dai so va giai tich 11

Giới hạn của dãy số
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Giới hạn hữu hạn
1. Giới hạn đặc biệt:

Giới hạn vô cực
1. Giới hạn đặc biệt:

lim n 

-Với c là hằng số ta có:

lim n k  ( k   )

lim q n  (q  1)
2. Định lí:

1
lim 0
limc c ,
n
.
c
lim k 0,(k 1)
n
-Tổng qt

a) Nếu

lim un 

lim

thì

1
0
un

un

n

lim q =0 ( q <1)

b) Neáu lim un = a, lim vn =  thì lim
c) Nếu lim un = a  0, lim vn = 0
un

nếu a.vn  0


nếu a.vn  0
v
thì lim n = 
d) Neáu lim un = +, lim vn = a

nếu a  0

nếu a  0
thì lim(un.vn) =  

;
2. Định lí :
a) Nếu lim un = a, lim vn = b thì
 lim (un + vn) = a + b
 lim (un – vn) = a – b
 lim (un.vn) = a.b
u
a
lim n 
vn b

(neáu b  0)
b) Nếu un  0, n và lim un= a

un  a
thì a  0 và lim
u vn
c) Nếu n
,n và lim vn = 0
thì lim un = 0
lim un  a
d) Nếu lim un = a thì
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u1
 q  1
S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1  q

vn

=0

0
* Khi tính giới hạn có một trong các dạng vô định: 0

,  ,  – , 0. thì phải tìm cách khử dạng vô định.

B. CÁC DẠNG BÀI TẬP

un =
1. Dạng 1: Giới hạn của dãy số

f  n
g n

, trong đó f(n), g(n) là các đa thức ẩn số n.

Cách giải: Chia ( các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa có số mũ cao nhất của n trong dãy u n sau đó
dùng kết quả ở phần kiến thức cần nhớ để tính.
BT áp dụng:
Bài 1:Tìm giới hạn của các dãy số sau:


lim

a)

n 1
2n  3

b)

lim

4n  7
1  2n

lim
c)

6n  5
7n  9

Bài 2: Tính các giới hạn sau:
a)

lim

lim
d)
g)

lim

2n2  n  3
3n2  2n  1

b)

n4

(n  1)(2  n)(n2  1)

e)

n2  1

lim
lim

lim

2n2  3n

h)

un =
Dạng 2: Giới hạn của dãy số

f  n
g n

2n  1
n3  4 n 2  3

c)

n2  1
2n 4  n  1

f)

(n  1)2 (n  2)3
n(n  1)4

i)

lim
lim
lim

3n3  2n 2  n
n3  4
2 n 4  n2  3
3n3  2n2  1
2n3  11n  1
n2  2

, trong đó f(n), g(n) là các biểu thức có chứa căn.

Cách giải: Chia ( các số hạng) của cả tử và mẫu cho lũy thừa có số mũ cao nhất của n trong dãy u n sau đó
dùng kết quả ở phần kiến thức cần nhớ để tính.

k
k
k 1
a
x

a
x


...

a
x

a
k
k 1
1
0 có bậc 2
Quy ước: - Biểu thức
- Biểu thức

3

a k x  a k  1x
k

k 1

k
 ...  a1x  a 0 có bậc 3

BT áp dụng
Bài 3:Tính các giới hạn sau:

lim
a)

lim
d)
f)

lim

4 n 2  1  2n  1

lim

n2  4n  1  n

b)

4n2  1  2n

lim

n 2  4n  1  n

e)

n2  3  n  4
n2  2  n
n2  4 n 

3n2  1  n

n2  n  1  4n 2  2
n 3

Dạng 3:Giới hạn của dãy số

u n  f (n)  g(n)

Cách giải: Sử dụng các phép biến đổi liên hợp sau:

g(n) 

f (n)  g(n)
f (n)  g(n)

f (n)  g(n) 

f (n)  g(n)
f (n)  g(n)

f (n) 




4n 2  1

lim
c)

3

n2  1  n6

n 4  1  n2


Khi đó, ta đưa được về dạng 2.
BT áp dụng
Bài 4: Tìm các giới hạn sau:
a.
d.

lim



3n  1 

2n  1



lim( n 2  4n  5  n  2)

b.

lim( n 2  n  1  n)

e. lim( n  3 

c.

n  5)

lim( n 2  5  n)

f. lim n ( n  1 

Dạng 4:Giới hạn của dãy số có chứa số mũ là n
Cách giải: Chia cả tử và mẫu cho lũy thùa có cơ số lớn nhất và sử dụng giới hạn cơ bản

lim q n =0 ( q <1)

.

Bài tập áp dụng:
Bài 5:Tính các giới hạn sau:
a)
d)

lim
lim

1  3n
4  3n

b)

2n  5n1
1  5n

e)

lim
lim

4.3n  7n1
2.5n  7n

c)

1  2.3n  7n
5n  2.7n

lim

lim
f)

4 n1  6 n2
5n  8n

1  2.3n  6n
2n (3n1  5)

n)