Chuong III 3 Ung dung cua tich phan trong hinh hoc

Buổi 3
Ứng dụng Tích phân


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành

(H ) :

y

x a
x b

5

4

3

y  f  x

f(x)

2

y 0 (trục hoành)

1

x
-3

b

 S  f ( x) dx (1)
a

-2

a

-1

1

-1

-2

-3

2

3

b

4

5


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành
Chú ý:
 Nếu trên đoạn [a; b] hàm số f(x) không đổi dấu thì
b

b

 f ( x) dx  f  x  dx
a

a

 Nếu trên khoảng (a; b) phương
trình f(x) = 0 có nghiệm c, d thì
b

S  f ( x ) dx = S1 + S2 + S3
a
c

d

b

 f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx

a
c

f ( x) dx 
a

d

c

b

d

f ( x)dx  f ( x)dx
c

d


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
a) Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hồnh
Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi các đường:
3

a ) x  2, x 2, y  x  3 x  4, y 0

b) x 0, x  , y tan x, y 0

4
Lời giải
a) ( H ) :

x  2
x 2

y  x3  3x  4

2

 S  x 3  3 x  4 dx 16
2

y 0
x 0


4
x
1
b) ( H ) :
 S tan x dx  ln 2 0, 34657...
4
2
0
y tan x
y 0

Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

y
7

x a

6

x b

(H ) :

y  f  x

4

3

y g  x 

2

b

g(x)

 S  f ( x)  g  x  dx (2)

a

f(x)

5

1

x
-2.5

-2

-1.5

a

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

b

2.5

3


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a ) x 0, x  , y cos x, y sin x
b) y  x 3  x, y  x  x 2

x 0
Lời giải

x 
a) ( H ) :
 S cos x  sin x dx 2 2 2,828427...
y cos x
0
y sin x

b) Phương trình hđgđ: x 3  x  x  x 2  x  2  x 0  x 1
 (H ) :

x  2
x 1
y x3  x

y x  x 2

1

1

 S   x  x    x  x
3

2

2



dx  x 3  x 2  2 x dx 
2

37
12


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý 1: Khi so sánh với dạng chuẩn (hình phẳng giới hạn bởi các
đường x = a, x = b, y = f(x) và y = g(x)), nếu thiếu cận thì cận cịn
thiếu sẽ được xác định thơng qua việc giải phương trình hoành độ
giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) và:
+ Cận dưới a chính là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x) =

g(x).
+ Cận trên b chính là nghiệm lớn nhất của phương
y trình
e x ,f(x)
y =
1, xg(x).
2
Ví dụ 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
e x 1  Lời
e x giải
1  x 0
2
2
2
2
Phương
trình hđgđ:
x
(cận
x
dưới).









 S  e x  1 dx  e x  1 dx  e 2  1 dx  2e 2  x  2e  4 1, 436...


0
0
0
0


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Chú ý 2: Một số trường hợp (thường là hình phẳng giới
hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị và việc dựng các đồ thị này là
tương đối dễ dàng) ta nên kết hợp với việc vẽ đồ thị để
phân chia thành các hình phẳng đơn giản.


Ứng dụng Tích phân
1) Tính diện tích hình phẳng
b) Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong
Ví dụ 3. Tính diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

y  x , y 6  x, y 0.

f(x)=sqrt(x)
Bóng 1

Lời giải

f(x)=6-x
Bóng 2

x 6  x  x 4
x 0  x 0; 6  x 0  x 6

Ta có:

x 0

( H1 ) :

x 4
y x

4

 S1 
0

16
x dx  5, 333...
3

y 0
x 4
6
x 6
(H 2 ) :
 S 2  6  x  dx 2

y 6  x
4
y 0

16
22
 S S1  S 2   2  .
3
3

x(t)=4 , y(t)=t
f(x)=2

6

y

5

4

3

2

H1

1

-2

-1

0
-1

-2

-3

1

2

3

H2
4

4

x
5

6

6

7

Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
P

Q

b

 V S  x  dx  3

S(x
S(x)
)

O

a

x

a

b

x


Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Ví dụ 1: Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = -1 và
x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng
góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x   1  x 1 là một hình
2
vng có cạnh là 2 1  x .
Lời giải



Diện tích thiết diện: S  x   2 1  x 2



2

4  1  x 2 

Áp dụng công thức (3), ta được:
1

1

16
(đvtt).
V  S  x  dx  4  1  x  dx 
3
1
1

2


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
a) Thể tích của vật thể
Ví dụ 2: Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và
chiều cao bằng h.
Lời giải
Chọn trục Ox song song với đường x
cao của khối lăng trụ, cịn hai đáy
nằm trong hai mặt phẳng vng góc
h
với Ox tại x = 0 và x = h.
Áp dụng cơng thức (3) ta có:
h

h

V S  x  dx B dx
0

x

0

h

V Bx 0 Bh.

O

S(x)=B


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Hình phẳng quay quanh trục hồnh:

(H ) :

x a
x b
y  f  x

 a  b

y 0
Khi cho (H) quay quanh Ox, ta được vật thể tròn xoay có thể tích:
b
2

V  f  x  dx
a

 4


Ứng dụng Tích phân

2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Hình phẳng quay quanh trục tung:

(H ) :

y c
y d
x g  y 

y

d
x=g(y)

c d

c
O

x 0

Khi cho (H) quay quanh Oy, ta được vật thể trịn xoay có thể tích:
d
2

V  g  y  dy
c

 5

x


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Ví dụ 1. Tính thể tích khối trịn xoay do hình phẳng giới hạn bởi
các đường sau quay quanh trục Ox:

b) y 1  x 2 , y 0

a ) x 0, x  , y cos x, y 0
Lời giải
a) Áp dụng công thức (4), ta được:

2
 1  cos 2 x  dx  0, 9348...

2
0
2
b) Phương trình hđgđ của đồ thị hai hàm số: 1  x 0  x 1



2
V  cos x dx 
2
0



Do đó (H) chính là hình phẳng giới hạn bởi các đường x = -1, x = 1,
y 1  x 2 , y 0. Áp dụng công thức (4), ta được:
1

V   1  x
1

2



2

1

16
dx   1  2 x  x  dx 
.
15
1
2

4


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích

b) Thể tích khối trịn xoay
Ví dụ 2. Một khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h. Tính thể
y
tích V của khối chỏm cầu đó theo R và h.
Lời giải
Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ
y  R2  x2
Chỏm cầu bán kính R, chiều cao h là khối
trịn xoay thu được khi quay hình phẳng
O R-h

(H) giới hạn bởi các đường: x = R - h

R

x

x R, y  R 2  x 2 , y 0
quanh trục Ox, do đó áp dụng (4), ta được:
R

3

R

 2
x 
h
2 
V   R  x  dx   R x 

 h  R  

3  R h
3


R h
2

2


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Ví dụ 3. Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y = 1, y = 8,
x  2 y và trục Oy. Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành
khi quay hình (B) quanh trục tung.
Lời giải

 B

y 1
y 8
x  2y
x 0

Áp dụng công thức (5), ta được:
8



V   2 y
1



2

8

dy  2 y dy  y
1

2 8
1

63 .


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Ví dụ 4. Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong có phương
trình x  y 2 0 và các đường thẳng y = 2, x = 0. Tính thể tích
khối trịn xoay tạo thành khi quay A:
a) Quanh trục hoành;
b) Quanh trục tung.
Lời giải
a) Hoành độ giao điểm của đường cong

x  y 2 0 và đường thẳng y = 2 là
nghiệm phương trình x 2  x 4
Gọi V là thể tích khối trịn xoay tạo
thành khi quay A quanh trục hồnh thì
dễ thấy V V1  V2 , trong đó:


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối tròn xoay
Lời giải

 H1 

 H2 

x 0
4
x 4
 V1  22 dx 16
y 2
0
y 0
x 0
x 4

4

 

y  x  V2   x
0
y 0

2

4

x
dx  x dx 
2
0

Vậy: V V1  V2 16  8 8 .

2 4

8
0


Ứng dụng Tích phân
2) Tính thể tích
b) Thể tích khối trịn xoay
Lời giải
b) Gọi V’ là thể tích khối trịn xoay tạo
thành khi quay A quanh trục tung.
Ta có:

y 0

 A

y 2
x y
x 0

2
2

 V '   y
0

2



2

2

y
dy  y dy 
5
0
4

5 2

0

32

5