05 định lý vi ét phần 2 đặng việt hùng image marked

Tài liệu khóa học TỐN 10 (PT và Hệ PT)

05. ĐỊNH LÝ VI-ÉT (Phần 2)

1) KĨ NĂNG SỬ DỤNG LƯỢC ĐỒ HOOCNER CHIA ĐA THỨC

 Nguyên tắc:
+) f(x) chia cho g(x) được h(x) và dư là k thì ta có thể viết
f  x
k
f  x   g  x  .h  x   k 
 h  x 
g  x
g  x
+) Để chia đa thức bằng lược đồ Hoocner ta phải sắp xếp đa thức chia theo lũy thừa giảm dần, số
hạng nào khuyết ta cho hệ số bằng 0.
+) Thực hiện chia theo quy tắc: đầu rơi - nhân ngang - cộng chéo.

 Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Thực hiện các phép chia sau
x 4  3x3  2 x 2  x
 ………....................................................................
x3
3 x3  x 2  2 x  10
 ……………………………..................................
b)
x 1
2 x 2  mx  m
 ………...........................................................................
c)
x 1

2x2   2  m  x2  2
 ……….................................................................
d)
2x 1

a)

2) KĨ NĂNG NHẨM NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Xét phương trình: f  x   ax 4  bx3  cx 2  dx  e  0, 1 .

Nếu x = xo là một nghiệm của phương trình (1) thì 1  f  x    x  xo   ax3  bx 2  cx  d    0




f  x
 ax3  bx 2  cx  d 
x  xo

 Nguyên tắc:
+) Nếu tổng các hệ số của phương trình bằng 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.
+) Nếu tổng các hệ số bậc chẵn của x bằng tổng hệ số bậc lẻ của x thì phương trình có một nghiệm x
=  1.
+) Nếu phương trình khơng tn theo hai quy tắc trên thì chúng ta nhẩm nghiệm bắt đầu từ các
nghiệm đơn giản như 0; 1; 2…
+) Với các phương trình có chứa tham số, để nhẩm nghiệm của phương trình ta cho phần hệ số của
tham số m bằng 0, được nghiệm x ta thay vào phương trình kiểm tra lại.

 Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1 [ĐVH]. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f  x   2 x 4  4 x3  3 x 2  2 x  1
b) f  x   4 x3  2 x 2  7 x  1
c) f  x   x3   m  1 x 2   m  1 x  2m  1
a) f  x   2 x  4 x  3 x  2 x  1
4

3

Lời giải:

2

Xét phương trình f  x   0  2 x 4  4 x3  3 x 2  2 x  1  0
Ta nhận thấy phương trình có tổng các hệ số bằng 0 nên có một nghiệm là x = 1.
2 x 4  4 x3  3x 2  2 x  1
4
3
2
 g  x 
Khi đó f  x   0   x  1 .g  x   2 x  4 x  3 x  2 x  1 
x 1
Dùng lược đồ Hoocner ta được
2 x 4  4 x3  3x 2  2 x  1
 2 x3  6 x 2  3 x  1 
 2 x 4  4 x3  3 x 2  2 x  1   x  1  2 x3  6 x 2  3 x  1
x 1
b) f  x   4 x3  2 x 2  7 x  1
Xét phương trình f  x   0  4 x3  2 x 2  7 x  1  0

Tổng hệ số bậc chẵn là 2  1 = 3, tổng hệ số bậc lẻ của phương trình là 4  7 = 3
Từ đó ta thấy phương trình có một nghiệm x = 1.
4 x3  2 x 2  7 x  1
 g  x 
Khi đó f  x    x  1 .g  x   4 x3  2 x 2  7 x  1   x  1 .g  x  
x 1
Dùng lược đồ Hoocner ta được
4 x3  2 x 2  7 x  1
g  x 
 4 x 2  6 x  1 
 f  x   4 x3  2 x 2  7 x  1   x  1  4 x 2  6 x  1
x 1
3
c) f  x   x   m  1 x 2   m  1 x  2m  1
Tổng các hệ số đa thức là 1   m  1   m  1  2m  1  0 nên f(x) = 0 có một nghiệm x = 1.

Tiến hành chia đa thức ta được f  x   x3   m  1 x 2   m  1 x  2m  1   x  1  x 2  mx  2m  1
Ví dụ 2 [ĐVH]. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f  x   3 x 4  x 2  2 x  6 =
…………………………………………………………………………………….........................................
b) f  x   x 3  4 x 2  6 x  1 =
…………………………………………………………………………………….........................................
c) f  x   x 3  mx 2  x  m =
…………………………………………………………………………………….........................................
d) f  x   x 3  2 x 2  1  m  x  m =
…………………………………………………………………………………….........................................
e) f  x   x 3  x 2  6 x  8 =
…………………………………………………………………………………….........................................
f) f  x   2 x 3  x 2  4 x  4 =
…………………………………………………………………………………….........................................

Ví dụ 3 [ĐVH]. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) f  x   x 3  (m  1) x 2  2mx  4 =
…………………………………………………………………………………….........................................
b) f  x   2 x 3  (m  2) x 2  mx  2m  24 =
…………………………………………………………………………………….........................................