Luận văn thạc sĩ nhị phân mũ của phương trình động lực trên thang thời gian

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
KHOA TOÁN CƠ TIN

TRAN TH± LOAN

NH± PHÂN MŨ CUA PHNG TRèNH đNG LUC
TRấN THANG THốI GIAN

LUắN VN THAC S TỐN HOC

Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH
Mã so : 60 46 01 02

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC
TS. LÊ HUY TIEN

Hà N®i - Năm 2014


Mnc lnc
Lài cam ơn............................................................................................ ii
Lài nói đau............................................................................................ iii
1 Kien thÉc chuan b%
1
1.1 Các khái ni¾m cơ ban ve thang thịi gian...................................1
1.2 Nh% phân mũ cna phương trình vi phân và sai phân..................9
1.3 Nh% phân mũ trên thang thòi gian..............................................9
1.4 Bő đe Gronwall............................................................................17
2 Nh%
2.1

2.2
Ket

phân mũ trên thang thài gian
20
Nh% phân mũ trên thang thòi gian ròi rac . . . . . . . . . . . . .
.20
Đ%nh lý chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .28
lu¾n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.35

Tài li¾u tham khao

36

i


Lài cam ơn
Đe hồn thành đưoc chương trình đào tao và hồn thi¾n lu¾n văn này, trong
thịi gian vùa qua tơi đã nh¾n đưoc rat nhieu sn giúp đõ q báu cna gia đình,
thay cơ và ban bè. Vì v¾y, nhân d%p này, tơi muon đưoc gui lịi cam ơn tói
MQI ngưịi.
Lịi đau tiên, tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói TS. Lê Huy Tien, thay
đã rat nhi¾t tình hưóng dan và chi bao tơi trong q trình hồn thành lu¾n văn.
Tơi cũng xin gui lịi cam ơn chân thành tói tat ca các thay cơ trong khoa, nhung
ngưòi đã trnc tiep truyen thu kien thúc, giang day tơi trong q trình HQc cao
HQc.
Tơi xin cam ơn Ban chn nhi¾m khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phịng Sau Đai HQc
trưịng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên đã tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tơi hồn thi¾n

các thn tuc bao v¾ lu¾n văn.
Cuoi cùng, tơi xin cam ơn cha me tơi, nhung ngưịi ln u thương và
nng h® tơi vơ đieu ki¾n.


Lài nói đau
Nh% phân mũ cna phương trình tuyen tính khụng ụtụnụm l khỏi niắm suy
rđng cna tớnh hyperbolic cna phương trình tuyen tính ơtơnơm. Nh% phân mũ
đóng vai trị quan TRQNG trong nhieu bài toán cna lý thuyet các hắ đng
lnc khụng ụtụnụm, chang han bi toỏn nhieu.
Nh% phõn mũ cna phương trình vi phân có the tìm thay trong sách [3,5].
Nh% phân mũ cna phương trình sai phân có trong chang han [4] và [6, muc
7.6]. Ca hai khái ni¾m trên đeu đưoc thong nhat trong Phép tính trên thang
thài gian (xem trong [7,12,13]). Phép toán này cho phép đong thịi nghiên
cúu phương trình vi phân, phương trình sai phân như các trưịng hop riêng
cna phương trình đ®ng lnc trên thang thịi gian (xem [2]).
Xét h¾ tuyen tính
x∆ = A(t, q)x,

và h¾ tuyen
tính

x∆ = B (t )x

(1)
(2)

trong đó, t ∈ T, A(., q) ∈ Crd(T, L(X )). Vói gia thiet hắ (1) cú nh% phõn m
phu thuđc tham so q , ta a thờm mđt vi ieu kiắn đe h¾ (2) có nh%
phân mũ. Trong lu¾n văn này chúng tơi chi ra m®t ket qua nhieu cho

phương trình đ®ng lnc tuyen tính phu thu®c tham so trên thang thịi gian
trong khơng gian Banach tùy ý. Úng dung chính cna ket qua trên là tính
vung cna nh% phân mũ cna h¾ vói h¾ so tốn tu bien đői ch¾m: nghĩa là
neu gia su rang phương trình tuyen
.

tính phu thu®c tham so x = A(t, q)x có nh% phân mũ đeu vói tham so q, sau đó
ta thay the giá tr% q boi hàm ∗q (t) bien đői ch¾m theo thịi gian. Khi đó phương
.

trình x = A(t, q∗ (t))x cũng có nh% phân mũ. Đây chính là đieu ki¾n n ắt lờn
hắ so toỏn tu e phng trỡnh đng lnc có nh% phân mũ.
Đe giai quyet van đe này, chúng tơi su dung các ky thu¾t cơ ban cna
phương trỡnh đng lnc trờn thang thũi gian, tớnh b% chắn cna h¾ so tốn
tu, và xây dnng h¾ tuyen tính phu thu®c tham so trên thang thịi gian có nh%
phân m. Nđi dung chớnh cna luắn vn dna trờn bi báo [C. Poetzsche,
Exponential Dichotomies of Linear Dynamic Equations on Measure Chains under
Slowly Varying Coeffi- cients, J. Math. Anal. Appl., 289 (2004), 317–335.]
Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương


Chương 1: trình bày các khái ni¾m cơ ban trên thang thòi gian, nh% phân mũ


trên không gian huu han chieu, nh% phân mũ trên thang thòi gian và bat
đang thúc Gronwall.
Chương 2: chúng minh h¾ tuyen tính nhieu có nh% phân mũ vói gia
thiet hắ tuyen tớnh ban au phu thuđc tham so cú nh% phân mũ. Đây chính
là muc đích chính cna lu¾n văn.
Do thịi gian và năng lnc có han, có the trong lu¾n văn cịn nhung sai

sót. Tác gia mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna các thay, các cơ v cỏc
ban ong nghiắp.
H Nđi, thỏng 12 nm 2014
Tran Th% Loan


Chương 1

Kien thÉc chuan b%
Trong chương này, lu¾n văn se nhac lai m®t so kien thúc cơ ban trên
thang thịi gian, nh% phân mũ trong không gian huu han chieu, bő đe
Gronwall. Qua đó đưa ra khái ni¾m nh% phân mũ trên thang thịi gian.

1.1

Các khái ni¾m cơ ban ve thang thài gian

GQI X là khơng gian Banach thnc ho¾c phúc vói chuan ǁ.ǁ; L(X ) là
khơng gian tuyen tính các tn đong cau liên tuc trên X vói chuan xác đ%nh boi
ǁTǁ := supǁxǁ=1ǁTxǁ.

Kí hi¾u GL(X ) là t¾p các đang cau tuyen tính trên X và IX là ánh xa đong
nhat trên X .
Đ%nh nghĩa 1.1. Thang thài gian T là t¾p con đóng, khác rőng tùy ý cua t¾p
so thnc R.
T¾p so thnc R, t¾p so nguyên Z, t¾p so tn nhiên N và t¾p so nguyên
dương N0, ... là các thang thịi gian. T¾p các so huu ty, các so vô ty, khoang
mo (0,1)... không là thang thòi gian.
Ta se đ%nh nghĩa đao hàm f ∆ cna m®t hàm f xác đ%nh trên T sao cho
(i) f ∆ = f j là đao hàm thơng thưịng neu T = R.

(ii) f ∆ = ∆f neu T = Z.
Các toán tu nhay tien và toán tu nhay lùi trên thang thịi gian mơ phong
cách thịi gian bien thiên trên thang thòi gian.

1


Đ%nh nghĩa 1.2. Gia su T là m®t thang thài gian. Vái t ∈ T toán tu nhay tien
σ : T → T xác đ%nh bái
σ(t) := inf{s ∈ T : s > t},

và toán tu nhay lùi ρ(t) : T → T xác đ%nh bái
ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t}.

Neu σ (t) > t ta nói t là điem rài rac phai và ρ(t) < t ta nói t là điem rài rac
trái. Nhung điem vùa rài rac trái vùa rài rac phai GQI là điem cơ l¾p.
Neu σ(t) = t ta nói t là điem trù m¾t phai và ρ(t) = t ta nói t là điem trù
m¾t trái.
Nhung điem vùa trù m¾t phai vùa trù m¾t trái GQI là trù m¾t.
Đ%nh nghĩa 1.3. Gia su T cú mđt iem cụ lắp trỏi lỏn nhat m, khi đó t¾p
Tκ = T − {m}. Do đó
.
T
\
(
ρ
(supT)
, supT)
neu
supT < ∞

Tκ =
T
neu supT = ∞.
Đ%nh nghĩa 1.4. Ánh xa µ : T → R+ xác đ%nh bái µ(t) = σ (t) − t GQI là hàm hat
graininess.
Ví dn 1.1. (i) Neu T = R thì vái MQI t ∈ R
σ(t) = inf{s ∈ R : s > t} = inf (t,
∞) = t.

Tương tn ρ(t) = t.
Hàm graininess µ(t) = σ(t) − t = 0.
(ii)Neu T = Z thì vái MQI t ∈ Z
σ(t) = inf{s ∈ Z : s > t} = inf (t + 1, t + 2, t + 3...) = t + 1.

Tương tn ρ(t) = t − 1.
Hàm graininess µ(t) = σ(t) − t = 1.
Đ%nh nghĩa 1.5. (T˜, µ
˜) là thang thài gian rài rac neu T˜ = {tk}k∈Z, ∃ h0, h > 0
sao cho
h0 ≤ µ˜(t k+1 , ) ≤ h, k Z.
(1.1)
tk ∈


Vói các so thnc h0, h > 0 và thang thịi gian T thì hSh (T) là t¾p hop tat ca
các thang thịi gian rịi rac (T˜ , µ˜) vói T˜ ⊆ T thoa 0mãn (1.1). Ngồi ra ta nói
đó là m®t (h0, h) - thang thịi gian (T, ≤, µ) neu vói moi điem t0 ∈ T thì ton
tai tk , t−k ∈ T, k ∈ N thoa mãn {tk }k∈Z ∈h S h (T). Vói bat kì thang thịi gian
0
mà khơng b% ch¾n trên và dưói, hàm hat graininess

à xỏc %nh, GQI l mđt (h0 ,
h) - thang thịi gian vói h0 > 0 và h ≥ h0 + suptT à(t).
Vớ dn 1.2. (i) R l mđt (h0, h) - thang thài gian vái 0 < h0 ≤ h.
(ii) Thang thài gian rài rac hZ, h > 0 có σ(t) = t + h, µ(t) = h trên hZ và
hZ là m®t (h0, h) - thang thài gian vái h ≤ h0 ≤ h.
Đ%nh nghĩa 1.6. Gia su hàm f : T → R kha vi tai t ∈ Tκ . Khi đó vái MQI ε
> 0, ton tai mđt lõn cắn U cua t sao cho

|[f ( (t)) − f (s)] −
f (t)[σ (t) − s]| ≤ ε|σ (t) − s|,

s ∈ U. (1.2)

Khi đó f ∆(t) là đao hàm cua hàm f tai t. Kí hi¾u là f ∆(t).
df (t)
• Cho T = R thì f ∆(t) =
.
d
∆
• Cho T = Z thì f (t) = tf (t + 1) − f (t).
Ví dn 1.3. (i) Gia su f : T → R xác đ%nh bái f (t) = α, t ∈ T, trong đó α ∈ R
là hang so, khi đó f ∆ = 0. Bái vì vái MQI ε > 0,
|[f (σ (t)) − f (s)] − 0.[σ (t) − s] = |α − α|

= 0 ≤ ε|σ(t) − s|, s ∈ T.
(ii) Gia su f : T → R xác đ%nh bái f (t) = t, t ∈ T, thì f

∆

= 1. Bái vì vái ∀ε > 0,

|[f (σ (t)) − f (s)] − 1.[σ (t) − s]| = |σ (t) − s − (σ (t) − s)|

= 0 ≤ ε|σ(t) − s|, s ∈ T.
Đ%nh nghĩa 1.7. Ánh xa φ : T −→ X đưac GQI là kha vi (tai t0 ∈ T),
neu ton tai duy nhat đao hàm φ∆ (t0 ) ∈ X , sao cho vái MQI ε > 0, khi đó
ǁφ(σ(t0)) − φ(t) − µ(σ(t0), t)φ ∆(t0)ǁ ≤ ε|µ(σ(t0), t)|,

vỏi U l lõn cắn cua t0.

t U

.

ã Gia su T = R thì φ∆(t) = φ(t).
• Gia su T = hZ, h > 0 do đó φ∆(t) =

(φ(t + h) − φ(t)
h

.


Đ%nh lý 1.1. Gia su f : T → R là m®t hàm và t ∈ Tκ. Khi đó,
(i) Neu f kha vi tai t, thì f liên tnc tai t.
(ii) Neu f liên tnc tai t và t là điem cơ l¾p phai, thì f kha vi tai t vái
f

∆

( t) =

f (σ(t)) − f (t)
.
µ(t)

(1.3)

(iii) Neu t là điem trù m¾t phai, khi đó hàm f kha vi tai t neu ton tai giái han
huu han
lim
s→t

f (t) − f (s)
.
t−s

(1.4)

Trong trưàng hap này đao hàm
f

∆

(t) = lim
s→t

f (t ) − f ( s )
.
t−s

(iv) Neu f kha vi tai t, thì f (σ(t)) = f (t) + µ(t)f ∆(t).

Đ%nh lý 1.2. Gia su f, g : T → R là các hàm kha vi tai t ∈ Tκ. Khi đó
(i) Tőng các hàm f + g : T → R cũng là hàm kha vi tai t vái
(f + g ) ∆ ( t ) = f ∆ ( t) + g ∆ ( t ) .
(ii) Vái bat kì hang so α, αf : T → R kha vi tai t vái
(αf )∆(t) = αf ∆(t).
(iii) Tích cua các hàm fg : T → R cũng là hàm kha vi tai t vái
(fg)∆(t) = f ∆(t)g(t) + f (σ(t))g∆(t) = f (t)g∆(t) + f ∆(t)g(σ(t)).
(iv) Gia su f (t)f (σ(tƒ)) = 0,
1
thì
.

1

kha vi tai t vái
f

Σ∆
f

(v) Gia su g(t)g(σ(t)) = 0,
ƒ
f

thì

f

g

f (t)f (σ(t))

.

cũng là hàm kha vi tai t vái
g

. Σ∆

=−

f ∆ (t )

=

f ∆(t)−
g ( t) f
(t) g ∆ (t)
f (t)f (σ(t))

.


Đ%nh nghĩa 1.8. Hàm f : T → R GQI là rd - liên tnc neu thóa mãn
(i) Hàm f liên tnc tai điem trù m¾t phai t ∈ T.
(ii) Ton tai huu han lims→t− f (s) tai điem trù m¾t phai t ∈
T. T¾p hap các hàm rd - liên tnc kí hi¾u là Crd.
Chú ý 1.1. (i) Gia su f : T → R. Khi đó

• Neu hàm f liên tnc, thì hàm f là rd - liên tnc.
• Tốn tu nhay tien σ là rd - liên tnc.
(ii) Trên thang thài gian T = R, rd - liên tnc nghĩa là liên tnc, trên T = hZ, h > 0
do v¾y MQI hàm là rd - liên tnc.
Đ%nh nghĩa 1.9. Hàm p : T → R GQI là regressive neu 1 + µ(t)p(t) ƒ= 0 vái
∀t ∈ Tk và
R = {p : T → R, p ∈ Crd(T) : 1 +
µ(t)p(t)
R+ = {p ∈ R : 1 + à(t)p(t) > 0,
T}.

0,

t T},

t

Tắp hap cỏc hm quay ngưac và rd - liên tnc kí hi¾u là R = R(T) = R(T, R).
Đ%nh lý 1.3. Gia su hàm f ∈ Crd, và a, b ∈ T.
(i) Neu T = R thì
∫ b
∫ b
f (t)∆t
f (t)dt.
a
=
a
(ii) Gia su T = Z
thì



neu a < b
∫ b
t∈[a,b) µ(t)f (t)

f (t)∆t = 0
neu a = b
a Σ
t∈[b,a
)
µ(t)f (t)
neu a > b.
 Σ
−

(iii) Gia su [a, b] chs gom nhung điem cô l¾p khi đó
 b 1Σ −
∫b
t=a
f (t)neu a <

0
neu a = b
f (t)∆t = 
b
Σ

b−1
a
−t=

f (t)neu a > b.
a

Đ%nh nghĩa 1.10. Gia su p ∈ R khi đó, ta đ%nh nghĩa hàm so mũ trên thang
thài gian như sau
.∫ ξµ(τ )(p(τ
t
, t, s ∈ T.
(1.5)
ep(t, s) =
))∆τ Σ
exp
s


Ta có ea⊕b(t, s) = ea(t, s)eb(t, s), t, s ∈ T (xem [7]).


Đ%nh lý 1.4. Hàm ep(t, s) có các tính chat sau
(i) Gia su hàm p ∈ R khi đó ep(t, τ )ep(τ, s) = ep(t, s),
∀τ, s, t ∈ T.
(ii) ep(σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep(t, s).
(iii) Gia su hàm p ∈ R+ thì ep(t, t0) > 0, vái MQI t T.
k
(iv) Gia su 1 + à(t)p(t) < 0
á ,t t ∈ T thì ep(t, t0)ep(σ(t), t0) < 0.
s
(v) Neu T = R thì ep(t, s) = e(p(τ
. Hơn nua gia su p là hang so, dan đen
))dτ

ep(t, s) = ep(t−s).
t−1
(vi) Neu T = Z thì ep(t, s) = Π
(1 + p(τ )). Hơn nua gia su T = hZ, h > 0 và
τ
=s
p
(t−s)/h
là hang so nên
ep(t, s) = (1 + hp)
.

Đ%nh lý 1.5. Gia su các hàm p, q ∈ R. Khi đó ta có các cơng thúc
(i) e0(t, s) = 0 và ep(t, t) = 1.
1
(ii)
= egp(t, s).
ep (t, s)
1
(iii) ep(t, s) =
= egp(s, t).
p e (s, t)
(iv) ep(t, s)eq(t, s) = ep⊕q(t, s).
(v) ep(t, s)
= pg (t, s).
e
eq(t, s)

q

Ngoi ra ta cú mđt so kớ hiắu sau.
N (T) := T−1(0) là không gian nhân.
R(T) := TX là khoang bien thiên cna T.
Crd(T, X ) là t¾p các ánh xa rd-liên tuc tù T vào X .
CrdR(T, L(X )) := {A ∈ Crd(T, L(X )) : IX + à(t)A(t) GL(X ), t T}

l tắp hop các ánh xa quay ngưoc.
CrdR+(T, R) := {a ∈ Crd(T, R) : 1 + µ(t)a(t) > 0, t ∈ T}

là t¾p hop các nhóm quay ngưoc dương vói phép tốn
(a ⊕ b)(t) := a(t) + b(t) + µ(t)a(t)b(t),
(a(t) − b(t))
(ag b)(t) :=
.
(1 + à(t)b(t)) , t
T
Ta kớ hiắu |a := inft∈Ta(t), |a| := supt∈Ta(t).


Đ%nh nghĩa 1.11. Gia su a, b : T → R, a a b khi và chs khi 0 < |b − a∫.
Khi đó a ∈ Crd R+ (T, R) GQI là rài rac b% ch¾n dưái neu Γ(a) := 1 + | àa
> 0. Trong phộp cđng a GQi là rài rac b% ch¾n trên neu Γ(a) := 1 + | µa∫
< ∞.

Vói a ∈ CrdR+(Tκ, R) ta có bat đang thúc Becnuli
∫t
ea(t, τ ) ≥ 1
a t, τ ∈
τ

+
T.
κ
Vói hang so a(t) ≡ α ∈ Rµ(t), t ∈ T khi đó
t, τ ∈ T.

ea(t, τ ) ≥ 1 + αµ(t, τ ),

Vói h > 0, ta đ%nh nghĩa so phúc Hilger, truc so thnc Hilger như sau
−1
}.
h
−1
R = {z ∈ R : z >
}.

C h= {z ∈ C : z ƒ=
h

Ta đ%nh nghĩa phép bien đői tru.
Đ%nh nghĩa 1.12. ξh
→
:
phép bien đői trn.
Ch Zh

h

xác đ%nh bái (z ) =
ξh

log (1 + z h)
h

Khi h = 0, ξ0(z) = z, ∀z ∈ C.
Ngh%ch đao cua phép bien đői trn ξ−1 : Zh → Ch xác đ%nh bái ξ−1h =
Trong đó Z h= {z ∈ C :

, h > 0 GQI là
ezh − 1.
h

−Π
Π
< Argz < }.
h
h

Nhung công thúc hàm so mũ khác trên thang thịi gian có the tìm trong
[2]. Chúng ta ket thúc n®i dung này vói hai ket qua trên hàm mũ thnc. Thú
nhat ta xét hàm mũ trên t¾p con đóng b% ch¾n cna T, thú hai ta xét hàm
mũ trên
thang thòi gian khác.
Bo đe 1.1. Gia su so thnc 0 < h0 ≤ h và các hàm a, b ∈ CrdR+(T, R). Khi đó,
các hang so


Ea− (h0 , h) := inf

h0≤µ(t,s)≤h

ea(t, s), E+b (h0, h) :=

sup

h0≤µ(t,s)≤h

eb(t, s)


thóa mãn
(i) Gia su 0 a a, khi đó vái C ∈ R ton tai các so thnc 0 < h0 ≤ h, |µ| ≤ h
thóa mãn C ≤ Ea− (h0 , h).
+
(ii) Vái b b% ch¾n trên thì E
b (h0 , h) < ∞.
Chúng minh. Xem [13, trang 115].
Bo đe 1.2. Gia su T˜ = {tk }k∈T là thang thài gian rài rac vái T˜ ⊆ T và ˜c,
˜ ∈+ ˜
d
Crd R
(T , R). Khi đó, c0 , d0 : T → R,
.
c0(t) := ϑ µ(t
)

.

d0(t) := ϑ
µ(t

)

˜
Σ
ln(1 + µ(tk+1, tk)c(tk))
sup
µ(tk+1, tk)
inf

ln(1 + µ(tk+1, ˜tk)d(tk))
Σ
µ(tk+1, tk)

là quay ngưac dương và thóa mãn
ec(tk, tl) ≤ ec0 (tk, tl),˜˜
˜
˜
ed0 (tk, tl)
(1.6)

e d( t k , t l) ≤

trong đó e
˜c là hàm mũ thnc trên T.
˜˜ Ta có
Chúng minh.
,

1+
µ( t

n+1 tn

.
ln(1 + µ(tn+1,
)
t) n=
)cexp
(tn)
µ(t
˜c(
µ(tn+1, tn)
˜
tn

= exp

.∫

tn+1

n+1

, tn)Σ

ln(1 + µ(tn+1 , tn )˜c(t∆
n)
s ˜

Σ

t

.∫

tn+1

t


ln(1 + µ(tk+1 , tk )˜c(tk ) ˜

µ(tn+1, tn)

.∫
≤=exp
exp

tn+1

su
t
n

p
ξµ(s)
(c0(s))∆s

k∈
Z

µ(t

Σ


Σ

k+1

, tk)

∆

Do đó
= ec0 (tn+1, tn),
k−1

eY
c(tk , tl) =
≤

Bő đe đưoc chúng minh.

(1 + µ˜(tn+1, tn)c(tn))
˜

n=l
k−1
Y

n=l

n ∈ Z.

ec0 (tn+1, tn) = ec0 (tk, tl),l ≤ k.


1.2

Nh% phân mũ cua phương trình vi phân và
sai phân

Xét phương trình
x˙ = A(t)x

(1.7)

trong đó x ∈ Rd, A ∈ C(R, Rd), t ∈ R và X(t, s) là nghi¾m cna (1.7).
Đ%nh nghĩa 1.13. H¾ (1.7) GQI là có nh% phân mũ α, K trên R neu ton tai
phép chieu P (t), t ∈ R thóa mãn
P (t)X(t, s) = X(t, s)P (s),
|X(t, s)P (s)| ≤ Ke

−α(t−s)

t, s ∈ R

, t≥s

|X(t, s)Q(s)| ≤ Keα(t−s), t ≤ s, Q(t) = I − P (t),

trong đó α, K là các hang so, α > 0, K ≥ 1.
Xét phương trình
xn+1 = Anxn,

x ∈ R n , n ∈ Z.

(1.8)

Đ%nh nghĩa 1.14. Phương trình (1.8) đưac GQI là có nh% phân mũ neu ton tai
N ≥ 1, λ ≥ 0, HQ phép chieu Pn thóa mãn
sup ǁPnǁ < +∞, Rn = ImP n ⊕ Im(IX − Pn)
n

sao cho

ǁΦn,mPmxǁ ≤ Nλ n ǁxǁ, n ≥ m,

Φn,m

kha ngh%ch trên Im(IX −

Pn), ǁΦ−1 Pmxǁ ≤ Nλ−nǁxǁ,
n,
m

n ≤ m,

trong đó, xn = Φn,mxm là nghi¾m cua (1.8).

1.3

Nh% phân mũ trên thang thài gian

Trong phan này, chúng ta se giói thi¾u khái ni¾m nh% phân mũ trên
thang thịi gian, tính b% ch¾n cna tốn tu d%ch chuyen. Vói phương trình
đ®ng lnc trên


thang thịi gian chúng ta gia su h¾ so tốn tu A khơng regressive (xem [2], [7]).
Xét phương trình đ®ng lnc tuyen tính
x∆ = A(t)x,

(1.9)

.
vói A ∈ Crd Tk, L(X ) và toán tu d%ch chuyen ΦA(t, τ ) ∈ L(X ) nghĩa là
nghi¾m cnaΣ phép tốn tương úng bài toán giá tr% ban đau.
X ∆ = A(t)X,

X(τ ) = IX , ∀τ, t ∈ T, τ ≤ t.

Toán tu d%ch chuyen ΦA(t, τ ) trong trưòng hop tőng quát khơng kha ngưoc
và chi ton tai vói τ ≤ t.
Phương trình (1.9) có
(i) c+ - tăng b% ch¾n (vói hang so C), neu ton tai m®t so thnc C ≥ 1 và c ∈
CrdR+(T, R) b% ch¾n trên thoa mãn
ǁΦA(t, τ )ǁ ≤ Cec(t, τ ), τ ≤ t.

(ii) (c, d) - tăng b% ch¾n (vói hang so C), neu phương trình (1.9) có c+ tăng b% ch¾n, A ∈ CrdR+(T, L(X )) và gia su tai đó ton tai d ∈ CrdR+(T, R) b%

ch¾n trên thoa mãn
ǁΦA(t, τ )ǁ ≤ Ced(t, τ ), τ ≤ t.

De thay ΦA có các tính chat sau
ΦA(σ(t), t) = IX + µ(t)A(t),
ΦA(t, τ ) = ΦA(t, s)ΦA(s, τ ),

t ∈ T.

(1.10)
τ ≤ s ≤ t. (1.11)

Chú ý 1.2. (i) Vái đieu ki¾n c b% ch¾n trên thì ta có the chs ra rang MQI h¾
(1.9) có c+ - tăng b% ch¾n ( xem [1]).
(ii) Trên thang thài gian rài rac thì h¾ (1.9) cú c+ - tng b% chắn vỏi mđt so c
no đó neu và chs neu A b% ch¾n.
Đ%nh nghĩa 1.15. Ánh xa P : T → L(X ) GQI là phép chieu bat bien cua
phương trình (1.9) neu thóa mãn
P 2(t) = P (t), P (t)ΦA(t, τ ) = ΦA(t, τ )P (t),

τ ≤ t; t, τ ∈ T.


Ánh xa P thóa mãn đieu ki¾n chính quy neu ánh xa
[IX + µ(t)A(t)]|N

(P (t))

: N (P (t)) → N (P (σ(t)))

là song ánh. Khi đó, ánh xa
ΦA(t, τ ) := ΦA(t, τ )|N

(P (τ))

: N (P (τ )) → (N (P (t)))

là m®t đang cau.
Ta đ%nh nghĩa tốn tu d%ch chuyen mo r®ng (xem [12]) như sau.
Đ%nh nghĩa 1.16. Ánh xa ΦA(t, s) : KerP (s) −→ KerP (t) đưac xác đ%nh bái
.Σ A
KerP Σ−1
(s, (t)
, t≤s
Φ
ΦA(t, s) :=
t) |
ΦA(t, s)|KerP (s),

s≤t

vái (t, s) ∈ T × T. Khi đó, ΦA (t, s) GQI là tốn tu d%ch chuyen mỏ rđng.
%nh ngha 1.17. Hắ tuyen tớnh (1.9) cú nh% phân mũ vái a, b, K1, K2 neu có
m®t phép chieu chính quy P : T → L(X ) thóa mãn đieu ki¾n
ǁΦA(t, s)P (s)ǁ ™ K1ea(t, s),
ǁΦA(t, s)[IX − P (s)]ǁ ™ K2eb(t, s),

s ≤ t, s, t ∈ T
t ≤ s, s, t ∈ T,

vái K1, K2 “ 1 là các so thnc và a, b ∈ CrdR+(T, R), a a b.
Ví dn 1.4. Gia su α, β, h ≥ 0 là nhung so thnc vái α < β. Trên thang thài
gian thuan nhat vái µ(t) ≡ h và A(t) ≡ t trên T ta có
(i) Trong trưàng hap h = 0, phương trình (1.9) có nh% phân mũ vái α, β, neu
phő σ (A) ⊆ C đưac tách rài khói dai DQc
{λ ∈ C : α ≤ Rλ ≤ β}

trong m¾t phang phúc.
(2) Tương tn, trong trưàng hap h > 0 phương trình (1.9) có nh% phân mũ vái
α, β neu phő σ(IX + hA) không giao vái hình khuyên
{λ ∈ C : α ≤ |λ| ≤ β},

và phép chieu bat bien đưac đưa ra bái phő {λ ∈ C : |λ| ≤ α}.


Chú ý 1.3. Trong đ%nh nghĩa nh% phân mũ các hàm tăng trưáng a, b không đưac
gia su là các hang so. Vái các phương trình vi phân thưàng đieu này đã đưac
nghiên cúu trong [10]. M®t điem nua can chú ý trong nh% phân mũ là chúng ta
khơng địi hói đieu ki¾n hyperbolic như là a a 0 a b. Do v¾y thnc chat khái ni¾m
nh% phân mũ đang xét á đây là khái ni¾m nh% phân mũ gia hyperbolic ( xem [6,
trang 229, đ%nh nghĩa 7.6.4], [9]).
Bo đe 1.3. Gia su có h¾ tuyen tính (1.9) và
xO = B(t)x

(1.12)

vái B ∈ Crd(T, L(X )). Gia su c ∈ CrdR+(T, R) rài rac b% ch¾n trên. Gia su ton
tai m®t so thnc C ≥ 1 và m®t hàm b% ch¾n s ∈ Crd(T, R) thóa mãn
ǁΦA(t, τ )ǁ ≤ Cec(t, τ ),

τ ≤t

(1.13)
ǁA(t) − B(t)ǁ ™ s(t).

Khi đó,

(1.14)

ǁΦB(t, τ ) − ΦA(t, τ )ǁ

™

2

C|
µ(t, τ )ec+C G (t, τ ),
−s|
(c + Cs)

Γ

τ ™ t.

Chúng minh. Tù gia thiet ta có tốn tu d%ch chuyen ΦB(t, τ ) cna h¾ tuyen
tính (1.12) thoa mãn
ǁΦB(t, τ )ǁ ≤ Cec+Cε(t, τ ),

τ ≤ t.

(1.15)
Ta có
∫

t

τ ΦA(t, σ(s))[B(s) − A(s)]ΦB(s, τ )∆s,
ΦB(t, τ ) = ΦA(t,
τ)+
Suy ra
∫ t
ΦA(t, σ(s))[B(s) − A(s)]ΦB(s, τ )∆s,
ΦB(t, τ ) − ΦA(t,
τ
τ)=

Do v¾y
ǁΦB(t, τ ) − ΦA(t, τ
)ǁ ≤

τ ≤ t.

τ ≤ t.


∫
ǁΦA(t, σ(s))ǁǁ[B(s) − A(s)]ǁǁΦB(s, τ )ǁ∆s,

∫τ

t

t

ec(t, σ(s))ε(s)ǁΦB(s, τ )ǁ∆s,τ ≤ t. (do (1.13), (1.14))

≤C
τ

∫
≤C

t

2

ε(s)ec(t, σ(s))ec+Cε(s, τ )∆s, τ ≤ t. (do (1.15))
τ

= Cec(t,
τ)

∫
τ

t

∆1e(c+Cε)gc(s, τ )∆s, τ ≤
t

= Cec+Cε(t, τ )[1 − eb2 (t, τ )],
trong đó
b2

Do đó

τ≤t

Cε(t)
(t) = 1 + µ(t)(c(t) +
Cε(t))

.

∫

ǁΦB(t, τ ) − ΦA(t, τ )ǁ ≤
Cec+Cε(t, τ )
C2|s|

t

Cε(s)

1 + µ(s)(c(s) + Cε(s))

τ

∆s

≤ −

Γ (c + Cs)

µ(t, τ )ec+C G (t, τ ),

τ ™ t.

Bő đe đưoc chúng
minh.
Bo đe 1.4. Gia su C1, C2 “ 1 là nhung so thnc và c ∈ CrdR+(T, R). Neu h¾
tuyen tính (1.9)và (1.12) có các tốn tu d%ch chuyen tương úng thóa mãn
ǁΦA(t, τ )ǁ ≤ C1ec(t, τ ), τ ≤ t,
ǁΦB(t, τ )ǁ ≤ C2ec(t, τ ), τ ≤ t.
ǁΦB(t, τ ) − ΦA(t, τ )ǁ ™
C1C2ec(t, τ )

Khi
đó

Chúng minh. Ta có

∫

∫

t

ǁ B( s ) −

∆s, τ ™ t.
1 + µ(s)c(s)
τ
A(s)ǁ

t

ΦA(t, σ(s))[B(s) − A(s)]ΦB(s, τ )∆s,

ΦB(t, τ ) = ΦA(t,
τ)+

τ

∫

Hay

t

ΦA(t, σ(s))[B(s) − A(s)]ΦB(s, τ )∆s,

∫

ǁΦB(t, τ ) − ΦA(t, τ
)ǁ ≤

τ ≤ t.

τ

ΦB(t, τ ) − ΦA(t,
τ)=
Suy ra

τ ≤ t.

t

ǁΦA(t, σ(s))ǁǁB(s) − A(s)ǁǁΦB(s, τ )ǁ∆s,τ ≤ t
τ

∫

t

≤ C1C2 τ ec(t,
∫ tσ(s))ǁB(s) − A(s)ǁec(s, τ )∆s,
= C1C2ec(t, τ ) ǁB(s) − A(s)ǁ ∆s.
τ
1 + µ(s)c(s)

τ≤t

Bő đe đưoc chúng minh.
Bo đe 1.5. Gia su K1, K2, L1, L2 ≥ 1, s ≥ 0 là nhung so thnc và a, b, c, d ∈
CrdR+(T, R) thóa mãn a a c a d a b. Gia su
(i) Phương trình tuyen tính(1.9) có nh% phân mũ vái a, b, K1, K2 và phép chieu
bat bien P .
(ii) Phương trình tuyen tính (1.12) có nh% phân mũ vái c, d, L1, L2 và phép chieu

bat bien Q.
(iii) ǁA(t) − B(t)ǁ ≤ s,t ∈ T.


Khi đó phép chieu bat bien P, Q thóa mãn

trong đó C

a,
b

ǁP (t) − Q(t)ǁ ≤ smax{L1, L2}Ca,b(c, d), t ∈ T,
K1
K2
K1
(c, d) :=
+
+ max .

,

K2

.
|d − a∫

|c −
a∫

|c −

a∫

|b − d∫

Chúng minh. Vói phương trình tuyen tính(1.9) và phép chieu P, hàm Green
đưoc xác đ%nh như sau
.
ΦA(t, s)P (s) vói s ≤ t
(1.16)
GA (t, s) := −Φ (t, s)[I − P (s)]
X
A
vói t <
s.
Do đó

∆1GA(t, s) = A(t)GA(t, s) s, t ∈ J ⊆ Tk.
Co đ%nh s ∈ T, x0 ∈ X xét phương trình tuyen tính khơng thuan nhat
x∆ = A(t)x + rs,x0 (t)

trong đó rs,x0 : T → X xác đ%nh boi
rs,x0 = [B(t) − A(t)]GB(t, s)x0.

Σ