De Thi hoc sinh gioi toan 9

Trờng THCS Yên Thái
Đề thi học sinh giỏi toán 9 (năm học 2009- 2010)
Thời gian làm bài 150 phút
Họ và tên ngời ra đề: Nguyễn Thị Thuý Hằng
Đề bài:
Câu1. ( 4 ®iĨm)
Cho biÕu thøc
x −1
x
M = 2 x √ x + x − √ x − x +√ x
+ √
x −1 2 x+ √ x −1 2 √ x −1
x x 1
a, HÃy tìm điều kiện của x để biĨu thøc M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M.
b, Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất
đó của M?
Câu 2. ( 4 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của hÖ

(

)

¿
2 y 2 − x 2 − xy +2 y − 2 x =7
x 3 + y 3 + x y=8
{


Câu 3. (4 điểm)
Cho A (6,0); B (0,3)

a, Viết phơng trình đờng thẳng AB.
b, Một điểm M (x;y) di chuyển trên đoạn thẳng AB. Gọi C; D theo thứ tự là hình
chiếu của M trên OA; OB. Gọi N là điểm chia đoạn thẳng CD theo tỷ số 1:2. Tính toạ độ
(x; y) của N theo ( x; y) .
c, Lập một hệ thức giữa x; y từ đó suy ra quĩ tích của N.
Câu 4. (5 điểm )
Cho ( 0; R )đờng thẳng d cắt ( O ) tại 2 điểm A; B. trên d lấy 1 điểm M và từ đó
kẻ 2 tiếp tuyến MN; MP ( N; P là tiếp điểm)
a, C/M: PMO = PNO
b, Tìm 2 điểm cố định mà đờng tròn ( MNP ) luôn đi qua khi M di động trên d.
c, xác định vị trí của M để MNP là đều.
Câu 5.( 3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thøc:
Q=

2
1 x 10 y 10 1 ( 16 16 ) (
+ 2 + x + y − 1+ x 2 y 2 )
2
2 y
4
x

(

)

Đáp án:
Câu 1. (4đ)
a, Điều kiện để biĨu thøc cã nghÜa lµ: x ≥ 0 , x 1 và x#1.

4

(0,5đ)

( 2 x x x+x x1 x − xx+−1√ x ). 2 x +x √−1x −1 + 2√√xx− 1

M=

√ x ( 2 x + √ x − 1 ) − x+ √ x
x −1
x
(0,5®)
+ √
x −1 2 x+ √ x −1 2 √ x −1
x √ x −1
√ x ( x −1 ) − √ x ( √ x +1 ) + √ x = √ x ( √ x+1 ) − √ x + √ x
¿
x √ x −1 ( 2 √ x −1 )( √ x +1 ) 2 √ x −1 ( x+ √ x +1 ) 2 √ x − 1 2 √ x − 1
√ x ( √ x +1 )
¿
x+ √ x +1
¿

[

]

(1®)
(0,5®)

b, Do x 0 nên M 0 . Đẳng thức xảy ra khi x = 0
(0,5đ)
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 0 khi x = 0
(1đ)
Câu 2. Viết lại hệ đà cho dới dạng
(x+2y+2) ( x-y) =-7
(1)
x3+y3+x-y = 8
(2)
(1,5đ)
Từ (1) do x, y nguyên ta có các trờng hợp sau:
a, x- y=-1 và x+2y+2 = 7 =>x=1 và y = 2 thoả mÃn ( 2)
(0,5đ)
b, x-y = 1 vµ x+ 2y +2 = -7 => x+2y = -9 => y không nguyên
(o,5đ)
c, x- y= -7 và x+ 2y +2 = 1
Giải hệ nàyđợc nghiệm ( x, y) = ( -5,2) không thoả mÃn phơng trình (2) (0,5đ)
d, x-y = 7 vµ x+2y+2 = -1 => x+2y =-3 => y không nguyên
(0,5đ)
Tóm lại hệ đà cho có duy hất một nghiệm nguyên (x, y) =(1, 2)
(0,5đ)
Câu 3. (4đ)
a, Gọi phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b ( a # 0)
(0,5đ)
Đờng thẳng đi qua điểm A ( 6; 0) nªn ta cã 6a+ b = 0 (1) và đi qua điểm B ( 0;3)
nên ta cã b = 3. Thay b = 3 vµo (1) => a = - 1
(0,5đ)
2

1
x +3
2

Vậy đờng thẳng AB là y = b, Gọi H là hình chiếu của N trên OA, K là hình chiếu của N trên OB
Tam giác DOC có KN// OC nên => KN = DN = 2 ⇒KN= 2 OC ⇒ x ' = 2 x
OC

DC

3

(0,5đ)
Tơng tự NH // OD => NH =CN = 1 ⇒ NH= 1 OD ⇒ y ' = 1 y
DO

CD 3
2
x ; y =
3

3

3

3

3

(2)

(0,5đ)
(1)
(0,5đ)

1
=>N có toạ độ ( x =
y)
3
(0,5đ)
c, Tõ (1) => x= 3 x’; y= 3y’ thÕ vµo y= - 1 x+ 3 => y’ = - 1 x + 1
2
2
4
(0,5đ)
Vậy quĩ tích điểm N là phần đờng th¼ng y= - 1 x + 1 n»m trong gãc phần t thứ
4
nhất.
(0,5đ)
Câu 4. (5đ)

a, MN, MP là hai tiếp tuyÕn cña ( O) => ON ⊥ NM ; OP⊥ PM ONM = 900,
OPM = 900
(0,5đ)
=> tứ giác ONMP cã gãc ONM + OPM = 1800. Do ®ã tø giác ONMP nội tiếp đờng tròn đờng kính OM
(1đ)
b, Kẻ OQ vu«ng gãc víi AB => QA = QB ( đờng kính vuông góc với dây) (0,5)
Vì AB cố định => Q cố định .
(0,5đ)

Gọi I là trung điểm của OM tam giác OQM vuông tại Q => QI = IO = IM. Vậy Q
thuộc đờng tròn đờng kính OM.
(0,5đ)
Kết hợp với câu a => 5 ®iĨm M, N, O, Q, P thc ®êng tròn đờng kính OM => đờng tròn ( MNP) luôn ®i qua hai ®iĨm O, Q cè ®Þnh khi M di chuyển trên d . (0,5đ)
c, Để tam giác MNP đều => góc NMP = 600 mà MO là phân gi¸c cđa gãc NMP
=> NMO = 300 => ON = 1 OM => OM = 2NO = 2R.
(0,5đ)
2
Dựng cung tròn tâm O bán kính 2R cắt d tại M => M là điểm cần dựng để tam
giác MNP đều
(0,5đ)
ON 1
= ⇒ NMO =300 => NMP = 600
ThËt vËy OM = 2R= 2ON => sin NMO =
OM 2
VËy tam gi¸c MNP là tam giác đều.
(0,5đ)
Câu 5. (3đ)
áp dụng bất đẳng thức cô si cho bốn số không âm ta có:
10 10
1 x 10 y10
y . 1. 1
4 x
+
+1+1
≥
2
=2 x 2 y 2
2

2
2 2
2 y
x
x y
1 16 16
4 16 16
( x + y +1+1 ) ≥ √ x y 1. 1=x 4 y 4
4
1 x 10 y 10 1 ( 15 16 ) 3
⇒
+ 2 + x + y + +1 ≥ x 4 y 4 +2 x 2 y 2+1
2
2 y
4
2
x

(

)

(

√

(1®)

)

2
1 x 10 y 10 1 16 16
5
⇒
+ 2 + ( x + y ) − ( x 2 y 2+1 )
2
2 y
4
2
x
5
Q
2
Do đó giá trị nhỏ nhất cđa Q lµ - 5 khi x2 = y2 = 1
2

(

)

( 1®)

(1®)