BẤT ĐĂNG THỨC bất PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word image marked

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI ..........................................................................................3
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.............................................................................................................3
1. Tam thức bậc hai ......................................................................................................................3
2. Dấu của tam thức bậc hai........................................................................................................3
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. .................................................................4


DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. .....4
1. Phương pháp giải..................................................................................................................4
2. Các ví dụ minh họa. ..............................................................................................................4
3. Bài tập luyện tập....................................................................................................................9



DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC

BẬC HAI LN MANG MỘT DẤU.....................................................................................16
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................16
3. Bài tập luyện tập..................................................................................................................18
§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI .......................................................................................21
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT...........................................................................................................21
1. Định nghĩa và cách giải.........................................................................................................21
2. Ứng dụng .................................................................................................................................21


DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ........................................21
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................21
2. Bài tập luyện tập..................................................................................................................25



DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN. ..............29
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................29
3. Bài tập luyện tập ..................................................................................................................34



DẠNG TỐN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC. ......................................................................................................38
1. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................39
2. Bài tập luyện tập. .................................................................................................................44

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất


DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN
NHẤT, NHỎ NHẤT. .................................................................................................................46
1. Phương pháp giải................................................................................................................46
2. Các ví dụ minh họa. ............................................................................................................47
3. Bài tập luyện tập. .................................................................................................................49
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN. .................................................................................54
TỔNG HỢP LẦN 1. ....................................................................................................................54

TỔNG HỢP LẦN 2. ....................................................................................................................65

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

§6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a , b , c là nhứng số
cho trước với a ¹ 0 .
Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai
f ( x) = ax 2 + bx + c ; D = b2 - 4 ac và D ' = b '2 - ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt
thức thu gọn của tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c .

2. Dấu của tam thức bậc hai
Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau

f ( x) = ax 2 + bx + c , (a ¹ 0)

D<0

a. f ( x) > 0, "x Ỵ 

D=0

ïì b ïü
a. f ( x) > 0, "x Ỵ  \ïí- ùý
ùợù 2a ùỵù

D>0

a. f ( x) > 0, "x ẻ (-¥; x1 ) È ( x2 ; +¥)
a. f ( x) < 0, "x Ỵ ( x1 ; x2 )

Nhận xét: Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c
ïìa > 0
 ax 2 + bx + c > 0, "x ẻ R ù
ớ
ùùợD < 0

Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìa > 0
 ax 2 + bx + c ³ 0, "x ẻ R ù
ớ
ùùợD Ê 0
ỡùa < 0
ax 2 + bx + c < 0, "x Ỵ R Û ï
í
ïïỵD < 0

ïìa < 0
 ax 2 + bx + c Ê 0, "x ẻ R ù
ớ
ùùợD £ 0
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.

 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI.
1. Phương pháp giải.
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó.
* Đối với đa thức bậc cao P( x) ta làm như sau
 Phân tích đa thức P ( x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc
nhất)
 Lập bảng xét dấu của P ( x) . Từ đó suy ra dấu của nó .
* Đối với phân thức

P( x)
(trong đó P ( x) , Q ( x) là các đa thức) ta làm như sau
Q( x)

 Phân tích đa thức P ( x) , Q ( x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức
bậc nhất)

 Lập bảng xét dấu của

P( x)
. Từ đó suy ra dấu của nó.
Q( x)

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau
a) 3 x 2 - 2 x + 1
A. 3 x 2 - 2 x + 1 ³ 0, "x Ỵ 

B. 3 x 2 - 2 x + 1 > 0, "x Ỵ 

C. 3 x 2 - 2 x + 1 < 0, "x Ỵ 

D. 3 x 2 - 2 x + 1 £ 0, "x Ỵ 

b) -x 2 + 4 x + 5
A. -x 2 + 4 x + 5 > 0 Û x Ỵ (-1; 5)
B. -x 2 + 4 x + 5 < 0 Û x Ỵ (-1; 5)
C. -x 2 + 4 x + 5 > 0 x ẻ (-Ơ; -1) ẩ (5; +Ơ)
D. -x 2 + 4 x + 5 < 0 Û x Ỵ (-¥; -1)
c) -4 x 2 + 12 x - 9

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 4
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïì 3 ïü
A. -4 x 2 + 12 x - 9 < 0 "x ẻ \ùớ- ùý
ùợù 2 ùỵù

ùỡ 3 ïü
B. -4 x 2 + 12 x - 9 > 0 "x ẻ \ùớ ùý
ùợù 2 ùỵù

ùỡ 3 ïü
C. -4 x 2 + 12 x - 9 < 0 "x ẻ \ùớ ùý
ùợù 2 ùỵù

ùỡ 3 ùỹ
D. -4 x 2 + 12 x - 9 > 0 "x ẻ \ùớ- ùý
ùợù 2 ùỵù

d) 3 x 2 - 2 x - 8

ỉ
4ư
A. 3 x 2 - 2 x - 8 < 0 x ẻ ỗỗ-Ơ; - ữữữ ẩ (2; +Ơ)
ỗố
3ứ
ổ
4ử
B. 3 x 2 - 2 x - 8 < 0 x ẻ ỗỗ-Ơ; - ữữữ
ỗố
3ứ
ổ 4 ö
C. 3 x 2 - 2 x - 8 < 0 x ẻ ỗỗ- ; 2ữữữ
ỗố 3 ứ
ổ 4 ö
D. 3 x 2 - 2 x - 8 > 0 x ẻ ỗỗ- ; 2ữữữ
ỗố 3 ứ
e) 25 x 2 + 10 x + 1

ìï 1 üï
A. 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 "x ẻ \ùớ ùý
ùợù 5 ùỵù

ỡù 1 ỹùù
B. 25 x 2 + 10 x + 1 < 0 "x ẻ \ù
ớ- ý
ùợù 5 ùỵù

ỡù 1 ỹù
C. 25 x 2 + 10 x + 1 < 0 "x Ỵ \ùớ ùý
ùợù 5 ùỵù

ỡù 1 ỹùù
D. 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 "x Ỵ  \ù
ớ- ý
ùợù 5 ùỵù

f) -2 x 2 + 6 x - 5
A. -2 x 2 + 6 x - 5 > 0 "x Ỵ 

B. -2 x 2 + 6 x - 5 £ 0 "x Ỵ 

C. -2 x 2 + 6 x - 5 ³ 0 "x Ỵ 

D. -2 x 2 + 6 x - 5 < 0 "x Ỵ 

Lời giải:
a) Ta có D ' = -2 < 0, a = 3 > 0 suy ra 3 x - 2 x + 1 > 0, "x Î 
é x = -1
b) Ta có -x 2 + 4 x + 5 = 0 Û ê
ê x=5
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
-1
5
2

+
|
0
-x + 4 x + 5
2

+¥

Suy ra -x 2 + 4 x + 5 > 0 Û x Ỵ (-1; 5) và -x 2 + 4 x + 5 < 0 x ẻ (-Ơ; -1) ẩ (5; +Ơ)

Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 5
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïì 3 ïü
c) Ta có D ' = 0, a < 0 suy ra -4 x 2 + 12 x - 9 < 0 "x ẻ \ùớ ùý
ùợù 2 ùỵù
ộ x=2
ờ
2
d) Ta cú 3 x - 2 x - 8 = 0 Û ê
êx = - 4
êë
3
Bảng xét dấu

x

-¥

+¥

-

4
3

2

+
|
+
0
ỉ
ỉ 4 ö
4ö
Suy ra 3 x 2 - 2 x - 8 > 0 x ẻ ỗỗ-Ơ; - ữữữ ẩ (2; +¥) và 3 x 2 - 2 x - 8 < 0 x ẻ ỗỗ- ; 2ữữ
ỗố
ỗố 3 ÷ø
3ø
3x - 2 x - 8
2

ìï 1 üïï
e) Ta có D ' = 0, a > 0 suy ra 25 x 2 + 10 x + 1 > 0 "x ẻ \ù
ớ- ý
ùợù 5 ùỵù
f) Ta cú D ' = -1 < 0, a < 0 suy ra -2 x 2 + 6 x - 5 < 0 "x Î 

Nhận xét:
Cho tam thức bậc hai ax 2 + bx + c . Xét nghiệm của tam thức, nếu:
* Vơ nghiệm khi đó tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi x
* Nghiệm kép khi đó tam thức bậc hai f ( x) = ax 2 + bx + c cùng dấu với a với mọi

b
2a
* Có hai nghiệm f ( x) cùng dấu với a khi v ch khi x ẻ (-Ơ; x1 ) ẩ ( x2 ; +Ơ) (ngoi hai
x ạ-

nghim) v f ( x) trái dấu với a khi và chỉ khi x Ỵ ( x1 ; x2 ) (trong hai nghiệm)(ta có thể
nhớ câu là trong trái ngồi cùng)

Ví dụ 2: Tùy theo giá trị của tham số m, hãy xét dấu của các biểu thức

f ( x) = x 2 + 2 mx + 3m - 2
Lời giải:
Tam thức f ( x) có a = 1 > 0 và D ' = m2 - 3m + 2 .
* Nếu 1 < m < 2 Þ D ' < 0 Þ f ( x) > 0 "x Ỵ R .

ém = 1
* Nếu ê
Þ D ' = 0 Þ f ( x) ³ 0 "x Ỵ R và f ( x) = 0 Û x = -m
êm = 2
ë
ém > 2
* Nếu ê
Þ D ' > 0 Þ f ( x) có hai nghiệm
êm < 1
ë

x1 = -m - m2 - 3m + 2 và x2 = -m + m2 - 3m + 2 . Khi đó:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 6
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
+) f ( x) > 0 x ẻ (-Ơ; x1 ) È ( x2 ; +¥)
+) f ( x) < 0 Û x Ỵ ( x1 ; x2 ) .
Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau
a) (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1)

ỉ 1 1ư
A. (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1) dương khi v ch khi x ẻ ỗỗ ; ữữữ
ỗố 3 2 ø
ỉ 1 1ư
B. (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1) âm khi và chỉ khi x ẻ ỗỗ ; ữữữ
ỗố 3 2 ứ
ổ
ử
1ử ổ 1
C. (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1) dương khi và chỉ khi x ẻ ỗỗ-Ơ; ữữữ ẩ ỗỗ ; +Ơữữữ
ỗố
3 ứ ỗố 2
ứ
ổ
1ử
D. (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1) âm khi và chỉ khi x Ỵ ỗỗ-Ơ; ữữữ
ỗố
3ứ

b)

x2 - x - 2
-x 2 + 3 x + 4

A.

x2 - x - 2
âm khi và chỉ khi x Ỵ (2; 4) ,
-x 2 + 3 x + 4

B.

x2 - x - 2
dương khi và chỉ khi x Î (2; 4) ,
-x 2 + 3 x + 4

C.

x2 - x - 2
dương khi và chỉ khi x Ỵ (-¥; -1) È (-1; 2) .
-x 2 + 3 x + 4

D.

x2 - x - 2
âm khi và chỉ khi x ẻ (-1; 2) ẩ (4; +Ơ) .
-x 2 + 3 x + 4

c) x 3 - 5 x + 2

(

)

A. x 3 - 5 x + 2 âm khi và chỉ khi x Ỵ -1 - 2; -1 + 2 È (2; +¥)

(

B. x 3 - 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x Ỵ -1 - 2; -1 + 2

(

C. x 3 - 5 x + 2 âm khi và chỉ khi x Ỵ -1 - 2; -1 + 2

(

)

)
)

D. x 3 - 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x Ỵ -1 - 2; -1 + 2 È (2; +¥)
d) x -

x2 - x + 6
-x 2 + 3 x + 4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 7

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. x -

x2 - x + 6
dương khi và chỉ khi x ẻ (-2; -1) ẩ (4; +Ơ)
-x 2 + 3 x + 4

B. x -

x2 - x + 6
dương khi v ch khi x ẻ (4; +Ơ)
-x 2 + 3 x + 4

C. x -

x2 - x + 6
âm khi v ch khi x ẻ (-Ơ; -2) ẩ (3; 4)
-x 2 + 3 x + 4

D. x -

x2 - x + 6
õm khi v ch khi x ẻ (-Ơ; -2) È (-1;1) È (3; 4)
-x 2 + 3 x + 4

Lời giải:
a) Ta có -x 2 + x - 1 = 0 vô nghiệm, 6 x 2 - 5 x + 1 = 0 Û x =

Bảng xét dấu
x

(-x

2

-¥
+
-

-x 2 + x - 1
6 x2 - 5x + 1

+ x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1)

1
3
0
|
0

1
1
hoặc x =
2
3
2
3
|

0
0

+

+¥
+
-

ỉ 1 1ư
Suy ra (-x 2 + x - 1)(6 x 2 - 5 x + 1) dương khi v ch khi x ẻ ỗỗ ; ữữữ
ỗố 3 2 ø
ỉ
ư ỉ
ư
(-x2 + x - 1)(6 x2 - 5x + 1) õm khi v ch khi x ẻ ỗỗỗố-Ơ; 13 ữữữứ ẩ ỗỗỗố 21 ; +Ơữữữứ
ộ x = -1
ộ x = -1
b) Ta có x 2 - x - 2 = 0 Û ê
, - x2 + 3x + 4 = 0 Û ê
ê x=2
ê x=4
ë
ë
Bảng xét dấu
x
-¥
-1
2
2

+
0
0
+
x -x-2
2
0
+
|
+
- x + 3x + 4
x2 - x - 2
-x 2 + 3 x + 4

-

||

-

0

4
|
0
+

+
||

+¥

-

x2 - x - 2
x2 - x - 2
x
Ỵ
2;
4
dương
khi
và
chỉ
khi
,
âm khi và chỉ khi
(
)
-x 2 + 3 x + 4
-x 2 + 3 x + 4
x ẻ (-Ơ; -1) È (-1; 2) È (4; +¥) .

Suy ra

c) Ta có x 3 - 5 x + 2 = ( x - 2)( x 2 + 2 x - 1)
Ta có x 2 + 2 x - 1 = 0 Û x = -1 ± 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 8
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bảng xét dấu
x
x-2
x + 2x - 1
x3 - 5x + 2

-¥
+¥

2

-1 - 2
+
-

0
0
0

-1 + 2

(

+

0
|

0

2
+
-

)

|
0
0

+
+
+

Suy ra x 3 - 5 x + 2 dương khi và chỉ khi x Ỵ -1 - 2; -1 + 2 È (2; +¥) , x 3 - 5 x + 2 âm

(

) (

)

khi và ch khi x ẻ -Ơ; -1 - 2 ẩ -1 + 2; 2 .

2
x2 - x + 6
-x 3 + 2 x 2 + 5 x - 6 ( x - 1)(-x + x + 6)
=

=
d) Ta có x - 2
-x + 3 x + 4
-x 2 + 3 x + 4
-x 2 + 3 x + 4
é x = -2
é x = -1
Ta có -x 2 + x + 6 = 0 Û ê
, - x2 + 3x + 4 = 0 Û ê
ê x=3
ê x=4
ë
ë
Bảng xét dấu
-¥
1
3
-2
-1
x
+¥
- |
- |
- 0
+
|
+
x -1
2
- 0

+
|
+
|
+ 0 -x + x + 6
- |
- 0 +
|
+
|
+
-x 2 + 3 x + 4

4
|
|
0

x2 - x + 6
- 0
+
|| - 0
+
0 ||
-x 2 + 3 x + 4
x2 - x + 6
Suy ra x - 2
dương khi và chỉ khi x Ỵ (-2; -1) È (1; 3) È (4; +¥) ,
-x + 3 x + 4
x2 - x + 6

x- 2
âm khi và chỉ khi x ẻ (-Ơ; -2) ẩ (-1;1) ẩ (3; 4) .
-x + 3 x + 4
3. Bài tập luyện tập.
x-

+
+

Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau
a) f ( x) = -2 x 2 + 3 x - 1
1
A. f ( x) < 0 Û x Ỵ ( ;1)
2
1
B. f ( x) > 0 x ẻ (-Ơ; ) ẩ (1; +Ơ) .
2
1
C. f ( x) < 0 x ẻ (-¥; ) È (1; +¥) .
2
1
D. f ( x) < 0 x ẻ (-Ơ; ) .
2

Website chuyờn đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 9
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
b) g( x) =

1 2
x - x +1
4

A. g( x) ³ 0, "x Ỵ 

B. g( x) > 0, "x Î 

C. g( x) < 0, "x Î 

D. g( x) £ 0, "x Ỵ 

c) h( x) = -2 x 2 + x - 1 .
A. g( x) > 0 "x Ỵ R .

B. g( x) £ 0 "x Î R .

C. g( x) ³ 0 "x Î R .

D. g( x) < 0 "x Ỵ R .
Lời giải:

Bài 4.84: a) Tam thức f ( x) có a = -2 < 0 , có hai nghiệm x1 =

1
; x =1
2 2

1

* f ( x) > 0 (trái dấu với a) Û x Ỵ ( ;1)
2
1
* f ( x) < 0 (cựng du vi a) x ẻ (-Ơ; ) È (1; +¥) .
2

b) Tam thức g( x) có a =

1
1
1
> 0 , có D = 0 Þ g( x) > 0 (cùng dấu với a) "x ¹ và g( ) = 0 .
4
2
2

c) Tam thức g( x) có a = -2 > 0 , có D = -7 < 0 Þ g( x) < 0 (cùng dấu với a) "x Ỵ R .
Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau
a) f ( x) = ( x 2 - 5 x + 4)(2 - 5 x + 2 x 2 )
A.

-¥

1
2

x2 - 5x + 4

+

|

+

0

–

2 x2 - 5x + 2

+

0

–

|

+

f(x)

+

0

-¥

1
2

+

|

x

1

+

0

2

+

+¥

4

|

–

0

0

+

|

0

–

0

+
+
+

B.
x
x2 - 5x + 4

1
+

0

2
–

|

+¥

4

+

0

+

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 10
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 x2 - 5x + 2

+

0

f(x)

+

0

-¥

1
2

x2 - 5x + 4

+

|

+

0

+

|

–

0

2 x2 - 5x + 2

+

0

–

|

+

0

+

|

f(x)

+

0

–

0

-¥

1
2

x2 - 5x + 4

+

|

+

0

–

|

–

0

2 x2 - 5x + 2

+

0

–

|

–

0

+

|

f(x)

+

0

–

0

+

|

–

–

0

0

+

+

0

+

|

+

0

+

C.
x

1

–

2

0

+

+¥

4

0

+
+
+

D.
x

b) f ( x) = x 2 - 3 x - 2 -

1

–

2

0

+

+¥

4

0

+
+
+

8
.
x - 3x
2

A.
x

-¥

-1

0

1

2

3

x2 - 3x

+

| +

0 +

|

–

|

– 0

x2 - 3x - 4

+

0 –

| +

|

–

|

– |

x2 - 3x + 2

+

|

+

| +

0

–

0 + |

f(x)

+

||

–

0 + ||

–

||

+¥

4
+

|
–

+
0

+

+ 0

+

|
–

+
||

+

B.
x

-¥

-1

0

1

2

3

4

+¥

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 11
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x2 - 3x

+

| +

0 –

|

+

|

– 0

x2 - 3x - 4

+

0 –

| –

|

+

|

– |

x2 - 3x + 2

+

|

+

| +

0

–

0 + |

f(x)

+

||

–

0 + ||

–

||

+

|
–

+
0

+

+

|

+ 0

+

–

||

+

C.

-¥

x

-1

0

1

2

3

x2 - 3x

+

| +

0 –

|

–

|

+ 0

x2 - 3x - 4

+

0 –

| –

|

–

|

+ |

x2 - 3x + 2

+

|

+

| +

0

–

0 + |

f(x)

+

||

–

0 + ||

–

||

+¥

4
+

|
–

+
0

+

+

|

+ 0

+

–

||

+

D.

-¥

x

-1

0

1

2

3

x2 - 3x

+

| +

0 –

|

–

|

– 0

x2 - 3x - 4

+

0 –

| –

|

–

|

– |

x2 - 3x + 2

+

|

+

| +

0

–

0 + |

f(x)

+

||

–

0 + ||

–

||

+¥

4
+

|
–

+
0

+

+

|

+ 0

–

+
||

+

Lời giải:
Bài 4.85: a) Ta có: x 2 - 5 x + 4 = 0 Û x = 1; x = 4
2 - 5 x + 2 x 2 = 0 Û x = 2; x =

1
2

Bảng xét dấu:
x
x2 - 5x + 4

-¥

1
2

+

|

1
+

0

2
–

|

+¥

4

–

0

+

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 12
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
2 x2 - 5x + 2

+

0

f(x)

+

0

b ) Ta có: f ( x) =

–

|

–

–

0

0

+

0

+

|

–

0

+
+

( x 2 - 3 x)2 - 2( x 2 - 3 x) - 8 ( x 2 - 3 x + 2)( x 2 - 3 x - 4)
=
x2 - 3x
x2 - 3x

Bảng xét dấu
x

-¥

-1

0

1

2

3

x2 - 3x

+

| +

0 –

|

–

|

– 0

x2 - 3x - 4

+

0 –

| –

|

–

|

– |

x2 - 3x + 2

+

|

+

| +

0

–

0 + |

f(x)

+

||

–

0 + ||

–

||

+¥

4
+

|
–

+
0

+

+ 0

+

|
–

+
||

+

Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau
a)

1
1 1
- x+9 x 2

A. f ( x) ³ 0 Û x Ỵ (-6; -3) È (2; 0)
B. f ( x) < 0 Û (-¥; -6) È (-3; 2) È (0; +¥)
C. f ( x) £ 0 Û (-¥; -6) È (-3; 2) È (0; +Ơ)
D. f ( x) < 0 x ẻ (-6; -3) È (2; 0)
b) x 4 - 4 x + 1 .
ổ
ử ổ
ửữ
ỗ
2 - 4 2 - 2 ữữ ỗỗ 2 + 4 2 - 2
ữữ ẩ ỗ
; +Ơữữữ
A. f ( x) Ê 0 x ẻ ỗỗ-Ơ;
ỗỗ

ữữ ỗỗ
ữ
2
2
ố
ứ ố
ứữ
ổ
ử
ỗỗ 2 - 4 2 - 2 2 + 4 2 - 2 ÷÷
÷÷
;
B. f ( x) > 0 Û ç
çç
÷÷
2
2
è
ø
ỉ
ư
ç 2 - 4 2 - 2 2 + 4 2 - 2 ÷÷
÷÷
;
C. f ( x) ³ 0 Û çç
çç
÷÷
2
2
è

ø

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 13
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
ổ
ử ổ
ửữ
ỗ
2 - 4 2 - 2 ữữ ỗỗ 2 + 4 2 - 2
ữữ ẩ ỗ
; +Ơữữữ
D. f ( x) > 0 x ẻ ỗỗ-Ơ;
ỗỗ
ữ ỗ
ữữ
2
2
ố
ứữ ỗố
ứ

c)

3x + 7
+5
x -x-2
2

A.

ổ 3 ửữ
5x2 - 2 x - 3
ỗỗ- ;1ữ ẩ (2; +Ơ)
<
0

x
ẻ
(
-Ơ
;
1)
ẩ
ỗố 5 ữứ
x2 - x - 2

B.

ổ 3 ư
5x2 - 2 x - 3
> 0 Û x Ỵ (-Ơ; -1) ẩ ỗỗ- ;1ữữ
2
ỗố 5 ữứ
x -x-2

C.

ổ
5x2 - 2 x - 3
3ử
< 0 x ẻ ỗỗ-1; - ữữ ẩ (1; 2)
2
ỗố
5 ữứ
x -x-2

D.

ổ
5x2 - 2 x - 3
3ử
> 0 x ẻ ỗỗ-1; - ữữữ ẩ (1; 2)
2
ỗố
5ứ
x -x-2

d) x 3 - 3 x + 2
A. f ( x) > 0 x ẻ (-2; +Ơ)
B. f ( x) > 0 x ẻ (-Ơ; -2)
C. f ( x) < 0 x ẻ (-Ơ; -2)
D. f ( x) < 0 x ẻ (-2; +Ơ)\{1}
Li gii:
Bi 4.86: a) Ta có: f ( x) =

2 x - 2( x + 9) - x( x + 9) -x 2 - 9 x - 18
=

2 x( x + 9)
2 x( x + 2)

Þ f ( x) > 0 Û x Î (-6; -3) È (2; 0)
f ( x) < 0 Û (-¥; -6) È (-3; 2) È (0; +¥)

b) Ta có: f ( x) = x 4 + 2 x 2 + 1 - 2( x 2 + 2 x + 1) = ( x 2 + 1)2 - éê 2( x + 1)ùú
ë
û

(

)(

Þ f ( x) = x 2 - 2 x + 1 - 2 x 2 + 2 x + 1 + 2

2

)

ổ
ử ổ
ửữ
ỗỗ
2 - 4 2 - 2 ữữ ỗỗ 2 + 4 2 - 2
ữ
ị f ( x) > 0 x ẻ ỗ-Ơ;
ẩỗ
; +Ơữữữ
ữ

ỗỗ
ỗ
ữữ ç
÷÷
2
2
è
ø è
ø

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 14
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
ổ
ử
ỗ 2 - 4 2 - 2 2 + 4 2 - 2 ữữ
ữữ
f ( x) < 0 ỗỗ
;
ỗỗ
ữữ
2
2
ố
ứ

c)

ổ 3 ửữ
5x2 - 2 x - 3
ỗỗ- ;1ữ ẩ (2; +Ơ)
>
0

x
ẻ
(
-Ơ
;
1)
ẩ
ỗố 5 ữứ
x2 - x - 2

V

ổ
ử
5x2 - 2 x - 3
ỗỗ-1; - 3 ữữ ẩ (1; 2)
<
0

x
ẻ
ỗố
5 ữứ
x2 - x - 2

d) f ( x) = ( x - 1)2 ( x + 2) Þ f ( x) > 0 x ẻ (-2; +Ơ)\{1}
f ( x) < 0 x ẻ (-Ơ; -2)

Bi 4.87: Tựy theo giỏ tr của tham số m g( x) = ( m - 1)x 2 + 2( m - 1) + m - 3 , Khẳng định
nào sau đây đúng là sai?
A. m = 1 ị g( x) < 0 "x ẻ R

ộ 3ù
B. T = ê 0; ú có hai nghiệm phân biệt
êë 2 úû
ïìa < 0
C. m < 1 Þ ïí
Þ g( x) < 0 "x ẻ R .
ùùợD ' < 0
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
Bài 4.87: Nếu m = 1 Þ g( x) = -2 < 0 "x ẻ R
Nu m ạ 1 , khi ú g( x) là tam thức bậc hai có a = m - 1 và D ' = 2( m - 1) , do đó ta có các
trường hợp sau:

é 3ù
* T = ê 0; ú có hai nghiệm phân biệt
êë 2 úû
x1 =

m - 1 - 2( m - 1)
m -1

và x2 =

m - 1 + 2( m - 1)
.
m -1

Þ g( x) > 0 x ẻ (-Ơ; x1 ) È ( x2 ; +¥) ; g( x) < 0 Û x Ỵ ( x1 ; x2 ) .
ìïa < 0
* m < 1 Þ ïí
Þ g( x) < 0 "x ẻ R
ùùợD ' < 0

Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải§6. 15
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC
BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình mx 2 - (3m + 2) x + 1 = 0 luôn có nghiệm
b) Phương trình (m2 + 5) x 2 Lời giải

(

)

3m - 2 x + 1 = 0 luôn vô nghiệm

a) Với m = 0 phương trình trở thành -2 x + 1 = 0 Û x =
Với m ¹ 0 , ta có D = (3m + 2) - 4 m = 9 m2 + 8 m + 4

1
suy ra phương trình có nghiệm
2

2

Vì tam thức 9 m2 + 8 m + 4 có am = 9 > 0, D 'm = -20 < 0 nên 9 m2 + 8 m + 4 > 0 với mọi m
Do đó phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m .
b) Ta có D =

(

)

3m - 2 - 4 (m2 + 5) = -m2 - 4 3m - 16
2

Vì tam thức -m2 - 4 3m - 8 có am = -1 < 0, D 'm = -4 < 0 nên -m2 - 4 3m - 8 < 0 với
mọi m
Do đó phương trình đã cho ln vơ nghiệm với mọi m .
Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x) = mx 2 - x - 1
1
A. - < m < 0
4

1

B. - < m
4

b) g ( x) = (m - 4) x 2 + (2 m - 8) x + m - 5
A. m < 4

B. m £ 4

C. m < 0

ém > 0
ê
D. ê
êm < - 1
êë
4

C. m > 4

D. m £ 2

Lời giải:
a) Với m = 0 thì f ( x) = -x - 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f (-2) = 1 ) nên m = 0
khơng thỏa mãn u cầu bài tốn
Với m ¹ 0 thì f ( x) = mx 2 - x - 1 là tam thức bậc hai dó đó

ïìï m < 0
ìï a = m < 0
1
ï

f ( x) < 0, "x Û í
Û ïí
Û- 1
ïỵïD = 1 + 4 m < 0 ïïm > 4
ïỵ
4
1
Vậy với - < m < 0 thì biểu thức f ( x) ln âm.
4
b) Với m = 4 thì g ( x) = -1 < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

– Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 16
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với m ¹ 4 thì g ( x) = (m - 4) x 2 + (2 m - 8) x + m - 5 là tam thức bậc hai dó đó
ìï
a = m-4 < 0
ï
g ( x) < 0, "x Û í
ïïD ' = (m - 4)2 - (m - 4)(m - 5) < 0
ïỵ
ìï m < 4
Û ïí
Û m<4
ïïỵm - 4 < 0

Vậy với m £ 4 thì biểu thức g ( x) ln âm.

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn dương
-x 2 + 4 (m + 1) x + 1 - 4 m2
a) h ( x) =
-4 x 2 + 5 x - 2
A. m < -

5
8

B. m £ -

5
8

C. m > -

5
8

D. m < -

3
8

b) k ( x) = x 2 - x + m - 1
A. m >

1
4

B. m ³

1
4

C. m £

1
4

D. m >

3
4

Lời giải:
a) Tam thức -4 x + 5 x - 2 có a = -4 < 0, D = -7 < 0 suy ra -4 x 2 + 5 x - 2 < 0 "x
2

Do đó h ( x) luôn dương khi và chỉ khi h ' ( x) = -x 2 + 4 (m + 1) x + 1 - 4 m2 ln âm
ì
a = -1 < 0
ï
5
ï
Ûï
Û 8m + 5 < 0 Û m < í
2
2

ï
8
D ' = 4 (m + 1) + (1 - 4 m ) < 0
ï
ï
ỵ
5
Vậy với m < - thì biểu thức h ( x) ln dương.
8

b) Biểu thức k ( x) luôn dương Û x 2 - x + m - 1 > 0, "x

Û x 2 - x + m > 1, "x Û x 2 - x + m > 0, "x
ìï a = 1 > 0
1
Û ïí
Û m>
ïïỵD = 1 - 4 m < 0
4
1
Vậy với m > thì biểu thức k ( x) ln dương.
4
Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m .
mx
a) y =
2
(2m + 1) x2 - 4mx + 2

b) y =

2 x 2 - 2 (m + 1) x + m2 + 1
m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 17
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:

a) ĐKXĐ: (2 m + 1) x - 4 mx + 2 ¹ 0
2

2

Xét tam thức bậc hai f ( x) = (2 m2 + 1) x 2 - 4 mx + 2

Ta có a = 2 m2 + 1 > 0, D ' = 4 m2 - 2 (2 m2 + 1) = -2 < 0

Suy ra với mọi m ta có f ( x) = (2 m2 + 1) x 2 - 4 mx + 2 > 0 "x Ỵ 
Do đó với mọi m ta có (2 m2 + 1) x 2 - 4 mx + 2 ạ 0, "x ẻ

Vy tp xỏc nh ca hàm số là D = 
2 x 2 - 2 (m + 1) x + m2 + 1
b) ĐKXĐ:
³ 0 và m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2 ¹ 0
2 2
2
m x - 2 mx + m + 2
Xét tam thức bậc hai f ( x) = 2 x 2 - 2 (m + 1) x + m2 + 1 và

Ta có a f = 2 > 0, D f ' = (m + 1) - 2 (m2 + 1) = -m2 + 2 m - 1 = -(m - 1) £ 0
2

2

Suy ra với mọi m ta có f ( x) = 2 x 2 - 2 (m + 1) x + m2 + 1 ³ 0, "x Ỵ  (1)
Xét tam thức bậc hai g ( x) = m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2

Với m = 0 ta có g ( x) = 2 > 0 , xét với m ¹ 0 ta có

ag = m2 > 0, D g ' = m2 - m2 (m2 + 2) = -m2 (m2 + 1) < 0

Suy ra với mọi m ta có g ( x) = m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2 > 0, "x Ỵ  (2)

2 x 2 - 2 (m + 1) x + m2 + 1

³ 0 và
m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2
m2 x 2 - 2 mx + m2 + 2 ¹ 0 đúng với mọi giá trị của x
Vậy tập xác định của hàm số là D = 
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì
a) Phương trình x 2 - 2 (m + 2) x - (m + 3) = 0 ln có nghiệm
Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì

b) Phương trình (m2 + 1) x 2 +

(

)

3m - 2 x + 2 = 0 luôn vơ nghiệm
Lời giải:

Bài 4.88: a) Ta có D = (m + 2) + m + 3 = m2 + 5m + 7
2

Vì tam thức m2 + 5m + 7 có am = 1 > 0, D 'm = -2 < 0 nên x = -4, x = 0 với mọi m
Do đó phương trình đã cho ln có nghiệm với mọi m .
b) Ta có D =

(

)

3m - 2 - 8 (m2 + 1) = -5m2 - 4 3m - 4
2

Vì tam thức -5m2 - 4 3m - 4 có am = -5 < 0, D 'm < 0 nên -5m2 - 4 3m - 4 < 0 với mọi
m . Do đó phương trình đã cho ln vơ nghiệm với mọi m .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 18
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 4.89: Tìm các giá trị của m để biểu thức sau luôn âm
a) f ( x) = -x 2 - 2 x - m
1

A. - < m
4

B. m < 0

b) g ( x) = 4 mx 2 - 4 (m - 1) x + m - 3
A. m < 1

B. m > -1

1
C. - < m < 0
4

D. 

C. m £ -1

D. m < -1

Lời giải:
ì
ï a = -1 < 0
1
Bài 4.89: a) f ( x) < 0, "x Û ï
Û m>
í
ï
4
ï

ỵD ' = 1 - 4 m < 0
1
Vậy với - < m < 0 thì biểu thức f ( x) luôn âm.
4
b) Với m = 0 không thỏa mãn u cầu bài tốn
Với m ¹ 0 thì g ( x) = 4 mx 2 - 4 (m - 1) x + m - 3 là tam thức bậc hai dó đó
ì
a = 4m < 0
ï
ï
g ( x) < 0, "x Û í
2
ï
D
'
=
4
m
1
- 4 m (m - 3) < 0
(
)
ï
ï
ỵ
ìï m < 0
ïì m < 0
Û ïí
Û ïí
Û m < -1

ïï4 m + 4 < 0 ïïỵm < -1
ỵ
Vậy với m < -1 thì biểu thức g ( x) luôn âm.

Bài 4.90: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là  với mọi giá trị của m .
a) y = m2 x 2 - 4 mx + m2 - 2 m + 5
b) y =

2 x + 3m

x + 2 (1 - m) x + 2 m2 + 3
2

Lời giải:
Bài 4.90: a) ĐKXĐ: m x - 4 mx + m - 2 m + 5 ³ 0 (*)
Với m = 0 thì điều kiện (*) đúng với mọi x
Với m ¹ 0 xét tam thức bậc hai f ( x) = m2 x 2 - 4 mx + m2 - 2 m + 5
2

2

2

Ta có a = m2 > 0, D ' = 4 m2 - 8 (2 m2 + 1) = -12 m2 - 8 < 0
Suy ra f ( x) = m2 x 2 - 4 mx + m2 - 2 m + 5 ³ 0 "x Ỵ 

Do đó với mọi m ta có m2 x 2 - 4 mx + m2 - 2 m + 5 ³ 0, "x Ỵ 
Vậy tập xác định của hàm số là D = 
b) ĐKXĐ: x 2 + 2 (1 - m) x + 2 m2 + 3 > 0

Xét tam thức bậc hai f ( x) = x 2 + 2 (1 - m) x + 2 m2 + 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 19
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Ta có a = 1 > 0, D ' = (1 - m) - (2 m2 + 3) = -m2 - 2 m - 2 < 0
2

(Vì tam thức bậc hai f (m) = -m2 - 2 m - 2 có am = -1 < 0, D 'm = -1 < 0 )
Suy ra với mọi m ta có x 2 + 2 (1 - m) x + 2 m2 + 3 > 0, "x Ỵ 
Vậy tập xác định của hàm số là D = 
Bài 4.91: Tìm m để
a) 3x 2 - 2( m + 1)x - 2 m2 + 3m - 2 ³ 0 "x Ỵ R
A. m < 1

C. m £ -1

B. m > -1

D. Vô nghiệm

b) Hàm số y = ( m + 1)x 2 - 2( m - 1)x + 3m - 3 có nghĩa với mọi x.
A. m < 1

c)

B. m ³ 1

C. m £ -1

D. m < -1

B. m £ 1

C. 0 £ m £ 1

ém > 1
D. ê
êm < 0
ë

x+m
£ 1 "x Ỵ R
x + x +1
2

A. 0 £ m

Lời giải:
Bài 4.91: a) 3x 2 - 2( m + 1)x - 2 m2 + 3m - 2 ³ 0 "x Ỵ R

Û D ' = ( m + 1)2 + 3(2 m2 - 3m + 2) £ 0 7 m2 - 7 m + 7 £ 0 bpt vô nghiệm
Vậy không có m thỏa mãn u cầu bài tốn
b) Hàm số có nghĩa với mọi x

Û ( m + 1)x 2 - 2( m - 1)x + 3m - 3 ³ 0 "x Ỵ  (1)
* m = -1 khơng thỏa món

ỡm + 1 > 0
ù
* m ạ -1 ị (1) Û ï
Û m³1
í
ï
D
'
=
(
m
1)(
2
m
4)
£
0
ï
ỵ
c) Ta có x 2 + x + 1 > 0 "x Ỵ 

ì
ï
x2 + 1- m ³ 0
(1)
x+m
x+m
ï
Þ 2
£ 1 Û -1 £ 2

£1 Û í 2
ï
x + x +1
x + x +1
ï
ỵx + 2 x + m + 1 ³ 0 (2)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 20
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
(1) đúng "x Ỵ  Û 1 - m ³ 0 Û m £ 1
(2) đúng "x Ỵ  Û D ' = -m £ 0 Û m ³ 0
Vậy 0 £ m £ 1 là những giá trị cần tìm

§7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. TĨM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa và cách giải
Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng
f ( x) > 0, f ( x) < 0, f ( x) ³ 0, f ( x) £ 0 , trong đó f ( x) là một tam thức bậc hai.

Cách giải. Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
2. Ứng dụng
Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu
của chúng
 DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
a) -3 x 2 + 2 x + 1 < 0

1
A. S = (-¥; - )
3

B. S = (1; +Ơ)

ổ 1 ử
C. S = ỗỗ- ;1ữữ
ỗố 3 ÷ø

1
D. S = (-¥; - ) È (1; +¥)
3

b) x 2 + x - 12 < 0
A. S = (-4; 3)

B. S = (-¥; -4)

C. S = (3; +¥)

D. S =

ùỡ 3 5 ùỹù
B. S = \ùớ
ý
ùù
ùù
5
ợ

ỵ

ùỡ 3 5 ùỹù
C. S = \ù
ớ
ý
ùù 5 ùù
ợ
ỵ

D. S = 

c) 5 x 2 - 6 5 x + 9 > 0

ùỡ 3 5 ùỹù
A. S = \ùớý
ùù
ùù
5
ợ
ỵ

Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 21
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
d) -36 x 2 + 12 x - 1 ³ 0

ỡù 1 ỹù

A. S = ùớ ùý
ùợù 6 ùỵù

ổ
1ử
B. S = ỗỗ-Ơ; ữữ
ỗố
6 ứữ

ỡ
ù 1ỹ
ù
C. S = ù
ớ ù
ý
ù
ù6ù
ù
ợ
ỵ

ổ1
ử
D. S = ỗỗ ; +Ơữữ
ỗố 6
ữứ

Li gii:
1
a) Tam thc f ( x) = -3 x 2 + 2 x + 1 có a = -3 < 0 và có hai nghiệm x1 = - ; x2 = 1

3

( f ( x) cùng dấu với hệ số a ).
Suy ra -3 x 2 + 2 x + 1 < 0 Û x < -

1
hoặc x > 1
3

1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình : S = (-¥; - ) È (1; +¥) .
3

b) Tam thức f ( x) = x 2 + x - 12 có a = 1 > 0 và có hai nghiệm x1 = -4; x2 = 3
( f ( x) trái dấu với hệ số a ).
Suy ra x 2 + x - 12 < 0 Û -4 < x < 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (-4; 3)

c) Tam thức f ( x) = 5 x 2 - 6 5 x + 9 có a = 5 > 0 và D = 0
( f ( x) cùng dấu với hệ số a ).
Suy ra 5 x 2 - 6 5 x + 9 > 0 Û x ¹

3 5
5

ìï 3 5 üï
ï
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =  \ï
í
ý

ïï 5 ùù
ợ
ỵ
2
d) Tam thc f ( x) = -36 x + 12 x - 1 có a = -36 < 0 và D = 0
f ( x) trái dấu với hệ số a nên f ( x) âm với "x ¹

Suy ra -36 x 2 + 12 x - 1 0 x =

ổ 1ử
1
v f ỗỗ ữữữ = 0
ỗố 6 ứ
6

1
6

ỡ 1ù
ỹ
ù
Vy tp nghim ca bt phng trỡnh l S = ù
ớ ù
ý
ù
ù6ù
ù
ợ
ỵ
Vớ d 2: Tỡm m phương trình sau có nghiệm

a) x 2 - mx + m + 3 = 0

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 22
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
A. m ẻ (-Ơ; -2]

B. m ẻ [6; +Ơ)

C. m Î éë-2; 6ùû

D. m Î (-¥; -2] È [6; +¥)

b) (1 + m)x 2 - 2 mx + 2 m = 0
A. m £ 0

B. -2 £ m

C. -2 £ m £ 0

ém > 0
D. ê
ê m < -2
ë

Lời giải:
a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0
é m³6

Û m2 - 4 (m + 3) ³ 0 Û m2 - 4 m - 12 ³ 0 Û ờ
ờ m Ê -2
ở
Vy vi m ẻ (-Ơ; -2] ẩ [6; +¥) thì phương trình có nghiệm
b) Với m = -1 phương trình trở thành 2 x - 2 = 0 Û x = 1 suy ra m = -1 thỏa mãn u
cầu bài tốn
Với m ¹ -1 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi D ³ 0
Û m2 - 2 m (1 + m) ³ 0 Û m2 + 2 m £ 0 Û -2 £ m £ 0
Vậy với -2 £ m £ 0 thì phương trình có nghiệm
Ví dụ 3: Tìm m để mọi x Ỵ éë-1;1ùû đều là nghiệm của bất phương trình
3 x 2 - 2 (m + 5) x - m2 + 2 m + 8 Ê 0 (1)
A. m ẻ (-Ơ; -3] È [7; +¥)
C. m ³ 7

B. m > -

1
2

D. m £ -3
Lời giải:

Ta có 3 x 2 - 2 (m + 5) x - m2 + 2 m + 8 = 0 Û x = m + 2 hoặc x =
4-m
1
Û 3m + 6 > 4 - m Û m > - ta có
3
2
4-m
Bất phương trình (1) Û

£ x £ m+2
3
é4-m
ù
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là ê
; m + 2ú
êë 3
úû
Suy ra mọi x Ỵ éë-1;1ùû đều là nghiệm của bất phương trình (1)
ì
é4-m
ù ïïï-1 ³ 4 - m
; m + 2ú Û í
khi và chỉ khi éë-1;1ùû Ì ê
3
êë 3
úû ïï
1
£
m
+
2
ïỵ

4-m
3

* Với m + 2 >

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 23

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïì m ³ 7
Û ïí
Û m³7
ïïỵm ³ -1

1
ta có m ³ 7 thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
4-m
1
* Với m + 2 <
Û m < - ta có
3
2
4-m
Bất phương trình (1) Û m + 2 £ x £
3
é
4- mù
ú
Vậy tập nghiệm của bất phương trình (1) là ê m + 2;
êë
3 úû

Kết hợp với điều kiện m > -

Suy ra mọi x Ỵ éë-1;1ùû đều là nghiệm của bất phương trình (1)

ïì-1 ³ m + 2
é
4 - m ù ïï
é
ù
ú Ûí
khi và chỉ khi ë-1;1û Ì ê m + 2;
4-m
êë
3 úû ïï 1 £
3
ỵï
ïìm £ -3
Û ïí
Û m £ -3
ïïỵ m £ 1

1
ta có m £ -3 thỏa mãn yêu cầu bài tốn
2
1
3
1
* Với m = - ta có bất phương trình (1) Û x =
nên m = - khơng tha món yờu cu
2
2
2

bi toỏn.
Vy m ẻ (-Ơ; -3] ẩ [7; +¥) là giá trị cần tìm.

Kết hợp với điều kiện m < -

Ví dụ 4: Cho ( m + 1)x 2 - 2(2 m - 1)x - 4 m + 2 < 0 khẳng định nào sau đây sai?
A. m = -1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (-¥; -1)
1
1
B. - £ m £ bất phương trình có tập nghiệm là S = Ỉ
4
2

é
1
êm >
ê
2
C. ê
bất phương trình có tập nghiệm là S = ( x1 ; x2 )
1
ê
ê-1 < m < êë
4

D. m > -1 bất phương trình có tập nghiệm là S = (-¥; x1 ) È ( x2 ; +¥)
Lời giải:
Với m = -1 : bất phương trình trở thành 6 x + 6 < 0 Û x < -1
Với m ¹ -1 ta có g( x) = ( m + 1)x 2 - 2(2 m - 1)x - 4 m + 2 là tam thức bậc hai có :

a = m + 1; D ' = 8 m2 - 2 m - 1 .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải§6. 24
DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI