04 giá trị lượng giác phần 2 đặng việt hùng image marked

04. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC (P2)

Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x.

b) 2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x.

c) 3  4sin 2 x  4 cos 2 x  1.

d) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x.

Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x.

b) cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x.

c) 4 cos 2 x  3  (1  2sin x)(1  2sin x).

d) (1  cos x)(sin 2 x  cos x  cos 2 x)  sin 2 x.

Câu 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x  2sin 2 x  1.

b) sin 3 x cos x  sin x cos3 x  sin x cos x.

c) tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x sin 2 x.

d) cot 2 x  cos 2 x  cot 2 x cos 2 x.

Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau:
1

.
a) tan x  cot x 
sin x cos x
1
1

 1.
c)
1  tan x 1  cot x

1  cos x
sin x

.
sin x
1  cos x
1 
1 

2
d) 1 
 1 
  tan x  0.
cos
x
cos
x




b)

Câu 5. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) A  cos 4 x  sin 4 x  2sin 2 x.
b) B  sin 4 x  s in 2 x cos 2 x  cos 2 x.
c) C  cos 4 x  s in 2 x cos 2 x  sin 2 x.
Câu 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin 2 x  2 cos x  1
cos x

.
2
2  c os x  cos x 1  cos x

b)

Câu 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 6 x  cos 6 x  1  3sin 2 x cos 2 x.
b) sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)(1  sin 2 x cos 2 x).
c) sin 8 x  cos8 x  (1  2sin 2 x cos 2 x) 2  2sin 4 x cos 4 x).
d) sin 8 x  cos8 x  (sin 2 x  cos 2 x)(1  2sin 2 x cos 2 x).

sin x  cos x  1
2 cos

.
1  cos x

sin x  cos x  1


Câu 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
1
 tan 2   cot 2   2.
a)
2
sin  cos 2 
c)

b)

tan 2   tan 2  sin 2   sin 2 

.
tan 2  tan 2 
sin 2  sin 2 

d)

Câu 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
1
.
a) (1  cos x)(1  cot 2 x) 
1  cos x
sin x
1  cos x
2



.
c)
1  cos x
sin x
sin x

1
 tan 2   1
cos 2 

1  cos   (1  cos ) 2 
 1  2 cot .
sin   sin 2 


1  cos x 1  cos x 4 cot x


.
1  cos x 1  cos x sin x
sin x  cos x  1
cos

.
d)
sin x  cos x  1 1  sin x

b)

Câu 10. Biểu thức sin 2 x.tan 2 x  4sin 2 x  tan 2 x  3cos 2 x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:
A. 6

B. 5.

C. 3.

D. 4.

Câu 11. Giá trị của M  cos 2 150  cos 2 250  cos 2 350  cos 2 450  cos 2 1050  cos 2 1150  cos 2 1250 là:
A. M  4

B. M 

7
2

C. M 

1
2

D. M  3 

2
2

Câu 12. Cho tan α  cot α  m Tính giá trị biểu thức cot 3 α  tan 3 α.
A. m3  3m

B. m3  3m

C. 3m3  m

D. 3m3  m

Câu 13. Biểu thức A  sin 8 x  sin 6 x cos 2 x  sin 4 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  cos 2 x được rút gọn thành:
A. sin 4 x

C. cos 4 x

B. 1

D. 2

1 
1 

n
Câu 14. Giả sử 1  tan x 
 1  tan x 
  2 tan x,  cos x  0  . Khi đó n có giá trị bằng:
cos x  
cos x 


A. 4
B. 3
C. 2
Câu 15. Cho sin x  cos x  m . Tính theo m giá trị của M  sin x.cos x :

m2  1
m2  1
.
.
A. m  1.
B.
C.
2
2
Câu 16. Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
2

A. cos α  0.
Câu 17. Cho 0  α 
A.

2
.
sin α

B. tan α  0.
π
. Tính
2

B.

C. cot α  0.

D. 1

D. m 2  1.

D. sin α  0.

1  sin α
1  sin α

.
1  sin α
1  sin α

2
.
cos α



C. 

2
.
sin α

D. 

2
.
cos α



Câu 18. Đơn giản biểu thức G  1  sin 2 x cot 2 x  1  cot 2 x.
A. sin 2 x.

B.

1
.
cos x

Câu 19. Đơn giản biểu thức T  tan x 
A.

1
.
sin x

B. sin x.

C. cos x.

D.

1
.
sin x

C. cos x.

D.

1
.
cos x

cos x
.
1  sin x

2

 sin α  tan α 
Câu 20. Kết quả đơn giản của biểu thức 
  1 bằng:
 cos α  1 


A.

1
.
cos 2 α

B. 1  tan α.

C. 2.

Câu 21. Đơn giản biểu thức E  cot x 
A.

1
.
sin x

D.

1
.
sin 2 α

D.

1
.
cos x

sin x
ta được:
1  cos x

B. cos x.

C. sin x.

04. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC (P2)

Câu 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x.

b) 2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x.

c) 3  4sin 2 x  4 cos 2 x  1.

d) sin x cot x  cos x tan x  sin x  cos x.
Lời giải:

a) Ta có Ta có cos 2 x  sin 2 x  1  sin 2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x .
b) Ta có 2 cos 2 x  1  2 1  sin 2 x   1  1  2sin 2 x. .
c) Ta có 3  4sin 2 x  3  4 1  cos 2 x   4 cos 2 x  1. .
d) Ta có sin x cot x  cos x tan x  sin x.

cos x
sin x
 cos x.
 sin x  cos x.
sin x
cos x

Câu 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 4 x  cos 4 x  1  2sin 2 x cos 2 x.

b) cos 4 x  sin 4 x  cos 2 x  sin 2 x.

c) 4 cos 2 x  3  (1  2sin x)(1  2sin x).

d) (1  cos x)(sin 2 x  cos x  cos 2 x)  sin 2 x.
Lời giải:

a) Ta có sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x  1  2sin 2 x cos 2 x .

2

b) Ta có cos 4 x  sin 4 x   cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x. .
c) Ta có (1  2sin x)(1  2sin x)  1  4sin 2 x  1  4 1  cos 2 x   4 cos 2 x  3 .
d) Ta có (1  cos x)(sin 2 x  cos x  cos 2 x)  (1  cos x)(1  cos x)  1  cos 2 x  sin 2 x .

Câu 3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 4 x  cos 4 x  1  2 cos 2 x  2sin 2 x  1.

b) sin 3 x cos x  sin x cos3 x  sin x cos x.

c) tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x sin 2 x.

d) cot 2 x  cos 2 x  cot 2 x cos 2 x.
Lời giải:

a) Ta có sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x    cos 2 x  sin 2 x


 1  sin 2 x  sin 2 x  2sin 2 x  1  2 1  cos 2 x   1  1  2 cos 2 x

b) Ta có sin 3 x cos x  sin x cos3 x  sin x cos x  sin 2 x  cos 2 x   sin x cos x.1  sin x cos x .
c) Ta có tan 2 x  sin 2 x 

sin 2 x
1
1  cos 2 x

2
2 

2

sin
x

sin
x

1

sin
x
.
 tan 2 x sin 2 x .


2
2
2
cos x
cos x
 cos x 

d) Ta có cot 2 x  cos 2 x 

cos 2 x
1
1  sin 2 x

2

2 
2

cos
x

cos
x

1

cos
x
.
 cot 2 x cos 2 x .
 2

2
2
sin x
sin x
 sin x 

Câu 4. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tan x  cot x 
c)

1
.
sin x cos x

b)

1  cos x
sin x

.
sin x
1  cos x

1 
1 

2
d) 1 
 1 
  tan x  0.
 cos x   cos x 

1
1

 1.
1  tan x 1  cot x

Lời giải:
a) tan x  cot x 
b)
c)

sin x cos x sin 2 x  cos 2 x
1



cos x sin x
sin x cos x
sin x cos x

1  cos x
sin x

 1  cos x 1  cos x   sin 2 x  1  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x  1
sin x
1  cos x
1
1
1
1
1
tan x





1
1  tan x 1  cot x 1  tan x 1  1
1  tan x 1  tan x
tan x

1 
1 
1
sin 2 x sin 2 x  cos 2 x  1

2


0
d) 1 
 1 
  tan x  1 
cos 2 x cos 2 x
cos 2 x
 cos x   cos x 

Câu 5. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x
a) A  cos 4 x  sin 4 x  2sin 2 x.
b) B  sin 4 x  s in 2 x cos 2 x  cos 2 x.
c) C  cos 4 x  s in 2 x cos 2 x  sin 2 x.
Lời giải:







a) A  cos 4 x  sin 4 x  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2sin 2 x

 cos 2 x  sin 2 x  1









b) B  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x.1  cos 2 x  1
c) C  cos 4 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x cos 2 x  sin 2 x sin 2 x  cos 2 x.1  sin 2 x  1
Câu 6. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin 2 x  2 cos x  1
cos x

.
2
2  c os x  cos x 1  cos x

b)
Lời giải:

sin x  cos x  1
2 cos

.

1  cos x
sin x  cos x  1


a) VT 

cos x  2  cos x 
sin 2 x  2 cos x  1 1  cos 2 x  2 cos x  1
cos x



 VP (đpcm).
2
2  cos x  cos x 1  cos x  2  cos x  1  cos x  2  cos x  cos x  1

b) Ta có  sin x  cos x  1 sin x  cos x  1  sin 2 x   cos x  1  1  cos 2 x   cos 2 x  2 cos x  1
2

 2 cos 2 x  2 cos x  2 cos x 1  cos x  

sin x  cos x  1
2 cos x

(đpcm)
1  cos x
sin x  cos x  1

Câu 7. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin 6 x  cos 6 x  1  3sin 2 x cos 2 x.

b) sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)(1  sin 2 x cos 2 x).
c) sin 8 x  cos8 x  (1  2sin 2 x cos 2 x) 2  2sin 4 x cos 4 x).
d) sin 8 x  cos8 x  (sin 2 x  cos 2 x)(1  2sin 2 x cos 2 x).
Lời giải:
a) sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x 

  sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x.cos 2 x
2

 1  3sin 2 x cos 2 x

do  sin 2 x  cos 2 x  1

b) sin 6 x  cos 6 x  (sin 2 x  cos 2 x)  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 4 x 
2
 (sin 2 x  cos 2 x)  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x cos 2 x   (sin 2 x  cos 2 x)(1  sin 2 x cos 2 x)



c) (1  2sin 2 x cos 2 x) 2  2sin 4 x cos 4 x  1  4sin 2 x cos 2 x  4sin 4 x.cos 4 x  2sin 4 x.cos 4 x
  sin 2 x  cos 2 x   4sin 2 x.cos 2 x  2sin 4 x.cos 4 x
4

  sin 4 x  2sin 2 x.cos 2 x  cos 4 x   4sin 2 x.cos 2 x  2sin 4 x.cos 4 x
2

 sin 8 x  cos8 x  6sin 4 x.cos 4 x  4sin 6 x.cos 2 x  4sin 2 x.cos 6 x  4sin 2 x.cos 2 x  2sin 4 x.cos 4 x
 sin 8 x  cos8 x  4sin 2 x cos 2 x  2sin 2 x cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x  1  sin 8 x  cos8 x

d) sin 8 x  cos8 x   sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x 

  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  sin 4 x  cos 4 x 
2
  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos 2 x   (sin 2 x  cos 2 x)(1  2sin 2 x cos 2 x)



Câu 8. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

1
 tan 2   cot 2   2.
2
sin  cos 
2

tan 2   tan 2  sin 2   sin 2 

.
c)
tan 2  tan 2 
sin 2  sin 2 

b)

1
 tan 2   1
2
cos 

1  cos   (1  cos ) 2 
d)
 1  2 cot .
sin   sin 2 

Lời giải:


sin 2   cos 2  

1
sin 4   cos 4   2sin 2  cos 2 


a) Ta có
sin 2  cos 2 
sin 2  cos 2 
sin 2  cos 2 
2



b)

sin 2  cos 2 

 2  tan 2   cot 2   2
2
2
cos  sin 

1
1
sin 2  1  sin 2 
2

tan




1
cos 2 
cos 2  cos 2 
cos 2 

tan 2   tan 2 
1
1
cos 2  cos 2  1  sin 2  1  sin 2  sin 2   sin 2 







c)
tan 2  tan 2 
tan 2  tan 2  sin 2  sin 2 

sin 2 
sin 2 
sin 2  sin 2 
2
1  cos   (1  cos ) 2  1  cos  1  cos 2   2 cos   sin 2  1  cos    2 cos   2 cos  
d)
 1 
.

sin   sin 2 
sin 
sin 2 
sin 3 


1  cos   cos   2 cos   2 cot 
2
2

sin 3 

sin 

Câu 9. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (1  cos x)(1  cot 2 x) 
c)

1
.
1  cos x

sin x
1  cos x
2


.
1  cos x
sin x
sin x

b)

1  cos x 1  cos x 4 cot x


.
1  cos x 1  cos x sin x

d)

sin x  cos x  1
cos

.
sin x  cos x  1 1  sin x

Lời giải:
a) VT  (1  cos x)(1  cot 2 x)  1  cos x  .

1
1  cos x
1


 VP (đpcm).
2
2
sin x 1  cos x 1  cos x

1  cos x 1  cos x 1  cos x   1  cos x 
4 cos x
4 cos x 4 cot x
b) VT 





 VP (đpcm).
2
1  cos x 1  cos x
1  cos x 1  cos x  1  cos x sin 2 x sin x
2

2

2
sin x
1  cos x sin x  1  cos x 

sin 2 x  cos 2 x  2 cos x  1
c) VT 




1  cos x
sin x
sin x 1  cos x 
1  cos x  sin x
2



d) Ta có

2  2 cos x
2

 VP
sin x 1  cos x  sin x

sin x  cos x  1
cos

  sin x  cos x  11  sin x   cos x  sin x  cos x  1
sin x  cos x  1 1  sin x

 sin x  cos x  1  sin 2 x  sin x cos x  sin x  cos x sin x  cos 2 x  cos x
 sin 2 x  1  sin x cos x  cos x  cos x sin x  cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x  1 (ln đúng)

Từ đó ta suy ra đẳng thức ban đầu là đúng.
Câu 10. Biểu thức sin 2 x.tan 2 x  4sin 2 x  tan 2 x  3cos 2 x không phụ thuộc vào x và có giá trị bằng:
A. 6
B. 5.
C. 3.
D. 4.
2
2
2
2
2
2
2
2
HD: Ta có sin x.tan x  4sin x  tan x  3cos x  tan x  sin x  1  sin x  3  sin 2 x  cos 2 x  .



sin 2 x  sin 2 x  1  sin 2 x.cos 2 x
cos 2 x

3

sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x
cos 2 x

 3  3 . Chọn C.


Câu 11. Giá trị của M  cos 2 150  cos 2 250  cos 2 350  cos 2 450  cos 2 1050  cos 2 1150  cos 2 1250 là:

2
7
1
A. M  4
B. M 
C. M 
D. M  3 
2
2
2
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
2
0
HD: Ta có cos 105  sin 45 , cos 115  sin 25 , cos 125  sin 35 .
1 7
Khi đó M   cos 2 150  sin 2 150    cos 2 250  sin 2 250    cos 2 350  sin 2 350   cos 2 450  3   .
2 2
Chọn B.
Câu 12. Cho tan α  cot α  m Tính giá trị biểu thức cot 3 α  tan 3 α.
A. m3  3m
B. m3  3m

C. 3m3  m
D. 3m3  m
2
HD: Ta có cot 3   tan 3    tan   cot    tan   cot    3 tan  .cot    m  m 2  3  m3  3m .


Chọn B.
Câu 13. Biểu thức A  sin 8 x  sin 6 x cos 2 x  sin 4 x cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  cos 2 x được rút gọn thành:
A. sin 4 x
B. 1
C. cos 4 x
D. 2
6
2
2
4
2
2
2
2
HD: Ta có A  sin x  sin x  cos x   sin x cos x  sin x cos x  cos x
 sin 4 x  sin 2 x  cos 2 x   sin 2 x cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  sin 2 x  cos 2 x   cos 2 x

 sin 2 x  cos 2 x  1. Chọn B.
1 
1 

n
Câu 14. Giả sử 1  tan x 
 1  tan x 

  2 tan x,  cos x  0  . Khi đó n có giá trị bằng:
cos
x
cos
x



A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
1 
1 

HD: Ta có 1  tan x 
 1  tan x 

cos x  
cos x 

1
2
2
 1  tan x  
 1  tan x   1  tan 2 x   2 tan x  n  1. Chọn D.
2
cos x

Câu 15. Cho sin x  cos x  m . Tính theo m giá trị của M  sin x.cos x :

m2  1
.
2
m2  1
2
2
2
. Chọn B.
HD: Ta có m  sin x  cos x  2 M  1  2 M  M 
2

A. m 2  1.

B.

m2  1
.
2

C.

D. m 2  1.

Câu 16. Cho α là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây là đúng?
A. cos α  0.
B. tan α  0.
C. cot α  0.
D. sin α  0.
HD: Sử dụng vịng trịn lượng giác ta có sin   0;cos   0  tan   0 . Chọn B.
1  sin α

1  sin α

.
1  sin α
1  sin α
2
2
2
.
.
.
A.
B.
C. 
sin α
cos α
sin α
π
HD: Phương án tính tốn theo cơng thức 0  α   sin α, cos α  0 .
2

Câu 17. Cho 0  α 

π
. Tính
2

2

 1  sin α

1  sin α  1  sin α 1  sin α
1  sin α 1  sin α
Ta có s  


2
.
 
1

sin
α
1

sin
α
1

sin
α
1

sin
α
1

sin
α
1  sin α



2

D. 

2
.
cos α


1  sin α   1  sin α 

2

2

2  2sin 2 α
4
2
2
s
. Chọn B.
2
2
2
1  sin α
1  sin α
cos α
cos α
Cách 2: Phương án thực nghiệm theo góc 

Chọn α 

2

π
1  sin α
1  sin α
2


2 2 
do mẫu chứa cos. Chọn B.
4
1  sin α
1  sin α
cos α





Câu 18. Đơn giản biểu thức G  1  sin 2 x cot 2 x  1  cot 2 x.
A. sin 2 x.

B.

1
.
cos x

C. cos x.

D.

1
.
sin x

HD: Ta có
+) Phương án thực nghiệm 
π
π
x   ans  G  1  sin 2 ans cot 2 ans  1  cot 2 ans  0, 25  sin 2  sin 2 x . Chọn A.
6
6
+) Phương án tính tốn cơng thức









G  1  sin 2 x cot 2 x  1  cot 2 x   sin 2 x.cot 2 x  1   cos 2 x  1  sin 2 x .

Chọn A.
Câu 19. Đơn giản biểu thức T  tan x 
1

.
sin x
HD: Ta có
+) Tính theo công thức

A.

T  tan x 

cos x
.
1  sin x

B. sin x.

C. cos x.

D.

1
.
cos x

cos x
sin x
cos x
sin 2 x  cos 2 x  sin x
1  sin x
1
. Chọn D.






1  sin x cos x 1  sin x
cos x 1  sin x 
cos x 1  sin x  cos x

+) Thực nghiệm: Không nên chọn góc 45 , gây khó dự đốn.
π
cos Ans
1
x   Ans; T  tan Ans 
 1,154 
. Chọn D.
6
1  sin Ans
cos x
2

 sin α  tan α 
Câu 20. Kết quả đơn giản của biểu thức 
  1 bằng:
 cos α  1 
1
.
A.
B. 1  tan α.
C. 2.

cos 2 α

D.

1
.
sin 2 α

2

sin α 

2
 sin α  cos α  1 
 sin α  cos α 
1
 sin α  tan α 
2
HD: 
. Chọn A.
  1  tan α  1 
  1  
 1  
2
cos
α

1
cos
α

cos
α

1
cos
α


 cos α  1 






2

Câu 21. Đơn giản biểu thức E  cot x 
A.

1
.
sin x

HD: E  cot x 

B. cos x.

sin x
ta được:

1  cos x

C. sin x.

D.

1
.
cos x

sin x
cos x
sin x
cos 2 x  sin 2 x  cos x
1
. Chọn A.




1  cos x sin x 1  cos x
sin x 1  cos x 
sin x