Luận văn thạc sĩ phân phối xác suất và hàm đặc trưng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIấN
------------------

Lấ NAM TRUNG

PHN PHOI XC SUAT
V HM ắC TRNG

LUÔN VĂN THAC SY KHOA HOC

Hà N®i, 2015
ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I
TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN
1


------------------

LÊ NAM TRUNG

PHÂN PHOI XÁC SUAT
VÀ HÀM Đ¾C TRƯNG

Chuyên ngành:
Mã so:

Lí THUYET XC SUAT V THONG Kấ TON HOC
60.46.01.06

LUÔN VN THAC SY KHOA HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC:

PGS. TS. PHAN VIET THƯ

Hà N®i, 2015


Lài cam ơn
Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành và sâu sac tói PGS.TS. Phan
Viet Thư, ngưịi thay đã t¾n tình giúp đõ, chi bao, đ%nh hưóng nghiên cúu cho
tơi đe hồn thành lu¾n văn này. Qua đây, tôi cũng xin chân thành cám ơn sn
giúp đõ cna các thay giáo, cơ giáo trong Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, B® mơn Xác
suat thong kê trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc quoc gia Hà N®i,
nhung ngưịi đã giúp đõ, giang day và truyen đat kien thúc cho tác gia trong
suot quá trình HQc t¾p và nghiên cúu tai trưịng.
M¾c dù đã có nhieu co gang, do han che ve thòi gian thnc hi¾n nên
lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót. Tác gia kính mong nh¾n
đưoc ý kien đóng góp q báu cna q thay cơ và các ban đe lu¾n vn
oc hon thiắn hn.
Xin trõn TRQNG cam n!
H Nđi,thỏng 06 năm 2015
Lê Nam Trung


Mnc lnc
Me ĐAU

4

1 TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI NIfiM Me ĐAU
5
1.1 BIEN NGAU NHIÊN...................................................................6
1.2 PHÂN PHOI XÁC SUAT.............................................................7
1.2.1 Quan h¾ giua phan tu ngau nhiên và phân phoi xác suat .7
1.2.2 Phân phoi ròi rac và phân phoi liên tuc.............................11
2 HÀM PHÂN PHOI
14
2.1 CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI...............................................14
2.2 H®I TU CUA DÃY HÀM PHÂN PHOI....................................17
2.2.1 Đ%nh nghĩa và tính compact............................................17
2.2.2 Khoang cách Levy............................................................22
2.2.3 H®i tu cna dãy tích phân...................................................27
2.3 ÚNG DUNG HÀM PHÂN PHOI VÀO NGHIÊN CÚU BÀI TOÁN
RUI RO BAO HIEM.....................................................................32
2.3.1 Đ¾t van đe........................................................................32
2.3.2 Các gia thiet cna đ%nh lý Cramer - Lundberg..................36
2.3.3 Phát bieu đ%nh lý Cramer - Lundberg..............................37
2.3.4 Chú ý.................................................................................37
3 HÀM Đ¾C TRƯNG
40
3.1 CÁC HÀM QUAN TRONG.........................................................40
3.2 HÀM Đ¾C TRƯNG....................................................................43
3.2.1 Đ%nh nghĩa và tính chat...................................................43
3.2.2 Tính chính quy, khai trien hàm đ¾c trưng.........................47
4 QUAN Hfi GIUA HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ HÀM PHÂN PHOI 55
4.1 TÍNH QUY LU¾T.......................................................................55


4.2

TÍCH CH¾P CÁC HÀM PHÂN PHOI VÀ PHÉP NHÂN CÁC
HÀM Đ¾C TRƯNG.....................................................................59


Me ĐAU
Hàm phân phoi xác suat và hàm đ¾c trưng là nhung khái ni¾m nhat cna lý
thuyet xác suat và thong kê tốn HQc. Vói sn ra địi cna tác pham "Nhung khái
ni¾m cơ ban cna lý thuyet xác suat"(Kolmogorov, 1933) thì nhung nen móng
vung chac cho hai khái ni¾m trên đưoc hình thành. Cho đen nay nhieu ket qua
liên quan ó thu oc v mđt lý thuyet hiắn ai ve XSTK đã đưoc xây dnng và
phát trien. Ý nghĩa cna các khái ni¾m trên se đưoc trình bày trong phan Tőng
quan cna chương I. Lu¾n văn đưoc trình bày gom 4 chương:
Chương I: Giói thi¾u tőng quan và nhung khái ni¾m cơ ban ve bien
ngau nhiên và hàm phân phoi, trong ú cú e cắp en mđt khang %nh quan
TRQNG cna Kolmogorov ve phân phoi huu han chieu.
Chương II: Trình bày ve lý thuyet hàm phân phoi; cau trúc và sn h®i tu,
khoang cách Levy và úng dung nghiên cúu bài tốn rni ro bao hiem.
Chương III: Nói ve hàm đ¾c trưng, đ%nh nghĩa, tính chat, tính chính quy
và khai trien hàm đ¾c trưng.
Chương IV: Trình bày moi liên quan giua hàm phân phoi và hàm đ¾c
trưng, nêu tính quy lu¾t, quan h¾ giua tích ch¾p cna hàm phân phoi và
phép nhân cna hàm đ¾c trưng.

4


Chương 1
TONG QUAN VÀ NHUNG KHÁI
NIfiM Me ĐAU

Trong chương này trình bày vài nét tőng quan ve nhung van đe can nghiên
cúu và nhung khái ni¾m má đau can dùng cho các chương sau.
Khác vói the giói tat đ%nh, trong pham trù ngau nhiên ngưịi ta làm vi¾c
vói các đai lưong lay nhung giá tr% ngau nhiên. Ta không the coi nhung giá
tr% ngau nhiên đó như giá tr% cna m®t tham so tat đ%nh bien đői tùy ý
đưoc. Đoi vói m®t bien ngau nhiên, ngưịi ta can biet cái lu¾t phân phoi cna
nó. Đoi vói nhung bien ngau nhiên rịi rac, ta can biet nó có the lay nhung
giá tr% nào và nó lay moi giá tr% đó vói xác suat bao nhiêu; đoi vói nhung
bien ngau nhiên liên tuc, ta can biet nó lay giá tr% trong m®t khoang nào đó
vói xác suat bao nhiêu? Nhung xác suat đó the hi¾n lu¾t phân phoi cna các
bien ngau nhiên. Lu¾t phân phoi lai đưoc bieu dien qua hàm phân phoi.
Biet hàm phân phoi cu the cna m®t bien ngau nhiên cu the là coi như ta xác
đ%nh đưoc bien ngau nhiên đó.
Ta lai có m®t cách khác đe the hi¾n lu¾t phân phoi cna bien ngau nhiên đó
là dna trên hàm đ¾c trưng. Biet đưoc hàm đ¾c trưng, ta biet bien ngau nhiên
đó là bien ngau nhiên gì. V¾y van đe đ¾t ra là hàm phân phoi và hàm đ¾c trưng
liên quan đen nhau như the nào? Ve m¾t toỏn HQc, thnc ra hm ắc trng l
mđt bien i Fourier cna hàm phân phoi. Ngưoc lai neu biet hàm đ¾c trưng thì
ta tính đưoc hàm phân phoi nhị đ%nh lý đao cna bien đői Fourier. Trong nhieu
bài toán thnc te, su dung hàm đ¾c trưng thì thu¾n loi hơn hàm phân phoi. Đóng
góp vào vi¾c xây dnng các đ%nh lý đao có các cơng trình cna Levy, Gurland, Gil
- Palaez, Shiely ...
V¾y trong lu¾n văn này sau khi nêu các khái ni¾m mo đau chúng tơi se
trình bày 3 van đe:


1. Hàm phân phoi
2. Hàm đ¾c trưng
3.
Quan h¾ giua hàm đ¾c trưng và hàm phân phoi.

Trong đó có trình bày m®t úng dung ve nghiên cúu "bài tốn rui ro bao
hiem."

1.1

BIEN NGAU NHIÊN

Đ%nh nghĩa: Cho không gian xác suat (Ω, F, P). Khơng giam tính tőng qt
ta có the gia thiet (Ω, F, P) là không gian xác suat đn túc là neu A là bien
co có xác suat 0 (P(A)=0) thì MQi t¾p con B ⊂ A cũng là bien co.
1. Gia su E là không gian metric, ánh xa X : Ω −→ E đưoc GQI là m®t bien
ngau nhiên vói giá tr% trên E neu vói moi t¾p Borel cna E ta có X−1(B) ∈ F .
2. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên E = Rn ta nói X là vectơ
ngau nhiên n - chieu.
3. Neu X là bien ngau nhiên nh¾n giá tr% trên t¾p so thnc R ta nói X là
bien ngau nhiên.
M¾nh đe 1. a, X : Ω −→ R là đai lưang ngau nhiên khi và chs khi
X−1(∞, x) = {ω : X(ω) < x} ∈ F, ∀§ ∈ R
b, X˙ = (X1 , X2 , . . . , Xn ) : Ω −→ Rn là véc tơ ngau nhiên khi và chs khi mői
TQa

đ®

Xk(k = 1, . . . , n) cua nó là đai lưang ngau nhiên.

Chúng minh. Ta de suy ra a,. Đe chúng minh b, ta xét phép chieu πk : Rn −→
R, πk ˙x = xk (TQA đ® thú k cna ˙x), πk liên tuc nênπk đo đưoc (đoi vói (B n ,
B 1 )).
Do đó, neu
là véc tơ ngau nhiên, thì Xk =

là đai lưong ngau nhiên.
X˙

πk .X˙

Ngưoc lai, gia su moi Xk là đai lưong ngau nhiên. Đe đơn gian hơn, ta xét
trưòng hop n = 2 và chú ý rang: R2 = R × R, B2 = B1 × B1 (σ - đai so tích).
Khi đó, vói B1, B2 ∈ B1 ta có:
X˙

−1

(B1 × B2 ) = X1−1 (B1 ) ∩ X2−1 (B2 ) ∈ A

Do đó ta có X˙ −1 (B 2 ) ∈ A túc là là véc tơ ngau nhiên.
X˙


1.2

PHÂN PHOI XÁC SUAT

Đ%nh nghĩa: 1. Cho X là bien ngau nhiờn E - giỏ tr%. Xột hm tắp àX xác đ
%nh trên σ - đai so Borel cna E theo cách sau:
µX(B) = P (X−1(B)), ∀B ∈ B.

De kiem tra oc àX l mđt đ o xỏc suat trờn E. µX đưoc GQI là phân bo xác
suat trên (E, B) cna bien ngau nhiên X.
2. Gia su X = (X1, . . . , Xn) là véc tơ ngau nhiên n - chieu. Hàm so F (x) =
F (x1, x2, . . . , xn) xác đ%nh boi công thúc:

F (x1, x2, . . . , xn) = P (X1 < x1, X2 < x2, . . . , Xn < xn)

đưoc GQi là hàm phân bo xác suat cna vectơ ngau nhiên X

1.2.1

Quan h¾ giEa phan tE ngau nhiên và phân phoi xác suat

M¾nh đe 2. Neu ν là xác suat trong (E, s) thì ton tai ít nhat m®t khơng
gian xác suat cơ ban (Ω, A, P) và m®t phan tu ngau nhiên E - giá tr% X,
sao cho ν là phân phoi cua nó: PX = ν
Chúng minh. Lay Ω = E, A = s, P = ν và X là ánh xa đong nhat tù R lên R:
X(x) = x, ∀x ∈ R.

Khi đó,

PX(B) = P{ω : X(ω) ∈ B} = ν{x : x ∈ B}, ∀B ∈ s

M¾nh đe 3. Neu X là đai lưang ngau nhiên, thì hàm phân phoi cua nó:
FX(x) = P{ω : X(ω) < x}

có các tính chat sau:
1. Khơng giam: FX(x1) ≤ FX(x2) vái x1 ≤ x2.
2. Liên tnc bên trái : FX(x) = FX (x − 0).
3. Nh¾n giá tr% 0 tai −∞ và 1 ta% +∞:
Ngưac lai, neu cho trưác hàm F (x) có ba tính chat trên thì ton tai ít nhat
m®t khơng gian xác suat cơ ban (Ω, A, P) và m®t đai lưang ngau nhiên X sao
cho F là hàm phân phoi cua nó: FX = F.

Chúng minh. 1, Suy ra tù đang thúc
(−∞, x2) = (−∞, x1) + [x1 + x2).

2, 3, suy ra tù tính liên tuc cna PX và tù các nh¾n xét:
1

(−∞, x − ) = Bn ↑ B = (−∞, x),
n
(−∞, −n) = C−n ↓ ∅, (−∞, n) = Cn ↑ (−∞, +∞)

Cuoi cùng, gia su F là hàm so có ba tính chat 1, 2, 3,. Khi đó, đ® đo
Lebesgue- Stieltjes µF tương úng là xác suat trên đưịng thang.Tù m¾nh đe
2 suy ra đieu phai chúng minh.
Chú ý Phân phoi PX chính là đ® đo Lebesgue-Stieltjes sinh ra tù hm
phõn phoi F X .
e mo rđng mắnh e trờn cho trưòng hop vec tơ ngau nhiên, ta phai đưa
vào
Rn mđt quan hắ thỳ tn.
Gia su a = (a1 , . . . , an ), ˙b = (b1 , . . . , bn ). Ta quy ưóc viet ˙a
< ˙b(˙a ≤ ˙b), neu ak < bk (ak ≤ bk ) vói ∀k = 1, 2, . . . , n. Rõ ràng, vói

quan h¾ thú tn đó Rn tro thnh tắp oc sap thỳ tn mđt phan.Ta viet a ↑ b
neu ak ↑ bk vói MQI ∀k = 1, 2, . . . , n. Bây giò ta nhac lai đ%nh nghĩa cna sai
phân.Gia su F (x) là hàm m®t bien so, sai phân cap 1 cna F là
∆1 F (a)
= F (a + h) − F (a), a ∈ R1, h >
h
0.

Chính xác hơn ,ta GQI ∆1 là toán tu sai phân cap 1 vái bưác h. Tiep theo, gia su

h
F (˙x) = F (x1 , . . . , xn ) là hàm n bien so. Đ¾t
∆n F (˙a) = ∆1 . .
. ∆1
h

Σ

h1

F (a1, . . . , an) = F (a1 + h1, . . . , an + hn)

hn

− F (a1 + h1, . . . , aj, . . . , an + hn) +
F (a1 + h1, . . . , aj, .
. .Σ
, an + h n )
− . . . + (−1)nF (a1, . . . , an)
và GQI ∆n là toán tu sai phân cap n vái bưác ˙h = (h1 , . . . , hn ) > 0.
hh

Chang han,
vói n=2 ta có:

∆n F (˙a)
= F (a1 + h1 , a2 + h2 ) − F (a1 , a2 + h2 ) − F (a1 + h1 , a2 ) + F (a1 , a2 ).
h

Ta nói F (˙x) là hàm n bien không giam, neu

n
n
˙
˙
∆n F (˙a)
h ≥ 0, ∀˙a ∈ R , ∀ h > 0, h ∈ R .

tiep theo ta nói rang F (˙x) liên tuc bên trái tai ˙x0 khi và chi khi F (˙x)
liên tuc bên trái theo moi bien tai ˙x0 .


Bang nhung l¾p lu¾n tương tn như khi chúng minh m¾nh đe 3 ta có
m¾nh đe sau:
M¾nh đe 4. Neu
X˙

= (X1, . . . , Xn) là véc tơ ngau nhiên n chieu, thì hàm phân

phoi cua nó F (˙x) = P {ω < ˙x} có các tính chat sau:
: X˙

1. Không giam;
2. Liên tnc bên trái tai mői điem ˙x ∈ Rn ;
3. F (˙a) = 0 neu có m®t ak nào đó bang
−∞, F (˙a) = 1 neu tat ca ak bang +∞,
Nói chính xác hơn, F (x1, . . . , xn) tien đen 0 khi ít nhat m®t trong các bien
tien
đen −∞, và tien đen 1 khi tat ca các bien tien đen +∞.
Ngưac lai, neu cho trưác hàm F (˙x) có ba tính chat trên thì ton tai
ít nhat m®t khơng gian xác suat cơ ban (Ω, A, P) và m®t véc tơ ngau nhiên n

chieu sao cho F là hàm phân phoi cua nó.
Đ%nh nghĩa Ta GQI F (x)(F (˙x)) là hàm phân phoi neu nó có ba tính chat 1,
2, 3, trong m¾nh đe 3, 4. Các m¾nh đe 3, 4, chi rõ moi quan h¾ m¾t thiet giua
bien ngau nhiên và hàm phân phoi.
Trong thnc hành, ta không biet giá tr% cnaX(ω) tai tat ca ω mà chi có
the bang thnc nghi¾m tính (gan đúng) hàm phân phoi X cna nó. Vói ý nghĩa
đó, hàm phân phoi cho ta lưong tin đay đn nhat ve đai lưong ngau nhiên
tương úng.
Can chú ý rang, neu biet phân phoi đong thòi cna X1, . . . , Xn thì cũng
biet tat ca các phân phoi m®t chieu:
FX1 (x1) = FX1,...,Xn (x1, +∞,..., +∞)
........................................
................... FXn (xn) =
FX1,...,Xn (+∞,..., +∞, xn)

Tương tn, ta có the tính tat ca các phân phoi hai chieu ho¾c vói so chieu lón
hơn, chang han:
FX1,X2 (x1, x2) = FX1,...,Xn (x1, x2, +∞,...,
+∞).

Tuy nhiên, neu chi biet tat ca các phân phoi m®t chieu, thì nói chung
khơng the xác đ%nh đưoc phân phoi đong thịi. Đieu đó nói lên rang, trong


trưịng hop nhieu chieu, hàm phân phoi đong thịi mói cho ta lưong tin đay
đn ve vec tơ ngau nhiên.
Bây giò, ta xét HQ nhung đai lưong ngau nhiên {Xt (ω), t ∈ T } neu
T huu han, ta có véc tơ ngau nhiên. Chúng ta GQI HQ nhung đai lưong
ngau nhiên
{Xt(ω), t ∈ T} là quá trình ngau nhiên. Neu T = R+ = [0, ∞) thì ta có q

trình ngau nhiên vói thịi gian liên tuc. Neu T = {0, 1, 2, . . .} thì ta có dãy
ngau nhiên, hay q trình ngau nhiên vói thịi gian ròi rac.


Gia su{Xt(ω), t ∈ T} là quá trình ngau nhiên xác đ%nh trên không gian
xác suat (Ω, A, P). Hàm:
Ft1,...,tn (x1, . . . , xn) = P{ω : Xt1 < x1, . . . , Xtn < xn}, n = 1, 2, . . . , ti ∈
T

đưoc GQI là hàm phân phoi huu han chieu, ho¾c là hàm phân phoi cna véc tơ
(Xt1 , . . . , Xtn ).

Hien nhiên rang HQ hàm phân phoi huu han chieu:
{Ft1,...,tn (x1, . . . , xn) : n ≥ 1, ti ∈ T}

thoa mãn đieu ki¾n tương thích sau đây:
A, Ft1,...,tn (x1, . . . , xn) = Fti1 ,...,tin (xi1 , . . . , xin ),
o đây i1, . . . , in là hoán v% tùy ý cna (1, 2, . . . , n)
B, Ft1,...,tn (x1, . . . , xn) = Ft1,...,tn,tn+1,...,tm (x1, . . . , xn, +∞,...,
+∞)

Đ%nh lý 1. (Đ%nh lý Kolmogorov) Gia su {Ft1 ,...,tn (x1 , . . . , xn ) : n ≥ 1, ti
∈ T } là h¾ thong các hàm phân phoi huu han chieu thóa mãn các đieu
ki¾n 1, 2, 3, và các đieu ki¾n tương thích A, B. Khi đó, ton tai khơng gian xác
suat (Ω, A, P) và HQ đai lưang ngau nhiên{Xt , t ∈ T } xác đ%nh trên không
gian này sao cho:
Ft1,...,tn (x1, . . . , xn) = P{ω : Xt1 < x1, . . . , Xtn < xn}, n = 1, 2, . . . , ti ∈
T

Ta xét cách xây dnng không gian (Ω, A, P) và HQ đai lưong ngau nhiên {Xt , t ∈

Q
T }.
Không gian Ω gom tat ca các hàm ω = ω(t), t ∈ T. Ký hi¾u Ω = RT = t∈T Rt
Gia su 1Φt n
,...,t

(ω) là ánh xa tù Ω vào Rn bien ω vào điem có TQA đ® (ω(t1 ), . . .
, ω(t
)). Borel bat kỳ S ∈ Bn , t¾p:
Đoi
vói nt¾p
(S)
A = {ω ∈ Ω, (ω(t1), . . . , ω(tn)) ∈ t ,...,t
1
n
S} = Φ−1

đưoc GQi là t¾p trn Borel đáy S.
H¾ thong C các t¾p, moi mđt trong chỳng l tng huu han cỏc tắp tru
khơng giao nhau, l¾p thành đai so. Chúng ta ký hi¾u σ - đai so nho nhat chúa
Y
C là:
A = σ(C) = BT =
t∈T

Bt


Trên moi t¾p tru, ta đ¾t:
P (A) = Pt1,...,tn (S)

trong đó Pt ,...,t là đ® đo xác suat trên Bn đưoc xác đ%nh boi Ft ,...,t
1
n
1

nó có dang A =
Σm

n

Ai là các t¾p tru, ta đ¾t:
i=
1

n
Σ

P (A) =

i=1

P (Ai)

Neu A ∈ C,


Đ® đo P (A) đưoc xây dnng như trên khơng phu thuđc vo cỏch phõn tớch
tắp
A. Nú l đ o c®ng tính huu han, liên tuc tai ∅ theo đ%nh lý thác trien đ®

đo, nó đưoc nói r®ng duy nhat thành đ® đo xác suât trên A = BT . Như v¾y
ta đã xây dnng khơng gian (Ω, A, P). Quá trình ngau nhiên đưoc xây dnng
như sau:
Xt(ω) = ω(t), t ∈ T.

Hien nhiên, HQ phân phoi huu han chieu cna nó trùng vói HQ hàm phân phoi cho
trưóc:
P{ω : Xt1 < x1, . . . , Xtn < xn} = P{ω : ω(t1) < x1, . . . , ω(tn) < xn}
= Pt1,...,tn{(−∞), x1) × . . . × (−∞, xn)} = Ft1,...,tn (x1, . . . , xn)

1.2.2

Phân phoi rài rac và phân phoi liên tnc

• Trưàng hap m®t chieu Ta đã biet thì moi hàm phân phoi F có the bieu dien
duy nhat dưói dang:
F = c1F1 + c2F2 + c3F3,

trong đó, F1 là hàm phân phoi bưóc nhay (cịn GQi là phân phoi rịi rac), F2 là
hàm phân phoi kỳ d%, F3 là hàm phân phoi tuyắt oi liờn tuc (oi vúi đ o
Lebesgue thụng thũng trên R), c1 , c2 , c3 là các hang so khơng âm có tőng
bang
1. Trong thnc te chi g¾p các hàm phân phoi bưóc nhay, tuy¾t đoi liên tuc
ho¾c tő hop loi cna hai loai vùa nói (túc là F = c1F1 + c3F3, vói c1, c3 ∈ [0, 1],
c1 + c3 = 1). Đ%nh nghĩa. Ta nói đai lưong ngau nhiên X có phân phoi rài rac
(hay là đai lưong ngau nhiên ròi rac), neu hàm phân phoi F cna nó là hàm
bưóc nhay.
Gia su {xk} là t¾p hop tat ca các điem gián đoan cna F và {pk} là các bưóc
nhay tương úng: pk = F (xk + 0) − F (xk) khi đó ta có:
pk = PX(xk) = P{ω : X(ω) = xk}.

Bang sau đây đưoc GQI là bang phân phoi xác suat cna đai lưong ngau nhiên
X:

. Σ
X

.

=
P

x1 x2
p1 p2
...

...

Σ

trong đó xk, k = 1, 2, . . . là các giá tr% cna X (hay là điem t¾p trung khoi
lưong cna X) và pk, k = 1, 2, . . . là xác suat đe X lay giá tr% xk (hay là khoi
lưong cna FX đ¾t tai xk). Rõ ràng, pk, k = 1, 2, . . . có các tính chat sau:
Σ


pk > 0,

pk = 1
k

(1)


.
FX(x) =

Σ

(pk)

(2)

xk
Ngưoc lai, neu cho trưóc {xk} là dãy bat kỳ và {pk} là dãy có tính chat (1)
thì ve phai cna (2) xác đ%nh hàm phân phoi và do đó, ton tai đai lưong
ngau nhiên X t¾p trung tai các điem {xk} vói khoi lưong tương úng {pk}.
Đ¾c bi¾t, neu xk = k, k = 0, 1, 2, . . .
pk = e − λk, λ > 0,
λ
k!

thì ta GQI hàm phân phoi (đai lưong ngau nhiên) tương úng là phân phoi (đai
lưong ngau nhiên) Poisson vói tham so λ. Neu xk = k, k = 0, 1, 2, . . .
pk = Ckpnk(1 − p)n−k, 0 ≤ p ≤ 1,

thì ta GQI hàm phân phoi (đai lưong ngau nhiên) tương úng là phân phoi (đai
lưong ngau nhiên) nh% thúc vói tham so p.
Đ%nh nghĩa. Nói rang, X có phân phoi liên tnc, neu phân phoi PX cna nó tuyắt

oi liờn tuc oi vúi đ o Lebesgue cna ũng thang.
V¾y, neu X có phân phoi liên tuc (hay tuy¾t đoi liên tuc), thì có đao hàm
Radon - Nikodym:
pX (x) =

dPX(x)
dx

pX (x) oc gQI l mắt đ phõn phoi cna X. nó có các tính chat sau:

∫+

pX(x) ≥ 0,∞ pX(x)dx = 1

(3)

−∞

FX(x) =

∫x pX(u)du

(4)

−∞

Ngưoc lai, neu cho trưóc hàm so p(x) có tính chat (3) thì ve phai cna (4) xác
đ%nh m®t hàm phân phoi và do đó ton tai mđt ai long ngau nhiờn nhắn p(x)
lm hm mắt đ phân phoi cna nó. Vì v¾y, hàm so có tính chat (3) oc GQI l
hm mắt đ (xỏc suat). ắc biắt, neu hm mắt đ cú dang:

1

x2

p(x) = exp{ }
2
2π

thì ta GQI hàm phân phoi (đai lưong ngau nhiên) tương úng là phân phoi
(đai lưong ngau nhiên) Gauss tiêu chuan. Ta se dùng ký hi¾u N (0, 1)(γ) đe
chi phân phoi (đai lưong ngau nhiên) Gauss tiêu chuan. Neu X = σγ + m trong


đó σ > 0, m ∈ R, thì ta nói X có phân phoi Gauss hay chuan vái tham so (m,
2).

Rừ rng mắt đ cna X = + m có dang:
1

1 x−m

2


p(x) =

√ exp{− (
2
σ 2π

σ

) },


vói X như the, ta se dùng ký hi¾u N (m, σ2) đe chi hàm phân phoi cna nó.
Can phai nói rang, phân phoi Gauss đóng vai trị vơ cùng quan TRQNG trong
lý thuyet xác suat, nó thưịng xun đưoc su dung trong các bài toán thnc te
cna xác suat.
Neu hm mắt đ cú dang:
pX(x) = ex, x 0, pX(x) = 0, x < 0

o đây λ là so dng, thỡ pX (x) oc GQI l hm mắt đ cna phân phoi mũ
vói tham so λ > 0.
Ví dn: phân phoi mũ. Gia su có máy nào đó, ngưịi ta mo máy tai thòi điem
0, còn tai thòi điem ngau nhiên X nó b% hong. Ta tìm dang tőng qt hàm
phân phoi cna X. Thơng thưịng ngưịi ta xét hàm:
QX(x) = P{X ≥ x}

Theo mơ hình đơn gian nhat, máy b% hong khi tai TRQNG vưot quá giá tr% N cho
phép nào đó. M®t cách hop lý, ngưịi ta gia thiet rang, xác suat đe đieu này xay
ra trong khoang thịi gian [a, b] vói đieu ki¾n là đieu này khơng xay ra trưóc
thịi điem a, chi phu thu®c vào đ® dài khoang [a, b] và vói b - a bé.Xác suat
này bang: λ(b − a) + 0(b − a). e đây, λ là hang so dương.
Vói ∆x bé ta có:
P{X ≥ x + ∆x} = P{X ≥ x}P{X ≥ x + ∆x, X ≥ x}
= P{X ≥ x}{1 − λ∆x − 0(∆x)}

Nói cách khác, vói QX(x) = P{X ≥ x} ta nh¾n đưoc:
QX(x + ∆x) − QX(x) = −(λ∆x + 0(∆))QX(x).

Vói gia thiet thơng thưịng ve tính kha vi cna hàm QX(x), ta có:
(x),
dQX(x)
=−λQX QX
dx

(x) = ce−λx

Tù gia thiet hien nhiên QX(0) = 1, ta có:
QX(x) = e−λx, FX(x) = 1 − e−λx, x ≥ 0.

và PX (x) = FXj (x) = λe−λx .


Chương 2
HÀM PHÂN PHOI
Trong chương này chúng tơi phân tích nhung yeu to cơ ban và sâu sac ve
hàm phân phoi như cau trúc và sn h®i tn cua dãy hàm phân phoi vái các khái
ni¾m quan trQNG như: khoang cách Levy, sn h®i tn cua tích phân đoi vái
hàm phân phoi. Đong thài chúng tơi cũng nêu lên m®t úng dnng cua hàm phân
phoi trong bài toán bao hiem.

2.1

CAU TRÚC HÀM PHÂN PHOI

Ta ký hi¾u P là lóp các hàm phân phoi xác đ%nh trên R, túc là F ∈ P neu
nó có các tính chat sau đây:
a, F (x) đơn đi¾u khơng giam trên R;

b, F (x) liên tuc trái tai MQI điem x ∈ R;
c, F (−∞) = lim F (x) = 0, F ∞
(+
) = F (x) ≤ 1.
→−∞

lim

→+∞

Ta ký hi¾u PJ là lóp con cna P , gom nhung hàm phân phoi thoa mãn đieu
ki¾n bő sung F (+∞) = 1.
Như ta biet, vói MQI hàm F ∈ PJ ton tai không gian xác suat (Ω, A, P ) và đai
lưong ngau nhiên X = X(ω) sao cho F là hàm phân phoi cna nó. Vì v¾y ta
GQI F ∈ PJ là hàm phân phoi xác suat. Ta ký hi¾u P ∗ là t¾p hop các hàm F (x),
x ∈ R thoa mãn đieu ki¾n a, b, cịn đieu ki¾n c, đưoc thay bang:
c’,0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ R
Hàm F ∈ P ∗ đưoc GQi là hàm phân phoi suy r®ng.
* Ví du ve nhung hàm phân phoi.


Ví dn 1. x0 là điem tùy ý thu®c R.
0, vói x ≤
Fn(x)
=

x0 − 1,
−
1 − n1 , vói x0 − n < x ≤ x0 n+
1



2, . . . 1
1, vói x > x1,
0

1

,n =

Fn là hàm phân phoi xác suat (∈ P0).

Ví dn 2. Ký hi¾u

.
0, vói x ≤ a,
δ a(x) = 1, vói x > a,

an là dãy so tùy ý cho trưóc, bn ≥ 0 và Σ
∞
n=
1

Σ
F (x)
=

∞
n=
1

bn ≤ 1 (ví du bn = 2−n). Khi đó hàm

bnδan(x) là hàm phân phoi (∈ P)

Ví dn 3. Gia su F là hàm phân phoi nào đó, {rn} là t¾p so huu ty trên R. Hàm
Σ
G(x) ∞ 1
F
+ x) là hàm phân phoi.
=
2
n= (r
n
1

Tù tính đơn đi¾u, khơng giam và giói n®i, suy ra rang, hàm phân phoi (∈ P0)
khơng có nhieu hơn đem đưoc điem gián đoan bưóc nhay. Vì v¾y t¾p các
điem liên tuc cna F ∈ P ∗, ký hi¾u là C(F ), trù m¾t trong R. m¾t khác do
tính liên tuc trái, hàm phân phoi đưoc xác đ%nh duy nhat boi giá tr% cna
mình trên t¾p D nào đó trù m¾t trong R (ví du D = C(F )). Đó là cơ so trnc
quan hien nhiên cna m¾nh đe sau đây.
M¾nh đe 5. Gia su D là t¾p nào đó trù m¾t trong R, FD là hàm đơn đi¾u
khơng giam bao hàm giua 0 và 1 xác đ%nh trên D. Khi đó ∀x ∈ R ton tai dãy
xn ∈ D, xn ↑ x, còn hàm F(x) đưac xác đ%nh trên R bang h¾ thúc:
F (x) =

lim

xn ↑x,xn ∈D

FD(xn)

là hàm phân phoi suy r®ng (∈ P ∗ ).
Chúng minh. Hien nhiên F(x) là hàm đơn đi¾u khơng giam, bao hàm giua 0 và
1. Ta can chúng minh F liên tuc trái tai MQI x ∈ R. Theo đ%nh nghĩa hàm F,
∀x ∈ R, ∀ε > 0, ∃xJ ∈ D, xJ < x sao cho:
F (x) − ε < FD (xJ ).

Tù tính đơn đi¾u khơng giam trên D cnaFD suy ra:

(1)


FD (xJ ) ≤ F (x)

(2)


Ket hop (1) và (2)ta có:
F (x) − ε < FD (xJ ) ≤ F (x),

vói D s xJ < x.
Xét y : xJ < y < x. Hien nhiên ta có bat đang thúc:
F (x) − ε < FD (xJ ) ≤ F (y) ≤ F (x),

Cho y ↑ x, sau đó cho ε ↓ 0 ta có:
F (x) = F (x − 0).

Hàm phân phoi suy r®ng (∈ P∗) là hàm không giam liên tuc trái trên R. Vì v¾y

nó có khai trien Lebdesgue.
Đ%nh lý 2. Mői hàm phân phoi F ∈ P∗ đưac bieu dien duy nhat á dang tőng cua
ba hàm phân phoi (∈ P∗) :
F = Fd + Fad + Fs,

trong đó Fd là hàm phân phoi b¾c thang dang
Σ
Fd(x) =

p(xi)

xi
,

Σ

p(xi) ≥ 0,

p(xi) ≤ 1;

i

Fad là hàm phân phoi tuy¾t đoi liên tnc dang:
Fad =

∫
x

f (y)dy

−∞

,

∫∞
f (y) ≥ 0,

f (y)dy ≤ 1;
−∞

F (s) là hàm phân phoi kỳ d%, túc là hàm phân phoi liên tnc, MQI iem tng

cua nú thuđc tắp cú đ o Lebdesgue bang không.


2.2

H®I TU CUA DÃY HÀM PHÂN PHOI

2.2.1

Đ%nh nghĩa và tính compact

Trưóc het ta xét ví du
Ví dn 4. Gia su ξn(ω) = − n1 , ξ(ω) ≡ 0. Khi đó
.
0, vói x ≤ −
Fn(x) = P{ξ n <
x} =

,

1
n

1, vói x > −
n

0,

.{ x }
F (x) = P ξ <
=

1

.

vói x ≤ 0,

1, vói x > 0.

Hien nhiên Fn(x) → F (x), ∀x ƒ= 0, nhưng Fn(0) = 1 ~ F (0) = 0.
Ví du trên chi ra rang, ton tai nhung dãy hàm phân phoi Fn h®i tu ve hàm
phân phoi F tai MQI điem liên tuc cna F, nhưng giá tr% cna hàm F tai điem gián
đoan không bang giói han tai điem này cna dãy hàm phân phoi Fn .
Đ%nh nghĩa. Ta nói dãy hàm phân phoi {Fn} h®i tn yeu đen hàm phân phoi
F (Fn , F ∈ P ∗ ) neu:
Fn(x) → F (x), n → ∞, ∀x ∈ C(F ),

trong đó C(F) như trưóc đây là ký hi¾u t¾p hop các điem liên tuc cna hàm F.
Ký hi¾u Fn ⇒ F.
Chú ý rang, lóp các hàm phân phoi xác suat P0 khơng đóng đoi vói phép
chuyen giói han theo h®i tu yeu. Ta minh HQA đieu này bang các ví du.

 0,
1

Ví dn 5.
Fn(x)
=

vói x ≤ −n;
( + 1), vói − n < x ≤ n;
2 n
x


 1,

vói n < x.

Fn(x) → F (x) ≡

1
, ∀x ∈ R.
2

Vì v¾y Fn (x) → F, nhưng F ∈/ P0 .

Ví dn 6. Gia su F0 là hàm phân phoi xác suat nào đó, Fn(x) = F0(x + n) là
dãy hàm phoi xác suat. Hien nhiên lim Fn(x) ≡ 1, ∀x ∈ R. Như v¾y dãy hàm
n→∞