Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT – bậc HAI nhóm ĐHSPHN image marked

BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT – BẬC HAI
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Củng cố cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai
+ Nắm vững cách giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai
+ Nắm vững cách giải một số phương trình quy về phương trình bậc nhất hàm số bậc hai
 Kĩ năng
+ Giải và biện luận các phương trình bậc nhất, bậc hai
+ Giải các phương trình đưa phương trình về bậc nhất, bậc hai: Phương trình phân thức, phương
trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vơ tỉ,…
+ Giải các bài tốn thực tế bằng cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Giải và biện luận phương trình dạng ax  b  0 (1)
a  0 : (1) có nghiệm duy nhất x 

b
a

Khi đó, phương trình ax  b  0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn x

a  0; b  0 (1) vô nghiệm
a  0; b  0 (1) nghiệm đúng với mọi x  
Phương trình bậc hai một ẩn ax 2  bx  c  0  a  0  (2)

  b 2  4ac được gọi là biệt thức của phương trình (2)
  0 thì (2) có hai nghiệm phân biệt x1,2 

  0 thì (2) có nghiệm kép x 

b  
2a

Phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  có nghiệm
khi   0 hoặc   0

b
2a

  0 thì (2) vơ nghiệm

Định lí Vi-ét
Nếu phương trình bậc hai ax 2  bx  c  0  a  0  có hai

Chú ý: Định lí Vi-ét áp dụng khi phương trình

nghiệm

bậc hai có nghiệm

b

 x1  x2  a
x1 , x2 thì 
 xx c
 1 2 a

Đảo lại: Nếu hai số u và v có tổng u  v  S và tích u.v  P

thì u, v là các nghiệm của phương trình x 2  Sx  P  0

Trang 2


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Giải và biện luận phương trình bậc nhất
Phương pháp giải
Phương trình ax  b  0 có nghiệm duy nhất khi Ví dụ: Giải và biện luận phương trình
a  0 ; vơ nghiệm khi a  0, b  0 và có vơ số

 m  1 x  2  m  0 với m là tham số

nghiệm khi a  b  0

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với  m  1 x  m  2
+ Với m  1  0  m  1 , phương trình trở thành
0 x  1

Suy ra phương trình vơ nghiệm
+) Với m  1  0  m  1 , phương trình tương
đương với x 

m2
m 1

Kết luận: Vậy:
m  1 thì phương trình vơ nghiệm;
m  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất

x

m2
m 1

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình  m  1 x   3m  7  x  2  m với m là tham số
2

Hướng dẫn giải
Phương trình tương đương với

 m  12  3m  7  x  2  m   m 2  m  6  x  2  m


 m3
+) Xét m 2  m  6  0  
 m  2
Khi m  3 phương trình trở thành 0 x  5 . Phương trình vơ nghiệm
Khi m  2 phương trình trở thành 0 x  0
Phương trình nghiệm đúng với mọi x  

 m3
+) Xét m 2  m  6  0  
 m  2
Khi đó phương trình tương đương với x 

m2
1


m m6 m3
2

Kết luận:
Vậy với m  3 thì phương trình vơ nghiệm;
Trang 3


m  2 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x   ;

m  3, m  2 thì phương trình có nghiệm x 
Ví dụ 2. Tìm m để phương trình

m  1
A. 
m2

m

2

1
m3

 m  x  2 x  m 2  1 có nghiệm duy nhất

m 1
B. 
m  2

 m  1
C. 
m  2

 m 1
D. 
m  2

Hướng dẫn giải
Ta có  m 2  m  x  2 x  m 2  1   m 2  m  2  x  m 2  1

m  1
Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi a  0 hay m 2  m  2  0  
m2
Vậy với m  1 và m  2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
Chọn A.
Ví dụ 3. Tìm m để đồ thị hai hàm số y   m  1 x 2  3m 2 x  m và y   m  1 x 2  12 x  2 không cắt nhau
A. m  2

B. m  2

C. m  1

D. m  1

Hướng dẫn giải
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình

 m  1 x 2  3m2 x  m   m  1 x 2  12 x  2

vô nghiệm hay 3  m 2  4  x  2  m vô nghiệm

m 2  4  0
m  2


 m  2
m2
 2m  0
Vậy m  2 là giá trị cần tìm.
Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho phương trình ax + b = 0. Chọn mệnh đề đúng.
A. Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0.

B. Nếu phương trình vơ nghiệm thì a = 0.

C. Nếu phương trình vơ nghiệm thì b = 0.

D. Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0.

Câu 2: Phương trình (m 2  m) x  m  3  0 là phương trình bậc nhất khi và chỉ khi
A. m  0 .

B. m  1 .

C. m  0 hoặc m  1 .

D. m  0 và m  1 .

Câu 3: Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là
5
A. Phương trình 3x + 5 = 0 có nghiệm là x   .
3

B. Phương trình 0x – 7 = 0 vơ nghiệm.
C. Phương trình 0x + 0 = 0 có tập nghiệm  .
D. Cả A, B, C đều đúng.
Câu 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx – m = 0 vô nghiệm.
A. m  .

B. m  0 .

C. m    .

D. m   .
Trang 4


Câu 5: Khẳng định nào sau đây là sai ?
A. Khi m = 2 thì phương trình (m  2) x  m 2  3m  2  0 vơ nghiệm.
B. Khi m  1 thì phương trình (m  1) x  3m  2  0 có nghiệm duy nhất.
C. Khi m = 2 thì phương trình

x m x 3

 3 có nghiệm.
x2
x

D. Khi m  2 và m  0 thì phương trình (m 2  2m) x  m  3  0 có nghiệm.
Câu 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  m 2  4  x  3m  6 vô nghiệm.
A. m = 1.

C. m  2 .

B. m = 2.

D. m  2 .

Câu 7: Phương trình  a  3 x  b  2 vô nghiệm với giá trị a, b là
A. a = 3, b tùy ý.

B. a tùy ý, b = 2.

D. a = 3, b  2 .

C. a = 3, b = 2.

Câu 8: Phương trình  m 2  4m  3 x  m 2  3m  2 có nghiệm duy nhất khi
A. m  1 .

B. m  3 .

C. m  1 và m  3 .

D. m = 1 và m = 3.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

m

2

 10;10

để phương trình

 9  x  3m  m  3 có nghiệm duy nhất?

A. 2.

B. 19.

C. 20.

D. 21.

Câu 10: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  5;10 để phương trình

 m  1 x   3m2  1 x  m  1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng
A. 15.

B. 16.

C. 39.

D. 40.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-B

2-D

3-D

4-A

5-A

6-B

7-D

8-C

9-B

10-C

Câu 6. Chọn B

 m2  4  0
 m  2
Phương trình đã cho vô nghiệm khi 

m2
m



2
3
m

6

0


Câu 7. Chọn D

a  3  0
a  3
Phương trình đã cho vơ nghiệm khi 

2  b  0
b  2
Câu 8. Chọn C

m  1
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m 2  4m  3  0  
m  3
Câu 9. Chọn B
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m 2  9  0  m  3



 có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
m

m 10;10

Trang 5


Câu 10. Chọn C
Phương trình viết lại  3m 2  m  2  x  1  m

 m 1

Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m  m  2  0  
2
m   3
2




 m  5; 4; 3; 2; 1;0; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10
m
m 5;10

Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39
Dạng 2: Giải và biện luận phương trình bậc hai một ẩn
Phương pháp giải
Bước 1. Tìm biệt thức   b 2  4ac

Ví dụ: Giải và biện luận phương trình

Bước 2.   0 thì phương trình có hai nghiệm

x 2  x  m  0 với m là tham số

phân biệt,   0 phương trình có nghiệm kép, Hướng dẫn giải
  0 phương trình vơ nghiệm

Ta có   1  4m
Với   0  1  4m  0  m 
có hai nghiệm phân biệt là x 
Với

1  1  4m
2

  0  1  4m  0  m 

trình có nghiệm kép x 
Với

1
thì phương trình
4

1
4

thì phương

1
4

thì phương

1
2

  0  1  4m  0  m 

trình vơ nghiệm
Kết luận
Vậy với m 

1
thì phương trình có hai nghiệm
4

phân biệt là x 

1  1  4m
1
; m  thì phương
2
4

trình có nghiệm kép là x 

1
1
; m  thì phương
2

4

trình vơ nghiệm
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình  2m 2  5m  2  x 2  4mx  2  0 với m là tham số
Hướng dẫn giải
Phương trình  2m 2  5m  2  x 2  4mx  2  0
Trang 6


 m  2
+) Trường hợp 1: 2m  5m  2  0  
m   1

2
2

Khi m  2 , phương trình trở thành 8 x  2  0  x  

1
4

1
Khi m   , phương trình trở thành 2 x  2  0  x  1
2
 m  2

+) Trường hợp 2: 2m  5m  2  0  
1
m   2

2

Khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai
Ta có   4m 2  2  2m 2 5m  2   2  5m  2 
Khi   0  2  5m  2   0  m  

2
5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x 

2m  2  5m  2 
2m 2  5m  2

2
Khi   0  m   , phương trình có nghiệm kép x  5
5
2
Khi   0  m   , phương trình vơ nghiệm
5

Kết luận:
1
+) m  2 thì phương trình có nghiệm x   ;
4
1
+) m   thì phương trình có nghiệm x  1 ;
2
2
+) m   thì phương trình có nghiệm kép x  5 ;

5

2m  2  5m  2 
2
1
+) m   , m  2 và m   thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x 
5
2
2m 2  5m  2
2
+) m   thì phương trình vơ nghiệm
5

Ví dụ 2. Tìm m để phương trình mx 2  x  m  1  0 có nghiệm kép?
A. m  0

B. m 

1
2

C. m  

1
2

D. m  1

Hướng dẫn giải
Với m  0 , phương trình trở thành phương trình bậc nhất: x  1  0  m  0 khơng thỏa mãn u cầu

bài tốn
Với m  0 phương trình trên là phương trình bậc hai nên phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi
Trang 7


  0  1  4m  m  1  0  4m 2  4m  1  0  m 

Vậy m 

1
2

1
thì phương trình có nghiệm kép
2

Chọn B
Bài tập tự luyện dạng 2





Câu 1: Chọn khẳng định đúng. Phương trình x 2  2  3 x  2 3  0
A. Có hai nghiệm trái dấu.

B. Có hai nghiệm âm phân biệt.

C. Có hai nghiệm dương phân biệt.

D. Vơ nghiệm.

Câu 2: Phương trình ax  bx  c  0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
2

A. a  0 .

a  0
a  0
B. 
hoặc 
.
2
b  0
  b  4ac  0

C. a  b  0 .

a  0
D. 
.
2
  b  4ac  0

Câu 3:

2 và




3 là hai nghiệm của phương trình


3 x 





3 x 

A. x 2 

2 3 x 6 0.

B. x 2 

2  3 x 6 0.

C. x 2

2

D. x 2

2

6  0.

6  0.

Câu 4: Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3 x  10  0 . Giá trị của tổng
A.

10
.
3

B. 

3
.
10

C.

3
.
10

D. 

1 1

là
x1 x2

10
.

3

Câu 5: Cho phương trình ax 2  bx  c  0  a  0  (1).
Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A. Nếu P  0 thì (1) có hai nghiệm trái dấu.
B. Nếu P  0; S  0 thì (1) có hai nghiệm.
C. Nếu P  0; S  0 và   0 thì (1) có hai nghiệm âm.
D. Nếu P  0; S  0 và   0 thì (1) có hai nghiệm dương.
Câu 6: Cho phương trình mx 2  2  m  2  x  m  3  0 . Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Nếu m  4 thì phương trình vơ nghiệm.
B. Nếu 0  m  4 thì phương trình có hai nghiệm x 
C. Nếu m  0 thì phương trình có nghiệm x 

m2 4m
m2 4m
;x 
.
m
m

3
.
4

D. Nếu m  4 thì phương trình có nghiệm kép x 

3
.
4

Câu 7: Với giá trị nào của m thì phương trình mx 2  2  m  2  x  m  3  0 có hai nghiệm phân biệt?
Trang 8


A. m  4 .

B. m  4 .

C. m  4 và m  0 .

D. m  0 .

Câu 8: Cho phương trình  m  1 x 2  6  m  1 x  2m  3  0 (1). Với giá trị nào sau đây của m thì
phương trình (1) có nghiệm kép?
A. m 

7
.
6

B. m 

6
.
7

6
C. m   .
7

D. m  1 .

Câu 9: Cho phương trình  x  1  x 2  4mx  4   0 . Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi
A. m   .

C. m 

B. m  0 .

3
.
4

3
D. m   .
4

Câu 10: Nếu biết các nghiệm của phương trình x 2  px  q  0 là lập phương các nghiệm của phương
trình x 2  mx  n  0 thì
A. p  q  m3 .

B. p  m3  3mn .

C. p  m3  3mn .

D. Một đáp số khác.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3 x 2   m  2  x  m  1  0 có hai
nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại.
5 

A. m   ;7  .
2 

1

B. m  2;   .
2


 2
C. m  0;  .
 5

 3 
D. m   ;1 .
 4 

Câu 12: Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y  2 x  m tiếp xúc với parabol

 P  : y   m  1 x 2  2mx  3m  1 với
A. m = 0.

m  1.

B. m = –1.

C. m = 1.

D. m = 2.

Câu 13: Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình x 2  2  m  1 x  m 2  2  0 ( m là tham số).
Tìm m để biểu thức P  x1 x2  2  x1  x2   6 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. m 

1
.
2

B. m  1 .

Câu 14: Phương trình x 4 
A. 2.



C. m  2 .





D. m  12 .



65  3 x 2  2 8  63  0 có bao nhiêu nghiệm?

B. 3.

C. 4.

D. 0.

Câu 15: Cho phương trình  x 2  2 x  3  2  3  m   x 2  2 x  3  m 2  6m  0 .
2

Tìm m để phương trình có nghiệm.
A. m .

B. m  4 .

C. m  2 .

D. m  2 .

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-C

2-B

3-B

4-C

5-B

11-A

12-A

13-C

14-D

15-D

6-D

7-C

8-C

9-D

10-C

Câu 9. Chọn D
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi x 2  4mx  4  0 có hai nghiệm phân biệt khác 1

Trang 9


 4m 2  4  0
3

m
4
4m  3  0
Câu 10. Chọn C
Gọi x1 , x2 là nghiệm của x 2  px  q  0

Gọi x3 , x4 là nghiệm của x 2  mx  n  0
Khi đó x1  x2   p, x3  x4  m, x3 .x4  n

 x  x33
3
Theo yêu cầu ta có  1
 x1  x2  x33  x43  x1  x2   x3  x4   3 x3 x4  x3  x4 
3
 x2  x4

  p  m3  3mn  p  m3  3mn
Câu 11. Chọn A
Phương trình có hai nghiệm phân biệt    0  m 2  8m  16  0   m  4   0  m  4
2

Theo định lí Vi-ét, ta có
m 1
2


x
.
x

x

 m  2
1
2
1



3
9


m2
1


  x2   m  2 
 x1  x2 
3
9


m 1
 x1  2 x2


 x1.x2  3


5

m
2
m 1
2
2


  m  2 
 2m  19m  35  0 
2 (thỏa mãn)

81
3
m  7

Câu 12. Chọn A
Phương trình hồnh độ giao điểm của đường thẳng  d  và parabol  P  là:

 m  1 x 2  2mx  3m  1  2 x  m   m  1 x 2  2  m  1 x  2m  1  0

(* )

Để d tiếp xúc với  P  khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép

 m 1
m 1  0



 m  0  m  0
2
   m  1   m  1 2m  1  m  m  1  0
 m  1

Câu 13. Chọn C
Ta có    m  1   m 2  2   2m  1

2

Để phương trình có hai nghiệm thì   0  m 

1
(*)
2

 x  x  2m  2
Theo định lý Vi-ét, ta có  1 2
2
 x1.x2  m  2
Khi đó P  m 2  2  2  2m  2   6  m 2  4m  8   m  2   12  12
2

Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi m  2 (thỏa mãn (*))
Trang 10


Câu 15. Chọn D
Đặt t  x 2  2 x  3  t  2  . Ta được phương trình t 2  2  3  m  t  m 2  6m  0 (1)

  m 2  6m  9  m 2  6m  9
Suy ra phương trình (1) ln có hai nghiệm là t1  m  6 và t2  m

m  6  2
Theo yêu cầu bài tốn ta suy ra phương trình (1) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2  
 m2
m  8


m2
m  2
Dạng 3: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị
tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách khử dấu GTTĐ, Ví dụ: Giải phương trình 2 x  1  x 2  3 x  4
bằng cách dùng định nghĩa hoặc tính chất của
Hướng dẫn giải
GTTĐ, bình phương hai vế hoặc đặt ẩn phụ.
 2 x  1  x 2  3x  4
2
Phương trình dạng f  x   g  x  ta có thể giải 2 x  1  x  3 x  4  
2
 2 x  1    x  3 x  4 
bằng cách biến đổi tương đương như sau

5  45
x
2

 f  x  g  x
 x  5x  5  0
2
f  x  g  x  
 2

f
x



g
x






1  13
 x  x 3  0
x

2
hoặc f x  g x  f 2 x  g 2 x

 

 

 

 

Vậy tập nghiệm của phương trình là

 5  45 1  13 
S 
;

2 

 2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình x 2  4 x  5  4 x  17
Hướng dẫn giải
Với 4 x  17  0  x 

17
ta có VT  0, VP  0 suy ra phương trình vơ nghiệm
4

Với 4 x  17  0  x 

17
, khi đó hai vế của phương trình khơng âm nên phương trình đã cho tương
4

đương với phương trình

x 2  4 x  5   4 x  17    x 2  4 x  5    4 x  17 
2

2

2

2

 x  2
2


x

8
x

12

0
 
  x 2  8 x  12  x 2  22   0   2
  x  6
 x  22  0
 x   22


Trang 11


Đối chiếu với điều kiện x 

17
thấy chỉ có x  6 và x  22 thỏa mãn
4

Vậy phương trình có nghiệm là x  6 và x  22
Ví dụ 2. Giải phương trình 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0
Hướng dẫn giải
Ta có 2 x  5  0; 2 x 2  7 x  5  0  2 x  5  2 x 2  7 x  5  0

5


x2

 2x  5  0
5
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  2
  x  1  x 
2
2 x  7 x  5  0

5

 x
2

Vậy phương trình có nghiệm là x 

5
.
2

Ví dụ 3*. Giải và biện luận phương trình mx  2m  mx  x  1
Hướng dẫn giải

 mx  2m  mx  x  1
Ta có mx  2m  mx  x  1  
 mx  2m    mx  x  1
x  2m  1



 2m  1 x  2m  1 1
Giải (1).
1
Với 2m  1  0  m   , phương trình trở thành 0 x  0 nên phương trình nghiệm đúng với mọi
2
x

1
Với 2m  1  0  m   , phương trình tương đương với x  1
2

Kết luận:
+) m  

1
thì phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi x  
2

+) m  

1
thì phương trình đã cho có hai nghiệm là x  1 và x  2m  1
2

Ví dụ 4*. Tìm m để phương trình x 2  x  mx 2   m  1 x  2m  1 có ba nghiệm phân biệt
Hướng dẫn giải
Phương trình đã cho tương đương với x  x  1   x  1 mx  2m  1

x  1


 x  1  x  mx  2m  1   0  
 x  mx  2m  1 *
Trang 12


  m  1 x  1  2m 1
 mx  2m  1  x
Ta có (*)  

 mx  2m  1   x
 m  1 x  1  2m  2 
Nếu m  1 thì phương trình (1) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân
biệt
Nếu m  1 thì phương trình (2) vơ nghiệm khi đó phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm
phân biệt
1  2m

 x  m 1
Nếu m  1 thì *  
 x  1  2m
m 1


Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
khác 1
 1  2m

 m  1  1
 m0



2
 1  2m

 1  m  
Do đó: 
3
 m 1

1
1  2m 1  2m

 m 1  m 1
m   2

2 1


Vậy với m  1;  ;  ;0;1 thì phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt
3 2



Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1: Tập nghiệm S của phương trình x  2  3 x  5 là
3 7
A. S   ;  .
2 4

 3 7

B. S   ;  .
 2 4

 7 3
C. S   ;   .
 4 2

 7 3
D. S   ;  .
 4 2

Câu 2: Tổng các nghiệm của phương trình x  2  2 x  2 bằng
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6 .

D.

20
.

3

Câu 3: Phương trình 2 x  4  x  1  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vơ số.

Câu 4: Phương trình 2 x  1  x 2  3 x  4 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 4.

Câu 5: Tổng các nghiệm của phương trình 2 x  5  2 x 2  7 x  5  0 bằng
A. 6 .

B.

5
.
2

C.

7
.
2

D.

3
.
2

Câu 6: Phương trình 2 x  4  2 x  4  0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.
Trang 13


Câu 7: Tập nghiệm S của phương trình 3 x  2  3  2 x là
A. S  1;1 .

B. S  1 .

C. S  1 .

D. S  0 .

Câu 8: Phương trình 3  x  2 x  4  3 có nghiệm là
4
A. x   .
3

B. x  4 .

D. x 

C. Vơ nghiệm.

2
.
3

Câu 9: Tổng các nghiệm của phương trình x 2  5 x  4  x  4 bằng
A. – 12.

B. – 6.

C. 6.

D. 12.

Câu 10: Gọi x1 , x2 ( x1  x2 ) là hai nghiệm của phương trình x 2  4 x  5  4 x  17 .
Giá trị biểu thức P  x12  x2 là
A. P = 16.

B. P = 58.

C. P = 28.

D. P = 22.

Câu 11: Phương trình  x  1  3 x  1  2  0 có bao nhiêu nghiệm?
2

A. 0.

B. 1.

C. 4.

D. 2.

Câu 12: Tổng các nghiệm của phương trình 4 x  x  1  2 x  1  1 bằng
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. – 2.

Câu 13: Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x  2ax  1 có nghiệm duy nhất?
A. a 

3
.

2

3
B. a   .
2

C. a 

3
3
và a   .
2
2

D. a  

3
3
hoặc a  .
2
2

Câu 14: Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x  1  x 2  m có nghiệm duy nhất.
A. m = 0.

B. m = 1.

C. m = –1.

D. Khơng có m.

Câu 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

 5;5

để phương trình

mx  2 x  1  x  1 có đúng hai nghiệm phân biệt?
A. 8.

B. 9.

C. 10.

D. 11.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-A

2-D

3-A

4-D

5-B

11-C

12-B

13-D

14-D

15-B

6-D

7-A

8-C

9-B

10-C

Câu 5. Chọn B

 2 x  5  0
Ta có  2
 2x  5  2x2  7 x  5  0
 2 x  7 x  5  0
5

x2

 2x  5  0
5
Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi  2

  x  1  x 
2
2 x  7 x  5  0

5
 x 
2

Trang 14


Câu 8. Chọn C
Trường hợp 1: x  2
Phương trình trở thành: 3  x  2 x  4  3  3 x  4  x 

4
(loại)
3

Trường hợp 2: 2  x  3
Phương trình trở thành: 3  x  2 x  4  3  x  4 (loại)
Trường hợp 3: x  3
Phương trình trở thành x  3  2 x  4  3  3 x  2  x 

2
(loại)
3

Vậy S  
Câu 9. Chọn B


x40
x  4


Phương trình   2
2
2
 2
2
2
x  5x  4   x  4
 x  5 x  4    x  4   0


 x  4

x  4

 x0
  x  2
x


4

 2

 2
   x  6 x  8  0   x  4   x  2

2

 x  6 x  8  x  4 x   0
 x2  4 x  0
 x  0
 x  4


  x  4

Vậy tổng các nghiệm là 0   2    4   6
Câu 10. Chọn C
17

4 x  17  0
x


4
Phương trình   2
2
2  
2
x

4
x

5


4
x

17



 x 2  4 x  5    4 x  17 2


17

x
17


4
x
17



x

4
 x6



4


 2
  x  2  

 x  22
 x 2  8 x  12  x 2  22   0
  x  8 x  12  0
 x  6

2

  x  22  0


  x   22
Vậy P 



22



2

 6  28

Câu 11. Chọn C
Đặt t  x  1  t  0 
Phương trình trở thành t 2  3t  2  0  t  1 hoặc t  2



Với t  1 ta có x  1  1  x  1  1  x  2 hoặc x  0



Với t  2 ta có x  1  2  x  1  2  x  3 hoặc x  1
Trang 15


Vậy phương trình có bốn nghiệm là x  3; x  2; x  0; x  1
Câu 12. Chọn B
Phương trình tương đương với 4 x 2  4 x  2 x  1  1  0
Đặt t  2 x  1 ,  t  0  . Suy ra t 2  4 x 2  4 x  1  4 x 2  4 x  t 2  1

t  1
Phương trình trở thành t 2  1  t  1  0  t 2  t  2  0  
t2
Kết hợp với điều kiện t  0 chỉ có t  2 thỏa mãn
3

x

2
x

1

2


2

Với t  2 , ta có 2 x  1  2  
 2 x  1  2
x   1

2

Vậy tổng các nghiệm là

3  1
  1
2  2

Câu 13. Chọn D
 1  2ax  0
2ax  1



Ta có 3 x  2ax  1  3 x  1  2ax   3 x  1  2ax    3  2a  x  1  2 
  3 x  1  2ax
   3  2a  x  1  3 



3

a  2
Giải hệ này ta được 

a3

2
3

a  2
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 
a3

2

Câu 14. Chọn D
Phương trình x  x   m  1  0
2

Đặt t  x  t  0  , phương trình trở thành t 2  t  m  1  0 (*)
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất  (*) có nghiệm duy nhất t  0 hoặc (*) có hai nghiệm

t1  0; t2  0
Với t  0 là nghiệm của phương trình (*)  02  0  m  1  0  m  1
Thử lại, thay m  1 vào phương trình (*), thấy phương trình có 2 nghiệm t  0 và t  1 (không thỏa mãn)
Vậy không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 15. Chọn B

Trang 16


 mx  2 x  1  x  1
  m  1 x  0 1
Ta có mx  2 x  1  x  1  


 mx  2 x  1    x  1
 m  3 x  2  2 
Xét (1), ta có


m  1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x  



m  1 thì phương trình có nghiệm x  0

Xét (2), ta có


m  3 thì phương trình vơ nghiệm



m  3 thì phương trình có nghiệm x 

Vì

2
2
 0m  3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là x  0; x 
khi m  1 và
m3
m3

2
m3

m  3

Mà m   5;5 và m    m  5; 4; 2;0;1; 2;3; 4;5  có 9 giá trị m
Dạng 4: Phương trình phân thức
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường
- Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu
số khác khơng).

Ví dụ: Giải phương trình

2x 1 x 1

3x  2 x  2

Hướng dẫn giải

- Đặt ẩn phụ.

2

x  
Điều kiện xác định: 
3
 x  2
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

 2 x  1 x  2    x  1 3x  2 
 2 x 2  4 x  x  2  3x 2  2 x  3x  2
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy phương trình có nghiệm là x  4  2 3 .
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình 1 

2
10
50


x  2 x  3  2  x  x  3

Hướng dẫn giải

 x  3
Điều kiện xác định: 
 x2
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

Trang 17


 x  10
 x  3

 2  x  x  3  2  x  3  10  2  x   50  x 2  7 x  30  0  
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là x  10
Ví dụ 2. Giải phương trình

x 1 x 1 2x 1


x  2 x  2 x 1

Hướng dẫn giải

 x  2
Điều kiện xác định: 
 x  1
Quy đồng và khử mẫu phương trình, ta được

 x  1  x  2    x  1 x  1 x  2    2 x  1 x  2  x  2 
2

  x 2  2 x  1  x  2    x 2  1  x  2    2 x  1  x 2  4 

 x3  2 x 2  2 x 2  4 x  x  2  x3  2 x 2  x  2  2 x3  8 x  x 2  4

 x0
(thỏa mãn điều kiện)
 x2  4x  0  
 x  4
Vậy phương trình có nghiệm x  4 và x  0
Ví dụ 3. Giải phương trình

4
3
2

1



2x 1 2x  2 2x  3 2x  4

Hướng dẫn giải
3
1

Điều kiện xác định: x  2;  ; 1;  
2
2


Phương trình tương đương với
4
2
1
3
4 x  10
4 x  10



 2
 2
2x 1 2x  3 2x  4 2x  2
4 x  8 x  3 4 x  12 x  8
1

1


  4 x  10   2
 2
0
 4 x  8 x  3 4 x  12 x  8 
  4 x  10   4 x 2  8 x  3  4 x 2  12 x  8   0

 4 x  10  0
  4 x  10   8 x 2  20 x  11  0   2
8 x  20 x  11  0
5

 x2
(thỏa mãn điều kiện ban đầu)

5  3

 x 
4

Vậy phương trình có nghiệm là x 

5  3
5
và x  
4
2

Trang 18


Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình

x 2  mx  2
 2m  6
3 x

Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: x  3
Quy đồng và khử mẫu phương trình ta được

x 2  mx  2   3  x  2m  6 
 x 2   3m  6  x  6m  16  0 1

 x2
  x  2  x  3m  8   0  
 x  3m  8
Nếu 3m  8  2  m  
Nếu m  

10
thì phương trình có nghiệm kép x  2 (thỏa mãn)
3

10
11
, ta xét điều kiện x  3 : 3m  8  3  m 
thì phương trình đã cho có hai nghiệm

3
3

phân biệt x  2 và x  3m  8
Kết luận:
+) m  

10
11
và m   , phương trình có một nghiệm là x  2
3
3

+) m  

11
10
và m   , phương trình có hai nghiệm là x  2 và x  3m  8
3
3

Bài tập tự luyện dạng 4
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình 2 x 
 3
A. S  1; 
 2

Câu 2: Phương trình
A. 0

3
3x
là

x 1 x 1
3
C. S   
2

B. S  1

2 x 2  10 x
 x  3 có bao nhiêu nghiệm?
x2  5x

B. 1

C. 2

Câu 3: Gọi x0 là nghiệm của phương trình 1 
A. x0   5; 3

Câu 5: Phương trình

B. T  

D. 3

2
10

50


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
x  2 x  3  2  x  x  3

B. x0   3; 1

Câu 4: Tập hợp nghiệm của phương trình
 2
A. T   
 m

D. S  

C. x0   1; 4 

m

2

 2  x  2m
x

D. x0   4;  

 2  m  0  là

C. T  

D. T   \ 0

2mx  1
 3 có nghiệm duy nhất khi
x 1

Trang 19


A. m  

1
3
và m 
B. m  0
2
2

C. m  0 và m 

Câu 6: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình
A. 0

B. 1

3
2

D. m 

x 2  mx  2
 1 vô nghiệm?
x2 1

C. 2

Câu 7: Biết phương trình x  2 

3
2

D. 3

xa
 a có nghiệm duy nhất và nghiệm đó là nghiệm nguyên.
x 1

Vậy nghiệm đó là
A. – 2

B. – 1

C. 2

D. 0

Câu 8: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  3;5 để phương trình
xm x2

có nghiệm. Tổng giá trị các phần tử của tập S bằng

x 1 x 1

A. – 1

B. 8

C. 9

D. 10

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

1; 20

để phương trình

x 1
m
x3


có nghiệm?
2
x2 4 x
x2

A. 4

B. 18

C. 19

D. 20

Câu 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 

4
2

 4  x    m  1  0 có đúng
2
x
x


hai nghiệm lớn hơn 1
A. m  8

B. 8  m  1

C. 0  m  1

D. m  8

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1-C

2-A

3-D

4-A

5-A

6-D

7-D

8-D

9-D

10-B

Câu 7. Chọn D
Điều kiện: x  1 .
Phương trình trở thành x  2 

xa
 a  x 2  3 x  2  x  a  ax  a
x 1

 x 2   2  a  x  2a  2  0 (1)
Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất khác 1 hoặc
phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt có một nghiệm bằng 1

  a 2  4a  4  0
a  2  2 2



a

1

0

Do đó 
 a  2  2 2
2
 a  1
 a  4a  4  0

  a  1  0


Với a  2  2 2 phương trình có nghiệm là x  2  2
Trang 20




Với a  2  2 2 phương trình có nghiệm là x  2  2



Với a  1 phương trình có nghiệm là x  0; x  1

Kết hợp điều kiện x  1 và x   thì x  0 là nghiệm duy nhất cần tìm của phương trình.
Câu 8. Chọn D

m0

m0
 x  1
xm x2


. Phương trình đã cho có nghiệm  


2
x 1 x 1
mx  m  2
 x  1  m  1 m  1
Vì m  , m   3;5 nên m  S  3; 2;1; 2;3; 4;5
Vậy tổng các giá trị của m là 10.
Câu 9. Chọn D

 x  2
x 1
m
x3




x  2 4  x2 x  2
2 x  m  8
Phương trình đã cho có nghiệm  x  

m  12
m
 4  2  
2
 m  4

Suy ra có tất cả 20 số nguyên m thuộc đoạn 1; 20 thỏa mãn yêu cầu.
Câu 10. Chọn B

 g  x   x 2  tx  2  0
2

Đặt x   t  
4
x
x2  2  t 2  4

x


 *

Phương trình (*) có ac  0 nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi t   . Do đó (*) nếu có nghiệm
lớn hơn 1 thì có duy nhất một nghiệm như thế.
Ta có x1  1  x2  g 1  0  t  1  0  t  1
Mặt khác phương trình đã cho trở thành f  t   t 2  4t  m  3  0 (**). Phương trình đã cho có đúng hai
nghiệm x1 , x2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 lớn hơn – 1 , hay

  4  m  3  0


 m 1

 t1  1 t2  1  t1t2   t1  t2   1  0  
m  8

t1  t2  4  2

Dạng 5: Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn
Phương pháp giải
Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta
tìm cách để khử dấu căn, bằng các cách sau:
- Nâng lũy thừa hai vế
- Phân tích thành tích
- Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình

x2  2x  4  2  x

Hướng dẫn giải

 x2  2x  4  0
Điều kiện xác định: 
 x2
 2 x  0
Trang 21


Với điều kiện đó, phương trình tương đương với

 x  1
x 2  2 x  4  2  x  x 2  3x  2  0  
 x  2
Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của
phương trình là x  1 và x  2
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Giải phương trình x  2 x  5  4
Ghi nhớ:

Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định: 2 x  5  0  x 

Cách giải phương trình dạng

5
2

f  x  g  x :

x  2 x  5  4  2 x  5  x  4 (* )
Trường hợp 1: Với x  4  0  x  4 , ta có phương trình (*)
vơ nghiệm vì VT khơng âm và VP âm
Trường hợp 2: Với x  4  0  x  4 , ta có hai vế khơng âm

f  x  g  x

g  x  0

2

 f  x    g  x  

nên phương trình (*) tương đương với

x  3
2
2 x  5   x  4   x 2  10 x  21  0  
x  7
Đối chiếu với điều kiện x  4 và điều kiện xác định,
suy ra chỉ có x  7 thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm là x  7 .
Ví dụ 2. Giải phương trình

2 x  1  x 2  3x  1  0

Hướng dẫn giải
Điều kiện xác định của phương trình là 2 x  1  0  x 
Ta có

1
2

2 x  1  x 2  3x  1  0  2 x  1   x 2  3x  1

  x 2  3 x  1  0

 x 2  3x  1  0

2  
2

2
2
2 x  1    x  3 x  1
 x  1  x  4 x  2   0
 x 2  3x  1  0
  x 2  3x  1  0
 x 1


 
   x 1

x 1
x  2  2
 x2  4 x  2  0
 

 x  2  2

Đối chiếu với điều kiện x 

1
, ta được x  1 và x  2  2 là nghiệm của phương trình
2

Vậy phương trình có nghiệm là x  1 và x  2  2 .
Ví dụ 3. Giải phương trình x 

3x 2  1  1

Trang 22


Hướng dẫn giải

 3 x 2  1  0
Điều kiện xác định: 
 x  
2
3
x

1

1

0


x0
x0

Phương trình tương đương với  2


2
2
2
 x  3 x  1  1  3 x  1  x  1
 x0

x0

x0

 x0
x  0

 2




x

0

2



2
2

4
2
2
x  x  0
  x  1  x  1
 x  x  1  0
3 x  1   x  1


Vậy phương trình có nghiệm là x  0 và x  1
Bài tập tự luyện dạng 5
x  4  x 2  3 x  2   0 là

Câu 1: Số nghiệm của phương trình
A. 0

B. 1

C. 2

Câu 2: Tập nghiệm S của phương trình
A. S  3

C. S  3; 6

A. S  2

C. S  6

D. S  

x2  5x
4

là
x2
x2

B. S  1

C. S  

Câu 5: Tập nghiệm của phương trình

D. S  

2 x  3  x  3 là

B. S  2

Câu 4: Tập nghiệm của phương trình
A. S  1; 4

x 2  3 x  7  5 là

B. S  6

Câu 3: Tập nghiệm S của phương trình
A. S  6; 2

D. 3

D. S  4

x2  4x  2
 x  2 là
x2

B. S  1

C. S  0;1

D. S  5

x 2  4 x  12
 x  2 là
Câu 6: Số nghiệm của phương trình
x 1

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3

Câu 7: Với giá trị nào của tham số a thì phương trình  x 2  5 x  4  x  a  0 có hai nghiệm phân biệt?
A. a  1
Câu 8: Cho

B. 1  a  4

x 2  2  m  1 x  6m  2

A. m  1

x2

C. a  4

 x  2(1) . Giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

B. m  1

C. m  1

Câu 9: Tìm tất cả giá trị của m để phương trình m 2  x 
A. 1  m  3

D. Khơng có a

B. 0  m  2 6  4

D. m  1 hoặc m 

3
2

x 2  mx  2
có nghiệm dương
2 x

C. 4  2 6  m  1

D. 2 6  4  m  1
Trang 23

Câu 10: Cho phương trình

3mx  1
2 x  5m  3
 x 1 
1
x 1
x 1

Để phương trình (1) có nghiệm, điều kiện của tham số m là

m  0
B. 
m  1
3


1
A. 0  m 
3

 m0
D. 
m   1
3


1
C.   m  0

3

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN
1-B

2-C

3-C

4-D

5-D

6-A

7-B

8-D

9-A

10-B

Câu 7. Chọn B

x  4
 x2  5x  4  0
Phương trình tương đương với 
  x  1
 xa 0

 x  a
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1  a  4
Câu 8. Chọn D
Điều kiện x  2  0  x  2

1  x 2   2m  3 x  6m  0 (2). Phương trình ln có nghiệm là

x  3 và x  2m

Để phương trình (1) có duy nhất một nghiệm thì 2m  2 hoặc 2m  3  m  1 hoặc m 

3
2

Câu 10. Chọn B
Điều kiện x  1
Phương trình trở thành 3mx  1  x  1  2 x  5m  3   3m  1 x  5m  1 (2)
Phương trình (1) vơ nghiệm  Phương trình (2) vơ nghiệm hoặc phương trình (2) có nghiệm duy nhất
nhỏ hơn hoặc bằng –1.

1
1


 3m  1  0
m
m




3
3


 5m  1  0
1
1
1

  3m  1  0    m 
  m 
0m


3
3
3



  5m  1  1
 8m  0 0  m  1
  3m  1
3
  3m  1
 

m  0
Vậy phương trình có nghiệm khi 
.

m  1
3


Trang 24