De thi HSNK Toan 7 HPHu Ninh NH 20142015

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
Năm học 2014 - 2015
Mơn: TỐN
Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.
b) Tìm số ngun a để

a2 +a+3
a+1

là số ngun

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60
b) Tìm các cặp số nguyên x, y sao cho: x – 2xy + y = 0
Câu 3. (4,0 điểm) Tìm x biết:
a)
b)



15
3 6
1
x  x
12

7 5
2

x2  x

+

 x  1 x  2 = 0

Câu 4. (6,0 điểm).
1
CD  CB
2
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D khác C, sao cho
,

trên tia đối của tia BC lấy điểm E sao cho BE = CD. Các đường thẳng vng góc với BC kẻ
từ D và E cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt ở K và F. Chứng minh rằng:
a) DK = EF
b) Đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK.
c) Đường thẳng vng góc với FK tại I ln đi qua một điểm cố định khi D thay
đổi trên cạnh BC.
Câu 5. (2,0 điểm):
Cho đa thức A(x) = 1 + x + x2 + x3 + ...+ x99 + x100 .
1
Tính giá trị của đa thức A(x) tại x = 2

-------------------------Hết-----------------------Chú ý: Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: …………………………………………………. Số báo danh ..............

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÙ NINH
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH NĂNG KHIẾU LỚP 7
NĂM HỌC 2014 – 2015

Mơn thi: Tốn
Câu 1. (4,0 điểm)
a) Gọi 4 số tự nhiên, liên tiếp đó là n, n+1, n+2, n+3 (n  Z).
Ta có: n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n . ( n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1
2
2
= ( n  3n)(n  3n  2) 1 (*)
2
Đặt n  3n t (t  N ) thì (*) = t(t + 2) + 1 = t2 + 2t + 1
= (t + 1)2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n  N nên n2 + 3n + 1  N. Vậy n(n + 1)(n + 2)(+ 3) + 1 là số chính phương.

a(a+ 1)+3
3
a2 +a+3
=a+
b) Ta có :
=
a+1
a+1
a+1
a2 +a+3
vì a là số ngun nên
là số nguyên khi

a+1

 Vậy với

-3
-4
a = {-4; -2; 0; 2} thì

-1
-2

3
là số nguyên
a+1

1
0
2

a +a+3
a+1

0,5
0,5
0,5
0,5

hay a+1 là ước của 3  do đó ta có bảng sau :
a+1
a

0,5

3
2

0,5

0,5

là số nguyên
0,5

Câu 2. (4,0 điểm)
a) Tìm ba số a, b, c biết:
a b
a
b
 

2 3 14 21 ;
b c
b
c
5b = 7c   

7 5
21 15
a
b

c

 
14 21 15
3a = 2b 

0,25
0,25
0,5

Áp dụng tính chất của đãy tỉ số bằng nhau ta có:
a
b
c
3a  5b  7c
60 10

 


14 21 15 3.14  5.21  7.15 42
7
150
 a =20;
b=30;
c=
7

b) x – 2xy + y = 0 Û (1– 2y)(2x – 1) = –1
Vì x,y là các số nguyên nên (1 – 2y) và (2x – 1) là các số nguyên

 do đó ta có các trường hợp sau :

0,5
0,5
0,5
0,5


¿
1 −2 y=1
2 x −1=− 1
⇒
¿ x=0
y=0
¿{
¿

¿
1− 2 y =−1
2 x −1=1
⇒
Hoặc
¿ x=1
y=1
¿{
¿

0,5
0,5

Vậy ta có x, y = (0,0) và (1,1)
Câu 3: (4,0 điểm)
b)



15
3 6
1
15
3 6
1

x  x
x  x
7 5
2
12
7 5
2  12
6 5
13
(  )x 
14
 5 4

0,5
0,5

49

13
x
14
 20
130
x
343

x2  x
 x  1 x  2 = 0
b)
+
2
 x  x = 0 và  x  1 x  2  = 0
+ Xét
+ Xét

0,5
0,5

0,5

x2  x

= 0  x2 + x = 0  x(x + 1) = 0
 x = 0 hoặc x + 1 = 0  x = -1

(1)

 x  1 x  2 = 0  ( x + 1)(x - 2) = 0  x + 1 = 0 hoặc x - 2 = 0

 x = -1

hoặc x = 2

(2)

0,5
0,5
0,5

Kết hơp (1) và (2) ta được x = -1
Câu 4: (6 điểm).
HS vẽ hình đúng

0,25


A

K

E

B

I

C
H

D

O
F

Ta có : ∠ ABC = ∠ ACB ( ABC cân tại A) (1)
∠ ABC = ∠ EBF (Hai góc đối đỉnh) (2)
Từ (1), (2) suy ra ∠ ACB = ∠ EBF hay ∠ KCD = ∠ EBF
Xét CDK và BEF có ∠ D = ∠ E = 90o; DC EB (GT); ∠ KCD = ∠
EBF (C/m trên)
 CDK  BEF ( g.c.g)
 DK EF (hai cạnh tương ứng)
Xét DIK và EIF có ∠ D = ∠ E = 90o; DK EF (c/m ở câu a) ∠ DIK =
∠ EIF (hai góc đối đỉnh)
 KCD  BEF ( Hai tam giác vng có một cạnh góc vng và một góc nhọn
bằng nhau)
 IK IF (hai cạnh tương ứng)
Vậy đường thẳng BC cắt FK tại điểm I là trung điểm của đoạn thẳng FK
Kẻ AH  BC tại H, ta có AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vng)
=> ∠ HAB = ∠ HAC
Gọi O là giao điểm của AH và đường vng góc với FK kẻ từ I, ta có
OAB OAC (c.g.c) => ∠ OBA = ∠ OCA (3)
OIF OIK ( hai cạnh góc vng bằng nhau)  OF OK , từ đó suy ra
OBF OCK (c.c.c) => ∠ OBF = ∠ OCK (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠ OBA = ∠ OBF = 90o  OB  AB  điểm O cố định.

0,25
0,25
0,25
0,5

0,5
1,0
1,0
0,5
0,5
0,5
0,5

Câu 5. (2,0 điểm):
1
1 1 1
1
1
1
1   2  3  ...  98  99  100
2 2 2
2
2
2
Với x= 2 thì giá trị của đa thức A =
1 1 1
1
1
1
1 1 1
1
1
1   2  3  ...  98  99  100
1   2  3  ...  98  99
 2. A 2 ( 2 2 2

2
2
2 )=2+
2 2 2
2
2
1 1 1
1
1
1
1
1
1   2  3  ...  98  99  100
 2 A  A  2  100
100
 2A=( 2 2 2
2
2
2 )+2- 2
2
1
 A 2  100
2

0,5
0,5
0,5
0,5

------------------------- Hết -------------------------