Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH bậc NHẤT NHIỀU ẩn nhóm ĐHSPHN image marked

CHƯƠNG 3
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Mục tiêu
 Kiến thức
+ Nắm được khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và ý
nghĩa hình học của chúng.
+

Nắm được phương pháp cộng đại số, phương pháp thế và phương pháp đặt ẩn phụ để giải hệ
phương trình.

+ Nắm được cơng thức tính định thức cấp hai để giải hệ phương trình.
 Kĩ năng
+

Biết cách giải phương trình bậc nhất hai ẩn và áp dụng một cách linh hoạt các phương pháp thế
để giải hệ phương trình.

+

Tính thành thạo định thức cấp hai để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

+

Biết cách giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có chứa tham số.

Trang 1


I. LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM
Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn (x và y) có dạng:

Khi a  b  0 ta có phương trình 0x  0y  c .
Nếu c  0 thì phương trình vơ nghiệm; nếu

ax  by  c (1) trong đó a, b, c là các số đã cho, với c  0 thì phương trình vơ số nghiệm.

ab  0 .

Khi b  0 phương trình ax  by  c trở thành

Nếu có cặp số

 x0 ; y0 

 x0 ; y0 

sao cho ax0  bx0  c thì

được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (1) ln có vơ số nghiệm. Tập nghiệm của

a
c
y   x  (2).
b
b
Cặp số  x0 ; y0  là một nghiệm của phương trình

phương trình biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là đường (1) khi và chỉ khi điểm M  x0 ; y0  thuộc đường
thẳng ax  by  c .
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

thẳng (2).
Ta có thể sử dụng định thức cấp hai để giải hệ

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng qt phương trình bậc nhất hai ẩn:
là:

a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2
Phương pháp giải:
Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số

D

a1 b1
 a1.b2  a2 .b1 ;
a2 b2

Dx 

c1 b1
 c1.b2  c2 .b1 ;
c2 b2

Dy 

a1 c1
 a1.c2  a2 .c1 .
a2 c2

Nếu D  0 thì hệ phương trình có nghiệm duy
nhất là

 x 

y 


Dx
D
Dy
D

Nếu D  0; Dx  0; Dy  0 , hệ có vơ số nghiệm.
Nếu D  0; Dx  0 hoặc Dy  0 hệ vô nghiệm.
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

a1 x  b1 y  c1z  d1

a2 x  b2 y  c2 z  d2 .
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

2x  3y  4z  1

Ví dụ: 
y  3z  2

2z  4

là hệ phương trình dạng tam giác.

Phương pháp giải:
Dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế
để khử dần ẩn đưa về giải hệ phương trình dạng tam giác.

Trang 2


SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA

D

c1
a1 b1
 a1.b2  a2 .b1 ; Dx 
c2
a2 b2

Dy 

Hệ hai phương trình

bậc nhất hai ẩn

a1
a2

b1
 c1.b2  c2 .b1 ;
b2

c1
 a1.c2  a2 .c1 ;
c2

Nếu D  0 thì hệ có nghiệm duy nhất

a1 x  b1 y  c1

a2 x  b2 y  c2


x



y 



Dx
D .

Dy
D

Nếu D  0; Dx  0; Dy  0 , hệ có vơ số nghiệm.
Nếu D  0; Dx  0 hoặc Dy  0 hệ vơ nghiệm.

Phương trình
bậc nhất hai ẩn
ax  by  c

a

2

Phương pháp giải:
- Phương pháp thế
- Phương pháp cộng đại số

 b  0
2

Tập nghiệm của
phương trình biểu
diễn trên mặt phẳng
tọa độ là đường
thẳng ax  by  c

Hệ ba phương trình
bậc nhất ba ẩn

a1 x  b1 y  c1z  d1

a2 x  b2 y  c2 z  d2
a x  b y  c z  d
3
3
3
 3

Trang 3


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1: Phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp giải
Phương trình bậc nhất hai ẩn ln ln có vơ số

Ví dụ: Biểu diễn tập nghiệm của phương trình

nghiệm.

3x  2y  6 trên trục số.

Bước 1. Xác định hai nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải
Tập nghiệm của phương trình 3x  2y  6 là đường
thẳng.
Vì hai cặp số

 x; y   0; 3

và

 x; y   2;0

là

nghiệm của phương trình nên tập nghiệm là đường
thẳng đi qua hai điểm  0; 3 và  2;0 .
Bước 2. Biểu diễn hai nghiệm trên hệ trục tọa độ
để vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của
phương trình.

Ví dụ mẫu
Ví dụ 1. Cặp số nào sau đây khơng là nghiệm của phương trình x  2 y  3  0 ?
A.  2t  3; t  .

3

B.  4t ; 2t   .
2


C.  t ; t  3 .

D.  4t  3;2t  .

Hướng dẫn giải
Thay lần lượt từng cặp số vào phương trình ban đầu, ta có

Đáp án A. 2t  3  2  t   3  0  0t  0 đúng với mọi t.
3

Đáp án B. 4t  2  2t    3  0  0t  0 đúng với mọi t.
2


Đáp án C. t  2  t  3  3  0  3t  9  0  t  3 (không đúng với mọi t).
Đáp án D. 4t  3  2  2t   3  0  0t  0 đúng với mọi t.

Trang 4


Do đó các cặp số ở đáp án A, B, D là nghiệm của phương trình và cặp số ở đáp án C khơng là nghiệm của
phương trình.
Chọn C.

x  y  5
Ví dụ 2. Tập hợp các nghiệm của hệ phương trình 
là tập hợp nào sau đây?
3 x  3 y  15
A. Một điểm.

B. Một đường thẳng.

C. Một mặt phẳng.

C.  .

Hướng dẫn giải

x  y  5
Ta có 
 x y5
3 x  3 y  15
Tập hợp các nghiệm của hệ là một đường thẳng.
Chọn B.
Bài tập tự luyện dạng 1
Câu 1: Cho các hình sau

Hình 1

Hình 2

Hình 3

Hình 4

Trong các hình trên, hình nào biểu diễn tập nghiệm của phương trình x  y  3  0 ?
A. Hình 3.

B. Hình 1.

C. Hình 2.

D. Hình 4.

Câu 2: Hình vẽ sau đây là biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình nào?
Trang 5

A. x  2 y  4 .

B. x  2 y  4 .

C.  x  2 y  4 .

D. x  2 y  4 .

Câu 3: Cặp số  x; y  nào sau đây khơng là nghiệm của phương trình x  y  3 ?
A.  t ; t  3 .

B.  t  3; t  .

C.  2t  1;2t  2  .

D.  t  5; t  2  .

Câu 4: Cặp số  x, y  nào sau đây khơng phải là nghiệm của phương trình x  3 y  4 ?
A.  3 x0  4;  x 0  .

B.  3 x0  2; x0  2  .

C.  6 x0  4;2 x0  .

D.  2  3 x0 ;1  x0  .

2 x  3 y  4
Câu 5: Tập hợp các nghiệm  x; y  của hệ phương trình 
là tập hợp nào sau đây?

6 x  9 y  12
A. Một đường thẳng.

B. Toàn bộ mặt phẳng Oxy.

C. Nửa mặt phẳng.

D.  .

x  3y  4
Câu 6: Tập hợp các nghiệm  x; y  của hệ phương trình 
là tập hợp nào sau đây?
 x  2 y  6
A. Một điểm.

B. Một đường thẳng.

C. Nửa mặt phẳng.

D.  .

Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình
Bài tốn 1. Giải và biện luận hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Phương pháp giải
- Phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số
- Sử dụng định thức cấp hai:

D

a1 b1

 a1.b2  a2 .b1 ;
a2 b2

Dx 

c1 b1
 c1.b2  c2 .b1 ;
c2 b2

Dy 

a1 c1
 a1.c2  a2 .c1 .
a2 c2

Nếu D  0 thì hệ có nghiệm duy nhất là

 2 x  y  1 (1)
Ví dụ: Giải hệ phương trình 
.
3 x  2 y  2 (2)
Hướng dẫn giải
Từ (1) ta có y  1  2 x





Thay vào (2) ta có 3 x  2 1  2 x  2

 x  2 2  y  32 2 .
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

 x; y    2 



2;3  2 2 .

Trang 6



 x 

y 


Dx
D
Dy
D

Nếu D  0; Dx  0; Dy  0 hệ có vơ số nghiệm.
Nếu D  0; Dx  0 hoặc Dy  0 hệ vô nghiệm.
Ví dụ mẫu

x  2 y  1
Ví dụ 1. Hệ phương trình 
có bao nhiêu nghiệm?

3 x  6 y  3
A. 1.

B. 2.

C. Vô số nghiệm.

D. Vô nghiệm.

Hướng dẫn giải
Ta có

1 2 1
  nên hệ phương trình có vơ số nghiệm.
3 6 3

Chọn C.
6 5
x  y  3

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình: 
.
9
10
  1
 x y

Hướng dẫn giải
Điều kiện: x  0; y  0
1

1
Đặt ẩn phụ: u  , v  .
x
y

1

u


6u  5v  3
12u  10v  6
3 x  3



Hệ phương trình trở thành 
.
1
y

5
9u  10v  1 9u  10v  1

v 

5

Vậy hệ phương trình có nghiệm là  x; y    3;5 

 x  1  y  0
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 
.
2 x  y  5
Hướng dẫn giải
Từ phương trình thứ hai, ta có y  2 x  5 .
Thay vào phương trình thứ nhất, ta được:

5  2 x  0

x  1  2 x  5  0    x  1  5  2 x  x  2  y  1 .
  x  1  5  2 x

Trang 7


Vậy nghiệm của hệ phương trình là  x; y    2; 1 .

Bài toán 2. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất ba ẩn
Phương pháp giải
Bằng phương pháp cộng đại số và phương

x  y  z  3

Ví dụ: Giải hệ phương trình 2 x  y  2 z  3 .
 x  3 y  3 z  5


pháp thế, khử bớt ẩn số để đưa về hệ phương
trình tam giác.

Hướng dẫn giải
Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ hai ta

x  y  z  3
x  y  z  3


được: 3 x  3 z  0
 x  z  0
 x  3 y  3 z  5
 x  3 y  3 z  5


3 x  3 y  3 z  9

.
 x  z  0
 x  3 y  3 z  5

Cộng hai vế phương trình thứ nhất và thứ ba ta được:

x  y  z  3
x  y  z  3


 x  z  0
x  z  0
4 x  4
x  1



x  y  z  3
y  3


  z  1
  z  1
x  1
x  1


Vậy nghiệm của hệ là 1;3; 1 .
Ví dụ mẫu

mx  y  1 (1)

Ví dụ. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ my  z  1 (2) có nghiệm duy nhất?
 x  mz  1 (3)

A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  1 .

D. m  1 .

Hướng dẫn giải

mx  y  1
Từ (2) suy ra z  1  my . Thay vào (3) ta có: 
.
2
x

m
y

1

m

Hệ có nghiệm duy nhất khi

m
1

 m  1
1 m2

Chọn đáp án D.
Trang 8


Bài tập tự luyện dạng 2

2 x  3 y  5
Câu 1: Hệ phương trình 
có bao nhiêu nghiệm?

4 x  6 y  10
A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

 2 x  y  1
Câu 2: Nghiệm của hệ phương trình 
là
3 x  2 y  2

 2  2;2 2  3 .
C.  2  2;3  2 2  .

 2  2;2
D.  2  2;2

A.

B.






2  3 .

2 3 .

 2 1 x  y  2 1

Câu 3: Nghiệm của hệ phương trình 
là
2 x  2  1 y  2 2

1

A. 1;   .
2






1

B.  1;  .
2


C. 1;2  .

D. 1; 2  .

Câu 4: Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng  d1  : x  2 y  1 và  d 2  : 2 x  3 y  5 là

A. 13;7  .

B. 13; 7  .

C.  13;7  .

D.  13; 7  .

7

 x  y  xy  2
Câu 5: Hệ phương trình 
có nghiệm là
5
2
2
 x y  xy 

2

 1   1 
A.  x; y  3;2 ; 2;1 . B.  x; y    0;1 ; 1;0  . C.  x; y    0;2  ;  2;0  D.  x; y    2; ; ;2 
 2   2 

2 x  y  1  1
Câu 6: Hệ phương trình 
có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ?
2 y  x  1  1
A. 1.

B. 0.

C. 2.

D. 3.

mx  y  1
Câu 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình 
vơ số nghiệm.
 x   m  2  y  m
A. m  2 .

B. m  2 .

C. m  1 .

D. m  1 .

3 x  my  1
Câu 8: Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình 
có đúng một nghiệm.
mx  3 y  m  4
A. m  3 hoặc m  3 .

B. m  3 và

C. m  3 .

D. m  3 và m  3 .

mx   m  4  y  2
Câu 9: Cho hệ phương trình 
m  x  y   1  y
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hệ phương trình vơ nghiệm?
Trang 9


A. m  0 .
C. m  1 hay m 

B. m  1 hay m  2 .
1
.
2

D. m  

1
hay m  3 .
2

Câu 10: Cho hai đường thẳng d1 : x   m  2  y  3 ; d 2 : mx  y  m . d1 cắt d 2 khi nào?
A. m  1 .

B. m  0 .

C. m  1 .

D. m  1 .

3 x  ay  2
Câu 11: Biết rằng hệ phương trình 
có vơ số nghiệm. Tính giá trị của biểu thức
2 x  y  b  2
T  2a  3b .
A. T  7 .

B. T  10 .

C. T  10 .

D. T  7 .

mx  y  3
Câu 12: Cho hệ phương trình 
.
 x  my  2m  1
Các giá trị thích hợp của tham số m để hệ phương trình có nghiệm ngun là
A. m  0, m  2 .

B. m  1, m  2, m  3 .

C. m  0, m  2 .

D. m  1, m  3, m  4 .

mx   m  2  y  5
Câu 13: Cho hệ phương trình 
.
 x  my  2m  3

Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm của tham số m là
5
A.   m  1 .
2

C. m  

B. 2  m 

5
hay m  2 .
2

5
.
2

D. m  2 hay m 

5
.
2

3 x  2 y  z  7

Câu 14: Nghiệm của hệ phương trình 4 x  3 y  2 z  15 là
 x  2 y  3 z  5

A.  10;7;9  .

B.  5; 7;8  .

C.  10; 7;9  .

D.  5; 7; 8  .

Câu 15: Bộ số  x; y; z   1;0;1 là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây?

2 x  3 y  6 z  10  0

A.  x  y  z  5
.
 y  4 z  17


 x  7 y  z  2

B. 5 x  y  z  1 .
x  y  2z  0


2 x  y  z  1

C.  x  y  z  2 .
 x  y  z  2


 x  2 y  z  2

D.  x  y  z  4 .

 x  4 y  z  5


Trang 10


x  2 y  1

Câu 16: Hệ phương trình  y  2 z  2 có nghiệm là
z  2x  3


 x0 ; y0 ; z0 

thì giá trị của biểu thức

F  2 x0  y0  3 z0 là
A. 4

B. 5

C. 2

D. 6

x  3y 1  0

Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ 2 x  3 y  z  1
có đúng một nghiệm.
 m  1 x  2 z  2m  1




A. m  1 .

B. m  1 .

C. m  3 .

D. m  3 .

x  y  z  9

1 1 1
Câu 18: Nghiệm  x; y; z  của hệ phương trình     1
là
x y z
 xy  yz  zx  27
A. 1;1;1 .

B. 1;2;1 .

C.  2;2;1 .

D.  3;3;3 .

Dạng 3. Giải bài tốn bằng cách lập hệ phương trình
Phương pháp giải
Ví dụ 1. Hai vật chuyển động trên một đường trịn
có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng

một điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì
gặp cứ 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển
động ngược chiều thì cứ 4 giây lại gặp nhau. Tính
vận tốc của mỗi mật.
Hướng dẫn giải
Bước 1. Gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Gọi vận tốc của vật I là x  m/s  và vận tốc của vật
II là y  m/s 

Bước 2. Thiết lập hệ phương trình thể hiện
mối quan hệ giữa các ẩn.

 x, y  0; y  x  .

Sau 20s hai vật chuyển động được quãng đường là

20 x, 20 y  m  .
Vì nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ 20
giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình

20 x  20 y  20 .
Sau 4 s hai vật chuyển động được quãng đường là

4 x, 4 y  m  .
Vì nếu chúng chuyển động ngược chiều thì cứ 4
giây lại gặp nhau do đó ta có phương trình
Trang 11

4 x  4 y  20 .
Từ hai phương trình trên ta có hệ phương trình:

20 x  20 y  20
.

4 x  4 y  20
 x  3
Giải hệ phương trình ta được 
thỏa mãn.
 y  2

Bước 3. Giải hệ phương trình.
Bước 4. So sánh nghiệm với điều kiện của ẩn

Vậy vận tốc của hai vật là 3  m/s  và 2  m/s  .

và kết luận bài tốn.
Ví dụ mẫu

Ví dụ. Trong một kỳ thi, hai trường A và B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả là hai trường có
tổng cộng 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% học sinh dự thi
trúng tuyển. Số học sinh dự thi của trường A và B lần lượt là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi số thí sinh tham dự của trường A và trường B lần lượt là x, y  x, y  *; x, y  350  .

 x  y  350
 x  200



Theo đề ra, ta có hệ phương trình  97
96
 y  150
100 x  100 y  338
(thỏa mãn điều kiện).
Vậy số học sinh dự thi của trường A là 200, trường B là 150 học sinh.
Bài tập tự luyện dạng 3
Câu 1. Nhà trường phát thưởng cho học sinh khá, học sinh giỏi của hai lớp 10A và 10B. Lớp 10A có 3
học sinh giỏi và 8 học sinh khá, lớp 10B có 4 học sinh giỏi và 5 học sinh khá. Số vở phát thưởng cho hai
lớp 10A, 10B lần lượt là 125 quyển và 110 quyển. Hỏi mỗi học sinh khá và giỏi được thưởng bao nhiêu
quyển vở? (Biết rằng phần thưởng cho mỗi học sinh khá ở hai lớp là như nhau và học sinh giỏi cũng thế).
A. Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 10 quyển.
B. Học sinh giỏi 18 quyển, học sinh khá 12 quyển.
C. Học sinh giỏi 17 quyển, học sinh khá 11 quyển.
D. Học sinh giỏi 15 quyển, học sinh khá 8 quyển.
Câu 2. Hiện tại tuổi mẹ của Nam gấp 3 lần tuổi của Nam, 5 năm trước tuổi mẹ Nam gấp 4 lần tuổi Nam.
Hỏi mẹ Nam sinh Nam lúc bao nhiêu tuổi?
A. 30 tuổi.

B. 25 tuổi.

C. 35 tuổi.

D. 28 tuổi.

Câu 3. Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đồn tàu hỏa biết đồn tàu ấy chạy ngang qua văn phịng ga từ đầu
máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu
vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
A. Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.
Trang 12

B. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.
C. Vận tốc của tàu là 21 m/s và chiều dài đoàn tàu là 145m.
D. Vận tốc của tàu là 23 m/s và chiều dài đoàn tàu là 147m.
Câu 4. Một dung dịch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích) và một dung dịch khác chứa 55% axit
nitơric. Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dịch loại 1 và loại 2 để được 100 lít dung dịch 50% axit
nitơric?
A. 80 lít dung dịch loại 1 và 20 lít dung dịch loại 2.
B. 20 lít dung dịch loại 1 và 80 lít dung dịch loại 2.
C. 30 lít dung dịch loại 1 và 70 lít dung dịch loại 2.
D. 70 lít dung dịch loại 1 và 30 lít dung dịch loại 2.
Câu 5. Có hai loại quặng sắt: quặng sắt A chứa 60% sắt, quặng sắt B chứa 50% sắt. Người ta trộn một
8
lượng quặng loại A với một lượng quặng loại B thì được hỗn hợp chứa
sắt. Nếu lấy tăng hơn lúc đầu
15
17
là 10 tấn quặng loại A và lấy giảm hơn lúc đầu là 10 tấn quặng loại B thì được hỗn hợp quặng chứa
30
sắt.
A. 10; 15.

B. 10; 20.

C. 10; 14.

D. 10; 12.

Câu 6. Hai vịi nước cùng chảy vào một bể khơng chứa nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy

một mình thì vịi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 2 giờ. Thời gian vịi thứ nhất và vịi thứ hai
chảy một mình đầy bể lần lượt là
A. 4 giờ 30 phút và 6 giờ 30 phút.
B. 4 giờ và 6 giờ.
C. 5 giờ 30 phút và 7 giờ 30 phút.
D. 5 giờ và 7 giờ.
Câu 7. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp
10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng.
Mỗi em học sinh lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được 476 cây bạch đàn và 375 cây
bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?
A. 10A có 40 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.
B. 10A có 45 em, 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.
C. 10A có 45 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.
D. 10A có 43 em, 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

Trang 13


ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI
BÀI 3. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN
Dạng 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn
1-C

2-B

3-D

4-D

5-A

6-A

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Chọn A

2 x  3 y  4
Ta có 
 2 x  3 y  4 . Suy ra tập nghiệm của hệ là một đường thẳng.
6 x  9 y  12
Câu 6. Chọn A.

x  3y  4
Ta có 
.
 x  2 y  6
Nghiệm của hệ phương trình là giao điểm của hai đường thẳng. Dễ thấy hai đường thẳng cắt nhau nên tập
nghiệm của hệ là một điểm.
Dạng 2. Giải và biện luận hệ phương trình
1-D

2-C

3-D

4-C

5-D

6-B

7-D

8-D

11 - D

12 - A

13 - A

14 - D

15 - C

16 - B

17 - C

18 - D

9-A

10 - C

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM
Câu 5. Chọn D.
Đặt S  x  y, P  xy  S 2  4 P  0  .
7


 S  P  2
7
5
5
 S , P là nghiệm của phương trình X 2  X   0  X  1; X  .
Ta có 
2
2
2
 SP  5

2

Khi S  1; P 

5
(loại).
2

5
5
1
Khi S  ; P  1 thì x, y là nghiệm của phương trình X 2  X  1  0  X  2; X  .
2
2
2

 1   1  
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y    2;  ;  ;2   .
 2   2  

Câu 6. Chọn B.
Điều kiện: x, y  1 .

2 x  y  1  1
Ta có 
 2x  2 y  y  1  x  1  0  2 x  y  
2
y

x

1

1


yx
y 1  x 1
Trang 14



  x  y 2 




1
0.
y  1  x  1 

1

1

x  2
x 
Khi x  y thì 2 x  x  1  1  x  1  1  2 x  
(vô nghiệm)

2
 x  1  1  2 x 2
4 x 2  5 x  2  0


Khi

y 1  x 1 

1
1
3
thì 2 x  2 y   2  x  y  (vơ nghiệm vì x, y  1 ).
2
2
4

Vậy hệ phương trình vơ nghiệm.
Câu 7. Chọn D.

 y  mx  1
mx  y  1
 y  mx  1
Ta có 
.


2
x
m

2
m

1

2
m

2


 x   m  2  y  m
 x   m  2  mx  1  m

 m 2  2m  1  0
Hệ có vô số nghiệm khi 
 m  1 .
 2m  2  0
Câu 9. Chọn A.

1

y


mx

m

4
y

2



4 y  1  y

3


.

m  x  y   1  y
m  x  y   1  y
mx  1 m  2

3
3

m  0

 m  0.
Hệ vô nghiệm khi  2 1

m

0
 3 3
Câu 10. Chọn C.
Hai đường thẳng d1 : x   m  2  y  3 ; d 2 : mx  y  m .

 x   m  2  y  3
1 m2

có nghiệm duy nhất, nghĩa là
hay m  1 .
d1 cắt d 2 khi hệ 
m
1
mx  y  m
Câu 11. Chọn D.

 2a  3 y  10  3b
3 x  ay  2
6 x  2ay  4
Hệ phương trình 


.

3 x  2ay  4
2 x  y  b  2
6 x  3 y  3b  6
3

a

2
a

3

0


2

Để hệ vơ số nghiệm thì 
. Vậy T  3  10  7 .
10
10  3b  0
b 

3

Câu 12. Chọn A.
Ta có D  m 2  1 , Dx  m  1 , Dy  2m 2  m  3 .

Trang 15

Với m  1 , hệ phương trình có nghiệm x 

Dy 2m  1
Dx
1


, y
.
D
m 1
D m 1

Hệ phương trình có nghiệm ngun khi m  0; m  2 .
Câu 13. Chọn A.
Ta có D  m 2  m  2, Dx  2m 2  2m  6, Dy  2m 2  3m  5 .
Hệ phương trình có nghiệm khi D  0  m  1; m  2 .
Hệ có nghiệm x 

2m 2  2m  6
2m 2  3m  5
y

,
.
m2  m  2
m2  m  2

  m  1


m  m  2  0
5
 m2
Hệ phương trình có nghiệm âm khi  2
 
   m  1 .
2
2m  3m  5  0
 5


m

1
 2
2

Câu 18. Chọn D.
Ta có

1 1 1
   1  xy  yz  zx  xyz  xyz  27
x y z

 x, y, z là nghiệm của phương trình X 3  9 X 2  27 X  27  0  X  3 .

Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y; z    3;3;3 .

Dạng 3. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

1-A

2-A

3-A

4-B

5-B

6-D

7-A

Trang 16