BẤT ĐĂNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH và bất PHƯƠNG TRÌNH QUY về bậc HAI (lý thuyết, dạng bài, bài tập có giải) file word image marked

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
 DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN
TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
1. Phương pháp giải
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối(GTTĐ) ta
cần khử dấu GTTĐ. Sau đây là một số cách thường dùng để khử dấu GTTĐ
+ Sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
+ Đặt ẩn phụ là biểu thức chứa dấu GTTĐ để khử dấu GTTĐ
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng định nghĩa và tính chất của dấu giá trị tuyệt đối.
*Lưu ý: Sau đây là một số loại tốn phương trình, bất phương trình cơ bản có thể thức
hiện bằng phép biến đổi tương đương.
ì
g( x) ³ 0
ï
ï
ï
ï
 f ( x) = g( x) Û íé f ( x) = g( x)
ê
ï
ï
ê
ï
ï
ỵë f ( x) = -g( x)
é f ( x) = g( x)
 f ( x) = g( x) Û ê
ê f ( x) = -g( x)

ë
ì
ï g( x) > 0

f ( x) < g( x) Û ï
í
ï
ï
ỵ-g( x) < f ( x) < g( x)
éì
ï g( x) < 0
êï
êí
ï
ï f ( x) có nghĩa
êỵ
êì
f ( x) > g( x) Û êï

ï g( x) ³ 0
êï
êï
íéê f ( x) < -g( x)
êï
ê
êï
ï
ỵë f ( x) > g( x)
ëï
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) 2 x 2 - 3 x - 1 = -x 2 + 2 x + 1
c) x 2 - 5 x + 4 - x + 1 = x 2 + x

b) x 2 - 5 x + 4 = x 3 - 3 x + 4
d) x 2 - 3 x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3)
Lời giải:

ïìï-x 2 + 2 x + 1 ³ 0
ïìïx 2 - 2x - 1 £ 0
ï
ï
a) Ta có phương trình Û ïíé 2 x 2 - 3 x - 1 = -x 2 + 2 x + 1 Û ïíé 3 x 2 - 5 x - 2 = 0
ïïê
ïê
ïïêê 2 x 2 - 3 x - 1 = -(-x 2 + 2 x + 1) ïïïêê x 2 - x = 0
ỵë
ỵë

– Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải 1


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ì
ï
1- 2 £ x £ 1 + 2
ï
éx = 2
ï
ï

ê
éx = 2
ï
ï
ê
ê
ï
êx = - 1
ï
ê
1
ï
Ûí
Ûê
êx = 3
ê
ï
ê
3
ï
ê
x
=
0
ê
ï
ï
ê
êx = 0
ï

êx = 1
ù
ờ
ở
ù
ờx = 1
ù
ở
ù
ợ

ỡ
1ỹ
ù
ù
Vy nghim ca phng trỡnh l x ẻ ù
ớ0;1; 2; - ù
ý
ù
3ù
ù
ù
ợ
ỵ
b) Vi 1 Ê x Ê 4 Þ x 2 - 5 x + 4 ³ 0 ta có
Phương trình Û -( x 2 - 5 x + 4) = x 3 - 3 x + 4 Û x 3 + x 2 - 8 x + 8 = 0
Áp dụng BĐT cơsi ta có x 3 + 4 + 2 ³ 3 3 8 x 3 = 6 x , x 2 + 2 ³ 2 2 x

(

)

Suy ra x 3 + x 2 - 8 x + 8 ³ 6 x + 2 2 x - 8 x = 2 2 - 2 x > 0
Do đó phương trình vơ nghiệm.

éx > 4
Với ê
Þ x 2 - 5 x + 4 > 0 ta có
êx <1
ë
Phương trình Û x 2 - 5 x + 4 = x 3 - 3 x + 4
Û x 3 - x 2 + 2 x = 0 Û x = 0 (thỏa mãn)

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0
c) Bảng xét dấu
x
x +1
2
x - 5x + 4

-¥

+

-1
0
0

+
+

1
0
0

+
-

4
|
0

+

+¥

+

Từ đó ta có các trường hợp sau
 Với x £ -1 , ta có phương trình Û ( x 2 - 5 x + 4) + ( x + 1) = x 2 + x Û x = 1 (loại)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 2


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
 Với -1 < x £ 1 , ta có phương trình Û ( x 2 - 5 x + 4) - ( x + 1) = x 2 + x
x=

3
(thỏa mãn)

7

 Với 1 < x £ 4 , ta có phương trình -( x 2 - 5 x + 4) - ( x + 1) = x 2 + x
Û 2 x 2 - 3 x + 5 = 0 phương trình này vơ nghiệm.

 Với x > 4 , ta có phương trình Û x 2 - 5 x + 4 - ( x + 1) = x 2 + x Û x =
Vậy phương trình đã cho có duy nhất nghiệm x =

3
(loại)
7

3
.
7

ì
x³3
ï
d) Ta có phương trình ï
í 2
ï
x - 3 x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3)
ï
ï
ỵ

ì
ì
x³3

ï
x³3
ï
Ûï
Ûï
í 2
í 2
ï
x - 3 x + 1 + x - 1 = 12 ( x - 3) ï
ï
ï
ỵx - 14 x + 36 = 0
ỵ

ïì x ³ 3
Û ïí
Û x = 7 ± 13
ïïx = 7 ± 13
ỵ
Vậy phương trình có nghiệm là x = 7 ± 13 .
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau
a) x 2 - x - 1 ³ x - 1

c) 3 x 2 - 2 + 3 - 2 x 2 £ 6 ( x 2 - 2)

b) -x 2 + 3 x + 2 < x 2 - 3 x + 2
d) 2 x 2 - 5 x + 3 - x - 1 > x - 2 .
Lời giải:

a) Với x < 1 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 1

Với x ³ 1 ta có bất phương trình tương đương với
x ³1
ïìï
ïìï x ³ 1
ïï 2
ï
íéê x - x - 1 ³ x - 1 Û ïíéê x 2 - 2 x ³ 0
ïï 2
ï
ïïêêë x - x - 1 £ 1 - x ïïïêêë x 2 - 2 £ 0
ỵ
ỵ

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 3


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x ³1
ïìï
ìï x ³ 1
ïï
ïï
é
éx ³ 2
x
³
2
ïïê
Û íê
Û ïíéê x ³ 2 Û êê

x£0
ïïê
ïïê
ëê1 £ x £ 2
ïïê
ïïêë x £ 2
ïïỵêë- 2 £ x £ 2 ỵ
Vậy nghiệm của bất phng trỡnh l x ẻ (-Ơ; 2] ẩ [2; +Ơ)
b) Với x 2 - 3 x + 2 < 0 Û 1 < x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vơ
nghiệm

éx ³ 2
Với ta có x 2 - 3 x + 2 ³ 0 Û ê
êx £1
ë
Bất phương trình tương đương với -( x 2 - 3 x + 2) < -x 2 + 3 x + 2 < x 2 - 3 x + 2

éx > 3
Û 2x2 - 6x > 0 Û ê
êx < 0
ë
éx ³ 2
Đối chiếu với điều kiện ê
suy ra nghiệm bất phương trình là
êx £1
ë

éx > 3
ê
êx < 0

ë

Vậy bất phương trình có nghiệm x Î (-¥; 0) È (3; +¥) .
c) Nếu x 2 - 2 < 0 thì VT ³ 0, VP < 0 suy ra bất phương trình vơ nghiệm
ì
ï
x2 - 2 ³ 0
ï
Do đó bất phương trình Û í 2
ï
3 x - 2 + 2 x 2 - 3 £ 6 ( x 2 - 2)
ï
ï
ỵ
ì
ï
ìx 2 ³ 2 é x ³ 7
x2 ³ 2
ï
ï
Ûí 2
Ûï
Û êê
í 2
2
2
ï
ï
3
x

2
+
2
x
3
£
6
x
2
x
³
7
(
) ïỵ
êë x £ - 7
ù
ù
ợ

Vy nghim ca bt phng trỡnh l x ẻ (-¥; - 7 ] È [ 7 ; +¥)
d) 2 x 2 - 5 x + 3 - x - 1 > x - 2
Với x < 2 ta có VT ³ 0, VP < 0 suy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x < 2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 4


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với x ³ 2 ta có 2 x 2 - 5 x + 3 = ( x - 1)(2 x - 3) > 0 suy ra bất phương trình tương đương
với

2 x 2 - 5 x + 3 - ( x - 1) > x - 2 Û 2 x 2 - 6 x + 4 > x - 2

Û 2 x 2 - 6 x + 4 > x - 2 (vì x ³ 2 Þ 2 x 2 - 6 x + 4 = ( x - 1) (2 x - 4) ³ 0 )

éx> 2
ê
Û 2x - 7 x + 6 > 0 Û ê
êx < 3
êë
2
2

Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 ta có nghiệm bất phương trình là x > 2
Vậy bất phương trình có nghiệm là x Ỵ  \{2} .
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt

-x 2 - x + 6 = 4 x + m .
Lời giải:
Ta có -x 2 - x + 6 = 4 x + m Û -x 2 - x + 6 - 4 x = m
Xét hàm số f ( x) = -x 2 - x + 6 - 4 x

ì
ï-x 2 - 5 x + 6 khi x Ỵ éë-3; 2ùû
Ta có f ( x) = ï
í 2
ï
ï
ỵ x - 3 x - 6 khi x ẻ (-Ơ; -3) È (2; +¥)
Bảng biến thiên
x

f ( x)

-¥

-3

-

5
2

3
2

2

+¥

+¥
+¥

99
4

12
-4
Từ bảng biến thiên ta có
Phương trình ban đầu có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số f cắt
đường thẳng y = m tại bốn điểm phân biệt Û 12 < m <

99
.
4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 5


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
99
là giá trị cần tìm.
4
Nhận xét: Nghiệm của phương trình f ( x) = g (m) là hoành độ giao điểm của đồ thị

Vậy 12 < m <

hàm số y = f ( x) và đường thẳng y = g (m) . Từ đó suy ra

 Phương trình f ( x) = g (m) có nghiệm Û đường thẳng y = g (m) cắt đồ thị hàm số
y = f ( x)

 Số nghiệm phương trình f ( x) = g (m) Û số giao điểm của đường thẳng y = g (m) và
đồ thị hàm số y = f ( x) .

Do đó khi gặp bài tốn liên quan đến phương trình f ( x , m) = 0 mà ta có thể cơ lập được
m thì ta sử dụng đồ thị(hoặc bảng biến thiên) để giải.

Ví dụ 4: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

x 2 - 3 x + 2 ³ 3 x 2 + 5 x + 3m 2 + 5m .
Lời giải:

Bất phương trình Û x 2 - 3 x + 2 - 3 x 2 - 5 x ³ 3m2 + 5m
Xét hàm số f ( x) = x 2 - 3 x + 2 - 3 x 2 - 5 x

ìï-2 x 2 - 8 x + 2 khi x Ỵ (-;1] È [2; +
Ta có f ( x) = ïí
ïï-4 x 2 - 2 x - 2 khi x Ỵ (1; 2)
ợ
Bng bin thiờn
x
f ( x)

-Ơ

-2

-

1
4

1

2

+Ơ

10
-8

-22

Website chuyờn thi, tài liệu file word có lời giải 6


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

-¥

-¥

Từ đó ta có: max f ( x) = f (-2) = 10
Do đó bất phương trình đã cho có nghiệm Û 10 ³ 3m2 + 5m
Û 3m2 + 5m - 10 £ 0 Û

Vậy

-5 - 145
-5 + 145
£m£
6
6

-5 - 145
-5 + 145
£m£
là giá trị cần tìm.
6
6

Nhận xét . Cho hàm số y = f ( x) xác định trên D

 Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k ) có nghiệm trên D Û max f ( x) ³ k ( min f ( x) £ k )
D

D

với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ).
D

D

 Bất phương trình f ( x) ³ k ( f ( x) £ k ) nghiệm đúng với x  D Û min f ( x) ³ k (

max f ( x) £ k ) với điều kiện tồn tại max f ( x) ( min f ( x) ).
D

D

D

D

Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 5: Giải các phương trình và bất phương trình sau

(x
b)

a) 3 ( x 2 - 4 x) - x - 2 > 12

2

c) x - 2 x + 4 x - (2 x + 5) x - 1 + 7 = 0
4

2

+ 1)

2

x

2

£3 x+

1
-2
x

2

Lời giải

a) Đặt t = x - 2 , t ³ 0 Þ t 2 = x 2 - 4 x + 4

Bất phương trình trở thành 3 (t 2 - 4) - t > 12

é t>3
ê

Û 3t - t - 24 > 0 Û ê
êt < - 8
êë
3
2

Kết hợp điều kiện t ³ 0 ta có t > 3 suy ra

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 7


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
é x-2 > 3
é x>5
x-2 > 3 Û ê
Ûê
ê x - 2 < -3 ê x < -1
ë
ë
Vậy bất phương trỡnh cú nghim l x ẻ (-Ơ; -1) ẩ (5; +Ơ) .
b) KX: x ạ 0

Bt phng trỡnh x 2 +
Đặt t = x +

1
1
+4£3 x+
2
x

x

1
1
Þ t 2 = x2 + 2 + 2
x
x

Ta có t = x +

1
1
1
= x + ³2 x . =2Þt³2
x
x
x

Bất phương trình trở thành t 2 + 2 £ 3t
Û t 2 - 3t + 2 £ 0 Û 1 £ t £ 2
Kết hợp với t ³ 2 suy ra t = 2
é x2 + 1 = 2x
1
2
Do đó 2 = x + Þ 2 x = x + 1 Û êê 2
Û x = ±1 (thỏa mãn)
x
êë x + 1 = -2 x
Vậy bất phương trình có nghiệm là x = ±1 .
c) Phương trình Û ( x 2 - 1) - (2 x + 5) x 2 - 1 + 4 x + 6 = 0

2

Đặt t = x 2 - 1 , t ³ 0

Phương trình trở thành t 2 - (2 x + 5) t + 4 x + 6 = 0

ét = 2 x + 3
Û (t - 2 x - 3)(t - 2) = 0 Û ê
ê t=2
ë

ì 2x + 3 ³ 0
ï
ï
ï 2
2
Với t = 2 x + 3 ta có 2 x + 3 = x - 1 Û ï
íx - 1 = 2 x + 3
ï
ï
2
ï
ï
ỵ x - 1 = -2 x - 3
ì
2x + 3 ³ 0
ï
ì
3
ï

ï
ï
x
³
ï
ï
Ûï
2 Û x = 1± 5
íéê x 2 - 2 x - 4 = 0 Û í
ï
ï
ï
ï
2
ê
ï
ï
ỵx = 1 ± 5
ï
ỵëê x + 2 x + 2 = 0 ï
é x2 - 1 = 2
Với t = 2 ta có 2 = x 2 - 1 Û êê 2
Û x2 = 3 Û x = ± 3
êë x - 1 = -2

{

}

Vậy phương trình có nghiệm là x Ỵ - 3;1 - 5;1 + 5; 3 .

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x 2 - 2 x + m = x - 1 có nghiệm.
Lời giải:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 8


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Phương trình tương đương với
2
2
2
ì
ì
ï
ï
x 2 - 2 x + m) = ( x - 1)
x 2 - 2 x) + 2 m ( x 2 - 2 x) + m 2 = x 2 - 2 x + 1
ï
ï
(
(
ï
ï
Ûí
í
ï
ï
ï
ï
x

³
1
x ³1
ï
ï
ỵ
ỵ
2
ì
2
ï
x
2
x
+ (2 m - 1)( x 2 - 2 x) + m2 - 1 = 0 (*)
ï
(
)
ï
Ûí
ï
ï
x ³1
ï
ỵ

Đặt t = x 2 - 2 x , vì x ³ 1 Þ t = ( x - 1) - 1 ³ -1
2

Phương trình (*) trở thành t 2 - (2 m - 1) t + m2 - 1 = 0 (**)

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm t ³ -1

Û Đồ thị hàm số f (t ) = t 2 - (2 m - 1) t + m2 - 1 trên [ - 1; +¥) cắt trục hồnh. Ta có
-

b
2m - 1
=
2a
2

+ TH1: Nếu

2m - 1
1
> -1 Û m > - ta có
2
2

Bảng biến thiên
x

-¥

-1

2 m- 1
2

+¥

f (-1)

+¥

f ( x)

ỉ 2 m - 1ửữ
f ỗỗ
ữ
ốỗ 2 ữứ
Suy ra phng trỡnh ó cho cú nghiệm

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 9


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ỉ 2 m - 1ư÷
ỉ 2 m - 1ư÷
ỉ 2 m - 1ửữ
5
f ỗỗ
ữữ Ê 0 ỗỗ
ữữ - (2 m - 1)ỗỗ
ữữ + m2 - 1 Ê 0 m <
4
ốỗ 2 ứ
ốỗ 2 ứ
ốỗ 2 ứ
2

1
1
5
suy ra - < m < thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
4
2m - 1
1
+ TH2: Nếu
= -1 Û m = - phương trình (**) trở thành
2
2

Kết hợp với điều kiện m > -

3
-2 ± 7
-2 + 7
1
t 2 + 2t - = 0 Û t =
> -1 suy ra m = - thảo mãn u cầu bài
có t =
4
2
2
2
tốn
2m - 1
1

+ TH3: Nếu
< -1 Û m < - ta có
2
2

Bảng biến thiên
x

-¥

+¥

-1

+¥

f ( x)
f (-1)

Suy ra phương trình đã cho có nghiệm Û f (-1) £ 0

Û 1 + 2 m - 1 + m 2 - 1 £ 0 Û m 2 + 2 m - 1 £ 0 Û -1 - 2 £ m £ -1 + 2
1
1
Kết hợp với điều kiện m < - suy ra -1 - 2 £ m < - thỏa mãn yêu cầu bài toán
2
2
5
Vậy -1 - 2 £ m < là giá trị cần tìm.
4

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình x ( x - 2) - m x - 1 + 2 > 0 nghiệm đúng với mọi
xỴ.

Lời giải:
Bất phương trình tương đương với ( x - 1) - m x - 1 + 1 > 0
2

Với x = 1 ta có bất phương trình ln đúng với mọi m

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 10


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Với x ¹ 1 . Đặt t = x - 1 Þ t > 0
t2 + 1
> m (*)
Bất phương trình trở thành t - mt + 1 > 0 Û
t
Suy ra bất phương trình ban đầu nghiệm đúng với mọi x ¹ 1 khi và chỉ khi bất phương
t2 + 1
>m
trình (*) nghiệm đúng với mọi t > 0 Û min
t>0
t
t 2 + 1 2t
³ = 2 , đẳng thức xảy ra Û t = 1
Ta có
t
t
2

t +1
= 2 , do đó m < 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Suy ra min
t>0
t
Vậy m < 2 là giá trị cần tìm.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.113: Giải các phương trình sau
a) 3 x - 2 = x 2 + 2 x + 3
b) |2 x 2 - 7 x + 2|= x + 2
2

c) x 2 - 3 x + 2 - x + 2 = x 2 - 3 x

d)

2x
1
1
=
+
x + 1 x + 1 x -1
Lời giải:

Bài 4.113: a) Ta thấy x 2 + 2 x + 3 > 0 "x nên phương trình đã cho

é x2 + 2 x + 3 = 3x - 2
é x2 - x + 5 = 0
-5 ± 21
ê

Ûê 2
Û êê 2
Û x=
.
2
êë x + 2 x + 3 = -3 x + 2 êë x + 5 x + 1 = 0
ìï
ìï
x+2³0
x ³ -2
ïï
ïï
b) Phương trình Û ïíéê 2 x 2 - 7 x + 2 = x + 2 Û ïíéê 2 x 2 - 8 x = 0
ïï
ï
ïïêêë 2 x 2 - 7 x + 2 = -x - 2 ïïïêêë 2 x 2 - 6 x + 4 = 0
ỵ
ỵ

Phương trình đã cho có bốn nghiệm x = 0; x = 1; x = 2; x = 4 .
c) x = -4, x = 0
d) ĐKXĐ: x ¹ ±1 . Với ĐK đó:
PT Û

2x
2x
2x
2x
1
= 2

Û
=
.
x + 1 x -1
x + 1 x + 1 x -1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 11


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
ùỡù 2 x ổỗ
ùỡù 2 x ổỗ
1 ửữ
1 ửữ
1+
ữ= 0
ữ= 0
ùù
ỗỗ1 ù
ỗ
ùù x - 1 ỗố
x -1ố
x - 1ữứ
x - 1ữứ
ù
ớ
hoc ớ
ùù 2 x
ùù 2 x
ùù

ùù
0
<0
ùợ x + 1
ùợ x + 1
Giải ra ta có nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2 .

Bài 4.114: Giải các bất phương trình sau
a) x 2 - 5 x + 4 > x - 2

b) x 2 - x - 6 < x

c) x - 3 x - 1 > x + 2

d) 2 x - 1 + 3 x - 2 £ x + 3

e) x 3 -

1
1
£ 3 x3
x
x
Lời giải:

Bài 4.114: a) * Nếu x - 2 < 0 Û x < 2 Þ bpt ln đúng.
é x2 - 5x + 4 > x - 2
* Nếu x ³ 2 Þ bpt Û êê 2
êë x - 5 x + 4 < -x + 2
éx < 3 - 3 V x > 3 + 3

é x2 - 6x + 6 > 0
Û êê
Û êê 2
.
êë 2 - 2 < x < 2 + 2
êë x - 4 x + 2 < 0

Kết hợp với x ³ 2 ta có: 2 £ x < 2 + 2 V x > 3 + 3 .
é2 £ x < 2 + 2
Vậy nghiệm của bất phương trình : êê
.
êë x > 3 + 3
ìx > 0
ï
ï
ì
x
>
0
ï
ï
2
ï
b) Bất phương trình Û ï
Û
í
íx - 2 x - 6 < 0
2
ï
ï

ï-x < x - x - 6 < x ï
2
ỵ
ï
ï
ỵx - 6 > 0

Û 6 < x < 1+ 7 .
Vậy nghiệm bất phương trình :

6 < x < 1+ 7 .

ỉ
1ư
c) T = ỗỗ-Ơ; ữữữ ẩ (5; +Ơ)
5ứ
ốỗ

ộ 3ự
d) T = ờ 0; ú
êë 2 úû

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 12


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nht
2
ự
ửữ ổ
1

1 ổỗ
1 ửổ
1
1 ửữ ộờổỗ
1 ửữ
3
2
ữ
ỗ
ỗ
e) t t = x - , t ³ 0 Þ x - 3 = ỗ x - ữữỗ x + 2 + 1ữữ = ỗ x - ữữ ờỗ x - ữữ + 3ỳỳ
ỗố
x
x ứốỗ
x ứ ờỗố
xứ
ứ ỗố
x
x
ỳỷ
ở
ỏp s: x Ê -1, 0 < x £ 1

Bài 4.115: Biện luận số nghiệm của phương trình : x - 1 - x 2 - 3 x + 2 = 5m - 3 .
Lời giải:
Bài 4.115: Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đường thẳng
y = 5m - 3 và đồ thị (C) : y = x - 1 - x 2 - 3 x + 2

ìï-x 2 + 4 x - 3 khi x ³ 2
ïï

Ta có: y = ïíx 2 - 2 x + 1 khi 1 £ x < 2
ïï 2
ïï-x + 2 x - 1 khi x £ 1
ỵ
Lập bảng biến thiên ta có
4
 Nếu 5m - 3 > 1 Û m > Þ phương trình vơ nghiệm.
5
4
 Nếu m = Þ phương trình có một nghiệm.
5
4
 Nếu m < Þ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
5

Bài 4.116: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt:

-2 x 2 + 10 x - 8 = m - 5 x + x 2 .
Lời giải:
Bài 4.116: PT Û 2 x 2 - 10 x + 8 - x 2 + 5 x = m

ïìïx 2 - 5 x + 8 khi x ẻ (-Ơ;1ự ẩ é 4; +¥)
û ë
Xét hàm số f ( x) = 2 x - 10 x + 8 - x + 5 x = ớ
2
ùù
3
x
+
15

x
8
khi
x
ẻ
(1; 4)
ùợ
2

2

Phng trỡnh ó cho cú bn nghiệm phân biệt Û Đồ thị hàm số

f ( x) = 2 x 2 - 10 x + 8 - x 2 + 5 x cắt đường thẳng y = m Û 4 < m <

43
.
4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 13


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Bài 4.117: Tìm m để bất phương trình 2 x 2 - 3 x - 2 ³ 5m - 8 x - 2 x 2 nghiệm đúng
với mọi x .
Lời giải:
Bài 4.117: Bất phương trình Û 2 x 2 - 3 x - 2 + 8 x + 2 x 2 ³ 5m .

ìï 2

ỉ
ù
ïï4 x + 5 x - 2 khi x ẻ ỗỗ-Ơ; - 1 ỳ ẩ ộ 2; +Ơ)
ỗố
ù
2 ỳỷ ở
Xột hm s y = f ( x) = ùớ
.
ùù
ổ 1 ửữ
11x + 2 khi x ẻ ỗỗ- ; 2ữ
ùù
ỗố 2 ữứ
ùùợ
ổ
ùỡù 2
1ự
ùù4 x + 5 x - 2 khi x ẻ ỗỗỗ-Ơ; - ỳỳ ẩ ộở 2; +¥)
2û
è
Lập bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) = ïí
ïï
ỉ 1 ư
11x + 2 khi x ẻ ỗỗ- ; 2ữữữ
ùù
ỗố 2 ứ
ùùợ
Ta cú min y = -

57

57
57
suy ra yêu cầu bài toán Û 5m £ - Û m £ 16
16
80

Bài 4.118: Cho bất phương trình x 2 - 4 x - 3| x - 2|+2 m - 2 = 0
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Bài 4.118: Đặt t = x - 2 , t ³ 0 ta có phương trình: t 2 - 3t + 2 m - 6 = 0 (*)
a) x = -2, x = 6
b) Yêu cầu bài toán Û (*) có hai nghiệm dương phân biệt

ïì = 27 - 8 m > 0
27
.
Û ïí
Û 3ïïỵ2 m - 6 > 0
8

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 14


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Bài 4.119: Cho bất phương trình x 2 - 2 mx + 2 x - m - m2 + 2 > 0
a) Giải bất phương trình khi m = 2
b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với "x Î 
Lời giải:

Bài 4.119: a) x > 2, x < 0 b) m < 1 .

 DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN
1. Phương pháp giải.
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn mục đích chúng ta phải
khử căn thức đi. Sau đây là một số phương pháp thường dùng.
+ Biến đổi tương đương( Bình phương hai vế, phân tích thành nhân tử)
Lưu ý: Đối với bất phương trình, bình phương hai vế khơng âm thì mới thu về bất
phương trình tương đương cùng chiều
+ Đặt ẩn phụ
+ Đánh giá
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương
Lưu ý một số phương trình, bất phương trình cơ bản sử dụng phép biến đổi tương
đương như sau
Phương trình:
ïì f ( x) ³ 0 ( hoặc g ( x) ³ 0 )

f ( x) = g( x) Û ïí
ïïỵ f ( x) = g( x)
ì
ï g( x) ³ 0
f ( x) = g( x) Û ï

í
2
ï
é g( x)ù
f
(

x
)
=
ï
ë
û
ï
ỵ
Bất phương trình:
ì
ï f ( x) > g( x)

f ( x) > g( x) Û ï
í
ï
ï
ỵ g( x) ³ 0



ìï f ( x) ³ 0
ïï
f ( x) < g( x) Û ïí g( x) > 0
ïï
2
ïï f ( x) < éë g( x)ùû
ỵ

– Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải 15

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất



éï
ì g( x) < 0
êï
êí
ï
ï f ( x) ³ 0
êỵ
f ( x) > g( x) Û êì
g( x) ³ 0
êï
êï
í
2
êï
é g( x ) ù
f
(
x
)
>
êëï
ë
û
ï
ỵ

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau
a)

x 3 - x + 1 = -2 x 2 - x + 2

b)

2 x2 + 3x - 1 = 3 - x2

c)

x + 4 - 1- x = 1- 2x

d)

x-

1
1
+ 1- = x
x
x

Lời giải:

ì
ï
-2 x 2 - x + 2 ³ 0
a) Ta có phương trình Û ï

í 3
2
ï
ï
ỵ x - x + 1 = -2 x - x + 2
ìï-1 - 17
-1 + 17
ïï
£x£
ï
ìï-1 - 17
4
4
-1 + 17
ïï
ïï
£x£
ï
é
Ûí
Ûí
x = -1
4
4
ê
ïï
ïï
3
2
ê

x + 2x - 1 = 0
ïïỵ
ïï
ê x = -1 ± 5
ïï
ê
2
ïỵ
ë
é x = -1
ê
Ûê
ê x = -1 ± 5
ê
2
ë

ïì-1 - 5
-1 + 5 ïüï
Vậy phương trình có nghiệm l x ẻ ùớ
; -1;
ý.
ùù
ùù
2
2
ợ
ỵ
2
ỡù

3- x 0
ù
b) Phng trỡnh Û ïí 2
2
ïï2 x + 3 x - 1 = (3 - x 2 )
ïỵ
ìï
ïìï
- 3 £x£ 3
- 3 £x£ 3
ïï
Ûí 4
Û
í
ïïx - 8 x 2 - 3 x + 10 = 0 ïï( x - 1)( x + 2)( x 2 - x - 5) = 0
ỵ
ïỵ
ìï- 3 £ x £ 3
ïï
ïï é
ïï ê x = -2
Û í êx = 1
Û x=1
ïï ê
ïï ê
ïï êê x = 1 ± 21
ïïỵ ë
2

– Website chun đề thi, tài liệu file word có lời giải 16

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 .
1
c) ĐKXĐ: -4 £ x £
2
Phương trình Û x + 4 = 1 - 2 x + 1 - x

Û x + 4 = 1 - 2 x + 2 (1 - 2 x)(1 - x) + 1 - x
ì
ï2 x + 1 ³ 0
Û 2 x + 1 = (1 - 2 x)(1 - x) Û ï
í
2
ï
ï
ỵ(2 x + 1) = (1 - 2 x)(1 - x)
ìï
ïïx ³ - 1
Ûí
Û x = 0 (thỏa mãn điều kiện)
2
ïï 2
ïïỵ2 x + 7 x = 0

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0 .
ì
x>0
ï

ï
ï
ï
1
ï
x- ³ 0
ï
ì
ï
x ³1
ï
x
ï
ï
ï
ï
ï
ï
d) Phương trình Û í 1
Ûí
1
1
ï
ï
1- ³ 0
x - = x - 1ï
ï
x
ï
ï

x
x
ï
ỵ
ï
ï
ï
1
1
ï
x - + 1- = x
ï
ï
x
x
ï
ỵ

x ³1
ïìï
ìï
x ³1
ïï
ï
Ûí
Û
í
1
1
1

ïïx - = x 2 + 1 - - 2 x 1 ïïx 2 - x - 2 x 2 - x + 1 = 0
ỵ
ïïỵ
x
x
x
ïìï x ³ 1
ìï x ³ 1
x ³1
ïìï
1+ 5
ï
Ûí 2
Ûí 2
Û ïí
Û x=
1
±
5
ï x - x = 1 ïỵïx - x - 1 = 0 ïïx =
2
ïỵ
ïïỵ
2

Vậy phương trình có nghiệm là x =

1+ 5
.
2

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau
a)

-5 x 2 + 8 x - 3 + 5 x - 3 = 1 - x + 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 17


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

(

b) x 2 + (3 - x) 2 x - 1 = x 3 2 x 2 - 5 x + 2 - x - 2
Lời giải:

)

ì
ï
-5 x 2 + 8 x - 3 ³ 0
ï
ï
3
Û £ x £1
a) ĐKXĐ: ï
5x - 3 ³ 0
í
ï
5

ï
ï
1
x
³
0
ï
ỵ

Phương trình

(5x - 3)(1 - x) +

5x - 3 = 1 - x + 1

Û ( 5 x - 3 - 1)( 1 - x + 1) = 0
4
(thỏa mãn điều kiện)
Û 5x - 3 = 1 Û x =
5
4
Vậy phương trình có nghiệm x = .
5
2
ìï2 x - 5 x + 2 ³ 0
ïï
Û x³2
b) ĐKXĐ: ïí 2 x - 1 ³ 0
ïï
ïïỵ x - 2 ³ 0

Phương trình Û

Û x-2

(

(

)

x - 2 2 x - 1 - x x - 2 + 3x - x2 - 3 2 x - 1 + x 2 x - 1 = 0

)

2 x - 1 - x + x (3 - x) + 2 x - 1 ( x - 3) = 0

é 2x - 1 = x
Û ( 2 x - 1 - x)( x - 2 - 3 + x) = 0 Û êê
êë x - 2 = 3 - x
é 2x - 1 = x2
é x2 - 2x + 1 = 0
ê
ê
ê
Û êìïï 3 - x ³ 0
Û êêìïï
x£3
êí
í 2
2

ê
ï
êïïx - 2 = (3 - x)
ëêỵïx - 7 x + 11 = 0
ëêïỵ

é
x=1
ê
é x=1
êìï x £ 3
ê
Û êêïï
Ûê
êx = 7 - 5
7± 5
êíï
ê
2
ë
êïïx =
êëïỵ
2

Đối chiếu với điều kiện x ³ 2 suy ra x =
Vậy phương trình có nghiệm là x =
Ví dụ 3: Giải các phương trình 5

(

7- 5
thỏa mãn
2

7- 5
.
2

)

x + 3 + 3 x - 2 = 5 x 2 - 31x + 41

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 18


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Lời giải:

ïìïx ³ -3
ïìï x + 3 ³ 0
2
Û ïí
Û x³
ĐKXĐ: í
2
ïỵï3 x - 2 ³ 0 ïï x ³
3
ïỵ
3
Phương trình tương đương với

(5

Û

) (

)

x + 3 - x - 9 + 5 3 x - 2 - 3 x - 2 = 5 x 2 - 35 x + 30
-x 2 + 7 x - 6

+

-x 2 + 7 x - 6

= 5 x 2 - 35 x + 30

5 x + 3 + x + 9 5 3x - 2 + 3x + 2
ỉ
ư
1
1
Û ( x 2 - 7 x + 6)ỗỗỗ
+
+ 5ữữữ = 0
ữứ
ốỗ 5 x + 3 + x + 9 5 3 x - 2 + 3 x + 2
éx = 1
(thỏa mãn điều kiện)

Û x2 - 7 x + 6 = 0 Û ê
êx = 6
ë
Vậy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 6 .
Nhận xét: Ở phương trình đầu (câu a) dễ thấy x = 1, x = 6 là nghiệm do đó ta tìm cách
làm xuất hiện nhân tử chung x 2 - 7 x + 6 . Đối với 5 x + 3 ta ghép thêm với a x + b ,
như thế sau khi trục căn thức ta có 5 x + 3 - (a x + b ) =

25 ( x + 3) - (a x + b )

2

5 x + 3 + (a x + b )

như vậy

ì
ï
ìa = 1
ï
ï 5 1 + 3 - (a + b ) = 0
Ûï
để có đại nhân tử x 2 - 7 x + 6 thì ï
. Hồn tồn tương tự
í
í
ï
ï
b
=

9
5
6
+
3
a
.6
+
b
=
0
(
)
ï
ï
ỵ
ï
ỵ
với đại lượng 5 3 x - 2 . Do đó ta tách được như lời giải ở trên.
Ví dụ 4: Giải các bất phương trình sau

a) x + 1 ³ 2( x 2 - 1)
c)

b)

5x - 1 - x - 1 > 2 x - 4

( x + 5)(3 x + 4) > 4( x - 1)
d) ( x - 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9

Lời giải:

ì
ï
2( x 2 - 1) ³ 0
ï
ï
a) Bất phương trình Û ïíx + 1 ³ 0
.
ï
ï
2
2
ï
ï
ỵ2( x - 1) £ ( x + 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 19


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìïé x ³ 1
ïìïé x ³ 1
ïïêê
ïïêê
ïïë x £ -1
ïïë x £ -1
é x = -1
ïï
ï

Û í x ³ -1
Û ïíx ³ -1 Û ê
ê1 £ x £ 3
ïï 2
ï
ïïx - 2 x - 3 £ 0 ïïï1 £ x £ 3 ë
ïï
ïï
ïỵï
ïỵï
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = {-1} È éë1; 3ùû .

éïì4( x - 1) < 0
êïí
êï( x + 5)(3 x + 4) ³ 0
ï
b) Bất phương trình Û êỵ
êì
êïïx - 1 ³ 0
êí
êëïïỵ( x + 5)(3 x + 4) > 16( x - 1)2

éïìx < 1
é é x £ -5
êïï
êê
êïé
êê 4
êïíê x ³ - 4
ê ê- £ x < 1

êïê
êê 3
3
ïïê
ê
Û êïê x £ -5
Û êë
êïìx ³ 1
êỵïë
êïï
êì
êí 1
x
³
1
ï
êï
êï- < x < 4
êí
ï
êëïïỵ13 x 2 - 51x - 4 < 0 êëïỵ 13
é x £ -5
ê
é x £ -5
ê 4
ê
Û ê- £ x < 1 Û ê 4
ê 3
ê- £ x < 4
ê

êë 3
ê1 £ x < 4
ë
4
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (-¥; -5] È [ - ; 4) .
3

ì
5x - 1 ³ 0
ï
ï
ï
ï
c) ĐKXĐ: íx - 1 ³ 0 Û x ³ 2
ï
ï
ï
ï
ỵ2 x - 4 ³ 0

Bất phương trình Û 5 x - 1 > x - 1 + 2 x - 4
Û x+2>

(2 x - 4)( x - 1)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 20


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Û x 2 + 4 x + 4 > 2 x 2 - 6 x + 4 (do x ³ 2 )

Û x 2 - 10 x < 0 Û 0 < x < 10

Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm của bất phương trình S = [2;10)
d) ( x - 3) x 2 - 4 £ x 2 - 9

é x³2
ĐKXĐ: x 2 - 4 ³ 0 Û ê
ê x £ -2
ë
Nhận xét x = 3 là nghiệm bất phương trình
+) Với x > 3 : ta có
Bất phương trình Û x 2 - 4 £ x + 3
Û x 2 - 4 £ ( x + 3) Û x ³ 2

13
6

Kết hợp với điều kiện x > 3 ta có tập nghiệm bất phương trình là S = (3; +¥) .
+) Với x < 3
Bất phương trình Û x 2 - 4 ³ x + 3

ì
ïx + 3 £ 0
Ûï
(I) hoặc
í 2
ï
x
4
³

0
ï
ỵ

ïìïx + 3 > 0
(II)
í 2
ïïx - 4 ³ ( x + 3)2
ïỵ

ì x £ -3
ï
ï
ï
Ta có (I) Û ï
íéê x ³ 2 Û x £ -3
ï
ï
ê
ï
ï
ỵ ë x £ -2

ìïx > -3
ìïx > -3
ï
13
Û ïí
Û -3 < x £ (II) Û ïí
13

ïỵï6 x + 13 £ 0 ïïx £ 6
ïỵ
6
Kết hợp với điều kiện x < 3 suy ra bất phương trình có tập nghiệm S = (-¥; -

13
]
6

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 21


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Vậy tập nghiệm bất phương trình là S = (-¥; -

13
] È [3; +¥)
6

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau

51 - 2 x - x 2
<1
1- x

a)

c) 8

b)

2( x 2 - 16)
x-3

+ x-3 >

7-x

x-3

.

2x - 3
4
+ 3 ³ 6 2x - 3 +
x +1
x +1

Lời giải:
a) * Nếu 1 - x > 0 Û x < 1

ìïx < 1
ïï
Ta có bất phương trình Û ïí51 - 2 x - x 2 ³ 0
ïï
ïï 51 - 2 x - x 2 < 1 - x
ỵï
ìïx < 1
ïï
Û ïí1 - 52 £ x £ 1 + 52 Û 1 - 52 £ x < -5 .

ïï 2
ïïx > 25
ỵ

* Nếu x > 1 Þ ln đúng vì VT < 0 < 1 .
Vậy nghiệm tập bất phương trình đã cho là S = [1 - 52; -5) È (1; +¥) .
ìé x ³ 4
ï
2
ï
ì
ï
ïêê
x
³
16
Ûï
b) ĐKXĐ: ï
í
í ë x £ -4 Û x ³ 4 .
ï
ï
x
>
3
ï
ï
ỵ
ï
ï

ỵ x>3

Bất phương trình Û 2( x 2 - 16) + x - 3 > 7 - x
Û 2( x 2 - 16) > 10 - 2 x kết hợp với điều kiện x ³ 4 ta có bất phương trình

ìï10 - 2 x < 0
(I) hoặc
Û ïí
ïïỵ x ³ 4

ìïx ³ 4
ïï
ïí10 - 2 x ³ 0
(II)
ïï 2
2
ïïỵ2( x - 16) > (10 - 2 x)

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 22


Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ïìx > 5
Ta có ( I ) Û ïí
Û x>5
ïïỵx ³ 4
ì
ï
x³4
ï

ì4 £ x £ 5
ï
ï
ï
Ûï
.
( II ) Û íï10 - 2 x ³ 0
í 2
ï
x - 20 x + 66 < 0
ï
ï
2
2
ỵ
ï
ï
ỵ2( x - 16) > (10 - 2 x)

ìï
4£x£5
ï
Û 10 - 34 < x £ 5
í
ïï10 - 34 < x £ 10 + 34
ỵ

(

)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 10 - 34; +¥

ìï2 x - 3 ³ 0
3
c) ĐKXĐ: ïí
Û x³ .
ïïỵ x + 1 > 0
2
Bất phương trình Û 8 2 x - 3 + 3 x + 1 = 6 (2 x - 3)( x + 1) + 4

(

)

Û 4(2 2 x - 3 - 1) + 3 x + 1 1 - 2 2 x - 3 ³ 0

(

)(

)

Û 2 2x - 3 - 1 4 - 3 x + 1 ³ 0
Û

(2

(8 x - 13)(7 - 9 x)

)(

2x - 3 + 1 4 + 3 x + 1

Û (8 x - 13)(7 - 9 x) ³ 0 Û

)

³0

7
13
£x£
9
8

é 3 13 ù
Kết hợp điều kiện ta có tập nghiệm bất phương trình là: S = ê ; ú .
êë 2 8 úû
Loại 2: Đặt ẩn phụ
Ví dụ 6: Giải các bất phương trình sau
a) ( x + 1)( x + 4) < 5 x 2 + 5 x + 28
b) ( x + 1)( x - 3) <

1- x2 + 2x

-x 2 + 2 x + 3

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 23

Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
c)

7 x + 7 + 7 x - 6 + 2 49 x 2 + 7 x - 42 < 181 - 14 x

d) 3 x +

3
2 x

< 2x +

1
-7
2x

Lời giải:
a) Bất phương trình Û x 2 + 5 x + 4 < 5 x 2 + 5 x + 28
Đặt t = x 2 + 5 x + 28 , t > 0 Þ x 2 + 5 x + 4 = t 2 - 24
Bất phương trình trở thành t 2 - 24 < 5t
Û t 2 - 5t - 24 < 0 Û -3 < t < 8

Suy ra

x 2 + 5 x + 28 < 8 Û x 2 + 5 x - 36 < 0 Û -9 < x < 4

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S = (-9; 4)
b) ĐKXĐ: -x 2 + 2 x + 3 > 0 Û -1 < x < 3
Bất phương trình Û ( x 2 - 2 x - 3) -x 2 + 2 x + 3 < 1 - x 2 + 2 x

Đặt t = -x 2 + 2 x + 3 , t > 0 Þ -x 2 + 2 x = t 2 - 3 .
Bất phương trình trở thành -t 3 < -2 + t 2 Û t 3 + t 2 - 2 > 0

Û (t - 1)(t 2 + 2t + 2) > 0 Û t > 1
Do đó ta có -x 2 + 2 x + 3 > 1 Û -x 2 + 2 x + 3 > 1

Û x2 - 2x - 2 < 0 Û 1- 3 < x < 1 + 3 .
Kết hợp với điều kiện xác định suy ra tập nghiệm bất phương trình là

(

S = 1 - 3;1 + 3

)

ïì7 x + 7 ³ 0
6
c) ĐKXĐ: ïí
Û x³ :
ïïỵ7 x - 6 ³ 0
7

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải 24