de hsg toan 9

PHÒNG GD &ĐT CẨM THỦY
TRƯỜNG THCS CẨM NGỌC

ĐỀ THI HS GII TON 9
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

...............................................

BI

Câu 1:

25 x 2
1. Giải phơng trình:
x+
=11
( x +5 )2
2. Viết các phơng trình bậc hai d¹ng: x2 + mx + n = 0. BiÕt r»ng, phơng trình có nghiệm
nguyên, các hệ số m, n đều là những số nguyên và m + n + 1 = 2011.
Câu 2:
1. Tính giá trị của biểu thức: P = (4x3 - 6x2 - 1)2014
1( 3
3
víi x =
1+ √ 3+2 √ 2+ √ 3 −2 √ 2 ) .
2
¿
3
2 x + y= 2
x
2. Giải hệ phơng trình:

3
2 y+ x = 2
y
{

Câu 3:
1 1 1
1
+ + =
1. Cho các số nguyªn a, b, c tháa m·n:
. Chøng minh r»ng:
a b c abc
2
2
2
(1 + a ) (1 + b ) (1 + c ) là số chính phơng.
2. Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7
là số chính phơng.
Câu 4:
1. Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A, B. Từ một điểm
M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài (O), (d) không đi qua O, ta vẽ hai tiếp tuyến MN, MP với đờng tròn
(O) (N, P là hai tiếp điểm).
2

a. Chứng minh NMO = NPO.
b. Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP luôn đi qua hai điểm cố định khi
M di động trên đờng thẳng (d).
2. Cho hai điểm A, B cố định và điểm M di động sao cho tam gi¸c AMB cã ba gãc nhän. Gäi
H là trực tâm của tam giác AMB và K là hình chiếu của M trên AB.Tìm giá trị lớn nhất của
tích KM.HK.

Câu 5: Cho ba số dơng x, y, z tho¶ m·n: xyz = 1. Chøng minh r»ng:
√1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥3 √ 3
xy
yz
zx
Hết

HƯỚNG DẪN CHM
Câu
1
1. ĐK: x
(4,0đ)

Nội dung đáp án
5

Điểm


2

2

5x
10 x
+
=11
x +5
x +5
2

x2
10 x 2

+
11=0
x+5
x+ 5
x2
Đặt
=t thì phơng trình ®· cho trë thµnh: t2 + 10t -11 = 0
x +5
t=1
¿
t=−11

¿
¿
¿
¿
+ Víi t = 1 => x2 - x - 5 = 0. Suy ra: x1,2 = 1 ± √ 21
2
+ Víi t = -11 => x2 + 11x + 55 = 0 (PTVN)
2. Giả sử phơng trình: x2 + mx + n = 0 cã hai nghiƯm nguyªn x1, x2. Theo định lí Vi
(1)

(

x

)

( )

0,5

0,5

0,5
0,5

0,5
0,5


x 1+ x 2= m
- et, ta cã:
x 1 x2 =n
¿{
¿
Do ®ã: m + n + 1 = x1x2- (x1 + x2) + 1 = 2011  (x1 - 1)(x2 - 1) = 2011
V× 2011 là số nguyên tố, giả sử x1 > x2, ta nhận đợc:
+ x1 - 1 = 2011 => x1 = 2012; x2 - 1 = 1 => x2 = 2
Suy m = -2014; n = 4024.
+ x1 - 1 = -1 => x1 = 0; x2 - 1 = -2011 => x2 = -2010
Suy m = 2010; n = 0.
Tõ đó, ta có các phơng trình bậc hai dạng: x2 + mx + n = 0 tháa m·n ®iỊu kiƯn bài
toán: x2 - 2014x + 4024 = 0; x2 + 2010x = 0.


ab=1

3
a= 3+2 2
3
3
1. Đặt b=3 3 2 √2  a +b =6
a+b=2 x − 1
¿{
¿{{
2
¿
(4,0®)
¿
Suy ra: (2x - 1)3 = (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) = 6 + 3(2x - 1)
 ( 2 x −1 ) [ ( 2 x −1 )2 −3 ] = 6
4x3 - 6x2 - 1 = 1
VËy P = (4x3 - 6x2 - 1)2014 = 1.
2. §K: x, y

0

0,25
0,75

1,0
0,5
0,5
0,5
0,75
0,25

2 x + x 2 y =3
Hệ phơng trình 2 y 3 + xy 2=3
¿{
¿
Trõ vế với vế của hai phương trình ta được:
2(x3 – y3) + xy(x - y) = 0
 2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) = 0
 (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = 0
(*)
2
V× 2x2 + 3xy +y2 = 2 x + 3 y + 7 y 2 > 0 víi ∀ x, y
0
4
8
Nªn (*)  x – y = 0  x = y
Thay x = y vµo phơng trình (1) ta đợc:
3x3 = 3 x3 = 1  x = 1 (TM §K)
VËy x = y = 1.
1 1 1 1
1. Theo ®Ị ra, ta cã:
=> ab + bc + ca = 1
+ + =
a b c abc
Khi ®ã, ta cã:
1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1)
1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2)
1 + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3)
Tõ (1), (2) & (3), suy ra:

(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2
Với a, b, c là các số nguyên thì (a + b)(b + c)(c + a) là số nguyên.
Vậy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 là số chính phơng.
2. §Ỉt n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = y2 (y
N)
Suy ra: y2 = (n2 + n)2 + n2 + n + 7 > (n2 + n)2
=> y > n2+ n.
V× y
N, n2 + n + 1
N => y
n2 + n + 1
=> y2
(n2 + n + 1)2
Thay y2 = n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7
=> n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7
(n2 + n + 1)2
2
=> n + n - 6
0
=> (n - 2)(n + 3)
0
n
N* => n + 3 > 0 => n - 2
0
Suy ra n { 1;2 }
Thư víi n = 1 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 13 không là số chính phơng.
Thử víi n = 2 th× n4 + 2n3 + 2n2 + n + 7 = 49 là số chính phơng.
Vậy n = 2.
3

(

3
(4,0đ)

4
(6,0đ)

0,5

)

1
a. Vì MN, MP là hai tiếp tuyến của đờng tròn (O)
=> ONM = OPM = 900 (1)
=> ONM + OPM = 1800
Suy ra tø gi¸c MNOP néi tiÕp
=> NMO = NPO (Hai gãc néi tiÕp
cïng ch¾n cung ON).

0,5

0,5
0,5
0,5

0,5
0,25
0,25
0,25

0,5
0,25
0,5

P

0,5
O

M

b. Gọi I là trung điểm dây AB ta có I cố định.
(d) không đi qua O nên OI
AB
0
=> OIM = ONM = OPM = 90
=> I, N, P thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh OM.

I

B

0,5
A

N

0,5

O và I cố định. Do đó, đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định
O và I khi M di động trên đờng thẳng (d).
2.
2.

BKM vµ

Δ HKA cã:

M

BKM = HKA (= 900)
BMK = HAK (hai góc nhọn cạnh tơng ứng vuông góc)
Do đó BKM đồng dạng HKA (g.g)
BK KM
=
=>
=> BK.KA = KM.HK
HK KA
2

BK.KA

0.5
B

K

A

0,25

2

AB
=
(BK +KA
)
2
4

2
=> KM.HK AB
4

VËy max KM.HK = AB
4

5
(2,0®)

H

0,5

2

khi BK = KA (K là trung điểm AB)

áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dơng, ta có:

1+ x 3 + y 3 √3
√
3
3
3
1 + x 3 + y3

≥
3 √ 1 . x . y =3 xy
xy
√ xy
3
3
3
3
T¬ng tù: √ 1+ y + z ≥ √ 3
(2) √ 1+ z + x ≥ √ 3
yz
zx
√ yz
√ zx
Tõ (1), (2) & (3), suy ra:
(*)
Mặt khác: 3 + 3 + √3 ≥3 3 √ 3 . √ 3 . √ 3 =3 √3
√ xy √ yz √ zx
√ xy √ yz √ zx
Tõ (*) & (**) suy ra:
√1+ x 3 + y 3 + √ 1+ y 3+ z 3 + √1+ z 3 + x3 ≥3 √ 3
xy
yz

zx
DÊu = xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z = 1.

√

(1)

0,5
0,25

(3)

0,25
(**)

0,25

0,5

0,25
0,25