BẤT ĐĂNG THỨC bất PT và hệ BPT bật NHẤT dấu của NHỊ THỨC bật NHẤT (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word image marked

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

TỐN 10

CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH và HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ
THỨC BẬT NHẤT

BIÊN SOẠN VÀ SƯU TẦM
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489
NGUYỄN BẢO VƯƠNG


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ...............................2
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT..................................................................................................................................2
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 . ............................................................................2
2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ......................................................................................................2
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. .....................................................................................2


DẠNG TOÁN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 . ...............................................2
1. Các ví dụ minh họa. ..................................................................................................................................2
2. Các bài tập luyện tập. ...............................................................................................................................6



DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.................................9
1. Các ví dụ minh họa....................................................................................................................................9
3. Bài tập luyện tập......................................................................................................................................13

DẠNG TỐN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN. .....................................................................................................................16
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................16
2. Bài tập luyện tập ......................................................................................................................................22
§4. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT ........................................................................................................26
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT................................................................................................................................26
1. Nhị thức bậc nhất và dấu của nó. ............................................................................................................26
a) Định nghĩa nhị thức bậc nhất: .............................................................................................................26
b) Dấu của nhị thức bậc nhất......................................................................................................................26
2. Một số ứng dụng. ........................................................................................................................................26
a) Giải bất phương trình tích ....................................................................................................................26
b) Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu................................................................................................26
c) Giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ..............................................27
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.................................................................................27


DẠNG 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN......27
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................27

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
2. Bài tập luyện tập......................................................................................................................................35


DẠNG 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI

TOÁN. ..............................................................................................................................................................42
1. Các ví dụ minh họa. ................................................................................................................................42
3. Bài tập luyện tập ......................................................................................................................................49
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN TỔNG HỢP LẦN 1. ...................................................................52
Bài 2: Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn.....................................................................52
Bài 3: Dấu của nhị thức bậc nhất ...................................................................................................................57

§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 .
Giải bất phương trình dạng ax + b < 0 (1)
 Nếu a = 0 thì bất phương trình có dạng 0.x + b < 0
- Với b < 0 thì tập nghiệm BPT là S = 
- Với b ³ 0 thì tập nghiệm BPT là S = 
ỉ
bư
b
 Nếu a > 0 thì (1) Û x < - suy ra tp nghim l S = ỗỗỗ-Ơ; - ữữữ
ố
aứ
a
ổ b
ử
b
Nếu a < 0 thì (1) Û x > - suy ra tp nghim l S = ỗỗỗ- ; +Ơữữữ
ố a
ø
a
Các bất phương trình dạng ax + b > 0, ax + b £ 0, ax + b ³ 0 được giải hồn tốn tương tự

2. Hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn
Để giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ bất phương trình.
Khi đó tập nghiệm của hệ bất phương trình là giao của các tập nghiệm từng bất phương trình.
B. CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < 0 .
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Khẳng định nào sau đây là Sai?
a) mx + 6 £ 2 x + 3m
A. m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S =  ).
B. m > 2 bât phương trình có nghiệm là x < 3 (có tập nghiệm là S = (-¥; 3) )
C. m < 2 bât phương trình có nghiệm là x > 3 (có tập nghiệm là S = (3; +¥) )
D. Cả A, B, C đều sai
b)

( x + m) m + x > 3x + 4
GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 2


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
A. m = 2 bất phương trình vơ nghiệm
B. m > 2 bât phương trình có nghiệm là x > -m - 2
C. m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < -m - 2
D. Cả A, B, C đều sai
c) (m2 + 9) x + 3 ³ m (1 - 6 x)

A. m = -3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m-3
B. m ¹ -3 bât phương trình có nghiệm là x ³
.

2
(m + 3)
C. Cả A, B đều đúng
D. Cả A, B đều sai

d) m (m2 x + 2) < x + m2 + 1

A. m = 2 bất phương trình vơ nghiệm

m -1
m + m +1
m -1
C. m < 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2
.
m + m +1

B. m > 1 bât phương trình có nghiệm là x <

2

D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
a) Bất phương trình tương đương với (m - 2) x < 3m - 6

Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x £ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
3m - 6
Với m > 2 bât phương trình tương đương với x <
=3
m-2
3m - 6

Với m < 2 bât phương trình tương đương với x >
=3
m-2
Kết luận
m = 2 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x (có tập nghiệm là S =  ).
m > 2 bât phương trình có nghiệm là x < 3 (có tập nghiệm là S = (-¥; 3) )
m < 2 bât phương trình có nghiệm là x > 3 (có tập nghiệm là S = (3; +¥) )

b) Bất phương trình tương đương với (m - 2) x > 4 - m2

Với m = 2 bất phương trình trở thành 0 x > 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm.
4 - m2
= -m - 2
Với m > 2 bât phương trình tương đương với x >
m-2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 3


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
4 - m2
= -m - 2
Với m < 2 bât phương trình tương đương với x <
m-2
Kết luận
m = 2 bất phương trình vơ nghiệm
m > 2 bât phương trình có nghiệm là x > -m - 2
m < 2 bât phương trình có nghiệm là x < -m - 2

c) Bất phương trình tương đương với (m + 3) x ³ m - 3
2

Với m = -3 bất phương trình trở thành 0 x ³ -6 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m-3
Với m ¹ -3 bât phương trình tương đương với x ³
2
(m + 3)
Kết luận
m = -3 bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
m-3
.
m ¹ -3 bât phương trình có nghiệm là x ³
2
(m + 3)

d) Bất phương trình tương đương với Û (m3 - 1) x < m2 - 2 m + 1

(m - 1)

2

ỉ
1ư
3
Û (m - 1) x < 2
(vì m + m + 1 = ỗỗm + ữữữ + > 0 )
2ứ
4
ốỗ

m + m +1
Vi m = 1 bt phương trình trở thành 0 x < 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm.
m -1
Với m > 1 bât phương trình tương đương với x < 2
m + m +1
m -1
Với m < 1 bât phương trình tương đương với x > 2
m + m +1
Kết luận
m = 2 bất phương trình vơ nghiệm
m -1
m > 1 bât phương trình có nghiệm là x < 2
m + m +1
m -1
.
m < 1 bât phương trình có nghiệm là x > 2
m + m +1
2

2

Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình (m2 - m) x + m < 6 x - 2 vô nghiệm.
A. m = -2 và m = 3
B. m = -2 và m = 5
C. m = 5 và m = 3
D. m = 5 và m = 2
Lời giải:

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 4

[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Bất phương trình tương đương với (m2 - m - 6) x < -2 - m

ìïm ¹ -2
Rõ ràng nếu m2 - m - 6 ¹ 0 Û ï
bất phương trình luụn cú nghim.
ớ
ùùợ m ạ 3
Vi m = -2 bt phương trình trở thành 0 x < 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x < -5 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
Vậy giá trị cần tìm là m = -2 và m = 3 .

Ví dụ 3. Tìm m để bất phương trình 4 m2 (2 x - 1) ³ (4 m2 + 5m + 9) x - 12 m có nghiệm đúng "x Ỵ  .
A. m =

9
4

B. m =

7
4

C. m =

5
4

D. m =

3
4

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với (4 m - 5m - 9) x ³ 4 m2 - 12 m
2

ïìïm ¹ -1
Dễ dàng thấy nếu 4 m - 5m - 9 ¹ 0 Û ï
thì bất phương trình khơng thể có nghiệm đúng
í
ïï m ạ 9
4
ợù
"x ẻ
Vi m = -1 bt phng trỡnh trở thành 0 x ³ 16 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
2

Với m =

9
27
bât phương trình trở thành 0 x ³ suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
4
4

Vậy giá trị cần tìm là m =

9
.
4

Ví dụ 4. Tìm m để bất phương trình (4 m2 + 2 m + 1) x - 5m ³ 3 x - m - 1 có tập nghiệm là [-1; +¥) .
A. m = -2

B. m = -3

C. m = -5

D. m = -1

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với (4 m2 + 2 m - 2) x ³ 4 m - 1 Û (m + 2)(4 m - 1) x ³ 4 m - 1

é m = -2
ê
Với (m + 2)(4 m - 1) = 0 Û ê
thì bất phương trình vơ nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x do
ê m= 1
êë
2
đó khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
Với m >

1
1

Þ (m + 2)(4 m - 1) > 0 bất phương trình tương đương với x ³
m+2
4

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 5


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [-1; +¥) thì
Với -2 < m <
-2 < m <

1
= -1 Û m = -3 (khơng thỏa mãn)
m+2

1
1
suy ra
Þ (m + 2)(4 m - 1) < 0 bất phương trình tương đương với x £
m+2
4

1
khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.
4

Với m < -2 Þ (m + 2)(4 m - 1) > 0 bất phương trình tương đương với x ³
Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [-1; +¥) thì

1
m+2

1
= -1 Û m = -3 (thỏa mãn)
m+2

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 5: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương

(m - 1) x + 2m - 3 ³ 0 (1) và (m + 1) x + m - 4 ³ 0 (2).
A. m = 2 ± 11

B. m = -2 ± 12

C. m = 2 ± 12

D. m = -2 ± 11

Lời giải:
* Với m = 1 bất phương trình (1) trở thành 0.x - 1 ³ 0 (vô nghiệm), bất phương trình (2) trở thành
2x - 3 ³ 0 Û x ³

3
do đó hai bất phương trình khơng tương đương.
2

5
* Với m = -1 bất phương trình (1) trở thành -2 x - 5 ³ 0 Û x £ - , bất phương trình (2) trở thành

2

0.x - 5 ³ 0 (nghiệm đúng với mọi x ) do đó hai bất phương trình khơng tương đương.

* Với m > 1 ta có (1) Û x ³

4-m
3 - 2m
, ( 2) Û x ³
m +1
m -1

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û

3 - 2m 4 - m
=
m -1
m +1

Û m2 + 4 m - 7 = 0 Û m = -2 ± 11
Đối chiếu với điều kiện m > 1 suy ra m = -2 + 11 .
* Với -1 < m < 1 ta có (1) Û x £

4-m
3 - 2m
, ( 2) Û x ³
do đó hai bất phương trình khơng tương
m +1
m -1

đương.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 6


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
* Với m < -1 ta có (1) Û x £

4-m
3 - 2m
, ( 2) Û x £
m +1
m -1

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û

3 - 2m 4 - m
=
m -1
m +1

Û m2 + 4 m - 7 = 0 Û m = -2 ± 11
Đối chiếu với điều kiện m < -1 suy ra m = -2 - 11
Vậy hai bất phương trình tương đương khi m = -2 ± 11 .
2. Các bài tập luyện tập.
Bài 4.66: Khẳng định nào sau đây là sai?
a) m( x - m) £ x - 1.
A. Nếu: m=1 thì 0 x £ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
B. Nếu: m>1 thì x £ m+1.

C. Nếu : m<1 thì x ³ m+1.

Tập nghiệm: S= (-¥; m + 1ùû .
Tập nghiệm: S= éë m + 1; +¥) .

D. Cả A, B, C đều sai
b) 3 x + m2 ³ m( x + 3).
A. Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x £ 0: nghiệm với mọi x .
B. Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x £ m.
C. Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ³ m.
D. Cả A, B, C đều sai
Lời giải:
Bài 4.66: a)

m( x - m) £ x - 1 Û ( m - 1)x £ m2 - 1

Nếu: m=1 thì 0 x £ 2 (đúng). Tập nghiệm: S=R.
Nếu: m>1 thì x £ m+1.

Tập nghiệm: S= (-¥; m + 1ùû .

Nếu : m<1 thì x ³ m+1.

Tập nghiệm: S= éë m + 1; +¥) .

b) 3 x + m2 ³ m( x + 3) Û ( m - 3)x £ m2 - 3m.
Nếu: m=3 thì bất phương trình 0x £ 0: nghiệm với mọi x .
Nếu: m>3 thì bất phương trình có nghiệm x £ m.

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 7

[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Nếu: m<3 thì bất phương trình có nghiệm x ³ m.
Bài 4.67: a) Tìm m để bất phương trình mx - 2 £ x - m vô nghiệm.
A. m = 1

C. m = Ỉ

B. m = -3

D. m = -1

b) Tìm m để bất phương trình m2 ( x - 1) ³ 9 x + 3m có nghiệm đúng "x Ỵ  .
A. m = 1

C. m = Ỉ

B. m = -3

D. m = -1

Lời giải:

Bài 4.67: a) Bất phương trình tương đương với (m - 1) x £ 2 - m
Rõ ràng nếu m ¹ 1 bất phương trình ln có nghiệm.
Xét m = 1 bât phương trình trở thành 0 x £ 1 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
Vậy khơng có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Bất phương trình tương đương với (m2 - 9) x ³ m2 + 3m

Dễ dàng thấy nếu m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ±3 thì bất phương trình khơng thể có nghiệm đúng "x Ỵ 
Với m = 3 bất phương trình trở thành 0 x > 18 suy ra bất phương trình vơ nghiệm

Với m = -3 bât phương trình trở thành 0 x ³ 0 suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x .
Vậy giá trị cần tìm là m = -3 .
Bài 4.68: Cho hàm số f ( x) = (2 m + 1) x - 3m + 2 .
a) Tìm m để phương trình f ( x) = 0 có nghiệm x Ỵ éë 0;1ùû .
2
A. £ m £ 3
3

2
B. £ m
3

C. m £ 3

ïìïm ³ 3
D. ïí
ïïm £ 2
ïỵ
3

ìïm £ -4
ï
C. ï
í
ïïm ³ 1
ïỵ

5

D. -4 £ m £

b) Tìm m để f ( x) ³ 0 với mọi x Ỵ éë-1; 2ùû .
A. -4 £ m

1
B. m £
5

1
5

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 8


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Lời giải:

Bài 4.68: a) Ta có đồ thị hàm số y = f ( x) trên éë 0;1ùû là một đoạn thẳng AB với A(0; -3m + 2) và

B(1; -m + 3) nên phương trình f ( x) = 0 có nghiệm trên

é 0;1ù Û đoạn thẳng AB có điểm chung với trục hoành  các điểm đầu mút A, B nằm về hai phía
ë û

của Ox (có thể nằm trên Ox). Điều này có nghĩa là
f (0) . f (1) £ 0 Û (-3m + 2)(-m + 3) £ 0 Û

2
£ m£ 3.
3

b) Ta có f ( x) ³ 0 với mọi x Ỵ [-1; 2] Û đồ thị của hàm số y = f ( x) trên đoạn [-1; 2] nằm trên Ox 
hai đầu mút của đoạn thẳng đó đều nằm trên Ox

ìï f (-1) ³ 0
ìï-5m + 1 ³ 0
1
 ïí
 ïí
 -4 £ m £ .
ïïỵ f (2) ³ 0
ïïỵm + 4 ³ 0
5
Bài 4.69: Tìm m để bất phương trình m (2 x - 1) ³ 2 x + 1 có tập nghiệm là [1; +¥) .
A. m = 3

B. m = 1

C. m > 1

D. m < 1

Lời giải:

Bài 4.69: Bất phương trình tương đương với (2 m - 2) x ³ m + 1
Với m = 1 thì bất phương trình vơ nghiệm do đó khơng thỏa mãn u cầu bài tốn.

Với m > 1 bất phương trình tương đương với x ³

m +1
2m - 2

Do đó để bất phương trình có tập nghiệm là [1; +¥) thì
Với m < 1 bất phương trình tương đương với x £

m +1
= 1 Û m = 3 (thỏa mãn)
2m - 2

m +1
suy ra m < 1 khơng thỏa mãn u cầu bài
2m - 2

tốn.
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.
Bài 4.70: Tìm m để hai bất phương trình sau tương đương

(2 - m) x + 2m + 4 ³ 0 và (m + 1) x + m2 - 4 ³ 0 .
A. m < -1

B. -1 < m < 2

C. m > 2

D. m = Ỉ

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 9

[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Lời giải:

Bài 4.70: * Với m = 2 bất phương trình (2 - m) x + 2 m + 4 ³ 0 (1) trở thành 0.x + 8 ³ 0 (nghiệm đúng

với mọi x ), bất phương trình (m + 1) x + m2 - 4 ³ 0 (2) trở thành 3 x ³ 0 Û x ³ 0 do đó hai bất phương
trình khơng tương đương.
2
* Với m = -1 bất phương trình (1) trở thành 3 x + 2 ³ 0 Û x ³ - , bất phương trình (2) trở thành
3

0.x - 3 ³ 0 ( vô nghiệm) do đó hai bất phương trình khơng tương đương.

* Với m > 2 khơng thỏa mãn u cầu bài tốn
* Với -1 < m < 2 ta có (1) Û x ³

4 - m2
2m + 4
, ( 2) Û x ³
m +1
m-2

Suy ra hai bất phương trình tương đương Û

2m + 4 4 - m2
=
Û m = -2 (loại)

m-2
m +1

* Với m < -1 không thỏa mãn yêu cầu bài tốn
Vậy khơng có giá trị nào của m để hai bất phương trình tương đương.
DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau:

ì5 x - 2 > 4 x + 5
ï
a) ï
í
ï
ï
ỵ5 x - 4 < x + 2

ìïx > 7
ï
A. ï
í
ïïx < 3
ïỵ
2

B. x > 7

C. x <

3

2

D. Vơ nghiệm

C. x >

7
4

D. x >

ì
5
ï
ï
ï6 x + < 4 x + 7
7
b) ï
í
ï
8x + 3
ï
< 2x + 5
ï
ï
ï
ỵ 2

A. x <

7
4

B. x <

22
7

22
7

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 10


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
ì
ï
ï5 x - 2 < 4 x + 5
c) í 2
2
ï
x
<
x
+
2
(
)
ï

ï
ỵ

A. -1 < x

B. x < 7

C. -1 < x < 7

B. x ³ 2

C.

D. Vơ nghiệm

ìï
ïï
ïïx - 1 £ 2 x - 3
d) ïí3 x < x + 5
ïï
ïï 5 - 3 x
£ x-3
ïï
ỵ 2

A.

11
5
£x£

5
2

11
£x
5

D. x £

5
2

Lời giải:
a) Hệ bất phương trình tương đương với

ìx > 7
ï
ì
5x - 2 > 4 x + 5 ï
ï
ï
ï
Ûí
í
3
ï
ï
5
x
4

<
x
+
2
x<
ï
ï
ỵ
ï
2
ỵ
Suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm.
b) Hệ bất phương trình tương đương với
5
22
ïìï
ïì
ïï6 x + < 4 x + 7 ïïïx <
7
7 Û x<7
Ûí
í
ïï 8 x + 3
ï
7
4
< 2 x + 5 ïïx <
ïï
4
ỵï 2

ỵïï

Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là x <

7
4

ì x<7
ï
c) Hệ bất phương trình tương đương với ï
Û -1 < x < 7
í
ï
ï
ỵ x > -1
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là -1 < x < 7 .

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 11


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ì
ï
ï
ï
x³2
ï
ï

ï
5
11
5
d) Hệ bất phương trình tương đương với ï
íx < Û £ x £
ï
2
5
2
ï
ï
ï
11
ï
x³
ï
ï
5
ï
ỵ
Vậy hệ bất phương trình có nghiệm là

11
5
£x£ .
5
2

Ví dụ 2. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

ïì2 x - 1 £ x + 2
a) ïí
ïïm (m + 1) x + 4 m ³ (m - 2) x + 3m2 + 6
ỵ
A. m ³ 0

B. m < 0

C. m £ 0

D. m = 0

ìï m (mx - 1) < 2
b) ïí
ïïm (mx - 2) ³ 2 m + 1
ïỵ
A. m >

1
3

B. m =

1
3

C. m £

1

3

D. m <

1
3

Lời giải:

ì
x£3
ï
ì
ï
x£3
ï
ï
ï
Ûí
a) Hệ bất phương trình tương đương với í 2
3m 2 - 4 m + 6
2
ï
ï
m
+
2
x
³
3

m
4
m
+
6
x
³
(
)
ï
ï
ï
ỵ
ï
m2 + 2
ï
ỵ

Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

3m 2 - 4 m + 6
£3Û m³0.
m2 + 2

Vậy m ³ 0 là giá trị cần tìm.

ì
ï
m2 x < m + 2
ï

b) Hệ bất phương trình tương đương với í 2
ï
ï
ỵm x ³ 4 m + 1

ïì0 x < 2
Với m = 0 ta có hệ bất phương trình trở thành ïí
suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm
ïïỵ 0 x ³ 1
ì
m+2
ï
ï
x<
ï
ï
m2
Với m ¹ 0 ta có hệ bất phương trình tương đương với ïí
ï
4m + 1
ï
x³
ï
ï
m2
ï
ỵ

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 12

[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Vậy m <

m + 2 4m + 1
1
>
Û m<
2
2
3
m
m

1
là giá trị cần tìm.
3

Ví dụ 3. Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm.
2
ì
2
ï
ï( x - 3) ³ x + 7 x + 1
a) í
ï
ï
ï

ỵ2 m £ 8 + 5 x

A. m <

72
13

B. m ¹

72
13

C. m ³

72
13

D. m >

72
13

ì
ï mx + 1 £ x - 1
b) ï
í
ï
2 x - 3) < 5 ( x - 4)
ï
ỵ (

A. m ³ 1

B. m > 1

C. m = 1

D.Vơ nghiệm

Lời giải:
ì
8
ï
ï
ïx £
13
a) Hệ bất phương trình tương đương với ï
í
ï
2m - 8
ï
x³
ï
ï
5
ï
ỵ
8
2m - 8
72
Suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm Û <

Û m>
13
5
13
Vậy m >

72
là giá trị cần tìm.
13

ìï(m - 1) x £ -2
ïï
b) Hệ bất phương trình tương đương với í
14
ïï
x>
ïïỵ
3
ìï0 x £ -2
ï
Với m = 1 hệ bất phương trình trở thành ïí
(hệ bpt vơ nghiệm)
ïï x > 14
ïỵ
3
ì
-2
ï
ï
x£

ï
ï
m - 1 suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm
Với m > 1 hệ bất phương trình í
ï
14
ï
x>
ï
ï
3
ï
ỵ
-2
14
4
Û
£
Û -6 £ 14 (m - 1) Û m ³
m -1 3
7

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 13


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Do đó m > 1 thì hệ bất phương trình vơ nghiệm
ì
-2

ï
ï
ïx ³
m - 1 (hệ bpt ln có nghiệm)
Với m < 1 hệ bất phương trình ïí
ï
14
ï
x>
ï
ï
3
ï
ỵ
Vậy giá trị cần tìm là m ³ 1 .

ìï2 m ( x + 1) ³ x + 3
Ví dụ 4. Tìm m để hệ bất phương trình ï
có nghiệm duy nhất.
í
ïï4 mx + 3 ³ 4 x
ỵ
A. m =

1
4

B. m =

3

4

C. m = 1

D. m =

1
2

Lời giải:
ìï(2 m - 1) x ³ 3 - 2 m
Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïï (4 m - 4) x ³ -3
ïỵ
3 - 2m
-3
Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất thì
=
2m - 1 4m - 4
3
5
Û 8 m2 - 26 m + 15 = 0 m = hoc m =
4
2
ùỡùỗổ 3 ửữ
3 ỡ
- 1ữ x 3 ùx 3
3
ùỗ
ù

Vi m = h phng trỡnh tr thnh ớỗố 2 ữứ
x=3
2 Û ïí
ïï
ïïỵx £ 3
4
ïïỵ -x ³ -3
ïì4 x ³ -2
1
5
Với m = hệ phương trình trở thành ïí
Û x ³ïïỵ6 x ³ -3
2
2
Vậy giá trị cần tìm là m =
3. Bài tập luyện tập.

3
.
4

Bài 4.71: Giải các hệ bất phương trình sau:
ìï 4 x - 5
ïï
< x+3
ï
a) í 7
ïï 3 x + 8
> 2x - 5
ïï

ïỵ 4

A. -

26
28
3
5

B. -

26
3

C. x <

28
5

D. Vô nghiệm

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 14


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
ì
4

1
ï
ï
ï - 12 x £ x +
3
2
b) ï
í
ï
4x - 3 2 - x
ï
<
ï
ï
3
ï 2
ỵ

A.

5
£x
78

B. x <

13
14

C.

5
13
£x<
78
14

D. Vơ nghiệm

ì
x
4
ï
ï
£ x+
ï
ï
3
c) í 2
ï
2
x
9
19 + x
ï
³
ï
ï
2
ï

ỵ 3

A. x ³ 12

B. x ³ 75

C. x > 75

D. x < 75

ì
11 - x
ï
ï
³ 2x - 5
ï
2
d) ï
í
ï
x-8
ï
2 (3 x + 1) ³
ï
ï
2
ï
ỵ

A. -

12
21
£x£
11
5

B. x £

21
5

C. -

12
£x
11

D. Vô nghiệm

Lời giải:
Bài 4.71: a)

-

26
28
3
5

c) x ³ 75

b)
d) -

5
13
£x<
78
14

12
21
£x£
11
5

Bài 4.72: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm.

ìï4 ( x - 3) + 1 £ 3 ( x - 3)
a) ïí
ïïx + m > 1
ỵ
A. m > -1

B. m > -2

C. m > 0

D. m > 2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 15


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ì
ï
2 ( x + 5) < 3( x + 4)
ï
ï
b) ï
í-3 x - 8 ³ 5 ( x - 8)
ï
ï
ï
m x + 2) < (m + 1) x + m - 2
ï
ï
ỵ (
A. m £ -2

B. m £ 2

C. m > -1

D. m < 1

Lời giải:
ìï x £ 2
Bài 4.72: a) Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïïỵx > 1 - m
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 > 1 - m Û m > -1
Vậy m > -1 là giá trị cần tìm.

ïìï x > -2
ïì-2 < x £ 4
ï
b) Hệ bất phương trình tương đương với ïíx £ 4
Û ïí
ïï
ï x> m+2
ïïỵx > m + 2 ïỵ
Suy ra hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
m + 2 £ 4 Û m £ -2

Vậy m £ -2 là giá trị cần tìm.
Bài 4.73: Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm.

ì2 x + 7 ³ 8 x + 1
ï
a) ï
í
ï
ï
ỵm + 5 < 2 x
A. m ³ 3

B. m > -3

C. m ³ -3

D. m < -3

B. m > -3

C. m ³ -3

D. m < -3

ïìï3 x + 5 ³ x - 1
ïï
2
2
b) í( x + 2) £ ( x - 1) + 9
ïï
ïïmx + 1 > (m - 2) x + m
ïỵ

A. m ³ 3

Lời giải:
ìïx £ 1
ï
Bài 4.73: a) Hệ bất phương trình tương đương với ïí
ïïx > m + 5
ïỵ
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 16


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm Û 1 £

m+5
Û m ³ -3
2

Vậy m ³ -3 là giá trị cần tìm.
ìï
ïï
ïïx ³ -3
ïìï-3 £ x £ 1
ï
Û ïí
b) Hệ bất phương trình tương đương với íx £ 1
ïï
ïïx > m - 1
m - 1 ïỵ
ïï
2
ïïx >
2
ỵ
m -1
Suy ra hệ bất phương trình vơ nghiệm Û

³1Û m³ 3
2

Vậy m ³ 3 là giá trị cần tìm.

ìx < y
ï
Bài 4.74: Tìm m để phương trình 15 x 2 - 11xy + 2 y 2 = -7 có nghiệm thỏa mãn ï
.
í 2
ï
2
m
x
+
3
my
<
0
ï
ỵ
9
A. - < m < 0
2

B. m = 0

C. m ¹ 0

D.Vô nghiệm

Lời giải:
Bài 4.74: Ta thấy nếu y = 0 thì phương trình vơ nghiệm
Với y ¹ 0 . Đặt x = ty khi đó

15 x 2 - 11xy + 2 y 2 = -7 Û y 2 (15t 2 - 11t + 2) = -7
ìïx < y
ì
y(t - 1) < 0
ï
ïí
ï
Û
(*)
í
2
2
ïï2 m x + 3my < 0 ï
y
(2
m
t
+
3
m
)
<
0
ï
ỵ

ỵ
Phương trình có nghiệm Û 15t 2 - 11t + 2 < 0 Û (3t - 1)(5t - 2) < 0 Û

1
2
3
5

ìï
y>0
Do đó (*) Û ï
í 2
ïïỵ2 m t + 3m < 0

ìï 1
2
ïï
Như vậy ta cần tìm m để hệ bất phương trình í 3
5 (**) có nghiệm với ẩn t .
ïï 2
ïỵ2 m t + 3m < 0
Với m = 0 thì hệ bất phương trình (**) có nghiệm

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 17


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ìï 1
ïï < t < 2
5 do đó
Với m ¹ 0 (**) Û ïí 3
ïï
3
ïï t < 2m
ỵï
éì
ï m>0
êï
êï
9
êí
ï
m <ï
ê
3
1
9
ï
2
Hệ bất phương trình (**) có nghiệm Û > Û êỵ
Û- êì
2m 3
2
m<0
ï
êï

ï
êí
ê ïm > 9
êï
2
ỵ
ëï
9
Vậy - < m < 0 là những giá trị cần tìm.
2

DẠNG TỐN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.
1. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho bất phương trình tham số
A. 0 < m <

mx - m + 1
> 0 , Khẳng định nào sau đây sai?
x -1

ỉ1- m
ư
1
tập nghiệm bất phương trình là S = (-Ơ;1) ẩ ỗỗ
; +Ơữữữ
ỗố m
2
ứ

B. m =

1
tp nghim bt phng trình là S =  \{1}
2

C. m >

ỉ
1 - m ửữ
1
tp nghim bt phng trỡnh l S = ỗỗ-Ơ;
ữ ẩ (1; +Ơ)
ỗố
m ứữ
2

ùỡ 1 - m ùỹù
D. m < 0 tập nghiệm bất phương trình là S =  \ïí2;
ý
ïỵï
m ùỵù

Li gii:
KX: x ạ 1

ỡù
x>1
Bt phng trỡnh tng ng vi ï
(3) hoặc

í
ïïỵmx - m + 1 > 0

ìï
x <1
ïí
(4)
ïïỵmx - m + 1 < 0

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 18


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ìï x > 1
ìï x < 1
ïï
ï
+ TH1: m > 0 ta có (3) Û í
và (4) Û ïí
1
m
ïïx >
ïïx < 1 - m
ïỵ
ïỵ
m
m
Nếu

1- m
1
1- m
và (4) Û x < 1
> 1 Û m < khi đó (3) Û x >
m
2
m

ỉ1- m
ư
Suy ra nghiệm của bất phương trình là x Ỵ (-Ơ;1) ẩ ỗỗ
; +Ơữữ
ỗố m
ữứ
Nu

1- m
1
= 1 m = khi đó (3) Û x > 1 và (4) Û x < 1
m
2

Suy ra nghiệm của bất phương trình là x Ỵ  \{1}
Nếu

1- m
1
1- m

< 1 Û m > khi đó (3) Û x > 1 và (4) Û x <
m
2
m

ỉ
1 - m ư÷
Suy ra nghiệm của bất phương trỡnh l x ẻ ỗỗ-Ơ;
ữ ẩ (1; +Ơ)
ỗố
m ứữ
ỡù x > 1
+ TH2: m = 0 ta có (3) trở thành ïí
Û x > 1 , (4) trở thành
ïïỵ0 x + 1 > 0
Suy ra nghiệm của bất phương trình l x ẻ (1; +Ơ)

ỡù x < 1
ùớ
(vụ nghim)
ùùợ0 x + 1 < 0

ïìï x > 1
ïìï x < 1
ï
+ TH3: m < 0 ta có (3) Û í
và (4) Û ïí
ïïx < 1 - m
ïïx > 1 - m
ïỵ

m
m
ỵï
Nếu

ỉ 1 - m ửữ
ổ1- m
ử
1- m
1
; +Ơữữữ
> 1 m < khi ú (3) x ẻ ỗỗ1;
ữữ v (4) x ẻ (-Ơ;1) ẩ ỗỗ
ỗố
ỗố m
m ứ
m
2
ứ

ùỡ 1 - m ïüï
Suy ra với m < 0 nghiệm của bất phng trỡnh l x ẻ \ùớ1;
ý
ùợù
m ùỵù
Kt lun
0
ổ1- m
ử

1
tp nghim bt phng trỡnh l S = (-Ơ;1) ẩ ỗỗ
; +Ơữữữ
ỗố m
2
ứ

m=

1
tp nghim bt phng trỡnh l S = \{1}
2

m>

ỉ
1 - m ư÷
1
tập nghiệm bất phương trình là S = ỗỗ-Ơ;
ữ ẩ (1; +Ơ)
ỗố
m ữứ
2

GIO VIấN MUN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 19


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
m = 0 tập nghiệm bất phương trình là S = (1; +¥)

ïì 1 - m ïüï
m < 0 tập nghiệm bt phng trỡnh l S = \ù
ớ1;
ý
ùợù
m ùỵù
Vớ d 2: Cho bất phương trình

(m

2

- 4) x - m + 3 > 2 .

a) Giải bất phương trình khi m = 1

ộ 2
ử
B. S = ờ- ; +Ơữữữ
ờở 3
ứ

2
A. S = (-Ơ; - ]
3

C. S =

D. S = ặ

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x
A. m = 2

B. m = -2

C. m = ±2

D.Không tồn tại m

Lời giải:
a) Khi m = 1 bất phương trình trở thành
ìï-3 x + 2 ³ 0
2
Û ïí
Û x £ïïỵ-3 x + 2 ³ 4
3

-3 x + 2 > 2

2
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (-¥; - ]
3
2
b) ĐKXĐ: (m - 4) x - m + 3 ³ 0 (*)

Giả sử bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thì khi đó (*) đúng mọi x
Suy ra m2 - 4 = 0 Û m = ±2
Với m = 2 ta có bất phương trình trở thành

Với m = -2 ta có bất phương trình trở thành
Vậy m = -2 là giá trị cần tìm.

0.x - 2 + 3 > 2 (vô nghiệm)

0.x + 2 + 3 > 2 (đúng với mọi x )

Ví dụ 3: Cho bất phương trình x - 1( x - 2 m + 2) ³ 0
a) Giải bất phương trình khi m = 2
A. S = {1} È [2; +¥)

B. S = {1} ẩ (-Ơ; 2ựỷ

C. S =

D. S = ặ

b) Tìm m để mọi x Ỵ éë 2; 3ùû đều là nghiệm của bất phương trình đã cho.
A. m <

3
2

B.

3
2

C. m £ 2

D. m =

3
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 20


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

Lời giải:
a) Khi m = 2 bất phương trình trở thành x - 1( x - 2) ³ 0
é x -1 = 0
ê
Bất phương trình tương đương với êê ìïïx - 1 ³ 0
êí
êë ïïỵx - 2 ³ 0
é x=1
ê
éx = 1
ìx ³ 1 Û ê
Û êêï
ï
êx ³ 2
êí
ë
ï
x

³
2
ỵ
ëêï
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = {1} È [2; +¥) .

é
é x=1
x -1 = 0
ê
ê
êï
ìx ³ 1
Û
b) Bất phương trình tương đương với êêì
x -1 ³ 0
ï
êï
ï
í
êí
ê
ï
êëï
ỵx ³ 2 m - 2
ï
ëêï
ỵx - 2 m + 2 ³ 0
é x=1
3

+ TH1: 2 m - 2 > 1 Û m > : Ta có bất phương trình Û ê
ê x ³ 2m - 2
2
ë
Suy ra tập nghiệm bất phương trình là S = {1} È [2 m - 2; +¥) .

Do đó mọi x Ỵ éë 2; 3ùû đều là nghiệm của bất phương trình (*)
Û éë 2; 3ùû Ì S Û 2 m - 2 £ 2 Û m £ 2

3
< m £ 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
éx = 1
3
+ TH2: 2 m - 2 = 1 Û m = : Ta có bất phương trình Û ê
Û x ³1
êx ³ 1
2
ë

Suy ra

3
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
éx = 1
3
+ TH3: 2 m - 2 < 1 Û m < : Ta có bất phương trình Û ê
Û x ³1
êx ³ 1

2
ë

Suy ra m =

3
Suy ra m < thỏa mãn u cầu bài tốn.
2
Vậy giá trị cần tìm là m £ 2 .
Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của m để
a) Bất phương trình mx + 4 > 0 (1) nghiệm đúng với mọi x < 8
1
1
A. - £ m £
2
2

B. m < 0

C. m > 0

1
D. - £ m < 0
2

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 21


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

b) Bất phương trình
A. m ³ -

3
2

mx
- 2 m - 3 < 0 (2) nghiệm đúng với mọi x Ỵ (0; +¥)
x +1
2

B. m < -

3
2

C. m > 0

3
D. - £ m < 0
2

Lời giải:

a) Cách 1: Ta có x < 8 Û -8 < x < 8 Û x Ỵ (-8; 8)
+ TH1: m > 0 ta có (1) Û mx > -4 Û x > -

4
m

ỉ 4
ư
Suy ra tập nghim bt phng trỡnh (1) l S = ỗỗ- ; +Ơữữữ
ốỗ m
ứ
Bt phng trỡnh (1) nghim ỳng vi mi x < 8 khi và chỉ khi

(-8; 8) Ì S Û -

4
1
£ -8 Û m £
m
2

Suy ra 0 < m £

1
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2

+ TH2: m = 0 khi đó bất phương trình (1) trở thành 0.x + 4 > 0 (đúng với mọi x )
Do đó m = 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH3: m < 0 ta có (1) Û mx > -4 Û x < -

4
m

ỉ
4ư

Suy ra tập nghiệm bất phương trình (1) là S = ỗỗ-Ơ; - ữữữ
ỗố
mứ
Bt phng trỡnh (1) nghim ỳng với mọi x < 8 khi và chỉ khi

(-8; 8) Ì S Û -

4
1
³ 8 Û m ³m
2

1
Suy ra - £ m < 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
1
1
Vậy - £ m £ là giá trị cần tìm.
2
2

Cách 2: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x < 8 khi và chỉ khi mx + 4 > 0, "x Ỵ (-8; 8)
Xét hàm số f ( x) = mx + 4 . Ta biết đồ thị là một đường thẳng do đó

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 22


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]

ìï f (-8) ³ 0
f ( x) = mx + 4 > 0, "x ẻ (-8; 8) ùớ
ùùợ f (8) ³ 0
ìï
1
ï
ìï-8 m + 4 ³ 0 ïïm £ 2
1
1
Û ïí
Ûí
Û- £m£
ïỵï8 m + 4 ³ 0
ïï
1
2
2
ïïm ³ 2
ïỵ
1
1
Vậy - £ m £ là giá trị cần tìm.
2
2

b) Đặt t =

x
bất phương trình trở thành mt - 2 m - 3 < 0
x +1

2

Với x > 0 ta có

x
x
1
1
£
= khi đó 0 < t £
2
2
2
x +1 2 x
2

Bất phương trình (2) nghim ỳng vi mi x ẻ (0; +Ơ) khi và chỉ khi bất phương trình

ìï -2 m - 3 £ 0
ìï
ïï
ïm ³ - 3
1
3
Û ïí
mt - 2 m - 3 < 0 đúng với mọi t Ỵ (0; ] Û í 1
2 Û m ³ïï m - 2 m - 3 < 0 ïï
2
2
ïỵ 2

ïỵ m > -2
Vậy m ³ -

3
là giá trị cần tìm.
2

ìï f (a) > 0
Nhận xét : Bất phương trình f ( x) = ax + b > 0, "x Ỵ éëa ; b ùû Û ï
, Bất phương trình
í
ïï f (b ) > 0
ïỵ
ì
ï f (a) ³ 0
f ( x) = ax + b > 0, "x Ỵ (a ; b ) Û ï
. Các trường hợp khác tương tự.
í
ï
f
b
³
0
(
)
ï
ï
ỵ

Ví dụ 5: Cho phương trình (m + 1) x 2 - (4 m + 3) x + 4 m + 1 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1)

a) Có một nghiệm lớn hơn 2 và một nghiệm nhỏ hơn 2.
A. m > -1

B. m = -1

C. m ¹ -1

D. Vơ nghiệm

C. m > -1

D. m ³ -

b) Có ít nhất một nghiệm lớn hơn 2
A. m = -1

5
B. - < m < -1
4

5
4

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 23


[CHƯƠNG IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
NGUYỄN BẢO VƯƠNG BẬT NHẤT. DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬT NHẤT]
Lời giải:
Đặt y = x - 2 Þ x = y + 2 khi đó phương trình (1) trở thành

(m + 1)( y + 2) -(4m + 3)( y + 2) + 4m + 1 = 0
2

Û (m + 1) y 2 + 4 (m + 1) y + 4 (m + 1) - (4 m + 3) y - 2 (4 m + 3) + 4 m + 1 = 0
Û (m + 1) y 2 + y - 1 = 0 (2)

a) Phương trình (1) có một nghiệm lớn hơn 2 một nghiệm nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình (2)
có hai nghiệm trái
+ TH1: Với m = -1 phương trình (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = -1 khơng thỏa mãn u
cầu bài tốn
TH2: Với m ¹ -1 phương trình (2) là phương trình bậc hai do đó nó có hai nghiệm trái dấu
Û P<0 Û

-1
< 0 Û m + 1 > 0 Û m > -1
m +1

Vậy với m > -1 thì phương trình (1)
b) Ta có phương trình (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2 khi và chỉ khi phương trình (2)
có ít nhất một nghiệm dương.
 Với m = -1 phương trình (2) trở thành y - 1 = 0 Û y = 1 suy ra m = -1 thỏa mãn u cầu bài
tốn
 Với m ¹ -1 phương trình (2) là phương trình bậc hai
+ TH1: Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt
ìï1 + 4 (m + 1) > 0
ï
ìïD > 0 ïï
ìï
ïï

1
ïï
ïïm > - 5
5
>
0
ï
ï
Û íS > 0 Û í
Ûí
4 Û - < m < -1
m
+
1
ïï
ï
ïï
4
ïïỵ P > 0 ïïï
ïỵ m < -1
1
>0
ïï m +1
ïỵ

+ TH2: Phương trình (2) có hai nghiệm trái dấu Û m > -1 (theo câu a)
+ TH3: Phương trình (2) có nghiệm kép dương

ìï
ì

ìïD = 0 ïï1 + 4 (m + 1) = 0 ïïïm = - 5
5
ï
Ûí
Ûí
Ûí
4 Û m=1
ïỵï S > 0
ïï ïï
4
>0
ïïỵ
ïỵ m < -1
m +1
+ TH4: Phương trình (2) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng khơng

GIÁO VIÊN MUỐN MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 24