tai lieu ham so lien tuc

III. Hàm số liên tục
lim f ( x )  f ( x0 )

1. Hàm số liên tục tại một điểm:y = f(x) liên tục tại x0 
 Để xét tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x0 ta thực hiện các bước:
B1: Tính f(x0).
x  x0

B2: Tính

lim f ( x )

x  x0

(trong nhiều trường hợp ta cần tính

lim f ( x )

x  x0 

,

lim f ( x )

x  x0 

)

lim f ( x )

B3: So sánh x  x0

với f(x0) và rút ra kết luận.
2. Hàm số liên tục trên một khoảng: y = f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]: y = f(x) liên tục trên (a; b) và

lim f ( x )  f (a), lim f ( x )  f (b)

x  a

x  b

4.  Haøm số đa thức liên tục trên R.
 Hàm số phân thức, các hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
5. Giả sử y = f(x), y = g(x) liên tục tại điểm x0. Khi đó:
 Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) liên tục tại x0.
f ( x)
 Hàm số y = g( x ) liên tục tại x0 nếu g(x0)  0.

6. Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) =
0.
Nói cách khác: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(a). f(b)< 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít
nhất một nghiệm c (a; b).
min f ( x )
max f ( x )

a;b 
Mở rộng: Nếu y = f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt m =
, M =  a;b
.

Khi đó với mọi T  (m; M) luôn tồn tại ít nhất một số c  (a; b): f(c) = T.

Bài 1:

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
 x 3  2

 x 3
f
(
x
)


 x 1
f ( x )  x  1 khi x 1 taïi x  1
1
  1
khi x 1
 4
a)
b)
 x 5
 2  7x  5x 2  x 3


khi
x

2
f ( x)   x 2  3x  2

taïi x 2
f ( x )  2 x  1  3
( x  5)2  3
1
khi x 2

c)
d)
 x 1

1  cos x khi x 0
f ( x )  2  x  1
f ( x)  
taïi x 0
 2 x
x

1
khi
x

0

e)
f)

khi x 1

taïi x 1

khi x 1
khi x  5

taïi x 5

khi x  5
khi x  1
khi x 1

taïi x 1


 x 2  x  4 khi x 2

khi x 1
f ( x)  x  2
khi  7  x  2

khi x 1
x

7

3

h)
2 x 2 khi x  2
3
2
 x  x  2x  2


khi x 1

f
(
x
)

khi x 2
5
f ( x) 
x 1
3 x  1 khi x  2
4
khi
x

1


i)
k)
Bài 2:
Tìm m, n để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
 x2  4x  3

f ( x)  x 2  1
1

g)

 2
khi x  1
f ( x )  x
2mx  3 khi x 1
a)

 x3  x2  2 x  2

f ( x ) 
x 1
3 x  m
b)

taïi x 1

m
khi x 0
 x 2  x  6
f ( x ) 
khi x 0, x 3
 x ( x  3)
khi x 3
n
c)
 x2  x  2

khi x 2
f ( x )  x  2
m

khi x 2

khi x 1 tại x 1
khi x 1

tại x 0 và x 3

taïi x 2

d)

 x1

f ( x)  x 2  1
m 2 x

e)

khi x 1

mx 2 khi x 2
f ( x) 
khi x 1
khi x  2
3
taïi x = 1 f)
taïi x = 2
mx  n khi x 1
4 x  1
khi x 1


 2
f ( x) 3 x
khi 1  x  2
f ( x )  x  1
nx 2  m khi x 2
m 2 x
khi x 1


g)
tại x = 1 h)
Bài 3:
Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chuùng:
 x3  x  2
khi x  1
 3
 x 2  3x  4
khi x  2
f ( x)   x 1

f ( x ) 5
khi x 2
4
khi x  1

 3
khi x  2
2 x  1
a)

b)

c)
Baøi 4:

 x2  4

f ( x )  x  2

 4

khi x  2
khi x  2

 x2  2

f ( x )  x  2

2 2

khi x  2

khi x  2
d)
Tìm các giá trị của m, n để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:


 x2  x  2

f ( x )  x  2


m
a)

khi x 2
khi x 2

 x3  x2  2 x  2

khi x 1
f ( x ) 
x 1
3 x  m
khi x 1
c)

khi x  3
1

f ( x) mx  n khi 3 x 5
3
khi x  5

e)
 3 3x  2  2
khi x  2

x

2

f ( x ) 
mx  1
khi x 2

4
g)

x2  x

f ( x ) 2
 mx  1
b)

khi x  1
khi x 1
khi x  1

 2
khi x  1
f ( x )  x
khi x 1
2mx  3
d)
 x2  x  6
khi x( x  3) 0

x
(
x


3)

f ( x)  m
khi x 0
n
khi x 3


f)

h)

4 x 2  1 khi x  2

f ( x) 2m  nx khi  2  x  1
x  5
khi x 1


 x 2  3x  2
khi x  2

f ( x)  x 2  2 x
mx  m  1 khi x 2

k)

2

ax

khi x 2
f ( x ) 
(1  a ) x khi x  2
i)
Bài 5:
Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân bieät:
3
3
3
2
a) x  3 x  1 0
b) x  6 x  9 x  1 0
c) 2 x  6 1  x 3
Bài 6:
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
5
a) x  3 x  3 0

Bài 7:
Bài 8:
số:

5
b) x  x  1 0

4
3
2
c) x  x  3 x  x  1 0

d) x4 – 3x + 1 = 0

5
3
Chứng minh rằng phương trình: x  5 x  4 x  1 0 có 5 nghiệm trên (–2; 2).
Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham

3
4
2
a) m( x  1) ( x  2)  2 x  3 0
b) x  mx  2mx  2 0
c) a( x  b)( x  c)  b( x  c)( x  a)  c( x  a)( x  b) 0

2
3
2
d) (1  m )( x  1)  x  x  3 0

e) cos x  m cos2 x 0

f) m(2 cos x  2) 2sin 5 x  1
g) x3 – 3mx2 +4(m-2)x + 1 – m = 0
Bài 9:
Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
2
a) ax  bx  c 0 với 2a + 3b + 6c = 0

2
b) ax  bx  c 0 với a + 2b + 5c = 0

3
2
c) x  ax  bx  c 0

Bài 10:

 1
 0; 
Chứng minh rằng phương trình: ax  bx  c 0 luôn có nghiệm x   3  với
2


a  0 vaø 2a + 6b + 19c = 0.