1 1 bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn 46tr đặng việt đông image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (414.27 KB, 46 trang )
BÀI 2_CHƯƠNG 4_ĐẠI SỐ 10
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 ẨN
I – KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
1. Bất phương trình một ẩn
Bất phương trình ẩn
f (x ) < g (x )
x
là mệnh đề chứa biến có dạng
( f ( x ) £ g ( x ))
(1)
trong đó f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của
x.
Ta gọi f ( x ) và g ( x ) lần lượt là vế trái của bất phương trình (1). Số thực x 0 sao cho
f (x0 ) < g (x0 )
( f ( x 0 ) £ g ( x 0 )) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vơ
nghiệm.
Chú ý:
Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g ( x ) > f ( x ) ( g ( x ) ³ f ( x )).
2. Điều kiện của một bất phương trình
Tương tự đối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số
x
kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1).
để f ( x ) và g ( x ) có nghĩa là điều
3. Bất phương trình chứa tham số
Trong một bất phương trình, ngồi các chữ đóng vai trị ẩn số cịn có thể có các chữ khác được xem
như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem
với các giá trị nào của tham số bất phương trình vơ nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các
nghiệm đó.
II – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN
Hệ bất phương trình ẩn
chúng.
x
gồm một số bất phương trình ẩn
x
mà ta phải tìm nghiệm chung của
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.
III – MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Bất phương trình tương đương
Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó.
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương đương với
nhau và dùng kí hiệu " Û " để chỉ sự tương đương đó.
2. Phép biến đổi tương đương
Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương
trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn
giản nhất mà ta có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi
tương đương.
3. Cộng (trừ)
Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của
bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P (x ) < Q (x ) Û P (x )+ f (x ) < Q (x )+ f (x )
4. Nhân (chia)
Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương (mà khơng
làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia)
hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều
kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.
P ( x ) < Q ( x ) Û P ( x ). f ( x ) < Q ( x ). f ( x ), f ( x ) > 0, "x
P ( x ) < Q ( x ) Û P ( x ). f ( x ) > Q ( x ). f ( x ), f ( x ) < 0, "x
5. Bình phương
Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế khơng âm mà khơng làm thay đổi điều kiện
của nó ta được một bất phương trình tương đương.
P ( x ) < Q ( x ) Û P 2 ( x ) < Q 2 ( x ), P ( x ) ³ 0, Q ( x ) ³ 0, "x
6. Chú ý
Trong quá trình biến đổi một bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những
điều sau
1) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình
có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa
mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
2) Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình P ( x ) < Q ( x ) với biểu thức f ( x ) ta cần lưu ý đến điều
kiện về dấu của f ( x ). Nếu f ( x ) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường
hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến hệ bất phương trình.
3) Khi giải bất phương trình P ( x ) < Q ( x ) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường
hợp
a) P ( x ), Q ( x ) cùng có giá trị khơng âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.
b) P ( x ), Q ( x ) cùng có giá trị âm ta viết
P ( x ) < Q ( x ) Û -Q ( x ) < - P ( x )
rồi bình phương hai vế bất phương trình mới.
1. Dạng 1: ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CẶP BẤT PHƯƠNG
TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
a) Phương pháp giải tự luận.
1
là:
2 3x
Ví dụ 1. Tập xác định của hàm số y
2
A. ; .
3
2
B. ; .
3
3
C. ; .
2
3
D. ; .
2
Lời giải
Chọn B
2 3x 0
Hàm số xác định khi
2
x
3
Ví dụ 2. Tập xác định của hàm số y
A. ; 2 .
1
là:
2 x
B. 2; .
C. ; 2 .
D. 2; .
Lời giải
Chọn A
Hàm số xác định khi
2 x 0
x 2
Ví dụ 3. Bất phương trình nào sau đây khơng tương đương với bất phương trình x 5 0 ?
B. x 2 x 5 0 .
A. x 1 x 5 0 .
2
C.
x 5 x 5 0 .
x 5 x 5 0 .
D.
Lời giải
Chọn D
x 5 0 x 5 .
Tập nghiệm của bất phương trình là T1 5; + .
x 5 0
x 5
x 5.
x 5 x 5 0
x 5 0
x 5
Tập nghiệm của bất phương trình này là T2 5; + .
Vì hai bất phương trình này khơng có cùng tập nghiệm nên chúng khơng tương
đương nhau.
Ví dụ 4. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x 2 3x x 3 .
C.
B.
x 1
0 x 1 0 .
x2
1
0 x 1.
x
D. x x x x 0 .
Lời giải
ChọnD
Vì a b a c b c , c . Trong trường hợp này c x .
b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
NHẬN BIẾT
Câu 1. Tập xác định của hàm số y 3 2 x 5 6 x là
5
A. ; .
6
6
B. ; .
5
3
C. ; .
2
D. ; .
3
C. ; .
3 6
D. ; .
4 5
2
3
Câu 2. Tập xác định của hàm số y 4 x 3 5 x 6 là
6
A. ; .
5
6
B. ; .
5
4
1
là
x4
B. 1; \ 4 .
Câu 3. Tập xác định của hàm số y x 1
A. 1; .
C. 1; \ 4 .
D. 4; .
4 3
C. ; .
3 2
D. .
Câu 4. Tập xác định của hàm số y 2 x 3 4 3 x là
3 4
A. ; .
2 3
2 3
B. ; .
3 4
Câu 5. Tìm điều kiện xác định của bt phng trỡnh
A.
B. x ẻ (-Ơ;2 ].
x ẻ .
Cõu 6. Cho bất phương trình:
I
1
C.
8
1
3 x
2 - x + x < 2 + 1- 2x .
ổ
1ự
x ẻ ỗỗ-Ơ; ỳ .
ỗố
2 ỳỷ
ộ
ờở 2
1 . Mt hc sinh gii nh sau:
1
1 II x 3 III x 3
.
3 x 8 3 x 8 x 5
Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
A. I .
ù
úû
D. x Ỵ ê 1 ;2ú .
B. II .
C. III .
D. II và III .
Câu 7. Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương
A.
x 1 x và 2 x 1 x 1 x 2 x 1 .
2
C. x x 2 0 và x 2 0 .
B. 2 x 1
2
D. x x 2 0 và x 2 0 .
1
1
và 2 x 1 0 .
x3 x3
Câu 8. Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương:
A. 5 x 1
1
1
và 5 x 1 0 .
x2 x2
B. 5 x 1
2
C. x x 3 0 và x 3 0 .
1
1
và 5 x 1 0 .
x2 x2
2
D. x x 5 0 và x 5 0 .
THƠNG HIỂU
Câu 9. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
A. x Ỵ [-5;4].
B. x ẻ (-5;4 ].
x+
x +5
C. x ẻ [ 4; +Ơ).
Cõu 10. Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
A. x ẻ [-1; +Ơ). B. x ẻ (-1; +Ơ).
x -1
x +1
( x - 2)
2
> 2- 4- x.
D. x ẻ (-Ơ;-5).
< x + 1.
C. x ẻ [-1; +Ơ) \ {2}. D. x ẻ (-1; +Ơ) \ {2}.
Cõu 11. Bt phng trỡnh nào sau đây tương đương với bất phương trình x + 5 > 0?
A. (x – 1)2 (x + 5) > 0
B. x2 (x +5) > 0
C. x 5 (x + 5) > 0
D. x 5 (x – 5) > 0
3
3
<3+
tương đương với:
2x 4
2x 4
3
3
B. x < và x 2
C. x <
2
2
Câu 12. Bất phương trình: 2x +
A. 2x < 3
D. Tất cả đều đúng
Câu 13. Bất phương trình: (x+1) x( x 2) 0 tương đương với bất phương trình:
A. (x+1) x
x2 0
B.
( x 1) 2 x( x 2) 0
C.
( x 1) x( x 2)
( x 3)
2
0
D.
( x 1) x( x 2)
( x 2) 2
0
Câu 14. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. x2 3x x 3
C.
x 1
0x–10
x2
Câu 15. Bất phương trình
A.
Câu 16. Bất phương trình
A.
2 x -1 +
C. (2 x -1)
2x +
B. x <
2 x < 5.
1
<0x1
x
B.
D. x + x x x 0
3
3
< 5+
2x - 4
2x - 4
5
2
và
2 x -1 ³ 0
x ¹ 2
tương đương với:
5
2
. C. x < .
D. Tất cả đều đúng.
tương đương với bất phương trình nào sau đây?
1
1
³
.
x -3 x -3
B.
x - 2018 ³ x - 2018.
D.
2 x -1-
1
1
³.
x +3
x +3
2 x -1
x - 2018
³
1
x - 2018
.
Câu 17. Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
A. x - 2 £ 0 và x 2 ( x - 2) £ 0.
B. x - 2 < 0 và x 2 ( x - 2) > 0.
C.
x-2< 0
và x 2 ( x - 2) < 0.
D.
và x 2 ( x - 2) ³ 0.
x -2 ³ 0
Câu 18. Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình
A. ( x – 1)2 ( x + 5 ) > 0.
B. x 2 ( x + 5) > 0.
C.
x + 5 ( x + 5) > 0.
A. x ( x + 1)2 £ 0. B. ( x + 1)
x £0
tương đương với
x < 0.
C. ( x + 1)2
Câu 20. Bất phương trình x -1 ³ x tương đương với
A. (1 - 2 x ) x -1 ³ x (1 - 2 x ).
B. (2 x + 1)
C. (1 - x 2 )
x - 1 ³ x (1 - x 2 ).
?
x + 5 ( x - 5) > 0.
D.
Câu 19. Bất phương trình ( x + 1)
x+5> 0
D.
x £ 0.
D. ( x + 1)2
x < 0.
x -1 ³ x (2 x + 1).
x x -1 £ x 2 .
VẬN DỤNG
Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
để hàm số y = x - m - 6 - 2 x có tập xác định là một
đoạn trên trục số.
A.
m = 3.
B.
m < 3.
C.
D.
m > 3.
Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
m
1
m< .
3
để hàm số y = m - 2 x - x + 1 có tập xác định là một
đoạn trên trục số.
A.
m < - 2.
B.
m > 2.
Câu 23. Với giá trị nào của
a
1
2
C. m > - .
D.
m > - 2.
thì hai bất phương trình (a + 1) x - a + 2 > 0 và (a – 1) x - a + 3 > 0 tương đương:
A. a = 1.
B. a = 5.
C. a = - 1.
D. a=2.
Câu 24. Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m + 2) x £ m + 1 và 3m ( x -1) £ -x -1 tương đương:
A. m = - 3 .
B. m = - 2 .
C. m = - 1 .
D. m = 3 .
Câu 25. Với giá trị nào của
A. m = 1.
m
thì hai bất phương trình (m + 3) x ³ 3m - 6 và (2m -1) x £ m + 2 tương đương:
B. m = 0 .
1
B
11
C
21
B
2
B
12
D
22
D
C. m = 4 .
Bảng đáp án
3
B
13
C
23
B
4
D
14
D
24
D
5
D
15
D
25
B
D. m = 0 hoặc m = 4 .
6
B
16
B
7
D
17
A
8
B
18
C
9
B
19
C
10
C
20
B
2. Dạng 2: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
a) Phương pháp giải tự luận.
Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình: 5 x
x 1
4 2 x 7 là:
5
B. S .
A. S .
C. S ; 1 .
D. S 1; .
Lời giải
Chọn C.
*Giải theo tự luận:
Ta có: 5 x
x 1
4 2 x 7 14 x 14 x 1 .
5
Vậy Tập nghiệm của bất phương trình là: S ; 1 .
*Giải theo pp trắc nghiệm:
Thay x 2 , thỏa mãn Loại A, D.
Thay x 0 , không thỏa mãn Loại B. Vậy chọn đáp án C.
Ví dụ 2: Tập nghiệm của bất phương trình: 2 x 1 x là S a; b . Tính P a.b ?
A. P
1
.
2
B. P
1
.
6
C. P 1 .
Lời giải
Chọn D.
*Giải theo tự luận: 2 x 1 x (1)
D. P
1
.
3
TH1: x
1
1
, bất phương trình (1) trở thành: 1 2 x x x .
2
3
Kết hợp với điều kiện, ta có:
TH1: x
1
1
x .
3
2
1
, bất phương trình (1) trở thành: 2 x 1 x x 1 .
2
Kết hợp với điều kiện, ta có:
1
x 1.
2
1
1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S ;1 . Và P .
3
3
Ví dụ 3: Cho bất phương trình:
x 1
x2
A. 1 .
1 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
C. 3 .
B. 1 .
D. 0 .
Lời giải
Chọn A.
*Giải theo tự luận: ĐK: x 2
TH1: x 2 , luôn không đúng.
TH2: 2 x 1 , bất phương trình trở thành: 1 x x 2 x
Kết hợp với điều kiện,ta có: 2 x
1
.
2
1
.
2
TH3: x 1 , bất phương trình trở thành: x 1 x 2 , vơ lí.
1
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S 2; .
2
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là 1 .
*Giải theo trắc nghiệm:
Thay x 1 ; x 1 ; x 3 ; x 0 vào bất phương trình, ta thấy x 1 là nghiệm của bất
phương trình, cịn các giá trị khác thì khơng. Vậy chọn x 1 .
b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
NHẬN BIẾT.
Câu 1:
Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A. x 1 x 1 .
B. x 1 1 x 1 .
C. x 1 x 1 .
Câu 2:
Câu 3:
Tập nghiệm của bất phương trình x 3x 2 2 3x 2 là:
A. S 2; .
B. S 2; .
C. S 2; .
Nghiệm của bất phương trình 5x 1
A. x
Câu 4:
20
.
23
2
x 3 là:
5
23
.
20
x 1 2x
1 .
5
3
C. x
5
.
2
D. x
20
.
23
D. x 1 x x 1 x 2 .
2
Tập nghiệm của bất phương trình x x 6 5 2x 10 x x 8 là:
A. ;5 .
Câu 6:
B. x
D. S ; 2 .
x 2 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây:
A. x 2 .
B. 2 x 2 x 1 .
C.
Câu 5:
D. x 1 x 1 .
B. 5; .
C. .
D. .
Tập nghiệm của bất phương trình 5 x 1 x 7 x x 2 2x là:
5
A. ; .
2
B. 2, 6; .
C. .
D. .
THÔNG HIỂU.
Câu 7:
Tập nghiệm của bất phương trình 5 x 3 1 là:
3
A. ; .
5
Câu 8:
C. .
3
D. ; .
5
Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào có tập nghiệm là ?
9
A. 9 x 4 5 x 4 .
B. 2 x 4 7 x 3 x x 6 .
5
C. x
Câu 9:
B. .
5x
2x x
3
.
6
13 6
Tập nghiệm của bất phương trình
D. 5 x 6 3 x .
2x x
x
6 8 chứa tập nào dưới đây?
3 5
3
3
A. ; .
5
B. 1;3 .
C. 20;30 .
3
D. ; .
5
Câu 10: Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào vơ nghiệm?
8
A. 8 x 3 5 x 3 .
B. 2 x 3 7 7 x 5 x 5 .
5
C. x
5x
x x
3 .
6
3 6
D. 5 x 6 3 x .
Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình
A. ; 1 .
B. ; 1 1; . C. 1; .
Câu 12: Tập nghiệm của bất phương trình
A. ; 2 .
2x
x 3
B. 2; .
Câu 13: Tập nghiệm của bất phương trình
A. 1; .
2
1 là:
1 x
2
D. 1;1 .
0 là:
C. 2; \ 3 .
D. 2;3 .
2x 1
2 là:
x 1
3
B. ; 3; . C.
4
3
;1 .
4
3
D. ; \ 1 .
4
x2 x
2 là:
x
B. ; 2 1; . C. ;0 1; . D. 0;1 .
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
A. 0;1 .
VẬN DỤNG.
Câu 15: Cho bất phương trình:
trình là:
A. 2 .
x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương
2
x 9 x 3 3x x 2
B. 1 .
C. 2 .
Câu 16: Các nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 4 của bất phương trình
D. 1 .
2x
23 2x 16 là:
5
A. 4; 3; 2; 1;0;1; 2;3 .
B. 0;1; 2;3 .
C. 2;3 .
D. 0;1; 2 .
1
2x
Câu 17: Số nghiệm tự nhiên nhỏ hơn 6 của bất phương trình 5x 12
là:
3
3
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương
2
x 9 x 3 3x x 2
Câu 18: Cho bất phương trình:
trình là:
A. 2 .
C. 2 .
B. 1 .
D. 1 .
Câu 19: Tập nghiệm của bất phương trình: 3 x 5 x 1 11 x x 1
P 2a b ?
A. 2 .
C. 2 .
B. 5 .
Câu 20: Cho bất phương trình:
là S a; b . Tính
D. 1 .
2
8
. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
x 13 9
A. 2 .
C. 4 .
B. 3 .
D. 5 .
22 55
Câu 21: Cho bất phương trình: x x 0 . Số các nghiệm nguyên không âm của bất
7 4
phương trình là:
A. 13 .
B. 14 .
C. 15 .
D. 16 .
Câu 22: Cho bất phương trình:
A. 6 .
7
x 5x 23 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
6
B. 7 .
C. 6 .
D. 7 .
Câu 23: Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x 3 1 x 0 là:
C. 2 .
B. 3 .
A. 2 .
D. 5 .
Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình 2x 8 2 x 0 có dạng a; b . Hiệu b a bằng:
A. 2 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
2x 3
6x 4 . Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
5
B. 3 .
C. 1 .
D. 2 .
Câu 25: Cho bất phương trình: 1
A. 2 .
Bảng đáp án
1
B
11
B
21
B
2
A
12
C
22
C
3
A
13
D
23
B
4
C
14
C
24
D
5
C
15
A
25
C
6
C
16
B
7
B
17
A
8
A
18
A
9
C
19
B
10
B
20
C
Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình
x2 x
2 là:
x
B. ; 2 1; . C. ;0 1; . D. 0;1 .
A. 0;1 .
Chọn C.
*Giải theo pp tự luận
TH1: Nếu x 2 thì Bpt
x 0
x2 x
2
2(1 x)
2 2
0
x
x
x
x 1
Kết hợp ĐK thì: x 2;0 1;
TH2: Nếu x 2 thì
1
x
x 2 x
4 x 2
2(2 x 1)
2x 1
2
0
0
0
Bpt
2
x
x
x
x
x
0
Kết hợp ĐK thì x ; 2
Vậy x ;0 1;
*Giải theo pp trắc nghiệm
-Thay x =
1
=> Loại A và D
2
-Thay x = 1 => Thỏa mãn => Chọn C.
Câu 18: Cho bất phương trình:
x4
2
4x
. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương
2
x 9 x 3 3x x 2
trình là:
A. 2 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 1 .
Chọn A.
*Giải theo pp trắc nghiệm
Thay x 1 ; x 1 ; x 2 ; x 2 vào bất phương trình, ta thấy tất cả đều là nghiệm của bất phương
trình, Vậy chọn x 2 là giá trị nguyên lớn nhất
Câu 20: Cho bất phương trình:
A. 2 .
2
8
. Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
x 13 9
C. 4 .
B. 3 .
D. 5 .
Chọn C.
*Giải theo pp tự luận
8x 122
122
8
2
0
x 13;
9(x 13)
8
2
8
86 122
x 13 9
x ;
\ 13
x 13 9
8 8
8x 86
86
2 8
x ;13
9(x 13) 0
9
x 13
8
Số các nghiệm nguyên của x là 11;12;14;15
Chọn C
3. Dạng 3: TÌM THAM SỐ ĐỂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN
a) Phương pháp giải tự luận.
Ví dụ 1: Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi:
A. m 0 .
B. m 0 .
C. m 0 .
D. m 0 .
Lời giải
Chọn A.
*Giải theo tự luận:
m 0
Bất phương trình mx 3 m vô nghiệm khi:
m0 .
3 m 0
Vậy với m 0 , bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
*Giải theo pp trắc nghiệm:
Thay m 0 , bất phương trình đã cho vơ nghiệm. Vậy chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình m2 x 3 mx 4 có nghiệm?
A. m 1 .
B. m 0 .
C. m 0 và m 1 .
Lời giải
Chọn D.
D. m .
*Giải theo tự luận:
m m 1 0
m2 x 3 mx 4 m m 1 x 1 vô nghiệm
, vơ lí.
1 0
Vậy với m , bất phương trình có nghiệm.
Ví dụ 3: Điều kiện của m để bất phương trình: 2m 1 x m 5 0 nghiệm đúng với x 0;1 :
A.
1
m5 .
2
C. m 5 và m
B. m 5 .
1
. D. m 5 .
2
Lời giải
Chọn D.
*Giải theo tự luận:
2m 1 x m 5 0 2m 1 x 5 m
TH1: Với m
(*)
1
5m
, bất phương trình (*) trở thành: x
.
2
2m 1
5m
Tập nghiệm của bất phương trình là S
;
2m 1
5m
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 0;1 thì 0;1
; ,
2m 1
Hay
5m
0 m 5.
2m 1
TH2: m
1
1
, bất phương trình (*) trở thành: 0 x 5 .
2
2
Bất phương trình vơ nghiệm. khơng có m .
TH3: Với m
1
5m
, bất phương trình (*) trở thành: x
.
2
2m 1
5m
Tập nghiệm của bất phương trình là S ;
2m 1
5m
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 0;1 thì 0;1 ;
,
2m 1
Hay 1
5m
4
5 m 2m 1 m .
2m 1
3
Kết hợp điều kiện m
1
, khơng có m thỏa mãn.
2
Vậy với m 5 , bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 0;1 .
*Giải theo trắc nghiệm:
Thay m 6 , bất phương trình trở thành 13 x 1 0 x
1
, bất phương trình nghiệm
13
đúng với x 0;1 . m 6 thỏa mãn.
Vậy chọn D .
b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
NHẬN BIẾT.
Câu 1:
Câu 2:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình mx m 2 x vô nghiệm?
A. m 0 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. m .
Cho bất phương trình: m x m x 1 . Các giá trị nào sau đây của m thì tập nghiệm của
bất phương trình là S ; m 1 :
A. m 1 .
Câu 3:
C. m 1 .
D. m 1 .
Cho bất phương trình: mx 6 2 x 3m . Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất
phương trình trên với m 2 :
A. S 3; .
Câu 4:
B. m 1 .
B. S 3; .
C. S ;3 .
D. S ;3 .
Với giá trị nào của m thì bất phương trình 3 x m 2m x có nghiệm?
A. 0; .
B. 2; .
C. .
D. .
THƠNG HIỂU.
Câu 5:
Câu 6:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình
m
nghiệm ?
A. m 1 .
C. m 1 .
m 1 x 5m m 2 2 x 3m 1
D. m 1 .
Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 m x m 6 x 2 có tập nghiệm là ?
A. m 3 .
Câu 7:
B. m 1 .
2
B. m 2 .
C. m 2 .
D. 2 m 3 .
Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 x 1 3m 2 x vô nghiệm ?
vô
A. m 2 .
B. m 1 .
C. .
D. m 2 và m 1 .
Câu 8:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 x 4m 3 x m 2 vô nghiệm ?
A. m 1 .
B. m 1 .
C. .
D. m 1 và m 1 .
Câu 9:
Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 x 1 m x 3m 2 vô nghiệm?
A. m 2 .
B. m 1 .
C. .
D. m 2 và m 1 .
Câu 10: Cho m và bất phương trình 3mx x 2m 5 có tập nghiệm T mà 1; T . Khi
đó:
A. m 0 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Câu 11: Với điều kiện nào của a và b thì bất phương trình ax a 2 bx b 2 vô nghiệm ?
A. a b .
B. a b .
C. a b .
D. a b .
Câu 12: Với giá trị nào của m thì bất phương trình
A. m 11 .
B. m 11 .
5x m
7 có nghiệm x 5 ?
2
C. m 11 .
D. m 11 .
Câu 13: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m x 1 khơng có nghiệm x 3 ?
A. m 4 .
B. m 4 .
C. m 4 .
D. m 4 .
Câu 14: Với giá trị nào của m thì bất phương trình 4 x m 0 có nghiệm thỏa 2 x 3 x 1 ?
8
8
8
8
A. m .
B. m .
C. m .
D. m .
3
3
3
3
Câu 15: Với m 0 thì bất phương trình mx 3 0 :
A. vơ nghiệm.
B. đúng x .
C. đúng x 0 .
Câu 16: Với m 2 thì bất phương trình mx 5 2 x :
A. vô nghiệm.
B. đúng x .
C. có nghiệm x 0 .
D. có nghiệm x 0
D. ln có nghiệm x 1 .
Câu 17: Với m 2 thì bất phương trình mx 5 2 x :
A. vơ nghiệm.
B. đúng x .
C. đúng x 0 .
D. có nghiệm x 1 .
1
thì bất phương trình x 4m 2 2mx 1 :
2
A. vô nghiệm.
B. đúng x .
C. đúng x 2 .
D. có nghiệm x 2 .
Câu 18: Với m
Câu 19: Với m
1
thì bất phương trình x 4m 2 2mx 1 có tập nghiệm là :
2
A. 1; .
B. 2m 1; .
C. ; 2m 1 .
D. 2m 1; .
VẬN DỤNG
Câu 20: Điều kiện của m để bất phương trình m 3 x 3m 7 0 nghiệm đúng với x 2; ?
A. khơng có m .
B. m 3 .
C. m 3 .
D. m
13
.
5
Câu 21: Điều kiện của m để bất phương trình m 2 x 2m 2 6 nghiệm đúng với x 1 ?
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. khơng có m .
Câu 22: Điều kiện của m để bất phương trình 2m 3 x m 3 0 nghiệm đúng với x 1; 2 ?
A. m
3
.
2
B. m
3
.
2
C. m 0 .
D. m 1 .
VẬN DỤNG CAO
Câu 23: Cho bất phương trình : mx 2m 2 2 x 8 . Xét các mệnh đề sau:
I
Bất phương trình tương đương với x 2 2 m .
II
Một điều kiện để mọi x 12 là nghiệm của bất phương trình là m 2 .
III
Giá trị của m để thỏa mãn với x 12 là m 2 m 4 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. Chỉ III .
C. II và III .
D. I , II và III .
Câu 24: Cho bất phương trình: m3 x 2 m 2 x 1 . Xét các mệnh đề sau:
(I)Bất phương trình tương đương với x m 1 2m 1 .
(II) Với m 0 , bất phương trình thỏa x .
1
(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng x 0 là ; 0 .
2
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ II .
B. I và II .
C. II và III .
D. I , II và III .
Câu 25: Cho bất phương trình: 1 x . mx 2 0 * . Xét các mệnh đề sau:
(I)Bất phương trình tương đương với mx 2 0 .
(II) m 0 là điều kiện cần để mọi x 1 là nghiệm của bất phương trình (*).
(III) Với m 0 , tập nghiệm của bất phương trình là
2
x 1 .
m
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. Chỉ III .
C. II và III .
D. I , II và III .
Bảng đáp án
1
B
11
A
21
D
2
C
12
A
22
C
3
D
13
B
23
B
4
D
14
B
24
C
5
A
15
D
25
B
6
B
16
C
7
C
17
C
8
B
18
B
9
D
19
D
10
B
20
B
Hướng dẫn giải chi tiết CÁC CÂU KHÓ
Câu 2: Cho bất phương trình: m x m x 1 . Các giá trị nào sau đây của m thì tập nghiệm của bất
phương trình là S ; m 1 :
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Lời giải
Chọn C.
*Giải theo tự luận:
Bất phương trình m x m x 1 (m 1) x (m 1)(m 1)
Để tập nghiệm của bpt là S ; m 1 thì m 1
Vậy chọn đáp án C.
Câu 3: Cho bất phương trình: mx 6 2 x 3m . Tập nào sau đây là phần bù của tập nghiệm của bất
phương trình trên với m 2 :
A. S 3; .
B. S 3; .
C. S ;3 .
D. S ;3 .
Lời giải
Chọn D.
*Giải theo pp tự luận
Bất phương trình mx 6 2 x 3m (m 2) x 3(m 2) x 3 (với m 2 )
Vậy phần bù của tập nghiệm là S ;3
Vậy chọn đáp án D.
Câu 5: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 m 1 x 5m m 2 2 x 3m 1 vô nghiệm
?
A. m 1 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Lời giải
Chọn A.
*Giải theo pp tự luận
Bất
phương
trình
m
2
m 1 x 5m m 2 2 x 3m 1 (m 1) x 2m 1
vô
m 1 0
nghiệm khi
m 1
2m 1 0
Vậy chọn đáp án A.
Câu 6: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 m x m 6 x 2 có tập nghiệm là ?
A. m 3 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. 2 m 3 .
Lời giải
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận
Bất phương trình m 2 m x m 6 x 2 (m 2)(m 3) x 2 m có tập nghiệm là R khi
(m 2)(m 3) 0
m 2
2 m 0
Vậy chọn đáp án B.
Câu 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình m 2 x 4m 3 x m 2 vô nghiệm ?
A. m 1 .
B. m 1 .
C. .
D. m 1 và m 1 .
Lời giải
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận
m 2 x 4m 3 x m 2 (m 1)(m 1) x (m 3)(m 1)
TH1: Nếu m 1 thì BPT 0 x 0 nên BPT vô nghiệm
m 1 0
TH2: Nếu m 1 thì BPT (m 1) x m 3 vô nghiệm
khơng có m thỏa mãn
m 3 0
Vậy chọn đáp án B.
Câu 10: Cho m và bất phương trình 3mx x 2m 5 có tập nghiệm T mà 1; T . Khi
đó:
A. m 0 .
B. m 1 .
C. m 1 .
D. m 1 .
Lời giải
Chọn B.
*Giải theo pp tự luận
Để BPT 3mx x 2m 5 (3m 1) x 2m 5 có tập nghiệm T mà 1; T thì
1
m 3
1
6
m mà m nên m 1
5
2m 5 1 3
3m 1
Vậy chọn đáp án B.
Câu 20:: Điều kiện của m để bất phương trình m 3 x 3m 7 0 nghiệm đúng với x 2; ?
A. khơng có m .
B. m 3 .
C. m 3 .
D. m
13
.
5
Lời giải
Chọn D.
*Giải theo tự luận:
m 3 x 3m 7 0 (m 3) x 7 3m
(*)
TH1: Với m 3 , bất phương trình (*) trở thành: x
7 3m
.
m3
7 3m
Tập nghiệm của bất phương trình là S ;
m 3
7 3m
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 2; thì 2; ;
m 3
khơng có m .
TH2: m 3 , bất phương trình (*) trở thành: 0 x 2 .
Bất phương trình vơ nghiệm. khơng có m .
TH3: Với m 3 , bất phương trình (*) trở thành: x
7 3m
.
m3
7 3m
Tập nghiệm của bất phương trình là S
;
m3
7 3m
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 2; thì 2;
; ,
m3
Hay
7 3m
13
2 7 3m 2(m 3) m .
m3
5
Vậy với m
13
, bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 2; .
5
Câu 23: Điều kiện của m để bất phương trình m 2 x 2m 2 6 nghiệm đúng với x 1 ?
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. khơng có m .
Lời giải
Chọn D.
*Giải theo tự luận:
m 2 x 2m2 6 (*)
TH1: Với m 2 , bất phương trình (*) trở thành: x
2m 2 6
.
m2
2m 2 6
;
Tập nghiệm của bất phương trình là S
m2
2m 2 6
;
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 1 thì ;1
m2
khơng có m .
TH2: m 2 , bất phương trình (*) trở thành: 0 x 2 .
Bất phương trình vơ nghiệm. khơng có m .
2m 2 6
TH3: Với m 2 , bất phương trình (*) trở thành: x
.
m2
2m 2 6
Tập nghiệm của bất phương trình là S ;
m2
2m 2 6
Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x 1 thì ;1 ;
,
m2
2m 2 6
1 2m 2 6 m 2 .
Hay
m2
Kết hợp điều kiện m 2 khơng có m .
Vậy khơng có m thỏa mãn.
Câu 23: Cho bất phương trình : mx 2m 2 2 x 8 . Xét các mệnh đề sau:
I
Bất phương trình tương đương với x 2 2 m .
II
Một điều kiện để mọi x 12 là nghiệm của bất phương trình là m 2 .
III
Giá trị của m để thỏa mãn với x 12 là m 2 m 4 .
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. Chỉ III .
C. II và III .
Lời giải
Chọn B.
mx 2m 2 2 x 8 m 2 x 2 m 2 m 2 (1)
Với m 2 , bất phương trình trở thành : x 2 m 2
Với m 2 , bất phương trình (1) ln đúng.
Với m 2 , bất phương trình trở thành: x 2 m 2 .
Để bất phương trình đúng với x 12 thì 2 m 2 12 m 4 .
III đúng.
Câu 24: Cho bất phương trình: m3 x 2 m 2 x 1 . Xét các mệnh đề sau:
Vậy
I , II
sai;
(I)Bất phương trình tương đương với x m 1 2m 1 .
(II) Với m 0 , bất phương trình thỏa x .
1
(III) Giá trị của m để bất phương trình đúng x 0 là ; 0 .
2
Mệnh đề nào đúng?
D. I , II và III .
A. Chỉ II .
B. I và II .
C. II và III .
D. I , II và III .
Lời giải
Chọn B.
m3 x 2 m 2 x 1 x.m 2 m 1 m 2 2m 1
2m 1
.
m 1
2m 1
1
Để bất phương trình đúng với x 0 thì
(TMDK)
0m
m 1
2
Với m 0 , bất phương trình (1) ln đúng.
2m 1
Với m 1 , bất phương trình trở thành : x
m 1
1
Vậy để bất phương trình đúng x 0 thì m ; 0 .
2
Với m 1 , bất phương trình trở thành : x
Vậy II và III đúng.
4. Dạng 4: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
a) Phương pháp giải tự luận.
3x 2 2x 3
Ví dụ 1: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
là:
1 x 0
1
;1 .
5
A.
B. ; 1 .
C. 1; ; . D. .
Lời giải
Chọn D
Giải từng bất phương trình trong hệ ta có:
3x 2 2x 3 x 1
1 x 0 x 1.
Vậy hệ bất phương trình vơ nghiệm.
2x 1 3x 2
Ví dụ 2: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
x 3 0
A.
; 3 3; .
Lời giải
3; .
B.
;3 .
C.
3;3 .
D.
Chọn C
2x 1 3x 2
x 3
3 x 3 .
Ta có:
x 3 0
x 3
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm là S 3;3 .
b) Bài tập vận dụng có chia mức độ
NHẬN BIẾT.
3x 5 0
Câu 1: Hệ bất phương trình
tương đương với hệ bất phương trình nào sau đây?
x 2 0
3x 5
.
A.
x 2
3x 5
.
B.
x 2
3x 5
.
C.
x 2
3x 5
.
D.
x 2
x 5 0
Câu 2: Hệ bất phương trình
tương đương với hệ bất phương trình nào sau đây?
3x 1 x 4
x 5
.
A.
2 x 5
x 5
.
B.
2 x 5
x 5
.
C.
x 5
x 5
.
D.
2 x 5
THÔNG HIỂU.
3x 1 0
Câu 3: Số nào sau đây là một nghiệm của hệ bất phương trình
?
x 3 0
A. 5.
B. 2.
C. 2.
D.
1
.
2
x 1 3x
Câu 4: Số nào sau đây khơng là nghiệm của hệ bất phương trình
?
2 x 3 0
A. 3.
B.
5
2
C.
1
.
2
D. 2.
2 x 0
là:
2 x 1 x 2
Câu 5: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
A. ; 3 .
B. 3; 2 .
C. 2; .
D. 3; .
2x 1
3 x 1
Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
là:
4 3x 3 x
2
4
A. 2; .
5
4
B. 2; .
5
C. 2; .
4
D. ; .
5
2 x 5 0
là:
8 3 x 0
Câu 7: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
5 8
A. ; .
2 3
3 2
B. ; .
8 5
8 5
C. ; .
3 2
8
D. ; .
3
5 x 4 0
Câu 8: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
là:
10 3 x 0
4 3
A. ;
5 10
5 10
B. ;
4 3
10
C. ;
3
4 10
D. ; .
5 3
2 x 1 5 x
Câu 9: Tập nghiệm của hệ bất phương trình 7 3 x x
là:
4 3x 0
4 7
A. ; .
3 4
4 4
B. ; .
3 3
7
C. ; .
4
4
D. ; .
3
VẬN DỤNG.
5
6 x 7 4 x 7
Câu 10: Số nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
là:
8 x 3 2 x 25
2
A. Vô số.
B. 4.
C. 8.
D. 0.
x 1 x 6 0
là:
2 x 1 3
Câu 11: Tập nghiệm của hệ bất phương trình
A. 1;2 .
B. 1;2 .
C. ;1 2; .
D. .
