Chuong II 2 Mat cau

MẶT CẦU, KHỐI CẦU
1. Định nghĩa
Tập hợp những điểm M trong không gian cách điểm O cố định 1 khoảng không đổi bằng R ( R > 0)
( S )  M / OM R
được gọi là mặt cầu tâm O bán kính R. Kí hiệu:



2. Cơng thức
2
Diện tích mặt cầu: S 4 R
4
V   R3
3

Thể tích khối cầu:
3. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu tất cả các đỉnh của hình chóp đều nằm trên mặt cầu.
 Cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC



 Bước 1: Xác định tâm O của đường tròn ngoại tiếp ABC
 Bước 2: Kẻ  qua O và vng góc với mp (ABC)
 Bước 3: Dựng mp trung trực của cạnh bên cắt  tại I
Đặc biệt: Nếu điểm A nhìn đoạn MN cố định dưới 1 góc vng thì điểm A thuộc mặt cầu đường kính MN
Ví dụ: Trong hình này thì A, B, C, M, N cùng thuộc mặt cầu đường kính MN (TâmI là trung điểm của đoạn MN)

Bài tập
1)

0
Cho hình chóp  đều S.ABC cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng 60 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.


b) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.
c) Mp (P) qua cạnh AB và vng góc với cạnh SC chia khối chóp ra làm 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2
a3
343
 a3
8
3
1296
phần đó.
Ds: a)
; b)
; c) 6
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SA  ( ABC ) , AB = a, AC = a 3 , mặt bên

2)

0
(SBC) tạo với đáy 1 góc bằng 60 .
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp.
c) Mp (P) qua cạnh AB và vng góc với cạnh SC chia khối chóp ra làm 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2
a3 3
125 3
; b)
a

48
phần đó.
Ds: a) 4
3)
Cho hình chóp S.ABCD. Đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SAB là tam giác đều nằm trên mp
vng góc với mp (ABCD). Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
a 21
Ds: 6
4)
Cho 2 mp (P) và (Q) vng góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng  . Trên  lấy hai điểm A và
B với AB=a. Trong mp (P) lấy điểm C, trong mp(Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vng góc với  và
AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo
a 3 3
a
;h 
2
2
a.
(D-2003)
Ds: V =
5)
Cho tứ diện ABCD với AB=AC=a, BC=b. Hai mp (BCD) và (ABC) vng góc với nhau và góc BDC =
a2

b2
4
900 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b.
Ds:
6)
Cho tứ diện ABCD. Biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp

3
( a 2  b 2  c 2 )3

512
tứ diện. Ds: 4
Gợi ý: Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB, CD, tâm mặt cầu là trung
2 a2 

a2
2 với m là trung tuyến kẻ từ A của 1 tam giác ABC bất kì.
điểm I của MN , ghi nhớ hệ thức
7)
Cho tứ diện ABCD có AB 3, BC 4, AC 5 , DA vng góc với mp (ABC), E, F lần lượt là hình
b 2  c 2 2m 2 

chiếu vng góc của A lên DB, DC
a) Chứng minh rằng A, B, C, E, F cùng thuộc 1 mặt cầu
b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCFE

ds: V 125 / 6

KHỒI TRỤ VÀ KHỐI NĨN
A.
1)

KHỐI TRỤ

Khái niệm:
 Khối trụ là hình trịn xoay sinh bởi 1 hình chữ nhật ( kể cả các điểm trong nó ) khi quay quanh 1
đường trung bình của hình chữ nhật đó.

2)

Cơng thức:
 Hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao h ( như hình vẽ ) có:
S 2 Rh
 Diện tích xung quanh là xq
.
S 2 Rh  2 R 2
 Diện tích tồn phần tp
2
 Khối trụ có bán kính đáy R, chiều cao h có thể tích là V  R h .

Bài tập:
Cho hình trụ có 2 đáy là 2 hình trịn bán kính R có tâm là O, và O’. Cho OO’= R 2 . Điểm A thuộc
'
đường tròn đáy (O’), điểm B thuộc đường tròn đáy (O) sao cho O A  OB .
S ; S ;V
a) Tính xq tp .
b) Tính góc giữa OO’ và AB và thể tích của tứ diện OO’AB.
R3 2
V
6
Ds: b) 450;
’
2)
Cho một hình trụ có chiều cao 2m và bán kính đáy 7m. Gọi (O) và (O ) là 2 đường trịn đáy. Một mp
(P) khơng song song với trục cắt đường tròn (O) tại A, B và cắt đường tròn (O’) tại C, D sao cho ABCD là
hình vng.

a) Tính diện tích hình vng ABCD.
Ds: 100m2
b) Tính khoảng cách giữa trục OO’ và các trục của hình vng
Ds: 2 6 và 5
1)

3) Một hình trụ T có bán kính đáy R và chiều cao là R 3 . Cho A, B là 2 điểm thuộc hai đường trịn đáy hình
trụ sao cho góc giữa AB với trục hình trụ bằng 300.
a) Chứng minh độ dài AB khơng đổi.
a 3
b) Tính khoảng cách giữa AB và trục hình trụ.
Ds: 2
B. KHỐI NĨN
1) Khái niệm:
 Khối nón là 1 hình trịn xoay sinh bởi 1 hình tam giác cân ( kể cả các điểm trong nó ) khi quay
quanh trục đối xứng của tam giác đó.


2) Cơng thức:



S  Rl
Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l là: xq
1
1
V  S d .h   R 2 h
3
3
Thể tích khối nón có bán kính đáy R, chiều cao h là:

Bài tập:
1)

4
3
96

(
cm
)
Cho 1 hình nón có thể tích
, tỉ số giữa đường cao và đường sinh là 5 . Tính diện tích tồn phần của
2
hình nón.
Ds: 96 (cm )

Cho 1 hình nón đỉnh S có đáy là hình trón (O;R) và góc ở đỉnh bằng 600. Cho tam giác ABC nội tiếp đường
trịn đáy hình nón. Tính thể tích hình nón, hình chóp S.ABC và khoảng cách từ O đến mp (SBC)
3 3R3
13
3
R
;
;R
3
4
3 .
Ds:
0

3). Cho hình nón đỉnh S, độ dài đường sinh là d, góc giữa đường sinh và mặt đáy là 30 . Mp (P) qua đỉnh hình
chóp, hợp với mặt đáy góc 600, cắt hình nón theo 2 đường sinh SA và SB. Tính:
a) Diện tích tồn phần của hình nón.
b) Diện tích của tam giác SAB và khoảng cách từ O đến (SAB).
d2 2 d
;
4.
Ds: b) 3
2)