1 2 bất phương trình bậc nhất, bậc hai 19tr đặng việt đông image marked
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (396.8 KB, 19 trang )
Chương 4
BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§ 2. BẤT phương trình bậc nhất – bất phương trình bậc hai
DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng:
ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0 với a , b Ỵ .
Giải và biện luận bất phương trình dạng: ax + b > 0
ỉ b
è a
b
a
(1)
ư
·
Nếu a > 0 thì (1) Û ax > -b x > - ị S = ỗỗỗ- ; +Ơữữữữ ì
Ã
ổ
b
bử
Nu a < 0 thỡ (1) ax > -b x < - ị S = ỗỗỗ-Ơ; - ÷÷÷÷ ×
·
Nếu a = 0 thì (1) Û 0 × x > -b. Khi đó, xét:
è
a
ø
à
Nếu -b ³ 0 Þ S = ặ.
Nu -b < 0 ị S = .
Lưu ý: Ta giải tương tự với ax + b < 0, ax + b £ 0, ax + b ³ 0.
Dấu của nhị thức bậc nhất: Cho nhị thức bậc nhất f ( x) = ax + b, ( a ạ 0).
-
-Ơ
x
b
a
+Ơ
f ( x) = ax + b
Trỏi dấu với a
Cùng dấu với a
0
Giải hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn:
― Giải từng bất phương trình trong hệ.
― Lấy giao nghiệm.
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
Dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , ( a ¹ 0)
― Trường hợp 1. D < 0 :
x
-¥
+¥
Cùng dấu với a
f ( x)
― Trường hợp 2. D = 0 :
x
-¥
xo
+¥
Cùng dấu với a
f ( x)
― Trường hợp 3. D > 0 :
x
-¥
0
x1
Cùng dấu với a
x2
+¥
Cùng dấu với a
f ( x)
0
Trái dấu với a
0
Cùng dấu với
a
Nhận xét: Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c , ( a ¹ 0)
Trang 1/18
·
·
Câu 1.
ìïa > 0
ax 2 + bx + c > 0, "x ẻ ùớ
ì
ùùợD < 0
ùỡa < 0
ax 2 + bx + c < 0, "x Ỵ ùớ
ì
ùùợD < 0
Ã
Ã
ỡùa > 0
ax 2 + bx + c 0, "x ẻ ùớ
ì
ùùợD Ê 0
ùỡa < 0
ax 2 + bx + c £ 0, "x ẻ ùớ
ì
ùùợD Ê 0
Bt phng trỡnh no sau đây khơng tương đương với bất phương trình x 5 0 ?
2
A. x 1 x 5 0 .
B. x 2 x 5 0 .
C.
x 5 x 5 0 .
D.
x 5 x 5 0 .
Lời giải
Chọn D
x 5 0 x 5 .
Tập nghiệm của bất phương trình là T1 5; + .
x 5 0
x 5
x 5.
x 5 x 5 0
x 5 0
x 5
Tập nghiệm của bất phương trình này là T2 5; + .
Câu 2.
Câu 3.
Vì hai bất phương trình này khơng có cùng tập nghiệm nên chúng không tương đương nhau.
Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. x 2 3 x x 3 .
B. 0 x 1 .
x
x 1
C. 2 0 x 1 0 .
D. x x x x 0 .
x
Lời giải
ChọnD
Vì a b a c b c , c . Trong trường hợp này c x .
Cho bất phương trình:
I
1
8
1
3 x
1 . Một học sinh giải như sau:
1
1 II x 3 III x 3
.
3 x 8
3 x 8
x 5
Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
A. I .
B. II .
C. III .
D. II và III .
Lời giải
ChọnB
I
1
1
1
.
3 x 8
Đúng vì chia hai vế cho một số dương 8 0 ta được bất thức tương đương cùng chiều.
II
x 3
1
1
( chỉ đúng khi : 3 x 0 x 3 ).
3 x 8
3 x 8
Với x 4 thì
4 3
4 3
1
1
1
(đúng).Vậy II sai.
1 (sai) nhưng
3 4 8
8
3 4 8
1 8
III x 3
x 3
. Đúng vì đây chỉ là bước thu gọn bất phương trình bậc nhất đơn giản.
3 x 8
x 5
Câu 4.
Tập nghiệm của bất phương trình
A. .
x 2006 2006 x là gì?
B. 2006, .
C. ,2006 .
D. 2006 .
Lời giải
Chọn A
Trang 2/18
x 2006 0 x 2006
x 2006 .
Điều kiện :
2006 x 0 x 2006
Thay x 2006 vào bất phương trình, ta được :
Vậy bất phương trình vơ nghiệm.
Câu 5.
Tập nghiệm của bất phương trình
2006 2006 2006 2006 0 0 (sai).
x x 2 2 x 2 là:
A. .
B. ;2 .
C. 2 .
D. 2; .
Lời giải
ChọnC
x20
x 2
x 2.
x 2
x 2
Giá trị x 3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau đây?
Ta có :
Câu 6.
x x 2 2 x 2
A. x 3 x 2 0 .
B. x 3
2
C. x 1 x 0 .
D.
2
x 2 0 .
1
2
0.
1 x 3 2x
Lời giải
ChọnB
2
Ta có: x 3 x 2 0 x 2 0 x 2 x ; 2 và 3 ; 2 .
Câu 7.
Bất phương trình 5 x 1 2 x 3 có nghiệm là
5
B. x 2 .
A. x .
C. x 5 .
2
D. x 20 .
23
Lời giải
ChọnD
5x 1
Câu 8.
2x
2x
23 x
20
.
3 5x
3 1
4 x
5
5
5
23
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x 2 4 x 0 .
A. S .
B. S 0 .
C. S 0; 4 .
D. ;0 4; .
Lời giải
ChọnA
Vì x 2 4 x 0, x .
Câu 9.
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình x x 1 4 x .
2
A. 3; .
B. 4;10 .
C. ;5 .
D. 2; .
Lời giải
ChọnD
2
x x 1 4 x x x 2 2 x 1 4 x x 3 2 x 2 x 4 x x 3 2 x 2 2 x 4 0
x 2 x 2 2 0 x 2 0 do x 2 2 0, x x 2 .
2x 1
x 1
3
Câu 10. Tập nghiệm của hệ bất phương trình
là
4 3x 3 x
2
4
5
A. 2; .
4
B. 2; .
5
3
5
C. 2; .
1
3
D. 1; .
Lời giải
Trang 3/18
ChọnA
2x 1
4
x 1
2 x 1 3 x 3
5 x 4
4
3
x
5 x 2; .
5
4 3x 6 2 x
x 2
x 2
4 3x 3 x
2
Câu 11. Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương
A.
x 1 x và 2 x 1 x 1 x 2 x 1 .
C. x x 2 0 và x 2 0 .
B. 2 x 1 1
x3
1
và 2 x 1 0 .
x3
D. x x 2 0 và x 2 0 .
2
2
Lời giải
Chọn D
x 0
x 0
x 2; \ 0 .
x 2 0
x 2
x2 x 2 0
x 2 x 0 x 2 x 2; .
Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.
Câu 12. Cặp bất phương trình nào sau đây khơng tương đương:
A. 5 x 1 1
x2
B. 5 x 1 1
1
và 5 x 1 0 .
x2
x2
C. x x 3 0 và x 3 0 .
1
và 5 x 1 0 .
x2
D. x x 5 0 và x 5 0 .
2
2
Lời giải
Chọn B
x 2
x 2 0
1
1
1
5x 1
1 x ; \ 2 .
x2 x2
5
5 x 1 0
x
5
1
5 x 1 0 x 1 x ; .
5
5
Vậy hai bất phương trình này khơng tương đương.
2x 1
2 tương đương với mệnh đề nào sau đây:
Câu 13. Với điều kiện x 1 , bất phương trình
x 1
A. x 1 0 hoặc 4 x 3 0 .
B. 2 2 x 1 2 .
C. 2 x 1 2 .
x 1
D. Tất cả các câu trên đều đúng.
x 1
x 1
Lời giải
Chọn A
2x 1
2x 1
1
x 1 0
x 1 2
x 1 2 0
x 1 0
2x 1
2
.
4x 3
x 1
0
2x 1
2x 1
4x 3
x 1
2
x 1
20
x 1
0
x 1
2x 3 x 2 tương đương với :
Câu 14. Bất phương trình
A. 2 x 3 x 2 với x 3 .
2
2
2 x 3 0
C.
hoặc
x20
2x 3 x 22
.
x 2 0
B. 2 x 3 x 2 với x 2 .
2
D. Tất cả các câu trên đều đúng.
Lời giải
Chọn C
Trang 4/18
Ta sử dụng kiến thức sau
A 0
B 0
A B
A B2
B 0
3
3
tương đương với :
3
2x 4
2x 4
B. x 3 và x 2 .
C. x 3 .
2
2
Câu 15. Bất phương trình 2 x
A. 2 x 3 .
D. Tất cả đều đúng.
Lời giải
Chọn D
x 2
2 x 4 0
x 2
3
3
3
2x
3
3 x .
2x 4
2x 4
2
2 x 3
2 x 3
x
2
2x 3 x 3 .
2
Vậy A, B, C đều đúng.
Câu 16. Các giá trị của
x thoả mãn điều kiện của bất phương trình
A. x 2 .
B. x 3 .
3
x2
x3
C. x 3 và x 0 .
Lời giải
1
2 x 3 là
x
D. x 2 và x 0 .
Chọn C
x 3 0
x 3 3
Điều kiện :
( x 2 có nghĩa x ).
x 0
x 0
3
3x x 2
5
Câu 17. Hệ bất phương trình
có nghiệm là
6x 3 2x 1
2
A. x 5 .
B. 7 x 5 .
2
10
2
C. x 7 .
D. Vô nghiệm.
10
Lời giải
Chọn C
3
7
3
7
3x x 2
x
3
x
x
2
2
x
7
5
10
.
x
5
5
10
6
x
3
5
x
2x 1
6 x 3 4 x 2
2 x 5
2
2
x 2 x 3 0
Câu 18. Hệ bất phương trình
có nghiệm là
A.
2 x 3.
Chọn A
B. 2 x 3 .
3 x 3.
C. 2 x 2 ,
x 2 x 3 0
D. Vô nghiệm.
Lời giải
x 2; 3
x 2 x 3 0
x 2 ;
x
2
x
3
0
x
;
2
3;
3 .
Trang 5/18
4x 3
6
2x 5
Câu 19. Hệ bất phương trình
có nghiệm là
x 1 2
x3
B. 5 x 33 .
A. 3 x 5 .
2
2
8
C. 7 x 3 .
D. 3 x 33 .
8
Lời giải
Chọn C
4x 3
4x 3
4 x 3 12 x 30
8 x 33
6
6 0
0
0
2x 5
2x 5
2x 5
2x 5
x 1 2
x 1 2 0
x 1 2x 6 0
x 7 0
x3
x3
x3
x 3
5 33
x ; ;
2 8
x 7; 3 .
x 7; 3
Câu 20. Bất phương trình x 1 x 1 có nghiệm là
A. x , .
B. x 1 .
C. x 1.
D. x 0 .
Lời giải
Chọn A
X X , X .
Câu 21. Bất phương trình x 3 1 có nghiệm là
A. 3 x 4 .
B. 2 x 3 .
C. x 2 hoặc x 4 . D. x 3 .
Lời giải
Chọn C
x 3 1
x 4
.
x 3 1
x 2
Câu 22. Tập nghiệm của bất phương trình – x 2 6 x 7 0 là
x 3 1
A. ; 1 7; .
B. 7;1 .
C. 1;7 .
D. ; 7 1; .
Lời giải
Chọn C
x 1
2
Ta có : – x 6x 7 0 x 1 x 7 0
.
x 7
Bảng xét dấu :
Vậy tập nghiệm của bất phương trình trên là : T 1;7 .
x2 2x 3 0
có nghiệm là
2
x 11x 28 0
Câu 23. Hệ bất phương trình
A. x –1 hoặc 3 x 4 hoặc x 7 .
B. x 4 hoặc x 7 .
Trang 6/18
C. x –1 hoặc x 7 .
D. 3 x 4 .
Lời giải
Chọn C
x ; 1 3;
x 3 x 1 0
x2 2x 3 0
2
x 7 x 4 0
x ; 4 7;
x 11x 28 0
x ; 1 7; .
Câu 24. Bất phương trình: 3 x 2 x 2 1 0 có tập nghiệm là:
2
3
A. ; .
2
B. ; .
3
2
3
C. ; .
D. .
Lời giải
Chọn D
3 x 2 0, x
2
3 x 2 x 1 0, x .
2
x 1 0, x
Câu 25. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
A. Bất phương trình bậc nhất một ẩn ln có nghiệm.
B. Bất phương trình ax b 0 vơ nghiệm khi a 0 và b 0 .
C. Bất phương trình ax b 0 có tập nghiệm là khi a 0 và b 0 .
D. Bất phương trình ax b 0 vơ nghiệm khi a 0 .
Lời giải
Chọn D
Vì 0 x 1 0 1 0 ( đúng x ).
Câu 26. Giải bất phương trình x 1 x 4 7 . Giá trị nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của
phương trình là
A. x 9 .
B. x 8 .
C. x 7 .
Lời giải
x thoả bất
D. x 6 .
Chọn D
Xét dấu phá trị tuyệt đối:
TH1. x ; 1
x ; 1
x ; 1
x ; 1
x 1 x 4 7
x ; 2
2 x 3 7
x 2
x 1 x 4 7
.
TH2. x 1; 4
x 1; 4
x 1; 4
x 1 x 4 7
x .
5 7
x 1 x 4 7
TH3. x 4;
x 4;
x 4;
x 4;
x 1 x 4 7
x 5; .
2x 3 7
x 5
x 1 x 4 7
Trang 7/18
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T ; 2 5; .
Câu 27. Bất phương trình x 2 x 1 x 3 có nghiệm là
2
D. 0 x 9 .
C. x 9 .
B. x 1 .
A. x 2 .
2
2
Lời giải
Chọn C
Xét dấu phá trị tuyệt đối:
TH1. x ; 2
x ; 2
x ; 2
3
x 2 x 1 x
3
3
2
x 2 x 1 x
3 x
2
2
x ; 2
x
3
x
2
.
TH2. x 2; 1
x 2; 1
x 2; 1
x 2; 1
3
x 2 x 1 x
3
3
5
2
x 2 x 1 x
2x 1 x
x
TH3. x 1;
2
x 1;
2
x 1;
3
x 2 x 1 x
3
3
2
x 2 x 1 x
3 x
2
2
x .
2
x 1;
9
x
2
9
x ; .
2
9
2
Tổng hợp lại, tập nghiệm của bất phương trình là : T ; .
Câu 28.
Bất phương trình
x 2 3x 1
3 có nghiệm là
x2 x 1
3 5
3 5
hoặc x
.
2
2
5 3
5 3
C. x
hoặc x
.
2
2
A. x
3 5
3 5
hoặc x
.
2
2
5 3
5 3
D. x
hoặc x
.
2
2
B. x
Lời giải
Chọn B
x2 3x 1
x 2 3x 1
2 x 2 6 x 2
3
3
0
x 2 x 1
x 2 x 1 0
x 2 3x 1
x2 x 1
3
2
2
2
x2 x 1
x 3 x 1 3
x 3x 1 3 0
4x 4 0
x2 x 1
x 2 x 1
x 2 x 1
Trang 8/18
3 5
3 5
2 x
x
2
2
0
2
3 5 3 5
1 3
x
;
;
x
2 2
2 4
2
x ;
4 x 1 0
2
1
3
x
2 4
3 5 3 5
x ;
; .
2 2
Câu 29. Bất phương trình
x2 5x 4
1 có nghiệm là
x2 4
B. x 8 hoặc 2 x 8 .
A. x 0 hoặc 8 x 5 , x 2 .
5
D. 2 x 0 hoặc x 5 .
2
5
5
2
C. x –2 hoặc 0 x 8 .
5
Lời giải
Chọn A
5 x 8
x2 5x 4
x2 5x 4
1
1 0
2
x2 4 0
2
2
x 5x 4
x
4
x
4
2
1
2
x2 4
x2 5x 4
x 5x 4
2 x 5x 0
x 2 4 1
x 2 4 1 0
x 2 4
5x 8
8
x 2 x 2 0
x ; 2 5 ; 2
x 2 x 5
5
0
x 2; 0 2;
2
x 2 x 2
8
x ; 2 2; 0 ;
5
5
2 2; .
2
mx 2m 0
Câu 30. Cho hệ bất phương trình 2 x 3
3 x . Xét các mệnh đề sau:
1
5
5
(I) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho vơ nghiệm.
(II) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .
2
5
2
(IV)Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ; .
5
(III) Khi m 0 thì hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là ; .
Trong các mệnh đề trên có bao nhiêu mệnh đề đúng ?
A. 1 .
B. 0.
C. 2.
Lời giải
Chọn D
mx 2m 0
mx 2m
Ta có : 2 x 3
.
3x
2
1
x
5
5
5
D. 3.
Trang 9/18
mx 2m
x 2
Với m 0 thì
2
2 x . Vậy (I) đúng.
x
x
5
5
mx 2m
0 x 0
Với m 0 thì
2
2 x . Vậy (II) sai.
x
x
5
5
mx 2m
x 2
2
Với m 0 thì
2
2 x . Vậy (III) , (IV) đúng.
5
x
x 5
5
x 3 4 x 0
vô nghiệm khi
x m 1
Câu 31. Hệ bất phương trình
A. m 2 .
B. m 2 .
C. m 1 .
Lời giải
D. m 0 .
Chọn A
x 3 4 x 0 3 x 4
.
x m 1
x m 1
Hệ bất phương trình vơ nghiệm m 1 3 m 2 .
Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A. m 11 .
B. m 11 .
m
3 x 6 3
để hệ bất phương trình 5x m
có nghiệm.
7
2
C. m 11 .
D. m 11 .
Lời giải
ChọnA
3 x 6 3
x 5
3 x 15
5x m
14 m .
5
x
m
14
7
x 5
2
Hệ bất phương trình có nghiệm 14 m 5 14 m 25 m 11 .
5
Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
A. m 4 .
B. m 4 .
m để hệ bất phương trình
C. m 4 .
Lời giải
x 3 0
vô nghiệm.
m x 1
D. m 4 .
ChọnD
x 3 0
x 3
.
m x 1 x m 1
Hệ bất phương trình vô nghiệm m 1 3 m 4 .
2
2
Câu 34. Cho bất phương trình: m x 2 m x 1 (1). Xét các mệnh đề sau:Bất phương trình
tương đương với x 2 x 1 (2).
(I) Với m 0 , bất phương trình thoả x .
(II) Với mọi giá trị m thì bất phương trình vơ nghiệm.
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ (II).
B. (I) và (II).
C. (I) và (III).
D. (I), (II) và (III).
Lời giải
Chọn A
2
2
+) Với m 0 thì (1) trở thành : 0 . x 2 0 . x 1 0 0 ( đúng x ).
Trang 10/18
Vậy (II) đúng ,(III) sai.
+) Với m 0 thì (2) 2 1 (sai). Bất phương trình vơ nghiệm.
Vậy khi m 0 hai bất phương trình (1) và (2) không tương đương. (I) sai.
Câu 35. Giá trị nào của m thì phương trình x 2 mx 1 3m 0 có 2 nghiệm trái dấu?
A. m 1 .
B. m 1 .
3
C. m 2 .
3
D. m 2 .
Lời giải
Chọn A
ycbt a.c 0 1 3m 0 m
Câu 36. Tìm tham số thực
m để phương trình m 1 x2 2 m 2 x m 3 0 có 2 nghiệm trái dấu?
A. m 1 .
C. m 3 .
Lời giải
B. m 2 .
Chọn D
ycbt a.c 0
Câu 37. Các giá trị
1
.
3
D. 1 m 3 .
m 1 m 3 0 m 1; 3 .
m làm cho biểu thức f x x2 4x m 5 luôn luôn dương là
A. m 9 .
B. m 9 .
C. m 9 .
Lời giải
D. m .
Chọn C
f x x2 4x m 5 x2 4x 4 m 9 x 2 m 9 .
2
Ta có : x 2 0, x .
2
Để f x 0, x thì m 9 0 m 9 .
2
Câu 38. Cho f x mx 2 x 1 . Xác định
A. m 1 .
m để f x 0 với mọi
B. m 0 .
x .
C. 1 m 0 .
Lời giải
D. m 1 và m 0 .
Chọn A
TH1. m 0 . Khi đó : f x 2x 1 0 x 1 .
Vậy m 0 không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2. m 0
2
2
2
2
1
1
1
1
1
f x mx 2x 1 m x 2. .x 1 m x 1 .
m
m
m
m
m
2
2
1
Ta có : x 0, x .
m
m 0
m 0
m 1 0 m 1 thỏa điều kiện).
ycbt
m 1
1
1 m 0
m 0
x7 0
Câu 39. Cho hệ bất phương trình
. Xét các mệnh đề sau
mx m 1
I : Với m 0 , hệ ln có nghiệm.
II : Với 0 m 1 , hệ vô nghiệm.
6
1
III : Với m , hệ có nghiệm duy nhất.
6
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. II và III .
C. Chỉ III .
D. I , II và III .
Trang 11/18
Lời giải
Chọn D
x7 0
Với m 0 thì
mx m 1
x7
m 1 . Hệ này ln có nghiệm . Vậy (I) đúng.
x m
x7 0
x 7
x 7 . Hệ này có nghiệm duy nhất. Vậy (III) đúng.
Với m 1 thì 1
1
x
7
6
x
1
6
6
x7
x7 0
Với m 0 thì
m 1 .
mx
m
1
x
m
Hệ này vơ nghiệm nếu m 1 7 m 1 7 0 1 6m 0 1 6m 0 m 1 .
m
m
6
m
x7 0
x7
Với m 0 thì
. Hệ này vô nghiệm.
mx m 1 0 x 1
Vậy (II) đúng.
Câu 40. Tập nghiệm của bất phương trình
x 1
1 là
x2
1
2
A. S , 2 .
B. S , .
1
2
D. S 1; .
C. S , 2 ,
Lời giải
Chọn C
x 1 0
x 1 x 2 0
x 1
x 1
x 1 x 2
x2
1
1 0
0
x2
x2
x2
x 1 0
x 1 x 2
0
x2
x 1
2 x 1 0
1
x 2
x ; 2 2 ;
x
1
x 1;
3
0
x 2
1
1
x ; 2 ; .
2
2
Câu 41. Cho phương trình m 5 x 2 m 1 x m 0 1 . Với giá trị nào của
m thì 1
có 2 nghiệm
x1 , x2 thỏa x1 2 x2 .
A. m 8 .
3
B. 8 m 5 .
3
C. m 5 .
D. 8 m 5 .
3
Lời giải
Chọn B
Trang 12/18
a 0
m 5 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
2
3m 1 0
m 1 m 5 .m 0
m 5
1
1 m 5.
3
m 3
TH1. m 5
1 m 3m 1
2 1
x1
m5
I .
ycbt
1
m
3
m
1
x
2 2
2
m5
Giải (1) :
1 m 3m 1
2 1 m 3m1 2m10 (do m 5 0 ) 3m1 113m
m5
11 3m 0
3m 1 0
11 3m 0
2
3m 1 11 3m
11
m
11
m
3
3
m 1
m 1
3
3
m 11
m 11
3
3
2
9 m 8 m 5 0
9m 69m 120 0
3
11
m 3
11
m 3 ;
11
8
m ; .
m
3
3
8 11
m ;
8
3 3
m ; 5
3
Giải (2) :
1 m 3m 1
2 1 m 3m1 2m10 3m1 3m11
m5
3m 11 0
3m 1 0
3m 11 0
2
3m 1 3m 11
11
m
11
m
3
3
m 1
m 1
3
3
m 11
m 11
3
3
2
9 m 8 m 5 0
9m 69m 120 0
3
11
1
3 m 3
1 11
m 3 ; 3
1
11
m ;
m
3
3
11
m ; 5
3
m 8 ; 5
3
5 .
Trang 13/18
m 5
8
Vậy nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ : m ; m .
3
1
m ; 5
3
TH2. 1 m 5
3
1 m 3m 1
2 1
x1
m5
I .
ycbt
1
m
3
m
1
x
2 2
2
m5
Giải (1) :
1 m 3m 1
2 1 m 3m1 2m10 ( do m 5 0 ) 3m1 3m11
m5
11
m
11
3
m 3
3m 11 0
m 1
1
m
3
3m 1 0
3
3m 11 0
m 11
11
2
3
m
3
m
1
3
m
11
3
2
9 m 8 m 5 0
9m 69m 120 0
3
1 11
m 3 ; 3
1 11
m ;
11
1
3 3
m
m ;5 .
3
3
11
m ; 5
8
3
m 3 ; 5
.
Giải (2) :
1 m 3m 1
2 1 m 3m1 2m10 3m1 113m
m5
11
m
11
m
3
3
11 3m 0
m 1
1
m
3
3m 1 0
3
11 3m 0
m 11
11
2
3
m
3
m
1
11
3
m
3
2
9 m 8 m 5 0
9m 69m 120 0
3
Trang 14/18
11
m 3
11
m 3 ;
8
11
m ; + .
m
3
3
8 11
m ;
3 3
m 8 ; 5
3
1
m 5
3
8
1
Vậy nghiệm của hệ (I) là nghiệm của hệ : m ;5 m ; 5 .
3
3
8
m ; +
3
8
3
Tổng hợp lại, m ; 5 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 42. Cho phương trình x 2 2 x m 0 1 . Với giá trị nào của
B. m 1 .
A. m 0 .
m thì 1
có 2 nghiệm
C. 1 m 0 .
x1 x2 2.
D. m 1 .
4
Lời giải
Chọn C
2
x 2 2 x m 0 x 2 x 1 m 1 0 x 1 m 1 0 x 1 m 1
2
m 1 0
m 1 0
ycbt x1 1 m 1 2 m 1 1
x2 1 m 1 2
m 1 1 hn
1 m 0 .
2
0 m1 1 0 m 1 1
2
Câu 43. Cho phương trình mx 2 m 1 x m 5 0 1 . Với giá trị nào của
m thì 1
có 2 nghiệm
x1 , x2 thoả x1 0 x2 2 .
A. 5 m 1 .
B. 1 m 5 .
C. m 5 hoặc m 1 . D. m 1 và m 0 .
Lời giải
Chọn A
m 0
m 0
a
0
3m 1 0
m 1
2
3
ycbt m 1 m m 5 0
a
.
f
0
0
x 0 x 2
m m 5 0
2
1
a. f 2 0
m 4m 4 m 1 m 5 0
m 5
m 5
m 1
m 1
3
3
5 m 1 .
5 m 0
m m 5 0
m ; 1 0;
m m 1 0
Câu 44. Giá trị của
m làm cho phương trình m 2 x2 2mx m 3 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
là
Trang 15/18
B. m 0 hoặc 2 m 6 .
D. m 6 .
Lời giải
A. m 6 và m 2 .
C. 2 m 6 hoặc m 3 .
Chọn C
m 2 0
a 0
m 2
m 6 0
2
m m 2 m 3 0
m ; 6
2
m
x x b 2m 0
0
1
2
m ; 0 2;
m 2
a m2
m ; 3 2;
m 3
c m3
0
0
x1.x2
m 2
a m2
m ; 3 2; 6 .
Câu 45. Với giá trị nào của
m thì phương trình m 1 x2 2 m 2 x m 3 0 có hai nghiệm x1, x2
và x1 x2 x1x2 1?
A. 1 m 2 .
B. 1 m 3 .
C. m 2 .
Lời giải
D. m 3 .
Chọn B
m 2 2 m 1 m 3 0
b 2 m 2
1 0
2 m 2 m 3
x1 x2 a m 1
2 m 2 m 3
1.
ycbt
m
1
m
1
1
x .x c m 3
m 1
m 1
1 2 a m 1
x1 x2 x1.x2 1
3m 7
3m 7
2m 6
1
1 0
0 m 1; 3 .
m 1
m 1
m 1
Câu 46. Cho bất phương trình :
1 x mx 2 0 (*). Xét các mệnh đề sau: I Bất phương trình
tương đương với mx 2 0 .
II m 0 là điều kiện cần để mọi x 1 là nghiệm của bất phương trình (*).
III Với m 0 , tập nghiệm của bất phương trình là
2
x 1.
m
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ I .
B. Chỉ III .
C. II và III .
D. Cả I , II , III .
Lời giải
Chọn C
1 x 0
Ta có : 1 x mx 2 0
. Vậy (I) sai.
mx 2 0
1 x 0
x 1
x 1.
Với m 0 thì :
mx 2 0
0 x 2
x 1
2 . Vậy (II) đúng.
x m
x 1
2
1 x 0
2
Với m 0 thì :
x 1 do m 0 0 1 .
2
m
m
mx 2 0
x m
Vậy (III) đúng.
1 x 0
Với m 0 thì :
mx 2 0
Trang 16/18
mx m 3
.
m 3 x m 9
Câu 47. Định m để hệ sau có nghiệm duy nhất
A. m 1 .
B. m 2 .
D. m 1 .
C. m 2 .
Lời giải
ChọnA
m3
x
mx m 3
m .
TH1. m 3 0 m 3 .Khi đó :
m
3
x
m
9
m9
x
m3
m 3 m 3 m m 9 0
Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất m 3 m 9
m m 3
m
m3
m 0
m m 3 0
9m 9
m 3 m 1 (không thỏa điều kiện m 3 ).
0
m m 3
9m 9 0
m 1
Vậy m 3 khơng thỏa u cầu bài tốn.
TH2. m 3 0 m 3 .
mx m 3
x 2
x 2.
m 3 x m 9 0 x 12
Khi đó :
Vậy m 3 khơng thỏa u cầu bài toán.
TH3. m 3 0 m 3 .
3 m 0
m3
x
mx m 3
m . Hệ này có vơ số nghiệm.
Khi đó :
m 3 x m 9 x m 9
m3
Vậy 3 m 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
m0
0 3 sai
mx m 3
0 x 3
.Hệ bất phương trình vơ nghiệm.
m 3 x m 9 3x 9
x 3
Khi đó :
Vậy m 0 khơng thỏa u cầu bài tốn.
m0
m3
x
mx m 3
m .
Khi đó :
m
3
x
m
9
m
x 9
m3
m 3 m 3 m m 9 0
Hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất m 3 m 9
m m 3
m
m3
m 0
m m 3 0
9m 9
m 3 m 1 (thỏa điều kiện m 0 ).
0
m m 3
9m 9 0
m 1
Kết luận : m 1 thỏa yêu cầu bài tốn.
Câu 48. Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình sau đây tương đương?
a 1 x a 3 0 (1)
a 1 x a 2 0 (2).
Trang 17/18
A. a 1 .
B. a 5 .
C. a 1 .
Lời giải
D. 1 a 1 .
ChọnB
TH1. a 1 0 a 1 thì
1 2 0 ( đúng x ). Tập nghiệm của bất phương trình T1 .
2 2x 1 0
x
1
1
. Tập nghiệm của bất phương trình T2 ; .
2
2
Vậy a 1 không thỏa yêu cầu bài toán.
TH2. a 1 0 a 1 thì
1 2x 4 0 x 2 Tập nghiệm của bất phương trình T2 ; 2 .
2 3 0 ( úng x ).Tập nghiệm của bất phương trình T2 .
Vậy a 1 khơng thỏa u cầu bài tốn.
a 1 0
a 1
TH3.
.
a 1 0
a 1
1 a 1 x a 3 .
2 a 1 x a 2 .
Hai bất phương trình tương đương
a 1 0
a 1
a 1
a 1
a 1
a 1 0
a 5
a 3 a 2
a
1
a 1
0
a 5 n
a 1 a 1
a 5 0
a 1 a 1
a 5.
a 1
a 1
a 1
a
1
a 1 0
a 1
a 1 0
a 1
a 5 0
a 5 l
a
3
a
2
a 5
0
a 1 a 1
a 1 a 1
Câu 49. Nghiệm của bất phương trình
A. 0 x 1 .
x2 x
x
2 là
B. x 1 , x 2 .
C. x 0 , x 1.
Lời giải
D. 0 x 1 .
ChọnC
x2 x
x
2
x2 x
x 2 3x
2 0
0
x
x
x 2
x 2 0
x
2
3
x
4 x 2 0
0
x ; 2
x
x
x 2; 0 1;
x 2 0
x 2
x 2 3x
2 x 2
0
0
x
x
x ; 0 1; .
Trang 18/18
Câu 50. Cho bất phương trình
A. x 7 và x 8 .
2
8
. Các nghiệm nguyên nhỏ hơn 13 của bất phương trình là
x 13 9
B. x 9 và x 10 . C. x 11 và x 12 . D. x 14 và x 15 .
Lời giải
ChọnC
Với x 13 x 13 0 thì
2
8
18 8 x 13
2 80
0
x 13 9
9 x 13
x 13 9
8x 86
0 8 x 86 0 x 43 .
9 x 13
4
Vì x , 43 x 13 nên x 11; 12 .
4
Trang 19/18
