổ 17
ổ 17 7 ử
ổ 17
7ử
7ử
A. ỗỗỗ ; - ữữữ
B. ỗỗỗ- ; ữữữ
C. ỗỗỗ- ; - ữữữ
ố 23 23 ø
è 23 23 ø
è 23 23 ø

ỉ 17 7 ư
D. ççç ; ÷÷÷
è 23 23 ø

ìï5 x - 7 y + 3 = 0
Câu 6. Tìm (x, y) sao cho : ïí
ïïỵ2 x + y - 1 = 0
ỉ 4
ỉ 4 11 ử
11 ử
A. ỗỗỗ- ; - ữữữ
B. ỗỗỗ- ; ữữữ
ố 19 19 ứ
ố 19 19 ứ

ổ4

11 ử
D. ỗỗỗ ; - ÷÷÷
è 19 19 ø

Câu 7. Hệ phương trình sau cú bao nhiờu nghim
A. 0.

ổ 4 11 ử
C. ỗỗỗ ; ÷÷÷
è 19 19 ø

2 x  3 y  5
4 x  6 y  10

 x; y  : 

B. 1.

C. 2.

D.Vô số.

7 
 17
C.   ;   .
 23 23 

 17 7 
D.  ;  .
 23 23 

3 x  4 y  1
Câu 8. Tìm nghiệm của hệ phương trình: 
2 x  5 y  3
7 
 17
;  .
 23 23 

A. 

 17 7 
B.   ;  .
 23 23 

0,3 x  0, 2 y  0,33  0
Câu 9. Tìm nghiệm  x; y  của hệ : 
1, 2 x  0, 4 y  0, 6  0
A.  –0, 7;0, 6  .

B.  0, 6; –0, 7  .

C.  0, 7; –0, 6  .

x  2 y  2
Câu 10. Hệ phương trình: 
có bao nhiêu nghiệm ?
3 x  6 y  3
A. 0.
B. 1.

C. 2.

D. Vô nghiệm.

D. Vô số nghiệm.


Câu 11. Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất?
x  2 y  2  0
x  2 y  2  0
A. 
.
B.  2
.
C.
2 x  y  3  0
y 3  0

x  y 1  0
.

2 x  2 y  3  0

 x2  y  2  0
D. 
2 x  2 y  0

x  3y  5  0
Câu 12. Giải hệ phương trình 
có nghiệm là

2 y  4  0
A. 1; 2  .

B.  1; 2  .

C. 10;5  .

D.  10; 5  .

2 x  y  3
Câu 13. Giải hệ phương trình 
ta được kết quả là?
4 x  2 y  6  0
A. có nghiệm  x; 2 x  3 x   .

B. vơ nghiệm.

C. có nghiệm (2;1).

D. có nghiệm   x; y  .





 2  1 x  y  2  1
Câu 14. Nghiệm của hệ phương trình 
là:
2
x


2

1
y

2
2

1
1


A. 1;   .
B.  1;  .
C. 1; 2  .
2
2







D. 1; 2  .

2  x  y   3  x  y   4
Câu 15. Hệ phương trình : 
. Có nghiệm là

 x  y   2  x  y   5
 1 13 
A.  ;  .
2 2 

 1 13 
B.   ;   .
 2 2

 13 1 
C.  ;  .
 2 2

 13 1 
D.   ;   .
 2 2

3 x  y  1
Câu 16. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính x0  y0
6 x  3 y  5
A.

11
3

B.

2
3

C.

7
3

D. 3

2 x  y  11
Câu 17. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính x02  y02
5 x  4 y  8
A. 16

B. 25

C. 9

D. 5

2
3
x

y  16
 4
3
Câu 18. Gọi ( x0 ; y0 ) là nghiệm của hệ phương trình: 
. Tính 2x02  y03
5

3
 x  y  11
 2
5
A. 8
B. 15
C. 3503
D. 3439

x  8
. Do đó đáp án đúng là C.
y

15


Đáp án sai : Giải hệ PT ta được 


3 2
 x  y  7

Câu 19. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
5  3 1
 x y

A.  1; 2 
4
x 


Câu 20. Hệ phương trình 
2 
 x

B. 1; 2 

1
C. (1;  )
2

D. (1; 2)

C. (1; 2)

D. (1; 2)

1
3
y 1
có nghiệm là:
2
4
y 1

A. (1;0)

B.  1;0 

2

 6
 x  2y  x  2y  3

Câu 21. Hệ phương trình 
có nghiệm là:
 3  4  1
 x  2 y x  2 y

7 5
A. ( ; )
9 6
 3
 x 1 

Câu 22. Hệ phương trình 
 2 
 x  1

2 7
A. ( ; )
5 5

B. (

3 87
;
)
70 140

C. (

3 87
;
)
70 140

D. (

7 5
; )
9 6

D. (

7 2
; )
2 7

2
4
y 1
có nghiệm là:
3
5
y 1

B. (

2 7
; )

5 5

7 2
C. ( ; )
2 7

 x  1  y  0
Câu 23. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
2 x  y  5
A. x  3; y  2.
B. x  2; y  1.
C. x  4; y  3.

D. x  4; y  3.

 x  3 y  1
Câu 24. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
 x  y  3
A. (5; 2), (2; 1).
B. (5; 2), (2; 1).
C. (5; 2), (5; 2).

D. (2;1), (2;1).

2 x  y  7
Câu 25. Hệ phương trình: 
có nghiệm là ?
3

x

5
y

9



A. (

43 3
; )
13 13

B. (

43 3
; )
13 13

C. (

26 3
; )
7 7

D. (

26 3

; )
7 7

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu
1
C
Câu
14
D

Câu
2
D
Câu
15
B

Câu
3
A
Câu
16
A

Câu
4
D
Câu
17

A

Câu
5
A
Câu
18
C

ĐÁP ÁN DẠNG 3
Câu
Câu
Câu
6
7
8
C
D
A
Câu
Câu
Câu
19
20
21
C
A
B

Câu

9
C
Câu
22
C

Câu
10
A
Câu
23
B

Câu
11
A
Câu
24
A

Câu
12
A
Câu
25
D

Câu
13
A

4. Dạng 4: Giải hệ phương trình ba ẩn với hệ số tường minh
- Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax  by  cz  d ,
trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.
a1 x  b1 y  c1 z  d1

- Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tam giác là b2 y  c2 z  d 2
1
c z  d
3
 3
Cách giải: Từ phương trình cuối của hệ (1) ta tính được z , thay vào phương trình thứ hai tính

được y rồi thay vào phương trình đầu tính được x.

-

a1 x  b1 y  c1 z  d1

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là a2 x  b2 y  c2 z  d 2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

 2

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số.Mỗi bộ ba số  x0 ; y0 ; z0  nghiệm đúng của

ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình  2  .
Cách giải:Bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương
trình dạng tam giác.

A. VÍ DỤ MINH HỌA
 x  y  z  1

Ví dụ 1: Hệ phương trình  7 y  z  5 có nghiệm là:

2z  4


A. (2;1; 2).

B. (2; 1; 2).

C. (2; 1; 2).
Lời giải

D. (2; 1; 2).


Chọn A.
Giải tự luận:
Từ phương trình cuối suy ra z  2. thay giá trị này của z vào phương trình thứ hai, ta được y  1.
Cuối cùng, thay các giá trị của y và z vừa tìm được vào phương trình đầu ta tìm được x  2 .
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x; y; z )  (2;1; 2)
Giải trắc nghiệm:
Bấm máy tính  Chọn A.
x  y  z  3


Ví dụ 2: Hệ phương trình 2 x  y  2 z  3 có nghiệm là:
 x  3 y  3 z  5


A. (1; 3;–1)

B. (1; 3;–2)

C. (1; 2; –1)

D. (1; –3; –1)

Lời giải
Chọn A.
Giải tự luận:
Cách 1:
Cộng phương trình thứ nhất và thứ hai theo vế, ta được hệ phương trình sau:
x  y  z  3

3 x  3 z  0
 x  3 y  3 z  5


Nhân hai vế phương trình đầu với 3, xong đem cộngtheo vế với phương trình cuối, ta được hệ
x  y  z  3

x  z  0
4 x  4


Từ phương trình cuối ta có x  1, thay vào phương trình hai tính được z  1. thay đồng thời x, z
vào phương trình đầu thì y  3. Vậy nghiệm của hệ là (1;3;  1).
Cách 2:Rút ẩn từ một phương trình thay vào hai phương trình cịn lại.


Từ phương trình đầu ta rút được z  3  x  y, đem thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ:
z  3  x  y

2 x  y  2 z  3
 x  3 y  3 z  5

z  3  x  y

Thế phương trình đầu vào hai phương trình sau ta có hệ 3 y  9
4 x  4


Từ hai phương trình cuối dễ tính được x  1, y  3. Thay vào phương trình đầu được z  1.
Vậy nghiệm của hệ là (1;3;  1).
Giải trắc nghiệm:
Bấm máy tính  Chọn A.
 x  2 y  3z  1

Ví dụ 3: Hệ phương trình  x  3 y  1
có nghiệm là
 y  3 z  2


A. (2;1;1).

B. (-2;1;1).

C. (2;-1;1).

D. (2;1;-1).

Lời giải
Chọn A.
Giải tương tự Ví dụ 2.

3 x  y  3 z  1

Ví dụ 4: Gọi  x0 ; yo ; z0  là nghiệm của hệ phương trình  x  y  2 z  2 . Tính giá trị của biểu thức
 x  2 y  2 z  3

P  x02  y02  z02 .
A. P  2.

B. P  14.

C. P  3.

D. P  1.

Lời giải
Chọn C.
Tương tự các ví dụ trên, giải được  x0 ; yo ; z0  = (1;1;1) thay vào P được kết quả P  3.

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 9:

3 x  2 y  z  7

Nghiệm của hệ phương trình 4 x  3 y  2 z  15 là:
 x  2 y  3 z  5


A. (-10; 7; 9)

B. (5; -7; 8)

C. (-10, -7; 9)

D.( -5; -7; -8)

Câu 10: Bộ  x; y; z   1; 0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ?
2 x  3 y  6 z  10  0

A.  x  y  z  5
.
 y  4 z  17


 x  7 y  z  2

B. 5 x  y  z  1 .
x  y  2z  0



2 x  y  z  1

C.  x  y  z  2 .
 x  y  z  2


 x  2 y  z  2

D.  x  y  z  4 .
 x  4 y  z  5


x  2 y  1

Câu 11: Hệ phương trình  y  2 z  2 có nghiệm là ( x0 ; y0 ; z 0 ) thì giá trị của biểu thức
z  2x  3


F  2 x0  y0  3 z 0 là:

A.4

Câu 12: Gọi

B.5

 x; y; z 

D.6

3 x  2 y  z  2

là nghiệm của hệ phương trình 5 x  3 y  2 z  10 . Tính giá trị của biểu thức
2 x  2 y  3 z  9


M  x yz.
A. -1

Câu 13: Gọi

C.2

 x0 ; yo ; z0 

B.35

C.15

D.21

3 x  y  3 z  1

là nghiệm của hệ phương trình  x  y  2 z  2 . Tính giá trị của biểu thức
 x  2 y  2 z  3


P  x02  y02  z02 .

A. P  1.

Câu 14: Gọi

 x0 ; yo ; z0 

B. P  2.

C. P  3.

D. P  14.

 x  y  z  11

là nghiệm của hệ phương trình 2 x  y  z  5 . Tính giá trị của biểu thức
3 x  2 y  z  24


P  x0 y0 z0 .

A. P  40.

B. P  40.

C. P  1200.

D. P  1200.


Câu 15: Gọi

 x0 ; yo ; z0 

x  2 y  1

là nghiệm của hệ phương trình  xz  z  1
. Tính giá trị của biểu thức
 xz  yz  3 z  1


P  x0 y0 z0 .

A. P  0.

B. P  1.


2 2 x  1 


Câu 16: Nghiệm của hệ phương trình  2 x  1 


4 2 x  1 

A. (1;0;0).
B. (1;1;1).

C. P  2.

3
 4 z 1  1
x y
3
 z  1  1 là:
x y
1
 2 z 1  3
x y
C. (1; 0;1).
Lời giải

Chọn A.

1

x  2

Điều kiện:  x  y
 z  1


a  2 x  1

1

Đặt b 
x y



c  z  1

2a  3b  4c  1

Hệ trở thành a  3b  c  1 .
4a  b  2c  3

a  1

Giải hệ ta được b  1 
c  1

Vậy hệ có nghiệm (1;0;0).

D. P  2.

 2x 1  1

x  1
 1

 1   y  0 thỏa mãn điều kiện.

 x y
z  0


z

1


1


D. (1; 0; 1).


Câu
1
D

Câu
2
C

Câu
3
B

Câu
4
B

Câu
5
C

ĐÁP ÁN DẠNG 4
Câu
Câu

Câu
6
7
8
B
A
A

5. Dạng 5:Tìm điều kiện để hệ 2 ẩn có một nghiệm duy nhất.
Phương pháp giải
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

a1 x  b1 y  c1 2
(a1  b12  0, a22  b22  0)

a2 x  b2 y  c2
Cách 1: Tính các định thức: D 

D D
Hệ có nghiệm duy nhất  x ; y
 D D
Cách 2: Nếu tỉ số:

a1

b1

a2

b2

, Dx 

c1

b1

c2

b2

, Dy 

a1

c1

a2

c2

.


 khi D  0.


D D 
a1 b1


thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất  x ; y 
a2 b2
 D D

A. VÍ DỤ MINH HỌA

mx  y  m
Ví dụ 1: cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
 x  my  m
A. m  1.

B. m  1.

C. m  1.
Lời giải

Chọn C.
Cách 1:
Ta có: D  m 2  1 .
Hệ có nghiệm duy nhất khi D  0  m  1.
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi

m 1
  m  1.
1 m

D. m  0.

3 x  my  1
Ví dụ 2: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có đúng một nghiệm: 
mx  3 y  m  4
A. m  3 hay m  3.

B. m  3 và m  3.

C. m  3.

D. m  3.
Lời giải

Chọn B.
Cách 1:
Ta có : D 

3 m
 9  m2
m 3

Phương trình có đúng một nghiệm khi D  0  m  3 .
Cách 2:
Hệ có nghiệm duy nhất khi

3
m

 m  3.
m

3

Ví dụ 3: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau cắtnhau

 d1  :  m2 –1 x – y  2m  5  0 và  d 2  : 3x – y  1  0
A. m  2.

B. m  2.

C. m  2 hay m  2.

D. m  2.
Lời giải

Chọn D.
Cách 1:

(m 2  1) x  y  2m  5
Để hai đường thẳng cắt nhau thì hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất
3 x  y  1

 D  0  m 2  4  0  m  2.
Cách 2:
Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau khi

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

m 2  1 1


 m 2  4  m  2.
3
1


 x  ay  5
Câu 1: Tìm tát cả các giá trị của a để hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất.
ax  y  6
A. a  1.
B. a    1
C. a  1
D. a    1
mx  3 y  2m  1
Câu 2: Tìm tất cả các giá trị của m để hệ 
có nghiệm duy nhất ?
 x  (m  2) y  m  3
A. m  1.
B. m  3.
C. m  1 hoặc m  3.
Câu 3:

Câu 4:

mx  (2  m) y  5
Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình 
có một nghiệm duy nhất?
x  y  3
A. m  1
B. m  0

C. m  2
D. m  R
3 x  my  1
Hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất là :
2 x  5 y  3
3m  5

 x  2m  15
A. 
7
y 
2m  15


Câu 5:

D. m  1 và m  3.

3m  5

 x  2m  15
B. 
7
y 
2m  15


3m  5


 x  2m  15
C. 
 y  7
2m  15


3m  5

 x  2m  15
D. 
 y  7
2m  15


2 x  y  1
Cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ có nghiệm duy nhất khi
mx  y  m  1
A. m  2.
B. m  2.
C. m  2
D. m  2.
Lời giải
Chọn A.
Cách 1:

 x  0

 2 x  y  1
 mx  y  m  1

Hệ tương đương 
 x  0
 2 x  y  1

 mx  y  m  1

(1)

(2)

Tập nghiệm của hệ ban đầu là tập hợp hai tập nghiệm của hai hệ (1) và (2).
Hệ (1) có: D1  2  m; D1x  m; D1 y  1.
Hệ (2) có: D2  2  m; D2 x  3m  2; D2 y  3m  2.


 (1) co nghiem duy nhat

(2) VN
Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất khi: 
giải ta được m  2.
 (1) VN

 (2) co nghiem duy nhat
Vậy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Cách 2:
Thử thấy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất  loại D, A phù hợp.
Kiểm tra thấy m  2 thì hệ có vơ số nghiệm  loại B.
Kiểm tra đáp án C. Ta thử lấy m tùy. VD lấy m  1 hoặc m  0 ,… thấy hai hệ (1) và (2) đều có
nghiệm duy nhất và khác nhau, nên hệ ban đầu có 2 nghiệm  loại C.
Vậy m  2 thì hệ có nghiệm duy nhất.

-

Câu 6:

mx  y  3
Cho hệ phương trình : 
.Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình
 x  my  2m  1
có nghiệm nguyên là :
A. m  0, m  –2.
B. m  1, m  2, m  3.
C. m  0, m  2.

Câu 7:

Câu 8:

2 x  y  2  a
Cho hệ phương trình : 
. Các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương
x  2 y  a 1
hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
1
1
A. a  1.
B. a  1.
C. a  .
D. a   .
2
2

mx  (m  2) y  5
Cho hệ phương trình : 
. Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của
 x  my  2m  3
tham số m là :
5
5
A. m  2 hay m  .
B. 2  m  .
2
2
C. m  

Câu 9:

D. m  1, m  –3, m  4.

5
5
hay m  2. D.   m  1.
2
2

 a  b  x   a  b  y  2
Cho hệ phương trình :  3 3
3
3
2
2
 a  b  x   a  b  y  2  a  b )

Với a  b , a.b  0 , hệ có nghiệm duy nhất bằng :


A. x  a  b, y  a – b.
C. x 

a
b
,y
.
ab
ab

B. x 

1
1
,y
.
ab
a b

D. x 

a
b
,y
.
a b
a b

mx  2 y  m  1
( I ). Khi hệ ( I ) có nghiệm ( x; y ), thì hệ thức độc lập giữa
Câu 10: Cho hệ phương trình 
2 x  my  2m  5
x, y đối với m là
A. 2 x  2 y  1.

B. x  y  3.

C. 2 x  2 y  1.

D. x  y  3.

Câu
1
A

Câu
2
D

Câu
3
D

Câu
4
A

Câu
5
A

ĐÁP ÁN DẠNG 5
Câu
Câu
Câu
6
7
8
A
C
D

Câu
9
B

Câu
10
D

6. Dạng 6:Tìm điều kiện để hệ bặc nhất 2 ẩn vơ nghiệm, có nghiệm.
Phương pháp giải
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ phương trình có dạng

a1 x  b1 y  c1 2
(a1  b12  0, a22  b22  0)


a2 x  b2 y  c2
Cách 1: Tính các định thức: D 
-

a1
a2

b1
c
, Dx  1
b2
c2

b1
a
, Dy  1
b2
a2

c1
.
c2

Hệ vô nghiệm khi D  0; và có ít nhất một trong hai định thức Dx  0 hoặc Dy  0

D  0
Hệ có nghiệm khi 
 D  Dx  Dy  0
Cách 2:
-

a1 b1 c1
 
a2 b2 c2

-

Hệ vô nghiệm khi:

-

 a1 b1
a  b
2
Hệ có nghiệm khi:  2
 a1 b1 c1
a  b  c
 2
2
2


A. VÍ DỤ MINH HỌA

mx  y  m
Ví dụ 1: cho hệ phương trình 
, m là tham số. Hệ vô nghiệm khi
 x  my  m
A. m  0.

B. m  1.

C. m  1.

D. với mọi m  .

Lời giải
Chọn C.
Cách 1:

m 2  1  0
 m  1.
Hệ vô nghiệm khi  2
m  m  0
Vậy m  1 thì hệ vơ nghiệm.
Cách 2:
Hệ vô nghiệm khi:

m 1 m
   m  1.
1 m m

Vậy m  1 thì hệ vơ nghiệm.
Cách 3:
Dùng máy tính thử các đáp án, thấy đáp án C đúng.
Vậy m  1 thì hệ vơ nghiệm.

mx   m  4  y  2
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 
. Để hệ này vơ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số

m  x  y   1  y
m là:
A. m  0
B. m  1 hay m  2.
1
C. m  1 hay m  .
2

D. m  
Lời giải

Chọn A.
Cách 1:

mx   m  4  y  2
Ta có: Hệ tương đương 
mx   m  1 y  1

1
hay m  3.
2


D  m  m  1  m  m  4   3m
Dx  m  2; Dy  2m.
Xét D  0  m  0, khi đó Dx  2  0  hệ vơ nghiệm.
Vậy m  0 hệ vô nghiệm.
Cách 2:

mx   m  4  y  2

 D  m  m  1  m  m  4   3m
Ta có: Hệ trở thành 
mx

m

1
y

1



Hệ vơ nghiệm  D  0  m  0
Thử lại thấy m  0 thoả điều kiện.
Vậy m  0 hệ vơ nghiệm.

x  2 y  3
Ví dụ 3:Với giá trị nào của m thì hệ phương trình 
có nghiệm
mx  y  1  m
1
1
1
A. m  .
B. m  .
C. m  .
2
2
2

D. m 

1
.
2

Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
D  1  2m.

Dx  m  1; Dy  4m  1.
1
3
1
Xét D  0  m  , khi đó Dx   0  hệ vơ nghiệm. m   khơng thỏa mãn.
2
2
2

Cách 2:
Bấm máy tính, thử với m 

1
hệ vô nghiệm, các giá trị khác của m hệ có nghiệm.
2

ax  y  a 2
Ví dụ4:Tìm a để hệ phương trình 

vơ nghiệm:
 x  ay  1
A. a  1.
B. a  1 hoặc a  1 . C. a  1.
Lời giải

D. Khơng có a .