100 bài tập PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT, PHƯƠNG TRÌNH bậc 2 file word có lời giải chi tiết image marked

 BÀI02
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, PHƯƠNG
TRÌNH BẬC 2
I – ƠN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất

Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau
ax + b = 0
(1)
Hệ số

Kết luận

(1) có nghiệm duy nhất x = -

a¹0
a=0

b¹0
b=0

(1) vơ nghiệm
(1) nghiệm đúng với mọi x

b
a

Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

2. Phương trình bậc hai

Cách giải và cơng thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau
ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
(2 )
D = b 2 - 4 ac

Kết luận

D>0

(2) có hai nghiệm phân biệt x1, 2 =

D=0

(2) có nghiệm kép x = -

D<0

(2) vô nghiệm

-b ± D
2a

b
2a

3. Định lí Vi–ét

Nếu phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1 , x 2 thì

b

c
x1 + x 2 = - ,
x1 x 2 = .
a
a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của
phương trình

x 2 - Sx + P = 0.

II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị
tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2 x + 1. (3)
Giải
Cách 1
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2 x + 1. Từ đó x = - 4.
Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.

2
b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2 x + 1. Từ đó x = .
3
giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = .
3
Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả

(3) Þ ( x - 3) = (2 x + 1)
2

2

Þ x 2 - 6x + 9 = 4 x 2 + 4 x +1

Þ 3 x 2 + 10 x - 8 = 0.
2
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = .
3

2
Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = .
3

2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa
về một phương trình hệ quả khơng chứa ẩn dưới dấu căn.
Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x - 3 = x - 2. (4 )
3
Giải. Điều kiện của phương trình (4 ) là x ³ .
2
Bình phương hai vế của phương trình (4 ) ta đưa tới phương trình hệ quả

(4 ) Þ 2 x - 3 = x 2 - 4 x + 4
Þ x 2 - 6 x + 7 = 0.

Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3 + 2 và x = 3 - 2. Cả hai giá trị này đều thỏa
mãn điều kiện của phương trình (4 ), nhưng khi thay vào phương trình (4 ) thì giá trị
x = 3 - 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3 + 2 là nghiệm (hai vế

cùng bằng 2 + 1 ).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4 ) là x = 3 + 2.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 - 4 ) x = 3m + 6 vô
nghiệm.
A. m = 1.
B. m = 2.
C. m = ±2.
D. m = -2.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m = 0 vụ nghim.
A. m ẻ ặ.
B. m = {0}.
C. m Ỵ  + .
D. m Ỵ .

Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 - 5m + 6) x = m 2 - 2m vô
nghiệm.
A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 6.

Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7m - 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham
2

số m để phương trình đã cho vơ nghiệm.
A. m = 1.
B. m = 2; m = 3.
C. m = 2.
D. m = 3.
2
2
2
Câu 5. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 3m x + m và y = (m + 1) x + 12 x + 2 . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m = 2.
B. m = -2.
C. m = ±2.

D. m = 1.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4 ) x = m - 2 có
nghiệm duy nhất.
A. m = -1.

B. m = 2.
C. m ¹ -1.
D. m ¹ 2.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình

(m 2 - 9) x = 3m (m - 3) có nghiệm duy nhất ?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;10 ] để
phương trình (m + 1) x = (3m 2 -1) x + m -1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S

bằng:
A. 15.
B. 16.
C. 39.
D. 40.
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 + m ) x = m + 1 có
nghiệm duy nhất x = 1.
A. m = -1.
B. m ¹ 0.

C. m ¹ -1.

D. m = 1.

Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x - 2 và y = (3m + 7) x + m . Tìm tất cả các giá trị của
2

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m ¹ -2.
B. m ¹ -3.
C. m ¹ -2; m ¹ 3. D. m = -2; m = 3.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 -1) x = m -1 có

nghiệm đúng với mọi x thuộc .
A. m = 1.
B. m = ±1.
C. m = -1.
D. m = 0.
Câu 12. Cho phương trình m 2 x + 6 = 4 x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình đã cho có nghiệm.
A. m = 2.
B. m ¹ -2.
C. m ¹ -2 và m ạ 2. D. m ẻ .
Cõu 13. Cho phng trình (m 2 – 3m + 2) x + m 2 + 4 m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc .
A. m = -2.
B. m = -5.
C. m = 1.
D. Khơng tồn tại.
Câu 14. Cho phương trình (m 2 - 2m ) x = m 2 - 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m = 0.
B. m = 2.

C. m ¹ 0; m ¹ 2.

D. m ¹ 0.

Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 1 và y = (3m -1) x + m . Tìm tất cả các giá trị của
2

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2
A. m = 1; m = - .
B. m ¹ 1 và m ¹ - .
3
3
2
C. m = 1.
D. m = - .
3

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
ïìa ¹ 0
ïìa = 0
.
A. a = 0.
B. ùớ
hoc ùớ
ùùợD = 0
ùùợb ạ 0

C. a = b = c = 0.

ỡa ạ 0
ù
.
D. ù
ớ
ù
ù
ợD = 0

Cõu 17. S -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. x 2 + 4 x + 2 = 0.
B. 2 x 2 - 5 x - 7 = 0.
C. -3 x 2 + 5 x - 2 = 0.
D. x 3 -1 = 0.
2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7 x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai
đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x 2 và y = -7 x + 12.
B. y = x 2 và y = -7 x -12.
C. y = x 2 và y = 7 x + 12.

D. y = x 2 và y = 7 x -12.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương

trình x 2 - x + m = 0 vơ nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
2
Câu 20. Phương trình (m + 1) x - 2mx + m - 2 = 0 vô nghiệm khi:

D. 21.

A. m £ -2.
B. m < -2.
C. m > 2.
D. m ³ 2.
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2 x (kx - 4 ) - x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là?
A. k = -1.
B. k = 1.
C. k = 2.
2
Câu 22. Phương trình (m – 2) x + 2 x – 1 = 0 có nghiệm kép khi:
A. m = 1; m = 2.
Câu 23. Phương trình
A. m ẻ ặ.
Cõu 24. Phng trỡnh

D. k = 3.

B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = -1.
2

mx + 6 = 4 x + 3m có nghiệm duy nhất khi:
B. m = 0.
C. m ẻ .
D. m ạ 0.
mx 2 – 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi:

A. m = 0.
B. m = -1.
C. m = 0; m = -1.
D. m = 1.
2
Câu 25. Phương trình (m + 1) x – 6 (m + 1) x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi:
A. m = -1.

B. m = -1; m = -

6
7

6
C. m = - .
7

Câu 26. Phương trình 2 ( x 2 -1) = x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi:

6
D. m = .
7

17

17
B. m = 2.
C. m = 2; m = .
D. m = -1.
.
8
8
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
(m - 2) x 2 - 2 x + 1 - 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A. m =

5
7
9
.
B. 3.
C. .
D. .
2
2
2
Câu 28. Phương trình (m -1) x 2 + 6 x -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

A.

5
5
B. m > - .
C. m > -8; m ¹ 1.
D. m > - ; m ¹ 1.

4
4
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình

A. m > -8.

mx 2 - 2 (m + 2) x + m -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

A. 5.
B. 6.
C. 9.
D. 10.
2
2
Câu 30. Phương trình (m + 2) x + (m - 2) x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

A. 0 < m < 2.
B. m > 2.
C. m Ỵ .
D. m £ 2.
Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2 x + m tiếp xúc với parabol

( P ) : y = (m – 1) x 2 + 2mx + 3m – 1.

A. m = 1.
B. m = -1.
C. m = 0.
Câu 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi:
A. m > 0.
B. m < 0.

C. m £ 0.

D. m = 2.
D. m ³ 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-20;20 ] để phương

trình x 2 - 2mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A. 21.
B. 18.
C. 1.
D. 0.
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x 2 - 2 x + 3 và

y = x 2 - m có điểm chung.

7
7
7
A. m = - .
B. m < - .
C. m > - .
2
2
2
Câu 35. Phương trình (m -1) x 2 + 3 x -1 = 0 có nghiệm khi:

7
D. m ³ - .
2

5
5
5
5
A. m ³ - .
B. m £ - .
C. m = - .
D. m = .
4
4
4
4
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình

mx 2 - mx + 1 = 0 có nghiệm.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4 x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm cịn lại
của phương trình bằng:
A. -1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.

Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3 x 2 - (m + 2) x + m -1 = 0 có một nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại.

ì
ü
ì 2ï
ü
ì 3 ï
ü
1ï
ïì 5 ïü
ï
ï
ï
A. m Î í ;7ý.
B. m Î í-2; - ý.
C. m Î ớ0; ý.
D. m ẻ ớ- ;1ý.
ùợù 2 ùỵù
ù
ù
ù
ù
ù
ù
2
5
4
ù
ù

ù
ù
ù
ù
ợ
ỵ
ợ
ỵ
ợ
ỵ
Cõu 39. Tỡm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3 x 2 - 2 (m + 1) x + 3m - 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại.

A. m = 7.

B. m = 3.

C. m = 3; m = 7.

D. m ẻ ặ.

B. m ¹ 0.

3
C. m ¹ .
4

3
D. m ¹ - .
4

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( x -1)( x 2 - 4 mx - 4 ) = 0
ba nghiệm phân biệt.
A. m Ỵ .

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ
khi:

ìD > 0
ï
.
A. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

ìD ³ 0
ï
.
B. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

ìD > 0
ï
.

C. ï
í
ï
ï
ỵS > 0

ìD > 0
ï
.
D. ï
í
ï
ï
ỵS < 0

ìD > 0
ï
.
A. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

ìD > 0
ï
ï
ï
B. ï
íP > 0 .

ï
ï
ï
ï
ỵS > 0

ìD > 0
ï
ï
ï
C. ï
íP > 0 .
ï
ï
ï
ï
ỵS < 0

ìD > 0
ï
.
D. ï
í
ï
ï
ỵS > 0

ìD > 0
ï
ï

ï
B. ï
íP > 0 .
ï
ï
ï
ï
ỵS > 0

ìD > 0
ï
ï
ï
C. ï
íP > 0 .
ï
ï
ï
ï
ỵS < 0

ìD > 0
ï
.
D. ï
í
ï
ï
ỵS > 0

Câu 42. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:
ìD > 0
ï
.
A. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

Câu 44. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìD > 0
ì
ï
ïD > 0
.
.
A. ï
B. ï
C. P < 0.
D. P > 0.
í
í
ï

ï
ï
ï
ỵS < 0
ỵS > 0
Câu 45. Phương trình x 2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m < -2.
B. m > 2.
C. m ³ -2.
D. m ¹ 0.
Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-5;5] để phương trình

x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.
D. 11.
Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có
hai nghiệm âm phân bit l:
ổ 1 ử
ổ 1 1ử
ổ 1ử
A. m ẻ ỗỗ- ;0ữữữ. B. m ẻ ỗỗ- ; ữữữ.
C. m ẻ (0;2).
D. m ẻ ỗỗ0; ữữữ.
ỗố 2 ứ
ỗố 2 2 ứ
ỗố 2 ø

Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2;6 ] để phương

trình x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng:
A. -3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
x 2 - 2 (m + 1) x + m 2 -1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là:
A. m Ỵ (-1 ;1).

B. m ẻ (1 ; + Ơ).

ổ 1
ử
C. m ẻ ỗỗ- ; +Ơữữữ.
ỗố 2
ứ

D. m ẻ (-Ơ ; -1).

C. m 1.

D. m £ 1.

Câu 50. Phương trình (m -1) x 2 + 3 x -1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi:
A. m > 1.

B. m < 1.

Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 51. Giả sử phương trình x 2 - (2m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là
x1 , x 2 . Tính giá trị biểu thức P = 3 x1 x 2 - 5 ( x1 + x 2 ) theo m.

A. P = 3m 2 -10m + 6.
B. P = 3m 2 + 10m - 5.
2
C. P = 3m -10m + 1.
D. P = 3m 2 + 10m + 1.
Câu 52. Giả sử phương trình x 2 - 3 x - m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x 2 . Tính
giá trị biểu thức P = x12 (1 - x 2 ) + x 22 (1 - x1 ) theo m.

A. P = -m + 9.
B. P = 5m + 9.
C. P = m + 9.
D. P = -5m + 9.
Câu 53. Giả sử phương trình 2 x 2 - 4 ax -1 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tính giá trị của biểu
thức T = x1 - x 2 .

4a 2 + 2
a2 + 8
a2 + 8
. B. T = 4 a 2 + 2.
C. T =
D. T =
.
.
3
2
4
Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của

A. T =

phương trình bằng 1. Khi đó p bằng
A.

4 q + 1.

B.

4 q -1.

C. - 4 q + 1.

D. q + 1.

Câu 55. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x - (2m + 1) x + m 2 + 1 = 0 ( m là tham
2

số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P =
A. m = -2.

B. m = -1.

x1 x 2
có giá trị nguyên.
x1 + x 2

C. m = 1.

D. m = 2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 56. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 2 (m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức P = x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất.

1
A. m = .
B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = -12.
2
Câu 57. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 + 2mx + m 2 - 2 = 0 ( m là tham số).

Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 - 4 .

1
25
9
A. Pmax = .
B. Pmax = 2.
C. Pmax = .
D. Pmax = .
2
4
4
Câu 58. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 2 (m -1) x + 2m 2 - 3m + 1 = 0 ( m là

tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x 2 + x1 x 2 .

1
9
9
A. Pmax = .
B. Pmax = 1.
C. Pmax = .
D. Pmax = .
4
8
16
Câu 59. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - mx + m -1 = 0 ( m là tham số). Tìm

m để biểu thức P =

2 x1 x 2 + 3
đạt giá trị lớn nhất.
x12 + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)

1
5
A. m = .
B. m = 1.
C. m = 2.
D. m = .
2
2
Câu 60. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - mx + m -1 = 0 ( m là tham số). Tìm

giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =
A. Pmin = -2.

1
B. Pmin = - .
2

2 x1 x 2 + 3
.
x + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)
2
1

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 61. Nếu m ¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng
m + n bằng:
1
1
A. - .
B. -1.
C. .
D. 1.
2
2
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của
phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. p + q = m 3 .

B. p = m 3 + 3mn.

C. p = m 3 - 3mn.

ổmử
p
D. ỗỗ ữữữ = .
ỗố n ø
q
3

Câu 63. Cho hai phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0 và x 2 - 2 x + m = 0. Có hai giá trị của m để
phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính
tổng S của hai giá trị m đó.
5
1
1
A. S = - .
B. S = 1.
C. S = - .
D. S = .
4
4
4
Câu 64. Cho hai phương trình x 2 - mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x - m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của
m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.

C. 2.
D. 3.
Câu 65. Cho a, b, c , d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình
x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu

thức S = a + b + c + d .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


A. S = - 2.

B. S = 0.

C. S =

-1 + 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2 x +
ì 3ü
A. S = ï
í1; ù
ý.
ù

ù 2ù
ù
ợ
ỵ

B. S = {1}.

Cõu 67. Tp nghim ca phng trình
A. S = {1;4}.

x 2 - 5x

B. S = {1}.

x -2

3
3x
l:
=
x -1 x -1
ỡ3ỹ
C. S = ùớ ùý.
ù
ù2ù
ù
ợ
ỵ
=-

4

x -2
C. S = Ỉ.

D. S =  \ {1}.

là:
D. S = {4}.

2 x 2 -10 x
= x - 3 có bao nhiêu nghiệm?
x 2 - 5x
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
10
50
=
Câu 69. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình 1 . Mệnh đề nào
x - 2 x + 3 (2 - x )( x + 3)

Câu 68. Phương trình

sau đây đúng?
A. x 0 Ỵ (-5; -3).

B. x 0 Ỵ [-3; -1].

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình
ì m + 1ï
ü
ï
A. S = ớ 2 ý.
ù
ù m ù
ù
ợ
ỵ

B. S = ặ.

Cõu 71. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = Ỉ.

ì 3ï
ü
ï
B. S = ớ- ý.
ù
ù mù
ù
ợ
ỵ

(m

C. x 0 ẻ (-1;4 ).

2

+ 1) x -1
x +1

= 1 trong trường hợp m ¹ 0 l:

ỡ 2 ù
ỹ
ù
D. S = ớ 2 ý.
ù
ùm ù
ù
ợ
ỵ

C. S = .

(2m 2 + 3) x + 6m
x

= 3 khi m ¹ 0 là:

C. S = .

Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trỡnh
A. 0.

D. x 0 ẻ [ 4; +Ơ).

D. S =  \ {0}.
x 2 + mx + 2
= 1 vô nghiệm?
x 2 -1
D. 3.

B. 1.
C. 2.
2mx -1
Câu 73. Phương trình
= 3 có nghiệm duy nhất khi:
x +1
3
A. m ¹ .
B. m ¹ 0.
2
3
1
3
C. m ¹ 0 và m ¹ .
D. m ¹ - và m ¹ .
2
2
2
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-3;5] để phương

x -m x -2
có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng:

=
x +1
x -1
A. -1.
B. 8.
C. 9.
D. 10.
Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20 ] để phương trình
trình

x +1
m
x +3
có nghiệm.
+
=
2
x -2 4 - x
x +2
A. 4.
B. 18.

C. 19.

D. 20.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3 x - 2 = 3 - 2 x là:

A. S = {-1;1}.

B. S = {-1}.

C. S = {1}.

Câu 77. Phương trình 2 x - 4 - 2 x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2 x -1 = x - 3 là:

D. S = {0}.
D. Vơ số.

ì4ï
ü
ì
ü
4ï
ï
ï
A. S = í ý.
B. S = Ỉ.
C. S = í-2; ý.
D. S = {-2}.
ù
ù
ù
3ù

ù3ỵ
ù
ù
ù
ợ
ợ
ỵ
Cõu 79. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh x 2 + 5 x + 4 = x + 4 bằng:

A. -12.
B. -6.
C. 6.
D. 12.
2
Câu 80. Gọi x1 , x 2 ( x1 < x 2 ) là hai nghiệm của phương trình x - 4 x - 5 = 4 x -17 . Tính giá
trị biểu thức P = x12 + x 2 .
A. P = 16.
B. P = 58.
C. P = 28.
Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x - 2 = 3 x - 5 là:

ì3 7 ü
ì 3 7ü
ì 7
3ü
A. S = ï
B. S = ïí- ; ïý.
C. S = ï
í ; ï
ý.

í- ; - ù
ý.
ù
ùợù 2 4 ùỵù
ù
2ù
ù2 4 ù
ù
ù 4
ù
ợ
ỵ
ợ
ỵ
Cõu 82. Tng cỏc nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x - 2 bằng:

A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6.

D. P = 22.
ì 7 3ü
D. S = ùớ- ; ùý.
ùợù 4 2 ùỵù

D.

20
.
3

Cõu 83. Phng trỡnh 2 x + 1 = x 2 - 3 x - 4 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 84. Phương trình 2 x - 4 + x -1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ?

D. 4.

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vơ số.
Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2 x - 5 + 2 x 2 - 7 x + 5 = 0 bằng:
A. 6.

B.

5
.

2

C.

7
.
2

Câu 86. Phương trình ( x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?

D.

3
.
2

2

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4 x ( x -1) = 2 x -1 + 1 bằng:

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. -2.
Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2ax = -1 có nghiệm duy nhất?

3
-3
3
-3
-3
3
.
.
Úa > .
A. a > .
B. a <
C. a ¹ Ù a ¹
D. a <
2
2
2
2
2
2
Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy

nhất.
A. m = 0.
B. m = 1.
C. m = -1.
D. Không có m.
Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình
mx + 2 x -1 = x -1 có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 8.

B. 9.
Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = {6;2}.
B. S = {2}.

C. 10.
2 x - 3 = x - 3 là:
C. S = {6}.

Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình
A. S = {0;2}.
B. S = {2}.

x 2 - 4 = x - 2 là:
C. S = {0}.

D. 11.
D. S = Ỉ.
D. S = Ỉ.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình ( x - 2) 2 x + 7 = x 2 - 4 bằng:
A. 0.
Câu 94. Phương trình
A. 1.
Câu 95. Phương trình
A. 0.

B. 1.
x 2 - 4x -2
x -2
B. 2.

C. 2.

D. 3.

= x - 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm?

C. 3.
4

2-x +

2-x +3

B. 1.

D. 5.

= 2 có tất cả bao nhiêu nghim?

C. 2.

D. 3.
2
ổ x 2 ửữ
2x 2

ỗ
ữữ +
+m = 0
Cõu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m phng trỡnh ỗỗ
x -1
ố x -1ữứ
cú ỳng bn nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Câu 97. Tìm tất cả các giá tr thc ca tham s
ổ 2
ử
ổ
ử
ỗỗ x + 1 ữữ - 2m ỗỗ x + 1 ữữ + 1 = 0 cú nghim.
2ữ
ỗ
ốỗ
ứ
ố
ứữ
x
x
ổ 3 3ử
ộ3
ử
A. m ẻ ỗỗ- ; ữữữ.
B. m ẻ ờ ; +Ơữữữ.
ỗố 4 4 ứ

ờở 4
ứ
ổ
ự
ổ
ự ộ3
ửữ
3
3
C. m ẻ ỗỗ-Ơ; - ỳ . D. m ẻ ỗỗ-Ơ; - ỳ ẩ ờ ; +Ơữữ.
ỗố
ỗố
ứ
4 ỷỳ
4 ỷỳ ởờ 4
Cõu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham s
ổ
4
2ử
x 2 + 2 - 4 ỗỗ x - ữữữ + m -1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hn 1.
ỗố
xứ
x
A. m < -8.
B. -8 < m < 1.
C. 0 < m < 1.
Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

( x 2 + 2 x + 4)

2

D. Vơ số.
m để phương trình

m

– 2m ( x 2 + 2 x + 4 ) + 4 m – 1 = 0 có đúng hai nghiệm.

A. m Î (3;4 ).

{

(

để phương trình

D. m £ -8.
m để phương trỡnh

) (

)

B. m ẻ -Ơ;2 - 3 ẩ 2 + 3; +Ơ .

}

C. m ẻ (4; +Ơ) ẩ 2 + 3 .

D. m Ỵ .

Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số
x 2 + 2mx + 2m x + m + m 2 + 3 - 2m = 0 cú nghim.

m

phng trỡnh

ộ3
ử
B. m ẻ (Ơ; -3] ẩ ờ ; +Ơữữữ.
ờở 2
ứ
ộ3
ử
D. m ẻ ờ ; +Ơữữữ.
ờở 2
ứ

A. m ẻ (Ơ; -3] ẩ [1; +Ơ).
C. m Î [1; +¥).

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 - 4 ) x = 3m + 6 vô
nghiệm.
A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = ±2.
D. m = -2.
2
ì
ì
ïm - 4 = 0 ï
ïm = ±2
Ûí
Ûm=2.
Lời giải. Phương trình ó cho vụ nghim khi ùớ
ù
ù
3
m
+
6
ạ
0
ùm ạ -2
ù
ợ
ợ

Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Chọn B.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m = 0 vụ nghim.
A. m ẻ ặ.

B. m = {0}.
C. m Ỵ  + .
D. m Ỵ .
Lời giải. Phương trình viết lại mx = m .
ì
ïm = 0
Û m Ỵ Ỉ . Chọn A.
Phương trình đã cho vơ nghiệm khi ù
ớ
ù
ù
ợm ạ 0

Cõu 3. Tỡm giỏ tr thc ca tham số m để phương trình (m 2 - 5m + 6) x = m 2 - 2m vô
nghiệm.
A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 6.
ì
é
ï
ïê m = 2
ïê m = 3
ìm 2 - 5m + 6 = 0 ï
ï
ë

Ûï
Ûm=3.
Lời giải. Phương trình đã cho vụ nghim khi ù
ớ 2
ớ
ù
ù
m
ạ0
m
2
m
ạ
0
ù
ù
ợ
ù
ù
ù
ù
ợm ạ 2
Chn C.

Cõu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7m - 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham
2

số m để phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m = 1.
B. m = 2; m = 3.

C. m = 2.

Lời giải. Phương trình viết lại (m - 5m + 6) x = m -1 .

D. m = 3.

2

ì
ïé m = 2
ìm 2 - 5m + 6 = 0 ï
ém = 2
ï
ïêê
ï
Ûï
. Chọn B.
Phương trình vơ nghiệm khi í
íë m = 3 Û êê
ï
ï
m=3
ïm -1 ¹ 0
ù
ở
ợ
ù
ù
ợm ạ 1

2
2
Cõu 5. Cho hai hm s y = (m + 1) x + 3m x + m và y = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 . Tìm tất cả các

giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m = 2.
B. m = -2.
C. m = ±2.
D. m = 1.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số khơng cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
(m + 1) x 2 + 3m 2 x + m = (m + 1) x 2 + 12 x + 2 vô nghiệm

Û 3 (m 2 - 4 ) x = 2 - m vơ nghiệm

ïìm 2 - 4 = 0 ïìïm = ±2
Û ïí
Ûí
Û m = -2. Chọn A.
ïỵï 2 - m ạ 0
ùợù m ạ 2
Cõu 6. Tỡm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4 ) x = m - 2 có

nghiệm duy nhất.
A. m = -1.
B. m = 2.
C. m ¹ -1.
D. m ¹ 2.
Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 . Chọn D.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình

(m 2 - 9) x = 3m (m - 3) có nghiệm duy nhất ?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m 2 - 9 ¹ 0 m ạ 3
m ẻ[-10;10 ]
ắắắắ
đ cú 19 giỏ trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Chọn B.
m Ỵ

Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-5;10 ] để
phương trình (m + 1) x = (3m 2 -1) x + m -1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S
bằng:
A. 15.

B. 16.

C. 39.

D. 40.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải. Phương trình viết lại (3m 2 - m - 2) x = 1 - m .

ìm ¹ 1
ï

ï
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m 2 - m - 2 ạ 0 ùớ
2
ù
m ạù
ù
3
ợ
[
]
ắắắắ
đ m Î {-5; -4; -3; -2; -1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10}.
m Î
m Î -5;10

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39 . Chọn C.
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 + m ) x = m + 1 có
nghiệm duy nhất x = 1.
A. m = -1.
B. m ¹ 0.

C. m ¹ -1.

D. m = 1.
ì
ïm ¹ 0
Lời giải. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m 2 + m ¹ 0 ù
. (* )
ớ
ù

ù
ợm ạ -1
Khi ú, nghim ca phng trình là x =
u cầu bài tốn Û

1
.
m

1
= 1 Û m = 1 (thỏa mãn (*) ). Chọn D.
m

Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x - 2 và y = (3m + 7) x + m . Tìm tất cả các giá trị của
2

tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m ¹ -2.
B. m ¹ -3.
C. m ¹ -2; m ¹ 3. D. m = -2; m = 3.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

(m + 1) x - 2 = (3m + 7) x + m có nghiệm duy nhất
2

Û (m 2 - m - 6) x = 2 + m có nghiệm duy nhất

ìïm ¹ 3
Û m 2 - m - 6 ạ 0 ùớ
. Chn C.

ùùợm ạ -2
Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m 2 -1) x = m -1 có

nghiệm đúng với mọi x thuộc .
A. m = 1.
B. m = ±1.
C. m = -1.
D. m = 0.
Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với "x Ỵ  hay phương trình có vơ số nghiệm
ì
ïm 2 -1 = 0
Û m = 1 . Chọn A.
khi ï
í
ï
ï
ỵm -1 = 0

Câu 12. Cho phương trình m 2 x + 6 = 4 x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để
phương trình đã cho có nghiệm.
A. m = 2.
B. m ¹ -2.
C. m ¹ -2 và m ¹ 2. D. m Î .
2
Lời giải. Phương trình viết lại (m - 4 ) x = 3m - 6 .
ì
ìm = ±2
ïm 2 - 4 = 0 ï
Ûï
Û m = -2 .

Phương trình đã cho vơ nghiệm khi ï
í
í
ï
ïm ¹ 2
ï3m - 6 ¹ 0 ï
ỵ
ỵ

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ¹ -2 . Chọn B.
Câu 13. Cho phương trình (m 2 – 3m + 2) x + m 2 + 4 m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc .
A. m = -2.
B. m = -5.
C. m = 1.
D. Không tồn tại.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải. Phương trình đã cho nghiệm đúng với "x Ỵ  hay phương trình có vơ số nghiệm
ì
ém = 1
ï
2
ì
ï
ï
ê
ï

ïm - 3m + 2 = 0
ï
Û
khi í
íêë m = 2 m ẻ ặ . Chn D.
2
ù
- m + 4 m + 5) = 0 ù
ù
ù
ù
ợ (
ù
ù
ợm ẻ ặ
Cõu 14. Cho phương trình (m 2 - 2m ) x = m 2 - 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m = 0.
B. m = 2.

C. m ¹ 0; m ¹ 2.

D. m ¹ 0.

ìé m = 0
ï
ï
ê
ï

2
ï
ì
ï
m
2
m
=
0
ïêë m = 2
ï
Ûí
Ûm=0.
Lời giải. Phương trình đã cho vơ nghiệm khi í 2
ï
m¹2
ïm - 3m + 2 ¹ 0 ù
ù
ợ
ù
ù
ù
ù
ợm ạ 1

Do ú, phng trỡnh ó cho cú nghiệm khi m ¹ 0 . Chọn D.
Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1) x + 1 và y = (3m 2 -1) x + m . Tìm tất cả các giá trị của
tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau.
2
2

A. m = 1; m = - .
B. m ¹ 1 và m ¹ - .
3
3
2
C. m = 1.
D. m = - .
3
Lời giải. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình
(m + 1) x + 1 = (3m 2 -1) x + m có vơ số nghiệm

Û (3m 2 - m - 2) x = 1 - m có vơ số nghiệm
ìï3m 2 - m - 2 = 0
Û ïí
Û m = 1. Chọn C.
ïïỵ1 - m = 0

Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
ïìa ¹ 0
ïìa = 0
.
A. a = 0.
B. ïí
hoặc ùớ
ùùợD = 0
ùùợb ạ 0

ỡa ạ 0
ù

.
D. ù
ớ
ù
ù
ợD = 0
Li giải.  Với a = 0 . Phương trình trở thành bx = -c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy
nhất khi b ¹ 0 .
 Với a ¹ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D = 0 .
Chọn B.
Câu 17. Số -1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x 2 + 4 x + 2 = 0.
B. 2 x 2 - 5 x - 7 = 0.
C. -3 x 2 + 5 x - 2 = 0.
D. x 3 -1 = 0.
Lời giải. Xét các đáp án:

C. a = b = c = 0.

 Đáp án A. Ta có (-1) + 4.(-1) + 2 = -1 ¹ 0 .
2

 Đáp án B. Ta có 2.(-1) - 5.(-1) - 7 = 0 .
2

 Đáp án C. Ta có -3.(-1) + 5.(-1) - 2 = -10 ¹ 0 .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 Đáp án D. Ta có (-1) -1 = -2 ¹ 0 .
3

Chọn B.
Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 - 7 x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai
đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x 2 và y = -7 x + 12.
B. y = x 2 và y = -7 x -12.
C. y = x 2 và y = 7 x + 12.

D. y = x 2 và y = 7 x -12.

Lời giải. Ta có x 2 - 7 x + 12 = 0 Û x 2 = 7 x -12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có
thể xem là hồnh độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x 2 và y = 7 x -12 . Chọn D.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương
trình x 2 - x + m = 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
Lời giải. Ta có D = 1 - 4m .

C. 20.

Phương trình vơ nghiệm khi D < 0 Û 1 - 4 m < 0 m >

D. 21.
1
4

ùỡm ẻ

ắắ
đ m ẻ {1;2;3;...;10} ắắ
đ Cú 10 giỏ tr tha món. Chn B.
Do ùớ
ùùm ẻ [-10;10 ]
ợ
Cõu 20. Phng trỡnh (m + 1) x 2 - 2mx + m - 2 = 0 vô nghiệm khi:

A. m £ -2.
B. m < -2.
Lời giải.  Với m + 1 = 0 Û m = -1 .

C. m > 2.

D. m ³ 2.

3
.
2
 Với m + 1 ¹ 0 Û m ¹ -1 . Ta có D¢ = m 2 - (m - 2)(m + 1) = m + 2 .

Khi đó phương trình trở thành 2 x - 3 = 0 Û x =

Phương trình vơ nghiệm khi D¢ < 0 Û m + 2 < 0 Û m < -2. Chọn B.
Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2 x (kx - 4 ) - x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là?
A. k = -1.
B. k = 1.
C. k = 2.
Lời giải. Phương trình viết lại (2 k -1) x 2 - 8 x + 6 = 0 .
 Với 2 k -1 = 0 Û k =

1
.
2

Khi đó, phương trình trở thành -8 x + 6 = 0 Û x =
 Với 2 k -1 ¹ 0 Û k ¹

D. k = 3.

3
.
4

1
2
. Ta có D¢ = (-4 ) - (2 k -1).6 = -12 k + 22 .
2

Khi đó, phương trình đã cho vơ nghiệm khi D¢ < 0 Û -12 k + 22 < 0 Û k >
Do đó, số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k = 2 . Chọn C.
Câu 22. Phương trình (m – 2) x 2 + 2 x – 1 = 0 có nghiệm kép khi:

11
.
6

C. m = 2.
D. m = -1.
ì

ì
ïm - 2 ¹ 0
ïm ¹ 2
Ûï
Û m =1.
Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi ï
í
í
ï
ï
¢
ïD = m -1 = 0 ï
ỵm = 1
ỵ
A. m = 1; m = 2.

B. m = 1.

Chọn B.
Câu 23. Phương trình mx 2 + 6 = 4 x + 3m có nghiệm duy nht khi:
A. m ẻ ặ.
B. m = 0.
C. m Î .
Lời giải. Phương trình viết lại mx 2 - 4 x + (6 - 3m ) = 0 .

D. m ¹ 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

 Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành 4 x - 6 = 0 Û x =

3
. Do đó, m = 0 là một giá
2

trị cần tỡm.

Vi m ạ 0 . Ta cú DÂ = (-2) - m (6 - 3m ) = 3m 2 - 6m + 4 = 3 (m -1) + 1 > 0
2

2

Khi đó, phương trình đã cho ln có hai nghiệm phân biệt nên m ¹ 0 khơng thỏa.
Chọn B.
Câu 24. Phương trình mx 2 – 2 (m + 1) x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi:
A. m = 0.

B. m = -1.

D. m = 1.
1
Lời giải.  Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành -2 x + 1 = 0 Û x = . Do đó, m = 0 là
2
một giá trị cần tìm.
2
 Với m ¹ 0 . Ta có D¢ = éë-(m + 1)ùû - m (m + 1) = m + 1 .
Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi D¢ = 0 Û m + 1 = 0 Û m = -1 .
Chọn C.
Câu 25. Phương trình (m + 1) x 2 – 6 (m + 1) x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi:

C. m = 0; m = -1.

6
C. m = - .
7
ì
m
+
1
¹
0
ï
Lời giải. Phương trình đã cho cú nghim kộp khi ù
ớ
ù
ù
ợDÂ = 0
A. m = -1.

B. m = -1; m = -

6
7

6
D. m = .
7

ì
m ¹ -1

ï
ï
ï
ìm + 1 ¹ 0
ï
ï
é m = -1
6
Ûï
Ûï
Û m = - . Chọn C.
í 2
íê
ï
ê
7
6
ï7m + 13m + 6 = 0 ï
ï
ỵ
êm = ï
ï
ê
ïë
7
ỵ

Câu 26. Phương trình 2 ( x 2 -1) = x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi:

17

17
B. m = 2.
C. m = 2; m = .
.
8
8
Lời giải. Phương trình viết lại (2 - m ) x 2 - x - 2 = 0 .
A. m =

D. m = -1.

 Với 2 - m = 0 Û m = 2 . Khi đó, phương trình trở thành -x - 2 = 0 Û x = -2 . Do đó,
m = 2 là một giá trị cần tìm.
 Với 2 - m ¹ 0 Û m ¹ 2 . Ta có D = (-1) - 4 (2 - m ).(-2) = -8m + 17 .
2

Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi D = 0 Û -8m + 17 = 0 Û m =

17
.
8

Chọn C.
Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
(m - 2) x 2 - 2 x + 1 - 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A.

5
.
2

B. 3.

C.

7
.
2

D.

9
.
2

3
Lời giải.  Với m = 2 , phương trình trở thành -2 x - 3 = 0 Û x = - . Do đó m = 2 là một
2
giá trị cần tìm.
 Với m ¹ 2 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai có D¢ = 2m 2 - 5m + 3 . Để phương
3
trình có nghiệm duy nhất Û D¢ = 0 Û m = hoặc m = 1 .
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


3
9
ïì 3 ïü

® tổng các phần tử trong S bằng 1 + + 2 = . Chọn D.
Vậy S = ớ1; ; 2ý ắắ
ùợù 2 ùỵù
2
2
2
m
1
x
+
6
x
1
=
0
Cõu 28. Phng trỡnh (
cú hai nghiệm phân biệt khi:
)
5
D. m > - ; m ¹ 1.
4
ìïm -1 ¹ 0 ïìïm ¹ 1
Ûí
Lời giải. Phương trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit khi ùớ
ùợùDÂ > 0
ïỵïm + 8 > 0

A. m > -8.

5

B. m > - .
4

C. m > -8; m ¹ 1.

ì
ïm ¹ 1
Ûï
. Chọn C.
í
ï
ï
ỵm > -8
Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình
mx 2 - 2 (m + 2) x + m -1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.

A. 5.

B. 6.

C. 9.

D. 10.
ì
ì
m
¹
0
ï
ïm ¹ 0

Ûï
Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ïí
í
ï
ï5m + 4 > 0
ùDÂ > 0 ù
ợ
ợ
ỡ
mạ0
ù
ỡ
ù
ùm ẻ
ù
ắắ
đ m ẻ {1;2;3;4;5} ¾¾
® Có 5 giá trị ngun của m thỏa
. Do ù
ớ
ớ
4
ù
ù
m ẻ [-5;5]
m >ù
ù
ợ
ù
5

ợ
món yờu cu bi toỏn. Chn A.
Cõu 30. Phương trình (m 2 + 2) x 2 + (m - 2) x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:
A. 0 < m < 2.

B. m > 2.

C. m Ỵ .

D. m £ 2.
ìïm 2 + 2 ¹ 0
Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ïí
ïïỵD > 0
Û 13m 2 - 4 m + 28 > 0 Û m Ỵ  . Chọn C.
Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2 x + m tiếp xúc với parabol

( P ) : y = (m – 1) x 2 + 2mx + 3m – 1.

A. m = 1.
B. m = -1.
C. m = 0.
D. m = 2.
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm (m -1) x 2 + 2mx + 3m -1 = 2 x + m
Û (m -1) x 2 + 2 (m -1) x + 2m -1 = 0. (*)

Để d tiếp xúc với ( P ) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

ìm ¹ 1
ï
ï

ìm -1 ¹ 0
ï
ï
ï
ï
Ûí
Û
íé m = 0 Û m = 0. Chọn C.
2
ê
ï
ï
D
'
=
m
–
1
–
m
–
1
2
m
–
1
=
–
m
m

–
1
=
0
(
)
(
)(
)
(
)
ï
ï
ỵ
ê
ï
ï
ỵë m = 1
Câu 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi:
A. m > 0.
B. m < 0.
C. m £ 0.
D. m ³ 0.
Lời giải. Phương trình tương đương với x 2 = -m .
Do vế trái của phương trình khơng âm nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
-m ³ 0 Û m £ 0. Chọn C.

Câu 33. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-20;20 ] để phương
trình x 2 - 2mx + 144 = 0 có nghiệm. Tổng của các phần tử trong S bằng:
A. 21.

B. 18.
C. 1.
D. 0.
é m ³ 12
Lời giải. Phương trình có nghiệm khi D/ = m 2 -144 ³ 0 Û m 2 ³ 12 2 Û ê
ê m £ -12
ë

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


[
]
ắắắắ
đ S = {-20; -19; -18;...; -12;12;13;14;...;20} .
m ẻ
m ẻ -20;20

Do đó tổng các phần tử trong tập S bằng 0. Chọn D.
Câu 34. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x 2 - 2 x + 3 và

y = x 2 - m có điểm chung.

7
7
7
A. m = - .
B. m < - .
C. m > - .
2

2
2
2
Lời giải. Phương trình hồnh độ giao điểm -x - 2 x + 3 = x 2 - m
Û 2 x 2 + 2 x - m - 3 = 0 . (* )

7
D. m ³ - .
2

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm
7
Û D/ = 1 - 2 (-m - 3) ³ 0 Û m ³ - . Chọn D.
2
Câu 35. Phương trình (m -1) x 2 + 3 x -1 = 0 có nghiệm khi:
5
A. m ³ - .
4

5
B. m £ - .
4

5
C. m = - .
4

5
D. m = .
4

1
Lời giải. · Với m = 1 , phương trình trở thành 3 x -1 = 0 Û x = .
3
Do đó m = 1 thỏa mãn.
· Với m ¹ 1 , ta có D = 9 + 4 (m -1) = 4 m + 5 .
5 m ¹-1
5
®- £ m ¹ -1.
Phương trình có nghiệm khi D ³ 0 Û 4 m + 5 ³ 0 Û m ³ - ¾¾¾
4
4
5
Hợp hai trường hợp ta được m ³ - là giá trị cần tìm. Chọn A.
4
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;10 ] để phương trình
mx 2 - mx + 1 = 0 có nghiệm.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
Lời giải. Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 : vô nghiệm.

D. 21.

ém £ 0
Khi m =
/ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi D = m 2 - 4 m ³ 0 Û ê
êm ³ 4
ë
ém < 0

Kết hợp điều kiện m =
/ 0, ta c ờ
ờm 4
ở
[
]
ắắắắắ
ắ
đ m ẻ {-10; -9; -8;...; -1} È {4;5;6;...;10} .
m Ỵ , m Ỵ -10;10

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài tốn. Chọn A.
Câu 37. Biết rằng phương trình x 2 - 4 x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm cịn lại
của phương trình bằng:
A. -1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Lời giải. Vì phương trình đã cho có nghiệm bằng 3 nên thay x = 3 vào phương trình, ta
được 9 -12 + m + 1 = 0 Û m = 2.
éx = 3
. Chọn B.
Với m = 2 phương trình trở thành x 2 - 4 x + 3 = 0 Û ê
êx = 1
ë
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3 x 2 - (m + 2) x + m -1 = 0 có một nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại.
ì
ü
ì 2ï

ü
1ï
ïì 5 ïü
ï
ï
A. m Ỵ í ;7ý.
B. m Ỵ í-2; - ý.
C. m ẻ ớ0; ý.
ùợù 2 ùỵù
ù
ù
ù
2ỵ
ù
ù
ù 5ù
ù
ợ
ợ
ỵ
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghiệm phân biệt Û D > 0

ì 3 ï
ü
ï
D. m ẻ ớ- ;1ý.
ù
ù 4 ù
ù
ợ

ỵ

Website chuyờn thi – tài liệu file word mới nhất


Û m 2 - 8m + 16 > 0 Û (m - 4 ) > 0 Û m =
/ 4. (*)
2

ìï
ïï x1 = 2 (m + 2), x 2 = 1 (m + 2)
ìï
ïï x1 × x 2 = m -1 ; x1 + x 2 = m + 2
ï
9
9
Theo đinh lí Viet, ta có í
3
3 Û ïí
ïï
ïï
m -1
ïỵ x1 = 2 x 2
ùù x1 ì x 2 =
3
ùợ
ộ
5
ờm =
2

m -1
2
ắắ
đ (m + 2 ) =
2m 2 -19m + 35 = 0 Û ê
2 (thỏa (*) ). Chọn A.
ê
81
3
êë m = 7
Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3 x 2 - 2 (m + 1) x + 3m - 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm cịn lại.

A. m = 7.
B. m = 3.
C. m = 3; m = 7.
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D ' > 0
2
ỉ
7 ư 15
Û m 2 - 7m + 16 > 0 ỗỗm - ữữữ + > 0, "m ẻ .
ỗố
2ứ
4

D. m ẻ ặ.

ỡ
m +1
m +1

ù
ỡ
ù
2 (m + 1) ï
x1 =
, x2 =
3m - 5
ï
ï
; x1 + x 2 =
ï
ïx × x =
2
6
Ûï
Theo đinh lí Viet, ta cú ớ 1 2
ớ
3
3
ù
ù
3
m
5
ù
ù
x1 ì x 2 =
ù
ù
ù

ợ x1 = 3 x 2
ù
3
ù
ợ

(m + 1)

2

ắắ
đ

12

=

ộm = 3
3m - 5
m 2 -10m + 21 = 0 Û ê
. Chọn C.
êm = 7
3
ë

Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ( x -1)( x 2 - 4 mx - 4 ) = 0
ba nghiệm phân biệt.
3
3
C. m ¹ .

D. m ¹ - .
4
4
é
x
=
1
.
Lời giải. Ta có ( x -1)( x 2 - 4 mx - 4 ) = 0 Û êê
2
êë g ( x ) = x - 4 mx - 4 = 0 (*)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân bit khỏc

A. m ẻ .

B. m ạ 0.

ỡ
ùDÂ = 4 m 2 + 4 > 0
3
Ûm=
/ - . Chọn D.
1 Û ïí
ï
4
/0
ï
ỵ g (1) = 1 - 4 m - 4 =

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ
khi:

ì
ì
ì
ì
ïD > 0
ïD ³ 0
ïD > 0
ïD > 0
.
.
.
.
A. ï
B. ï
C. ï
D. ï
í
í
í
í
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï

ï
ỵP > 0
ỵP > 0
ỵS > 0
ỵS < 0
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 cùng dấu nên x1 x 2 > 0 hay
P > 0 . Chọn A.
Câu 42. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ìD > 0
ï
.
A. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

ìD > 0
ï
ï
ï
B. ï
íP > 0 .
ï
ï

ï
ï
ỵS > 0

ìD > 0
ï
ï
ï
C. ï
íP > 0 .
ï
ï
ï
ï
ỵS < 0

ìD > 0
ï
.
D. ï
í
ï
ï
ỵS > 0

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm âm nên
ì
x1 + x 2 < 0
ï

ïìS < 0
ï
hay ïí
. Chọn C.
í
ï
ïïỵP > 0
ï
ỵ x1 x 2 > 0
Câu 43. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

ì
ì
D>0
D>0
ï
ï
ï
ï
ì
ïD > 0
ï
ï
ï
.
B. íP > 0 .
C. ï
D. ï
í
íP > 0 .

ï
ï
ï
S >0
ï
ỵ
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ỵS > 0
ỵS < 0
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm dương nên
ì
ïD > 0
.
A. ï
í
ï
ï
ỵP > 0

ì
ìïS > 0
x1 + x 2 > 0
ï
ï

hay ïí
. Chọn B.
í
ï
ïïỵP > 0
ï
ỵ x1 x 2 > 0
Câu 44. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

ì
ì
ïD > 0
ïD > 0
.
.
A. ï
B. ï
C. P < 0.
D. P > 0.
í
í
ï
ï
S
<
0
ï
ï
ỵ
ỵS > 0

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x 2 . Do x1 và x 2 là hai nghiệm trái dấu nên
x1 x 2 < 0 hay P < 0 .

c
< 0 Þ ac < 0 Þ D = b 2 - 4 ac > 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm
a
trái dấu khi và chỉ khi P < 0 . Chọn C.
Câu 45. Phương trình x 2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi:
A. m < -2.
B. m > 2.
C. m ³ -2.
D. m ¹ 0.
2
ì
ìD > 0 ï
m -4 > 0
ï
ï
ï
ï
ï
ï
S
<
0
Û
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi ï
í
ím < 0

ï
ï
ï
ï
ï
ï
ï
ỵP > 0
ï
ỵ1 > 0
ì é m < -2
ï
ï
ïêê
Ûï
íë m > 2 Û m < -2 . Chọn A.
ï
ï
ï
ï
ỵm < 0
Mặt khác, P < 0 Û

Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [-5;5] để phương trình
x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt?
A. 5.
B. 6.
C. 10.

D. 11.

ïìïD¢ > 0 ïìï3m 2 > 0
ï
ï
Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt khi ïíS < 0 Û ïí-4 m < 0
ïï
ïï
ïïỵP > 0
ùùợm 2 > 0

ỡm ẻ
ỡùm ạ 0
ù
ắắ
đ m ẻ {1;2;3;4;5} ắắ
đ Cú 5 giỏ tr ca m tha
ùớ
m > 0 . Do ù
ớ
ù
ùùợm > 0
ù
ợm ẻ [-5;5]
mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có
hai nghiệm âm phân biệt l:
ổ 1 ử

ổ 1 1ử
ổ 1ử
A. m ẻ ỗỗ- ;0ữữữ. B. m ẻ ỗỗ- ; ữữữ.
C. m ẻ (0;2).
D. m ẻ ỗỗ0; ữữữ.
ỗố 2 ứ
ỗố 2 2 ứ
ỗố 2 ứ
ỡm ¹ 0
ï
ï
ì
a¹0
ï
ï
ï
ï
ï
1- 4m 2 > 0
ï
ï
D
>
0
ï
ï
ï
Ûí 1
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi í
ï

ï
S <0
- <0
ï
ï
ï
ï
m
ï
ï
ï
ï
ï
ỵP > 0
ù
1
>
ù
ợ 0
ỡ
mạ0
ù
ù
ù
ù
1
1
1
ù
ớ- < m < 0 < m < . Chọn D.

ï
2
2
2
ï
ï
ï
m
>
0
ï
ỵ
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-2;6 ] để phương
trình x 2 + 4 mx + m 2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng:
A. -3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
ìïD¢ > 0 ìï3m 2 > 0
ïï
ïï
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi ïíS > 0 Û ïí-4 m > 0
ïï
ïï
ïïỵP > 0
ïïỵm 2 > 0

ỡùm ạ 0
m ẻ[-2;6 ]
ùớ

m < 0 ắắắắ
đ S = {-2; -1} . Do đó, tổng các phần t trong S bng -3 .
m ẻ
ùùợm < 0
Chn A.
Cõu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
x 2 - 2 (m + 1) x + m 2 -1 = 0 có hai nghim dng phõn bit l:
ổ 1
ử
C. m ẻ ỗỗ- ; +Ơữữữ.
D. m ẻ (-Ơ ; -1).
ỗố 2
ứ
ùỡùDÂ = 2m + 2 > 0
ï
Lời giải. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt Û ïíS = 2 (m + 1) > 0
ùù
ùùP = m 2 -1 > 0
ợ

A. m ẻ (-1 ;1).

B. m ẻ (1 ; + Ơ).

ỡ
ù
ù
ù
ù
m > -1

ù
ù
ù
ím > -1 Û m > 1 . Vậy với m > 1 thì thỏa bài tốn. Chọn B.
ï
ï
ém > 1
ï
ï
ê
ï
ï
ê
ï
ï
ỵ ë m < -1
Câu 50. Phương trình (m -1) x 2 + 3 x -1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi:

A. m > 1.

B. m < 1.

C. m ³ 1.

D. m £ 1.
ì
ï
ïm -1 ¹ 0
ì
ïa ¹ 0

Lời giải. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi ïí
Ûï
í -1
ï
<0
ï
ỵP < 0 ï
ï
ï
ỵ m -1
Û m -1 > 0 Û m > 1 . Chọn A.
Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM
CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 51. Giả sử phương trình x 2 - (2m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là
x1 , x 2 . Tính giá trị biểu thức P = 3 x1 x 2 - 5 ( x1 + x 2 ) theo m.

A. P = 3m 2 -10m + 6.
C. P = 3m 2 -10m + 1.

B. P = 3m 2 + 10m - 5.
D. P = 3m 2 + 10m + 1.

ìï x x = m 2 + 2
Lời giải. Theo định lý Viet, ta có ïí 1 2
.
ïï x1 + x 2 = 2m + 1

ỵ
Thay vào P , ta được P = 3 (m 2 + 2) - 5 (2m + 1) = 3m 2 -10m + 1. Chọn C.

Câu 52. Giả sử phương trình x 2 - 3 x - m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1 , x 2 . Tính
giá trị biểu thức P = x12 (1 - x 2 ) + x 22 (1 - x1 ) theo m.

A. P = -m + 9.
B. P = 5m + 9.
C. P = m + 9.
2
2
2
Lời giải. Ta có P = x1 (1 - x 2 ) + x 2 (1 - x1 ) = x1 - x12 .x 2 + x 22 - x 22 .x1

D. P = -5m + 9.

= x12 + x 22 - x1 .x 2 ( x1 + x 2 ) = ( x1 + x 2 ) - 2 x1 .x 2 - x1 .x 2 ( x1 + x 2 ).
2

ìï x + x 2 = 3
.
Theo định lý Viet, ta có ïí 1
ïïỵ x1 .x 2 = -m
Thay vào P , ta được P = 32 - 2(-m ) - (-m ).3 = 5m + 9. Chọn B.

Câu 53. Giả sử phương trình 2 x 2 - 4 ax -1 = 0 có hai nghiệm x1 , x 2 . Tính giá trị của biểu
thức T = x1 - x 2 .

4a 2 + 2
a2 + 8

a2 + 8
. B. T = 4 a 2 + 2.
C. T =
D. T =
.
.
3
2
4
Lời giải. Vì x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 - 4 ax -1 = 0.
ỉ 4a ư
1
Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x 2 = -ỗỗ- ữữữ = 2a v x1 x 2 = - .
(1).
ỗố 2 ứ
2

A. T =

Ta cú T = x1 - x 2 Û T 2 = ( x1 - x 2 ) = ( x1 + x 2 ) - 4 x1 x 2 .
2

(2).

2

ỉ 1ư
2
Từ (1) và (2) suy ra T 2 = (2a ) - 4.ỗỗ- ữữữ = 4 a 2 + 2 ị T = 4 a 2 + 2 > 0. Chọn B.
ỗố 2 ứ

Cõu 54. Cho phng trỡnh x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của
phương trình bằng 1. Khi đó p bằng
A.

4 q + 1.

B.

4 q -1.

C. - 4 q + 1.

D. q + 1.

Lời giải. Giả sử x1 , x 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x + px + q = 0.
2

ì x1 + x 2 = - p < 0
ï
Theo hệ thức Viet, ta có ïí
(vì p, q > 0 ).
ï
ï
ỵ x1 x 2 = q > 0

(1)

Từ giả thiết, ta có x1 - x 2 = 1 Û ( x1 - x 2 ) = 1 Û ( x1 + x 2 ) - 4 x1 x 2 = 1.
2

2

Từ (1), (2) suy ra p - 4 q = 1 Û p = 4 q + 1 Û p = 4 q + 1 > 0. Chọn A.
2

(2 )

2

Câu 55. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - (2m + 1) x + m 2 + 1 = 0 ( m là tham
số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P =
A. m = -2.

B. m = -1.

C. m = 1.

Lời giải. Ta có D = (2m + 1) - 4(m + 1) = 4 m - 3 .
2

x1 x 2
có giá trị nguyên.
x1 + x 2

D. m = 2.

2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3
Để phương trình có hai nghiệm Û D ³ 0 Û m ³ .
4
ì x1 + x 2 = 2 m + 1
ï
.
Theo định lý Viet, ta có ïí
2
ï
ï x1 x 2 = m + 1
ỵ
xx
m 2 + 1 2m -1
5
5
Khi ú P = 1 2 =
=
+
ắắ
đ 4 P = 2m -1 +
.
x1 + x 2 2 m + 1
4
4 (2m + 1)
2m + 1
3
5
nên 2m + 1 ³ .

4
2
Để P Ỵ  thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 Û m = 2 .

Do m ³

Thử lại với m = 2 , ta được P = 1 : thỏa mãn. Chọn D.
Câu 56. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 2 (m + 1) x + m 2 + 2 = 0 ( m là tham
số). Tìm m để biểu thức P = x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất.
1
A. m = .
2

B. m = 1.

C. m = 2.

D. m = -12.

Lời giải. Ta có D ' = (m + 1) - (m 2 + 2) = 2m -1 .
2

1
Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û m ³ . (*)
2
ì
x
+
x
=

2
m
+
2
ï 1
2
.
Theo định lý Viet, ta có ï
í
2
ï
ï x1 . x 2 = m + 2
ỵ

Khi đó P = x1 x 2 - 2 ( x1 + x 2 ) - 6 = m 2 + 2 - 2 (2m + 2) - 6 = (m - 2) -12 ³ -12.
2

Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 2 : thỏa (*) . Chọn C.

Câu 57. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình 2 x 2 + 2mx + m 2 - 2 = 0 ( m là tham số).
Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 - 4 .
1
25
A. Pmax = .
B. Pmax = 2.
C. Pmax = .
2
4
2
2

2
Lời giải. Ta có D ' = m - 2 (m - 2) = -m + 4 .

9
D. Pmax = .
4

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi D ' = 4 - m 2 ³ 0 Û -2 £ m £ 2. (*)

ì
ï
ï x1 + x 2 = -m
Theo định lý Viet, ta có ïí
m2 - 2 .
ï
x1 x 2 =
ï
ï
2
ï
ỵ
Khi đó A = 2 x1 x 2 + x1 + x 2 - 4 = m 2 - m - 6 = (m + 2)(m - 3) = -(m + 2)(m - 3)

ỉ
1ư
25 25
= -m 2 + m + 6 = -ỗỗm - ữữữ + Ê
(do -2 Ê m Ê 2 ).
ỗố
2ứ

4
4
1
Du '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa (*) . Chọn C.
2
Câu 58. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - 2 (m -1) x + 2m 2 - 3m + 1 = 0 ( m là
2

tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x 2 + x1 x 2 .
1
A. Pmax = .
4

B. Pmax = 1.

9
C. Pmax = .
8

Lời giải. Ta có D ' = (m -1) - (2m 2 - 3m + 1) = -m 2 + m = m (1 - m ).

D. Pmax =

9
.
16

2

Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û 0 £ m £ 1. (*)

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ì
ï x1 + x 2 = 2 (m -1)
.
Theo định lý Viet, ta có ïí
2
ï
x
.
x
=
2
m
3
m
+
1
ï
1
2
ỵ

Khi đó P = x1 + x 2 + x1 .x 2 = 2 (m -1) + 2m 2 - 3m + 1 = 2 m 2 -

ổ
m 1
1ử

9
- = 2 ỗỗm - ữữữ - .
ỗố
2 2
4 ứ 16
2

ổ
ổ
1
1 3
1ử
9
1ử
9
đ- Ê m - Ê ắắ
đ ỗỗm - ữữữ Ê
ắắ
đ ỗỗm - ữữữ - Ê 0.
Vỡ 0 Ê m Ê 1 ắắ
ỗ
ỗ
ố
ố
4
4 4
4ứ
16
4 ứ 16
2

2ử
2
ổ
ổ
ổ
1ử
9
9 ổ
1ử ữ 9
1ử
9
= 2 ỗỗỗ - ỗỗm - ữữữ ữữ = - 2 ỗỗm - ữữữ Ê .
Do ú P = 2 ççm - ÷÷÷ ÷
çè
ç
ç
è
4 ø 16
4 ø ø÷ 8
4ø
8
èç16 è
2

2

1
: thỏa mãn (*) . Chọn C.
4
Câu 59. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - mx + m -1 = 0 ( m là tham số). Tìm

Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m =

m để biểu thức P =
1
A. m = .
2

2 x1 x 2 + 3
đạt giá trị lớn nhất.
x12 + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)

B. m = 1.

C. m = 2.

Lời giải. Ta có D = m 2 - 4 (m -1) = (m - 2)  ³ 0 , với mọi m .

5
D. m = .
2

2

Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
ìï x1 + x 2 = m
.
Theo hệ thức Viet, ta có ïí
ïïỵ x1 x 2 = m -1

Suy ra x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) - 2 x1 x 2 = m 2 - 2 (m -1) = m 2 - 2m + 2 .
2

Khi đó P =

2 x1 x 2 + 3
2m + 1
= 2
.
2
x + x 2 + 2( x1 x 2 + 1) m + 2
2
1

(m -1)
2m + 1
2m + 1 - m 2 - 2
1
=
=- 2
£ 0, "m Ỵ .
2
2
m +2
m +2
m +2
Suy ra P £ 1, "m Ỵ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 1. Chọn B.
Câu 60. Gọi x1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 - mx + m -1 = 0 ( m là tham số). Tìm
2

Suy ra P -1 =

giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P =
A. Pmin = -2.

2 x1 x 2 + 3
.
x + x 22 + 2 ( x1 x 2 + 1)
2
1

1
B. Pmin = - .
2

C. Pmin = 0.

D. Pmin = 1.

Lời giải. Ta có D = m 2 - 4 (m -1) = (m - 2)  ³ 0 , với mọi m .
2

Do đó phương trình ln có nghiệm với mọi giá trị của m .
ìï x1 + x 2 = m
.
Theo hệ thức Viet, ta có ïí
ïïỵ x1 x 2 = m -1

Suy ra x12 + x 22 = ( x1 + x 2 ) - 2 x1 x 2 = m 2 - 2 (m -1) = m 2 - 2m + 2 .
2

Khi đó P =

2 x1 x 2 + 3
2m + 1
.
= 2
2
x + x 2 + 2( x1 x 2 + 1) m + 2
2
1

2
(m + 2 )
1 2m + 1 1 2 (2m + 1) + m + 2
= 2
+ =
=
³ 0, "m Ỵ .
2
2 m +2 2
2 (m + 2 )
2 (m 2 + 2 )
2

Suy ra P +

1
Suy ra P ³ - , "m Î . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = -2. Chọn B.
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 61. Nếu m ¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng
m + n bằng:
1
1
A. - .
B. -1.
C. .
D. 1.
2
2
ïìm + n = - m ïìïn = - 2m
ïìm = 1
Ûí
Lời giải. Theo hệ thức Viet, ta cú ùớ
(n ạ 0) ùớ
ùợùm.n = n
ùợùm = 1
ùợùn = - 2
ắắ
đ m + n = -1. Chn B.
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của

phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. p + q = m .
3

B. p = m + 3mn.
3

C. p = m - 3mn.
3

ổmử
p
D. ỗỗ ữữữ = .
ỗố n ø
q
3

Lời giải. Giả sử phương trình x 2 + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x 2 và phương
trình x 2 + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x 3 , x 4 .

ìï x1 = x 33
2
Û x1 + x 2 = x 33 + x 43 = ( x 3 + x 4 ) éê( x 3 + x 4 ) - 3 x 3 x 4 ùú .
Theo bài ra, ta có ïí
(*)
ë
û
ïï x 2 = x 43
ỵ
ì x1 + x 2 = - p
ï
ï
ï

2
Theo hệ thức Viet, ta có ï
í x 3 + x 4 = - m , thay vào (*), ta được - p = - m (m - 3n ).
ï
ï
ï
ï
ỵx 3 x 4 = n
2
Vậy p = m (m - 3n ) = m 3 - 3mn. Chọn C.

Câu 63. Cho hai phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0 và x 2 - 2 x + m = 0. Có hai giá trị của m để
phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính
tổng S của hai giá trị m đó.
5
1
1
A. S = - .
B. S = 1.
C. S = - .
D. S = .
4
4
4
Lời giải. Gọi x 0 là nghiệm của phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x 0 ¹ 0.
Suy ra

1
là nghiệm của phương trình x 2 - 2 x + m = 0.
x0

ì
ï
x 02 - 2mx 0 + 1 = 0
ï
ì
ï x 02 - 2mx 0 + 1 = 0.
ï
Khi đó, ta có h ùớổ 1 ửữ2 2
ù
2
ỗỗ ữ - + m = 0 í
ï
ï
ï
ïmx 0 - 2 x 0 + 1 = 0.
ù
ợ
ỗỗố x ữứữ
ù
x
ù
0
ợ 0

(1)
(2 )

ộm = 1
.

Ly (1) - (2), ta được x 02 (1 - m ) - 2 x 0 (m -1) = 0 Û (m -1)( x 02 + 2 x 0 ) = 0 Û ê
ê x0 = -2
ë
5
2
Với x 0 = - 2 thay vào (1), ta được (- 2) - 2m.(- 2) + 1 = 0 Û m = - .
4
5
1
Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m1 + m2 = 1 - = - . Chọn C.
4
4
Câu 64. Cho hai phương trình x 2 - mx + 2 = 0 và x 2 + 2 x - m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của
m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
2
Lời giải. Gọi x 0 là một nghiệm của phương trình x - mx + 2 = 0.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Suy ra 3 - x 0 là một nghiệm của phương trình x 2 + 2 x - m = 0.
ìï x 02 - mx 0 + 2 = 0.
ïìï x 02 - mx 0 + 2 = 0
(1)
ïí
Khi đó, ta có hệ í

Û
ïï(3 - x )2 + 2 (3 - x ) - m = 0 ïïm = x 02 - 8 x 0 + 15.
(2 )
0
0
ïỵ
ïỵ
é x0 = 2
ê
(2 )
2
2
Thay (2) vào (1), ta được x 0 - ( x 0 - 8 x 0 + 15) x 0 + 2 = 0 ờ
ắắ
đ cho ta 3
ờx = 7 ± 3 5
ê 0
2
ë
giá trị của m cần tìm. Chọn D.
Câu 65. Cho a, b, c , d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình
x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu

thức S = a + b + c + d .

-1 + 5
.
D. S = 2.
2
Lời giải. Vì c , d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 suy ra c + d = - a.

A. S = - 2.

B. S = 0.

C. S =

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0 suy ra a + b = - c .
ïìc + d = - a ïìïa + c = - d
Ûí
Û b = d.
Khi đó, ta có hệ ïí
ïïỵa + b = - c
ïïỵa + c = - b
ộa = c
ùỡc 2 + ac + b = 0
ắắ
đ c 2 - a2 + b - d = 0 Û a2 = c 2 Û ê
.
Lại có ïí 2
êa = - c
ïïa + ca + d = 0
ë
ỵ

 Với a = -c thì từ c + d = - a ắắ
đ d = 0 : mõu thun gi thit.

Với a = c thì từ c + d = - a ắắ
đ d = -2c v t a + b = - c ắắ

đ b = -2 c .
ộ c = 0 (loại )
a =c
® 2c 2 - 2c = 0 Û êê
.
Ta có c 2 + ac + b = 0 ¾¾¾
b =-2 c
êë c = 1(thoả)
Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = -2c = -2.1 = -2. Chọn A.
Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2 x +
ì 3ü
A. S = ï
B. S = {1}.
ớ1; ù
ý.
ù
ù 2ù
ù
ợ
ỵ
Li gii. iu kin x =
/ 1.

Khi ú phng trỡnh 2 x +
ỡ3ù
ỹ
ắắ
đS = ù

ớ ý. Chn C.
ù
2
ù ù
ù
ợ
ỵ

x 2 - 5x
x -2

B. S = {1}.

Lời giải. Điều kiện x > 2.
Khi đó phương trình Û

D. S =  \ {1}.

3 ( x -1)
3
3x
3
=
Û 2x =
Û x = thỏa điều kiện
x -1 x -1
x -1
2

Câu 67. Tập nghiệm của phương trình

A. S = {1;4}.

3
3x
là:
=
x -1 x -1
ỡ3ỹ
C. S = ùớ ùý.
ù
ù2ù
ù
ợ
ỵ

x 2 - 5x
x -2

=-

=-

4

x -2
C. S = Ỉ.

là:
D. S = {4}.

é x = 1(loại )
Û x 2 - 5 x + 4 = 0 Û êê
x -2
ëx = 4
4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất